暑假作业02 认识三角形、多边形的内角和与外角和（知识梳理+11大题型+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02 认识三角形、多边形的内角和与外角和 知识点01 认识三角形 ( （ 2 ）按边分： )1.三角形的分类 ( 底和腰不等的等腰三角形 三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 )（1）按角分： ( 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ) 三角形 2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边. 3.三角形的三条主要线段 （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心. （2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心. （3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心. 4.三角形的角 （1）三角形的内角和为180°. (2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角. （3）直角三角形的两个锐角互余； （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和； （5）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角. 知识点02 多边形的内角和与外角和 1)多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 2) 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°. 知识点03 图形的平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离． 2.平移的性质： (1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置． （2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等． (3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等． 题型一 图形的平移 1．如图，沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ． 3．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 题型二 三角形的相关概念 1．对于三角形，下列说法正确的是（   ） A．三点可以确定一个三角形 B．三角形的三条高都在三角形的内部 C．三角形至少有一个锐角 D．三角形中最大的内角不能小于 2．如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 3．如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 题型三 三角形三边关系 1．若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，则对角线的长度可能是 ．（写出一个即可） 3．已知，，是三边的长． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)化简． 题型四 与三角形的高有关的计算 1．如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在中，，，，，则点到边距离为 ． 3．如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数． 题型五 根据三角形中线求解 1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则四边形的面积为 ． 3．如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 题型六 三角形内角和定理 1．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 2．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则 ． 3．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； (3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 题型七 三角形折叠中的角度问题 1．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处折痕为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D在B边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则度数为 ． 3．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 题型八 多边形内角和问题 1．在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点，，则 ° 3．已知：如图，四边形中，，平分，交于点E，，交于点F． (1)求的度数； (2)写出图中与相等的角并说明理由． 题型九 正多边形的内角问题 1．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（    ） A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 2．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数 ． 3．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 题型十 正多边形的外角问题 1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ． 3．（1）已知一个正n边形的一个内角是135°，求n的值． （2）如图，在中，为边上的高，为的角平分线，点D为边上的一点，连接．若，求的度数．    题型十一 多边形内角和与外角和综合 1．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（　　） ①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．如图，在四边形ABCD中，，，是四边形ABCD的一个外角，则的度数是 ． 3．如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 2．如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 4．已知的面积等于18，，则与的面积和等于（  ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 5．如图所示，的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ． 7．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 8．如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则 ．      9．将一副三角板中直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，点D在直线的上方．若三角板中有一条边与斜边平行，则 °． 10．如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝ 度． 11．画图并填空： 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的三角形； (2)线段与线段的关系是______； (3)四边形的面积是______． 12．已知一个正n边形的内角和是它的外角和的2倍． (1)求n； (2)求正n边形每个内角的度数； (3)用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为：__________． 13．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 14．【探究】 （1）如图1，，，和的平分线交于点，则______°； （2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则______；（用、表示） （3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 15．已知在四边形中，，，． (1) （用含x、y的代数式直接填空）； (2)如图1，若平分，平分，请写出与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，为四边形的、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①若，，试求x、y． ②小明在作图时，发现不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，不存在． 1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 3．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 4．（2022·江苏南通·中考真题）如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏宿迁·中考真题）一个七边形的内角和度数为 度． 6．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 ． 7．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 ． 8．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    9．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 10．（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，，，，则 ． ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02 认识三角形、多边形的内角和与外角和 知识点01 认识三角形 ( （ 2 ）按边分： )1.三角形的分类 ( 底和腰不等的等腰三角形 三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 )（1）按角分： ( 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ) 三角形 2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边. 3.三角形的三条主要线段 （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心. （2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心. （3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心. 4.三角形的角 （1）三角形的内角和为180°. (2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角. （3）直角三角形的两个锐角互余； （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和； （5）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角. 知识点02 多边形的内角和与外角和 1)多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 2) 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°. 知识点03 图形的平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离． 2.平移的性质： (1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置． （2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等． (3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等． 题型一 图形的平移 1．如图，沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移性质、梯形的面积公式，根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积是解答的关键．根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，求得，根据梯形面积求解即可． 【详解】解：由平移性质得，， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 2．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ． 【答案】22 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果． 【详解】解：向右平移得到， ，， 四边形的周长， 即四边形的周长的周长， 故答案为：22． 3．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，解题关键是掌握平移的性质及平行线的性质． （1）由平移的性质可知，，再根据即可得出答案； （2）由平移的性质得，，，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角”，即可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ． （2）解：沿射线方向平移，得到， ，， ，， ， ． 题型二 三角形的相关概念 1．对于三角形，下列说法正确的是（   ） A．三点可以确定一个三角形 B．三角形的三条高都在三角形的内部 C．三角形至少有一个锐角 D．三角形中最大的内角不能小于 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线定义、三角形的内角和定理、三角形的外角定义等知识点，据此逐项分析作答即可．能熟记三角形的高、角平分线定义、三角形的内角和定理、三角形的外角定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：A、三点不共线时，才可以确定一个三角形，故该选项是错误的； B、只有锐角三角形的高都在三角形的内部，直角三角形的两条高在三角形的边上，一条高在三角形的内部，钝角三角形的两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，故本选项不符合题意； C、三角形至少有两个锐角，故本选项不符合题意； D、三角形的最大的内角不能小于，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 【答案】 CE AC ，， 3．如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 【答案】(1)图中有7个三角形，即 (2)的三个内角是 (3)含边的三角形有 【分析】本题考查了三角形的定义，角的写法，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【详解】（1）解：图中有7个三角形， 分别为：； （2）解：在中， 它的三个内角是； （3）解：由（1）知图中有7个三角形，即， 含边的三角形有． 题型三 三角形三边关系 1．若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴， 解得：， ∴选项中符合题意， 故选：． 2．如图，在四边形中，，，，，则对角线的长度可能是 ．（写出一个即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形一边的长大于另两边的差，且小于另两边的和是解题的关键． 在中，根据三角形三边的关系，得，在中，根据三角形三边的关系，得，从而得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：在中，根据三角形三边的关系，得， ∴，即， 在中，根据三角形三边的关系，得， ∴，即， ∴ ∴（答案不唯一）． 故答案为：9（答案不唯一）． 3．已知，，是三边的长． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)化简． 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类； （1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）， 且， ， 为等边三角形； （2），，是的三边长， ，，， ，，， ． 题型四 与三角形的高有关的计算 1．如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，求三角形的高，先由线段中点的定义得到，再根据垂线段最短可得当时有最小值，据此利用面积法求解即可． 【详解】解：∵点D是中点， ∴， ∵点P是线段上一个动点， ∴当时有最小值， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，，，则点到边距离为 ． 【答案】// 【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得是直角三角形，设点到边距离为h，由三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：在中，， 是直角三角形， 设点到边距离为h， ，即， ， 故答案为：． 3．如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义．由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数． 【详解】解：平分， ． 在中，，， ． 是的高， ， ， ． 题型五 根据三角形中线求解 1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据三角形的中线的定义即可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，连接，根据题意得出进而根据是的中点，得出，，设，则，根据列出方程，解方程得，进而根据即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 的面积为， ， 是的中点， ∴，， 设， 则， ， 解得， 四边形的面积为， 故答案为：． 3．如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 题型六 三角形内角和定理 1．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形内角和． 根据邻补角的定义求出即可判断①； 根据平行线的性质及等量代换即可判断②； 根据平行线的性质和邻补角的定义即可判断③； 根据三角形内角和求出，再根据平行线的性质及等量代换即可判断④． 【详解】解： ， ，故①成立； ，故②不一定成立； ，故③成立； 由①知， ，故④成立； 故选D． 2．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则 ． 【答案】110°/110度 【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵AC⊥AB， ∴∠A=90°， ∵∠1=20°， ∴∠ADC=180°-90°-20°=70°， ∵， ∴∠3=∠ADC=70°， ∴∠2=180°-70°=110°， 故答案为：110°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角定理，垂直的定义，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 3．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； (3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明； （1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． （2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可求得证； （3）作的延长线，过点作射线 ．根据平行线的性质得出＝，＝，进而根据平角的定义，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点A作，    则，．(两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， （3）证明：作的延长线，过点作射线 ． ＝，＝ ＋＋＝ ＋＋＝ 题型七 三角形折叠中的角度问题 1．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处折痕为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，折叠的性质．熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．设，交于点，由折叠可知，根据三角形外角性质得：，，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点， 由折叠可知， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，，点D在B边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则度数为 ． 【答案】/67度 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可．本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角． 【详解】解：将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，， ，， ∵， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 题型八 多边形内角和问题 1．在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和为即可解题． 【详解】解∶∵六边形的内角和为， ∴． 故选：A． 2．如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点，，则 ° 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义；根据角平分线的定义及三角形内角和可求得的度数，再由四边形内角和即可求得结果． 【详解】解：∵分别是、的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 3．已知：如图，四边形中，，平分，交于点E，，交于点F． (1)求的度数； (2)写出图中与相等的角并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要查了四边形内角和定理，三角形内角和定理： （1）根据四边形内角和定理可得，再由角平分线的定义，即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：．理由如下： 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 正多边形的内角问题 1．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（    ） A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形内角和定理等知识，先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵多边形是正五边形， ∴内角是， ， ，即10个正五边形能围城这一个圆环， 所以要完成这一圆环还需7个正五边形 故选：C 2．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数 ． 【答案】/72度 【分析】此题考查的是多边形的内角和及平行线的性质，利用多边形的内角和定理和平行线的性质即可解决问题，掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正多边形的内角． （1）根据正五边形的内角和公式即可求解； （2）由（1）知正五边形内角为，利用周角为即可求解； （3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为，根据内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内角和为， 故； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意得：， 解得：． 题型十 正多边形的外角问题 1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形是解决问题的关键． 根据正六边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出． 【详解】如图，延长交于点H， ∵六边形是正六边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故选：D． 2．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，由正五边形的外角和为，结合正五边形的每一个外角都相等，再列式计算即可，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角和为． 【详解】∵正五边形的外角和为，正五边形的每一个外角都相等， ∴它的一个外角的度数为， 故答案为：． 3．（1）已知一个正n边形的一个内角是135°，求n的值． （2）如图，在中，为边上的高，为的角平分线，点D为边上的一点，连接．若，求的度数．    【答案】（1）（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角，正多边形，关键是掌握正多边形的每个内角和外角相等，由三角形外角的性质求出的度数． （1）求出正n边形的一个外角是45°，由多边形的外角和是360°，即可求出； （2）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：（1）∵正n边形的一个内角是， ∴正n边形的一个外角是， ∵多边形的外角和是， ∴ （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十一 多边形内角和与外角和综合 1．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（　　） ①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】题目主要考查多边形的性质及内角和与外角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知内角和增加了， ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 2．如图，在四边形ABCD中，，，是四边形ABCD的一个外角，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，补角的性质，比较简单． 先根据四边形内角和为得出，再由邻补角定义得出，然后根据同角的补角相等即可得出结论． 【详解】解：， ， 又， ． 故答案为：． 3．如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移，根据平移前后的图形大小、形状、方向相同即可判断求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意； 、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意； 、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意； 、能用其中一部分平移得到，符合题意； 故选：． 2．如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴三角形三边关系可得：， 解得：， ∴选项符合题意， 故选：． 3．如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键． 过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点B作交于点F，    又 ， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ， 故选：C 4．已知的面积等于18，，则与的面积和等于（  ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，连接，设，根据三角形中线的性质得出，，根据得出，最后根据的面积等于18即可求出的值，于是问题得解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于18， ∴， ∴， 即与的面积和等于8， 故选：C． 5．如图所示，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，根据三角形内和定理得是解题的关键． 【详解】解：由三角形内角和可知， ∵， ∴， 则 ， 故选：B． 6．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果． 【详解】解：向右平移得到， ，， 四边形的周长， 即四边形的周长的周长， 故答案为：20． 7．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 8．如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则 ．      【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的翻折变换，熟练掌握三角形的内角和定理和四边形的内角和定理是解题的关键．