期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程【三大篇目】-2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 20 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2 / 20 2023-2024 学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程 【三大篇目】 本专题是期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程。本部分内 容主要以数与代数为主，其中包括小数加减法、小数乘法以及解方程等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 4 .......................................................................................... 4 ...................................................................................... 5 ...................................................................... 6 ...................................................................................................... 7 .................................................................................................................................... 9 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............................................................................................ 18 ............................................................................................ 19 4 / 20 一、小数的加减法。 1. 笔算数位相同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，再 按整数加减法的计算法则计算，得数的小数点与竖式中横线上面的小数点对齐。 2. 笔算数位不同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，哪 一位上没有数，可以看作 0来算，再按数位相同的小数加减法的笔算方法进行计 算。 二、小数加减混合运算。 1. 小数连加运算，可以用竖式计算，也可以用脱式计算。 2. 小数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。算式中 有小括号时，要先算小括号里面的，再算小括号外面的；没有小括号时，要按照 从左往右的顺序计算。 3. 整数减法的性质同样适用于小数减法。 三、整数加法运算定律推广到小数。 1. 整数加法的交换律、结合律对小数加法同样适用。 2. 在小数加减混合运算中要仔细观察每个数的特征，注意数与数之间的关系及 每个数前 面的运算符号，恰当地运用加法交换律、结合律可以进行简便计算。 【典型例题】 直接写出得数。 0.27＋0.3＝ 1－0.07＝ 5－0.37＝ 0.9＋9.1＝ 0.85＋0.15＝ 10－2.58＝ 0.7＋0.19＝ 60.51－6.51＝ 【对应练习】 直接写出得数。 0.8＋0.02＝ 1－0.28＝ 0.56＋0.4＝ 9.3＋17＝ 0.46＋3.54＝ 1.6＋0.16＝ 0.8＋3.2＝ 7.3－0.6＝ 5 / 20 【典型例题】 列竖式计算。 30－2.26＝ 104.97＋48.03＝ 【对应练习】 1．列竖式计算并验算。 5.84＋26.76＝ 15.8＋16.28＝ 10.25－9.68＝ 20－12.39＝ 2．列竖式计算，带△的要验算。 △12.6－1.08＝ △12.15＋45.65＝ 7.4＋9.5－4.3＝ 8.7－5.59＋1.02＝ 6 / 20 【典型例题】 脱式计算。 26.41－（8.78＋6.017） 20.7＋4.56－3.98 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 8.68＋5.76＋1.32 4.78－0.96－0.04 17.83－（5.83＋4.38） 19－9.09－1.91 2.86＋5.78－0.86 0.72＋0.18＋0.49＋0.21 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 20.7＋4.56－3.98 15.2＋0.9＋0.1 8.15－2.85－1.15 19.92＋4.8－9.92 48.67－（5.67＋0.9） 7.5＋2.5－7.5＋2.5 7 / 20 【典型例题 1】问题一。 小红在做一道加法题时，把加数 7.6十分位上的 6看成是 3，个位上的 7看成是 2，得到的和是 10.5，正确的结果是( )。 【对应练习】 小马虎在计算一道减法算式时，粗心地把减数十位上的 8写成了 3，百分位上的 3写成了 8，这样算得的差是 67.16，那么正确的差是( )。 A．19.71 B．18.17 C．17.21 D．16.41 【典型例题 2】问题二。 小明在做一道加法算式时，把其中一个加数 0.75看成了 7.5，结果是 9.2，正确 的结果是( )。 【对应练习 1】 乐乐在做小数加法时，把一个加数 6.9看成了 9.6，结果是 17.1，正确结果应该 是( )。 【典型例题 3】问题三。 小糊涂在计算 3.68加一个一位小数时，误把两个加数的末位对齐了，结果得 4.83， 正确的和应该是( )。 【对应练习】 小明在计算 7.68 加上一个整数时，错误地把加数的末尾对齐了，得到的结果是 8.64，正确的结果应该是( )。 【典型例题 4】问题四。 奇思在计算 13.5＋A时，把 A的小数点向右移动了一位，得出的结果是 19.3， 正确的结果是( )。 【对应练习】 小舟在计算 12.6加一个两位小数时，把小数点看错了，得出的结果是 28.4，正 确的结果是( )。 【典型例题 5】问题五。 小强在计算 8.5减去一个两位小数时，把减号当成了加号，算的结果是 13.09， 这道减法算式的正确得数是( )。 8 / 20 【对应练习】 芳芳在计算 7.3加上一个两位小数时，错把加号看成了减号，结果得到 5.84，正 确的得数应是( )。 9 / 20 一、小数乘法。 1.小数乘整数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数部分末尾的 0要去掉。 2.小数乘小数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数位数不够，要先在前面补 0，再点小数点； ④积的小数部分末尾的 0要去掉。 3.小数乘法验算。 ①一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同； ②用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 4.积的近似数。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结 果。 5.积的大小与因数关系。 一个数（0除外）乘大于 1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于 1的数，积比原来的数小。 二、小数乘除法四则混合运算。 1.整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四 则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2.一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运 算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的，最后算括号外面的。 三、小数乘法简便计算。 1.乘法交换律： 10 / 20 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2.乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 3.乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4.乘法分配律逆运算： a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5.添加因数 1： 形如 A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【典型例题 1】小数乘法口算综合。 直接写得数。 0.8×4＝ 2.5×100＝ 0.06×7＝ 1.5×3＝ 0.5×100＝ 1.3×5＝ 4.2×3＝ 0.7×0.8＝ 【对应练习】 1．直接写得数。 3×0.5＝ 4×1.4＝ 3.2×8＝ 5×1.6＝ 1.1×8＝ 5×0.05＝ 0.8×0.4＝ 0.3×0.01＝ 2．直接写得数。 0.22×0.5＝ 7.5×0.2＝ 7.2×3＝ 0.25×0.8＝ 1.3×0.1＝ 5.8×3＝ 1.25×0.4＝ 0.7×10＝ 【典型例题 2】小数乘法竖式计算综合。 列竖式计算。 1.45×0.12＝ 3.08×0.28＝ 11 / 20 13.5×26.7＝ 3.15×0.35＝ 【对应练习】 1．列竖式计算。（带※的得数保留一位小数） 9.6×9＝ 2.5×12.44＝ 8.5×1.6＝ ※4.51×2.9≈ 2．列竖式计算。 3.7×5.8＝ 0.25×104＝ 8.45×9.2＝ 1.9×5.74＝ 【典型例题】 1．根据算式 2.59×3.4＝8.806，在括号里直接填数。 259×3.4＝( ) 2.59×( )＝880.6 88.06÷2.59＝( ) 8.806÷34＝( ) 2．两个数分别扩大到原来的 10倍后，得到的积是 260.5，原来这两个数的积是 ( )。 3．两个因数的积是 5.63，如果一个因数缩小到原来的 1 10，另一个因数扩大到原 来的 100倍，那么积是( )。 【对应练习】 1．根据36 23 828  ，直接写出下面各题的结果。 3.6 2.3  ( ) 82.8 0.36  ( ) 0.828 3.6  ( ) 2．根据 13×28＝364，写出下面各式的积。 1.3×2.8＝( ) 0.13×0.28＝( ) 12 / 20 0.13×2.8＝( ) 1.3×0.028＝( ) 3．两个因数的积是 1.75，如果一个因数扩大到原来的 100倍，另一个因数缩小 到原来的 1 10，则所得的新积是( )。 【典型例题】 在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7.2×1.1( )7.2 3.2×0.99( )3.2 1.5×3.65( )36.5×0.15 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.75×1.5( )3.75 5.16×0.5( )5.16 【典型例题】 1．单位换算。 6吨 50千克＝( )吨 3.6时＝( )时( )分 2．单位换算。 24千克＝( )吨 3小时 45分＝( )时 0.2小时＝( )分钟 5公顷 3平方米＝( )公顷 【对应练习】 1．单位换算。 4.25千米＝( )米 2.15时＝( )时( )分 2．单位换算。 10230平方米＝( )公顷 510千克＝( )吨 108分＝( )小时 7元 3角 5分＝( )元 1.简便计算。 0.25×3.7×0.4 13 / 20 2.简便计算。 7.92.50.4 3.简便计算。 2.4×1.25 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.02×8.5 1.25＋4.6＋0.75 1.6×7.5×1.25 56×1.25 3.4×7×1.5 0.8×0.25×0.4×12.5 2．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 4.8×0.25 0.78×98 0.5×2.33×8 1.5×105 0.3×2.5×0.4 1.2×2.5＋0.8×2.5 14 / 20 【典型例题】 1.简便计算。 0.4×（2.5＋25） 2.简便计算。 7.8×0.36＋0.64×7.8 3.简便计算。 0.89×101－0.89 4.简便计算。 14.5×102 5.简便计算。 99 1.2 6.简便计算。 7.15 99 0.715 10   15 / 20 【对应练习】 1．简便计算。 19.5×1.3－0.95×13 2．简便计算。 101×0.75 3．简便计算。 8.4×1.8＋8.4×8.1＋0.84 3.56×38.5＋0.7×356＋9.15×35.6 16 / 20 一、方程的相关概念与基本认识。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质 1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然 相等。 3.方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如 x±a=b、ax=b、ax±b=c和 a(x±b)=c的方程，利用等式的性质来解此类方 程。 5.方程的检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果 相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 二、利用等式的基本性质解方程。 1.等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 2.等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 三、利用四则运算的关系解方程。 1.加法： 加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 2.乘法： 因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 3.减法： 被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 4.除法： 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 17 / 20 四、移项法解方程。＊ 等式左边的数移至等式右边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。同 样的，等式右边的数移至等式左边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符 号。 【典型例题】 下面哪些是等式？哪些是方程？ ① 12 6x   ② 40 2 80  ③8 y ④5 2.5b＜ ⑤30 600x  ⑥ 0.6 1.8x   等式有( )方程有( )。 【对应练习】 1．在 8a＋2＝20，3a－4b，7m＋3m＝100，3.4＋5.6＝9，6a＜12这些式子中等 式有( )个，方程有( )个。 2．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( ) 个，方程有( )。 【典型例题】 1．已知 a＋b＝60，a＝b＋b＋b，根据等量代换，可推理得出 a＝( )。 2．根据等式的基本性质得出，如果 x＋5.2＝10，那么 x＋5.2－5.2＝10－ ( )。 【对应练习】 1．要保持天平平衡，下面右边的托盘应放置( )个灰色球。 2．根据等式的性质填空。 (1)如果 x－8＝11，那么 x－8＋8＝( )＋( )。 (2)如果 x÷8＝11，那么 x÷8×8＝( )×( )。 18 / 20 【典型例题】 定义新运算“©”，A©B＝（A－2）×B，如果 A©5＝30，那么 A＝( )。 【对应练习】 1．对于 a、b定义新运算：a★b＝a（a－b）＋1，比如 5★2＝5×（5－2）＋1＝ 5×3＋1＝16，如果 4★x＝13，那么 x＝( )。 2．定义 2a b a b ※ ，则  2 34※ ※  ( )。 【典型例题】 解方程。 2 8 2.5x  456 15 6x  6.9 11y  【对应练习】 1．解方程。 48 120x  3 36 789x  0.8 4.6x   2．解方程。 ①1.56＋x＝6.24 ②x－7.6×5＝18 19 / 20 【典型例题】 解方程。 15＋5x＝70 4x－6＝30 14x－9＝145 1.6×25－5x＝5 x÷15＝26 16x＋3.6＝67.6 【对应练习】 1．解方程。 4y－24＝16 54x＝108 5x÷6＝2.5 12x＝72 x÷6.8＝4.5 5x－1.5＝18.5 2．解方程。 0.9 24.7x   4 60x  7.5 4.6x   20 / 20 2 5.2 34.8y   2 5.67 13.67x   1.6 25 6 4x   1 / 39 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2 / 39 2023-2024 学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程 【三大篇目】 本专题是期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程。本部分内 容主要以数与代数为主，其中包括小数加减法、小数乘法以及解方程等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 4 .......................................................................................... 4 ...................................................................................... 5 ...................................................................... 7 ...................................................................................................... 9 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................................................................................................ 30 ........................................................................................................ 32 ............................................................................................ 34 ............................................................................................ 36 4 / 39 一、小数的加减法。 1. 笔算数位相同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，再 按整数加减法的计算法则计算，得数的小数点与竖式中横线上面的小数点对齐。 2. 笔算数位不同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，哪 一位上没有数，可以看作 0来算，再按数位相同的小数加减法的笔算方法进行计 算。 二、小数加减混合运算。 1. 小数连加运算，可以用竖式计算，也可以用脱式计算。 2. 小数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。算式中 有小括号时，要先算小括号里面的，再算小括号外面的；没有小括号时，要按照 从左往右的顺序计算。 3. 整数减法的性质同样适用于小数减法。 三、整数加法运算定律推广到小数。 1. 整数加法的交换律、结合律对小数加法同样适用。 2. 在小数加减混合运算中要仔细观察每个数的特征，注意数与数之间的关系及 每个数前 面的运算符号，恰当地运用加法交换律、结合律可以进行简便计算。 【典型例题】 直接写出得数。 0.27＋0.3＝ 1－0.07＝ 5－0.37＝ 0.9＋9.1＝ 0.85＋0.15＝ 10－2.58＝ 0.7＋0.19＝ 60.51－6.51＝ 【答案】0.57；0.93；4.63；10 1；7.42；0.89；54 【详解】略 【对应练习】 直接写出得数。 5 / 39 0.8＋0.02＝ 1－0.28＝ 0.56＋0.4＝ 9.3＋17＝ 0.46＋3.54＝ 1.6＋0.16＝ 0.8＋3.2＝ 7.3－0.6＝ 【答案】0.82；0.72；0.96；26.3 4；1.76；4；6.7 【详解】略 【典型例题】 列竖式计算。 30－2.26＝ 104.97＋48.03＝ 【答案】27.74；153 【分析】小数加减竖式的计算方法：把小数点对齐，相同的数位也就对齐了，然 后按照整数加减法计算方法计算；据此列竖式计算。 