精品解析：广西南宁市第二中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题

南宁二中2024年5月高三月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若函数在区间上有，则的递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 1152种 B. 1728种 C. 2304种 D. 2880种 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 8. 在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. 为互斥事件 C. D. 相互独立 10. 已知函数，对于任意，有，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上共有6个极值点 11. 已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 在定义域内单调递减 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______． 13. 在中，，点Q满足，则的最大值为___________. 14. 设．将这三者中的最大值记为．当变化时，的最小可能值是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）若数列满足，证明：是常数数列； （2）若数列满足，求的前项和． 16. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得. （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度； （2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列. 附：相关系数 17. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，. （1）证明：平面； （2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围. 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 19. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2024年5月高三月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算、共轭复数的定义以及复数的几何意义判定选项即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 故选:C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题解得，再由求解即可. 【详解】由，解得， 所以. 故选：A. 3. 若函数在区间上有，则的递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质得到，然后根据复合函数求单调性的方法判断即可. 【详解】设，当时，， 因为，所以，函数在上单调递减， 因为的单调递减区间为， 所以的递增区间为. 故选：A． 4. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】集合都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个交点，有个子集． 【详解】集合A表示直线上的所有点的集合， 集合B表示圆上所有点的集合， 因为圆心到直线的距离为即为圆的半径，故直线与圆相切， 故中只有一个元素，故的子集个数为． 故选：C． 5. 已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求直线的斜率，再求过左焦点且平行于直线的直线方程，求出点的坐标后，由关系式得出关于的方程，化简即可. 【详解】由椭圆：的方程可得： ，其中， 则， 过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：， 将代入该直线方程，可得点的坐标为， 若，则，得. 故选：D. 6. 8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 1152种 B. 1728种 C. 2304种 D. 2880种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，分E和F站在前排或后排，利用捆绑法结合排列数、组合数运算求解. 【详解】由题意可知：D站在前排，A站在后排， 若E和F站在前排，则不同的排列方式共有； 若E和F站在后排，则不同的排列方式共有； 所以不同的排列方式共有种. 故选：C. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用等差数列的性质推出，再利用基本不等式计算即得. 【详解】由可得， 因则等差数列的公差，故， 则，当且仅当时取等号， 即当时，取得最大值25. 故选：B. 8. 在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过线面垂直的性质找到点的轨迹，然后利用梯形的性质求解即可. 【详解】连接，在正方体中，平面， 四边形是正方形，因为平面，所以， 又，，且平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以当点P在线段（点除外）时，，取的中点E，连接， 在正方形中，因为E为的中点，是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为， 且平面，平面，所以平面，又平面， 所以，因为，且平面，平面， 所以平面，设平面平面，则，所以， 则是棱的中点， 所以当点在正方体的表面线段上时，, 由题意可知，在梯形中，，，， ， 所以线段长度的最大值是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. 为互斥事件 C. D. 相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析. 【详解】正确； 可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误； 在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确； 不独立， D错误； 故选：AC. 10. 已知函数，对于任意，有，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上共有6个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先推导周期得的值，再利用对称轴为得，再利用函数的对称性和单调性逐项判断得答案 【详解】因为，所以， 因此，从而，注意到， 故，所以， 又，即的图象关于直线对称，从而， 即，，所以，又，所以， 所以，所以的最小正周期为，A正确． 因为，所以函数的图象不关于点对称，B错误． 当时，，故函数在上单调递减，C正确． 令，得,令,得,故,易知函数在单调递增，在单调递减，故函数在上共有6个极值点，D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 在定义域内单调递减 D. 为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】对于，令，则， 因，故得，故A正确； 对于由， 令，则， 则，即， 故是以为首项，2为公比的等比数列， 于是，故B错误； 对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则①， 把都取成，可得②， 将②式代入①式，可得， 化简可得即为奇函数，故D正确； 对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出的关系式即可判断奇偶性等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：故答案为 【点睛】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型． 13. 在中，，点Q满足，则的最大值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设中点为M，则，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，此时是等边三角形， 求出即可求解. 【详解】设中点为M， 则， ， 由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧， ∴当时，最大，此时是等边三角形， 则. 故答案为：. 14. 设．将这三者中的最大值记为．当变化时，的最小可能值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，然后分和两种情况分析即可. 【详解】不妨设，则只需考虑及两种情形． 若，则，则； 若，即，即，则， 所以当时，取到最小值． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）若数列满足，证明：是常数数列； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，得到是常数数列； （2）在（1）的基础上，得到，，利用分组求和得到答案. 【小问1详解】 因为 ， 所以， 所以是常数数列． 【小问2详解】 由（1），， 所以． 因为， 所以 ， 所以． 16. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得. （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度； （2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列. 附：相关系数 【答案】（1）0.94，相关性较强． （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解， （2）根据超几何概率的概率公式求解概率，即可得分布列. 【小问1详解】 样本，，2，， 的相关系数为 ． 由于相关系数,，则相关性很强，的值越大，相关性越强． 故，故相关性越强． 【小问2详解】 由题意得：的可能取值为0，1，2， 20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，. （1）证明：平面； （2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围. 【小问1详解】 在梯形中，因为，， 所以，所以， 所以，所以． 因为平面平面，平面平面， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系， 令，则． ，． 设为平面的一个法向量， 由得，取，则， 是平面的一个法向量 ， ，当时，有最小值， 当时，有最大值． ． 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）[方法一]：通式通法 设，，， 所以直线，由题设可得且. 由可得，故， 因为，故，故. 又，由可得， 同理， 由可得， 所以， 整理得到， 故， 令，则且， 故， 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或. [方法二]：利用焦点弦性质 设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且． 由得，所以． 因为， ，． 由得． 同理． 由得． 因为， 所以即． 故． 令，则． 所以，解得或或． 故直线在x轴上的截距的范围为． [方法三]【最优解】： 设， 由三点共线得，即． 所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为． 设直线的方程为， 则． 所以． 故（其中）． 所以． 因此直线在x轴上的截距为． 【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标. 方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 19. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数， 理由：函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数； （2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围； （3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 所以， 若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数； （2）根据谷点性质求参数的取值范围； （3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $