专题 09：小数除法（循环小数）-2023年新五年级数学暑假自学课（人教版）

第三章 小数除法 ❊3.4 循环小数 课前导入 【思考】你能说出省略号表示的意思吗? 知识点精讲 知识点一 循环小数的认识 内容 定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字 出现，这样的小数叫做循环小数。 循环节 一个循环小数的小数部分，依次 的 ，叫做这个循环小数的循环节。 【注意】 写循环小数时，可以只写 ，并在这个循环节的 和 上面各记一个圆点。 循环小数，小数点后第100位上的数是（    ）。例1 A．1 B．5 C．6 D．9 如图是一道小数除法的竖式计算过程，那么商的千分位上应填（    ）。例2 A．2 B．3 C．7 D．8 下列各数是循环小数的是（    ）。练1 A．3.1415926… B．3.141414 C．1.33 D． 下面四个循环小数中，循环节不是“36”的是（    ）。练2 A．5.3636… B．6.033636… C．3.633636… D．0.36036036… 知识点二 有限小数和无限小数 内容 有限小数 小数部分的位数 小数是有限小数。 无限小数 小数部分的位数 小数是无限小数 【注意】循环小数是无限小数中的一种特殊情况。 下面算式里，得数是有限小数的是（    ）。例1 A．10÷3 B．5÷8 C．1.1÷7 D．3.1÷2.9 下面9个数中，有（    ）个是循环小数。例2 0.4242…  11.1111  99.121  2.616666  1.58686… 3.0245768…  14.146146  888888  5.432342… A．2 B．4 C．6 D．8 2021年8月17日，瑞士研究人员使用一台超级计算机，历时108天，将著名数学常数圆周率π计算到小数点后62.8万亿位，创下该常数迄今最精确值记录。π＝3.141592654…，这是一个 小数，保留两位小数是____。（    ）练1 A．有限；3.14 B．无限循环；3.14 C．无限不循环；3.142 D．无限不循环；3.14 3.34545…不是（    ）。练2 A．循环小数 B．有限小数 C．无限小数 D．小数 a÷b（a、b均为非零自然数），商不可能是（    ）。练3 A．整数 B．有限小数 C．循环小数 D．无限不循环小数 课后强化 1．在5.3，7.15454…，2020，1.55…，0.1010，3.706706…，1.2356024…这些数中，循环小数有( )个，其中最小的循环小数用简便形式表示为( )。 2．在、0.634、、0.633和中，( )是有限小数，( )是无限小数，再把这几个数按从大到小的顺序排列是：( )＞( )＞( )＞( )＞( )。 3．3.535353…叫做( )小数，也可以叫做( )小数，用简便写法写做( )，它的循环节是( )。 4．判断题：无限小数一定比有限小数大。( ) 5．判断题：4.897236…是无限小数，但不是循环小数。( ) 6．判断题：4.1307307…可记作。( ) 7．判断题：8.478478…的循环节是847。( ) 8．列竖式计算，带※的要验算。 4.04×7.4≈  （得数保留两位小数）   ※45.9÷1.5＝     45÷3.3＝  （用循环小数表示商） 9．小华家去年缴电费1132元，平均每月缴电费多少元？（得数用循环小数表示） 10．循环小数，小数部分第50位上的数字是多少？小数部分前50位的数字之和是多少？ 参考答案 知识点一 例1.B 【分析】循环小数的循环节是54321，每5个数字一循环，因为小数点后面前四位是9876，不参与循环，所以求小数点后第100位上的数字，就是求（100－4）里面有几个5，还余几，用除法计算；余数是几，就表示是一个循环节里的第几个数，即可得解。 【详解】100－4＝96 96÷5＝19……1 余数是1表示是一个循环节里的第一个数，即5； 所以小数点后第100位上的数字是5。 故答案为：B 例2. A 【分析】一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。 通过小数除法计算出循环小数，当出现同样的余数，则会对应出现同样的商，据此分析。 【详解】由分析可得：当余数是3时，商是2，那么商的千分位上应填2。 故答案为：A 练1. D 【分析】一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。据此解答。 【详解】A．是无限小数，但小数部分没有不断重复出现的数字，不是循环小数； B．是有限小数，不是循环小数。 C．是有限小数，所以不是循环小数。 D．是无限小数，小数部分从百分位开始1不断重复出现，是循环小数； 故答案为：D 【点睛】有限小数：是小数点后面只有有限个不全为“0”的数字的小数。无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。 练2. D 【分析】循环节是指一个循环小数的小数部分依次不断的重复出现的一个或几个数字。据此逐一分析各项即可。 【详解】A．5.3636…的循环节是36； B．6.033636…的循环节是36； C．3.633636…的循环节是36； D．0.36036036…的循环节是360。 故答案为：D 知识点二 例1.B 【分析】除数是整数的小数除法，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 根据小数除法的计算方法进行计算，确定得数是有限小数的即可。有限小数：小数部分的位数是有限的小数。无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 【详解】A．10÷3＝3.333… B．5÷8＝0.625 C．1.1÷7＝0.1571428571428… D．3.1÷2.9＝1.0689…… 得数是有限小数的是5÷8。 故答案为：B 例2.A 【分析】小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数，叫做循环小数。据此定义找出哪些数是循环小数。 【详解】11.1111、99.121、2.616666、14.146146、888888小数部分有限，所以不是循环小数； 3.0245768…、5.432342…是无限小数，但小数部分没有重复出现的数字，所以不是循环小数； 0.4242…小数部分42重复出现，1.58686…小数部分86重复出现，所以是循环小数。 故答案为：A 练1.D 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，且没有依次不断重复出现的数字，这样的小数就是无限不循环小数；从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数；保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可。 【详解】π＝3.141592654…≈3.14 则π＝3.141592654…，这是一个无限不循环小数，保留两位小数是3.14。 