【详解】30－2.26＝27.74 104.97＋48.03＝153 . . 3 0 2 2 6 2 7 7 4  . . . 1 0 4 9 7 4 8 0 3 1 5 3 0 0  【对应练习】 1．列竖式计算并验算。 5.84＋26.76＝ 15.8＋16.28＝ 10.25－9.68＝ 20－12.39＝ 【答案】32.60；32.08； 0.57；7.61 【分析】（1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位 上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上 的小数点点上小数点。 （2）加法的验算方法：一种是交换加数的位置，再计算一次；一种是和减一个 加数等于另一个加数。 （3）减法的验算方法：一种是差加减数等于被减数；一种是被减数减差等于减 数。 6 / 39 【详解】5.84＋26.76＝32.60 15.8＋16.28＝32.08 验算： 验算： 10.25－9.68＝0.57 20－12.39＝7.61 验算： 验算： 2．列竖式计算，带△的要验算。 △12.6－1.08＝ △12.15＋45.65＝ 7.4＋9.5－4.3＝ 8.7－5.59＋1.02＝ 【答案】11.52；57.8； 12.6；4.13 【分析】小数加减法计算时，要先对齐小数点，也就是把相同数位对齐，再按照 整数加减法的计算方法解答。减法验算时，用差加上减数，看是不是等于被减数。 加法验算时，用和减去一个加数，看是不是等于另一个加数。 【详解】△12.6－1.08＝11.52 1 2. 6 1. 0 8 1 1. 5 2  验算： 1 1. 5 2 1. 0 8 1 2. 6 0  △12.15＋45.65＝57.8 1 2. 1 5 4 5. 6 5 5 7. 8 0  验算： 5 7. 8 0 1 2. 1 5 4 5. 6 5  7.4＋9.5－4.3＝12.6 8.7－5.59＋1.02＝4.13 7. 4 9. 5 1 6. 9 4. 3 1 2. 6   8. 7 5. 5 9 3. 1 1 1. 0 2 4. 1 3   7 / 39 【典型例题】 脱式计算。 26.41－（8.78＋6.017） 20.7＋4.56－3.98 【答案】11.613；21.28 【分析】（1）先算小括号里面加法，再算小括号外面的减法； （2）先算加法，再算减法。 【详解】26.41－（8.78＋6.017） ＝26.41－14.797 ＝11.613 20.7＋4.56－3.98 ＝25.26－3.98 ＝21.28 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 8.68＋5.76＋1.32 4.78－0.96－0.04 17.83－（5.83＋4.38） 19－9.09－1.91 2.86＋5.78－0.86 0.72＋0.18＋0.49＋0.21 【答案】15.76；3.78；7.62； 8；7.78；1.6 【分析】根据加法交换律：两个加数交换位置，和不变； 加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变； 减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和，据此解题即 可。 【详解】8.68＋5.76＋1.32 ＝（8.68＋1.32）＋5.76 ＝10＋5.76 ＝15.76 4.78－0.96－0.04 ＝4.78－（0.96＋0.04） 8 / 39 ＝4.78－1 ＝3.78 17.83－（5.83＋4.38） ＝17.83－5.83－4.38 ＝12－4.38 ＝7.62 19－9.09－1.91 ＝19－（9.09＋1.91） ＝19－11 ＝8 2.86＋5.78－0.86 ＝2.86－0.86＋5.78 ＝2＋5.78 ＝7.78 0.72＋0.18＋0.49＋0.21 ＝（0.72＋0.18）＋（0.49＋0.21） ＝0.9＋0.7 ＝1.6 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 20.7＋4.56－3.98 15.2＋0.9＋0.1 8.15－2.85－1.15 19.92＋4.8－9.92 48.67－（5.67＋0.9） 7.5＋2.5－7.5＋2.5 【答案】21.28；16.2；4.15 14.8；42.1；5 【分析】（1）按照从左到右的顺序计算。 （2）根据加法结合律简算。 （3）（5）根据减法的性质简算。 （4）根据加法交换律进行简算。 （6）根据加法交换律和结合律进行简算。 【详解】20.7＋4.56－3.98 9 / 39 ＝25.26－3.98 ＝21.28 15.2＋0.9＋0.1 ＝15.2＋（0.9＋0.1） ＝15.2＋1 ＝16.2 8.15－2.85－1.15 ＝8.15－（2.85＋1.15） ＝8.15－4 ＝4.15 19.92＋4.8－9.92 ＝19.92－9.92＋4.8 ＝10＋4.8 ＝14.8 48.67－（5.67＋0.9） ＝48.67－5.67－0.9 ＝43－0.9 ＝42.1 7.5＋2.5－7.5＋2.5 ＝（7.5－7.5）＋（2.5＋2.5） ＝0＋5 ＝5 【典型例题 1】问题一。 小红在做一道加法题时，把加数 7.6十分位上的 6看成是 3，个位上的 7看成是 2，得到的和是 10.5，正确的结果是( )。 解析： 10.5－2.3＝8.2 8.2＋7.6＝15.8 10 / 39 【对应练习】 小马虎在计算一道减法算式时，粗心地把减数十位上的 8写成了 3，百分位上的 3写成了 8，这样算得的差是 67.16，那么正确的差是( )。 