利用三角形的内角和定理和四边形的内角和解答即可． 【详解】解：如图，   ，， ． ，， ． 四边形的内角和为， ， ． ， ． 故答案为：． 9．将一副三角板中直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，点D在直线的上方．若三角板中有一条边与斜边平行，则 °． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，关键是根据旋转角的逐渐增大分别作出图形．分、、与平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图1，，， ； 如图2，时，延长交于， 则， 在中，， ， 则． ； 如图3， 时，， 故答案为：或或． 10．如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝ 度． 【答案】63 【分析】连接BG，CG，由折叠性质可得，则，，在根据折叠的性质可得，，得出，，由三角形的外角性质得出，得出，即可得解； 【详解】连接BG，CG，如图所示， 由折叠的性质可知：， ∴，， 又由折叠的性质得：，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案是63． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 11．画图并填空： 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的三角形； (2)线段与线段的关系是______； (3)四边形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】此题考查了平移的性质和作图、网格中求面积，准确作图是解题的关键． （1）根据点B的平移规律得到点A、点C的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）用正方形的性质减去三个直角三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，三角形即为所求， （2）连接、，则线段与线段的关系是平行且相等； 故答案为：平行且相等 （3）连接， 则四边形的面积， 故答案为： 12．已知一个正n边形的内角和是它的外角和的2倍． (1)求n； (2)求正n边形每个内角的度数； (3)用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为：__________． 【答案】(1)6 (2) (3)2个，2个或1个，4个 【分析】（1）根据多边形内角和公式、外角和是以及题意列关于n的方程解答即可； （2）直接用内角和除以边数即可解答； （3）设围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得:，x、y为正整数，进而判断即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得． 答：n的值为6． （2）解：． 答：正n边形每个内角的度数为． （3）解：设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角， 根据题意可得：，即：， ∴或 ∴一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块数分别为：2个，2个或1个，4个． 故答案为: 2个，2个或1个，4个． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和、平面镶嵌等知识点，掌握平面镶嵌的要求拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于是解题关键． 13．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点在上， 中，，，，点是的中点， ，． 的面积等于10， ， ， 即， ． 如图2，当点在上， 是的中点， ． ， ， 当点Ｐ在点Ｅ的左边时，， 当点Ｐ在点Ｅ的右边时，． 综上所述，当或或时，的面积会等于10， 故答案为或或． 14．【探究】 （1）如图1，，，和的平分线交于点，则______°； （2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则______；（用、表示） （3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析；[挑战]，证明见解析 【分析】（1）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质进行计算求出的度数； （2）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有α与β的关系式，进而求出； （3）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及平行线的性质，得出α与β的关系式； [挑战]画出图形，利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有α与β的关系式，进而求出． 【详解】解：（1）平分，平分， ，． ， ． 又， ． （2）由（1）得：，． ． （3）若，则． 证明：若，则． 平分，平分， ，． ． ． ． [挑战]如图4，平分，平分， ，． ， ． ． ． 与是对顶角， ． 又， ． ， 即． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题． 15．已知在四边形中，，，． (1) （用含x、y的代数式直接填空）； (2)如图1，若平分，平分，请写出与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，为四边形的、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①若，，试求x、y． ②小明在作图时，发现不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，不存在． 【答案】(1) (2)垂直，见解析 (3)①；② 【分析】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题时注意：四边形内角和为，正确利用角平分线的定义是解题关键． （1）利用四边形内角和定理进行计算，得出答案即可； （2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出与的位置关系即可； （3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出，解方程组即可得出x，y的值；②当时，可得、相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时不存在． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 故答案为：． （2）解：． 理由：如图1，∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①由（1）得：， ∵、分别平分、， ∴， 如图2，连接，则， ∴， ∴， 解方程组：， 可得：； ②当时，， ∴、相邻的外角平分线所在直线互相平行， 此时，不存在． 1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 3．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵直尺的两边平行， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 4．（2022·江苏南通·中考真题）如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质可得∠1＋∠2＝80°，结合，两式相加即可求出． 【详解】解：如图，∵， ∴∠4＝∠1， ∴∠3＝∠4＋∠2＝∠1＋∠2＝80°， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，求出∠1＋∠2＝80°是解题的关键． 5．（2023·江苏宿迁·中考真题）一个七边形的内角和度数为 度． 【答案】900 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（且n为整数），应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 6．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 ． 【答案】120° 【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解． 【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x， 则6x＝(6﹣2)•180°， 解得x＝120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 7．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 ． 【答案】48 【分析】已知正六边形内部有一个正五形，可得出正多边形的内角度数，根据和四边形内角和定理即可得出的度数． 【详解】∵多边形是正六边形，多边形是正五边形 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：48 【点睛】本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为，四边形的内角和为360°，以及平行线的性质定理，两直线平行同位角相等． 8．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    【答案】/55度 【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 10．（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，，，，则 ． 【答案】105 【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． ( 41 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$