故答案为：D 练2. B 【分析】有限小数和无限小数的定义：（1）有限小数：小数部分的位数是有限的小数。（2）无限小数：小数部分的位数是无限的小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。小数按小数部分的位数分为有限小数和无限小数，无限小数分为无限循环小数（简称无限小数）和无限不循环小数。 【详解】A．3.34545…是循环小数； B．3.34545…不是有限小数； C．3.34545…是无限小数； D．3.34545…是小数。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查循环小数的特征以及有限小数和无限小数的定义。 练3. D 【分析】a÷b（a、b均为非零自然数），商可能是整数、有限小数或循环小数，但不会是无限不循环小数，据此解答。 【详解】由分析可得：a÷b（a、b均为非零自然数），商不可能是无限不循环小数。 故答案为：D 【点睛】本题考查了循环小数的分类知识。 课后强化 1． 3/三 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的，可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的，不可数的； 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数，据此解答。 再根据小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看十分位上的数，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的数也相同，就看百分位上的数，百分位上的数大的那个数就大，…，依次类推，进行解答； 再根据循环小数简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。据此解答。 【详解】5.3，7.15454…，2020，1.55…，0.1010，3.706706…，1.2356024…中； 循环小数有：7.15454…，1.55…，3.706706…，一共3个循环小数。 7.15454…＞3.706706＞1.55… 1.55…＝ 在5.3，7.15454…，2020，1.55…，0.1010，3.706706…，1.2356024…这些数中，循环小数有3个，其中最小的循环小数用简便形式表示为。 2． 0.634、0.633 、、 0.634 0.633 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数；再根据小数的大小比较的方法，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止。据此可解答。 【详解】＞＞0.634＞＞0.633 则0.634、0.633是有限小数，、、是无限小数，再把这几个数按从大到小的顺序排列是：＞＞0.634＞＞0.633。 【点睛】本题考查有限小数和无限小数，明确有限小数和无限小数的定义是解题的关键。 3． 无限 循环 53 【分析】小数部分的位数无限的小数是无限小数； 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数称为循环小数，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节； 循环小数的简便写法：只写一个循环节，在循环节上最前和最后一个数上点一个点，如果循环节只有一个数字，就在这一个数字上点。 【详解】3.535353…叫做无限小数，也可以叫做循环小数，用简便写法写做，它的循环节是53。 【点睛】明确无限小数和循环小数的特点是解答本题的关键。 4．× 【分析】小数部分的位数是有限的小数叫有限小数；小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。据此解答。 【详解】通过分析可得：无限小数的数位是无限的，有限小数的数位是有限的，但无限小数不一定比有限小数大，如3.1414…＜5.2。原题说法错误。 故答案为：× 5．√ 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数；从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数。据此判断即可。 【详解】根据分析可知，4.897236…，是无限小数，但不是循环小数。 原题干说法正确。 故答案为：√ 6．√ 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。循环小数的简便写法是找出循环节，在循环节的头尾点上循环点。 【详解】4.1307307…的循环节是“307”，可记作。原题说法正确。 故答案为：√ 7．× 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 【详解】根据循环小数概念可知：8.478478…的循环节是478。原题说法错误。 故答案为：× 8．29.90；30.6； 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 根据“四舍五入”法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，如果是循环小数，商用循环小数表示。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【详解】4.04×7.4≈29.90      ※45.9÷1.5＝30.6         45÷3.3＝          验算： 9．元 【分析】用小华家去年缴电费的钱数除以一年总月份即可解答。 小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“·”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 【详解】1132÷12＝（元） 答：平均每月缴电费元。 10．6；315 【分析】循环小数的循环节是568，每3个数字一循环，求小数部分第50位上的数字就是求50里面有几个3，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数部分第50位上的数字。 求小数部分前50位的数字之和，先求出一个循环节各个数位上的数字之和，再乘循环的次数，最后加上余数中出现的几个数字即可求解。 【详解】50÷3＝16……2 余数是2表示是一个循环里的第2个数，即6； 所以小数部分第50位上的数字是6。 （5＋6＋8）×16＋5＋6 ＝19×16＋5＋6 ＝304＋5＋6 ＝315 答：小数部分第50位上的数字是6，小数部分前50位的数字之和是315。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$