A．19.71 B．18.17 C．17.21 D．16.41 解析： 因为被减数不变，所以减数十位上的 8写成 3，减数少了 50，接着又把十分位上 的 3写成 8，这样减数又比原来多了 0.05，那么最终错误的减数比正确的减数少 了 50－0.05＝49.95，错误的差就比正确的差多了 49.95，故正确的差为：67.16 －49.95＝17.21。 【典型例题 2】问题二。 小明在做一道加法算式时，把其中一个加数 0.75看成了 7.5，结果是 9.2，正确 的结果是( )。 解析： 9.2 7.5 1.7  0.75 1.7 2.45  【对应练习 1】 乐乐在做小数加法时，把一个加数 6.9看成了 9.6，结果是 17.1，正确结果应该 是( )。 解析：14.4 【典型例题 3】问题三。 小糊涂在计算 3.68加一个一位小数时，误把两个加数的末位对齐了，结果得 4.83， 正确的和应该是( )。 解析： 4.83－3.68＝1.15，所以一位小数是 11.5。 3.68＋11.5＝15.18 【对应练习】 小明在计算 7.68 加上一个整数时，错误地把加数的末尾对齐了，得到的结果是 8.64，正确的结果应该是( )。 解析： （8.64－7.68）×100＋7.68 11 / 39 ＝0.96×100＋7.68 ＝96＋7.68 ＝103.68 所以，正确的结果是 103.68。 【典型例题 4】问题四。 奇思在计算 13.5＋A时，把 A的小数点向右移动了一位，得出的结果是 19.3， 正确的结果是( )。 解析： 19.3﹣13.5＝5.8 5.8向左移动一位是 0.58； 13.5＋0.58＝14.08 所以正确的结果是 14.08。 【对应练习】 小舟在计算 12.6加一个两位小数时，把小数点看错了，得出的结果是 28.4，正 确的结果是( )。 解析： 28.4－12.6＝15.8 因为是两位小数，所以这个两位小数是 1.58 12.6＋1.58＝14.18 【典型例题 5】问题五。 小强在计算 8.5减去一个两位小数时，把减号当成了加号，算的结果是 13.09， 这道减法算式的正确得数是( )。 解析： 13.09－8.5＝4.59 8.5－4.59＝3.91 【对应练习】 芳芳在计算 7.3加上一个两位小数时，错把加号看成了减号，结果得到 5.84，正 确的得数应是( )。 解析： 12 / 39 7.3－5.84＝1.46 7.3＋1.46＝8.76 则正确的得数是 8.76。 13 / 39 一、小数乘法。 1.小数乘整数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数部分末尾的 0要去掉。 2.小数乘小数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数位数不够，要先在前面补 0，再点小数点； ④积的小数部分末尾的 0要去掉。 3.小数乘法验算。 ①一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同； ②用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 4.积的近似数。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结 果。 5.积的大小与因数关系。 一个数（0除外）乘大于 1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于 1的数，积比原来的数小。 二、小数乘除法四则混合运算。 1.整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四 则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2.一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运 算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的，最后算括号外面的。 三、小数乘法简便计算。 1.乘法交换律： 14 / 39 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2.乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 3.乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4.乘法分配律逆运算： a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5.添加因数 1： 形如 A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【典型例题 1】小数乘法口算综合。 直接写得数。 0.8×4＝ 2.5×100＝ 0.06×7＝ 1.5×3＝ 0.5×100＝ 1.3×5＝ 4.2×3＝ 0.7×0.8＝ 【答案】3.2；250；0.42；4.5； 50；6.5；12.6；0.56 【详解】略 【对应练习】 1．直接写得数。 3×0.5＝ 4×1.4＝ 3.2×8＝ 5×1.6＝ 1.1×8＝ 5×0.05＝ 0.8×0.4＝ 0.3×0.01＝ 【答案】1.5；5.6；25.6；8 8.8；0.25；0.32；0.003 【详解】略。 2．直接写得数。 15 / 39 0.22×0.5＝ 7.5×0.2＝ 7.2×3＝ 0.25×0.8＝ 1.3×0.1＝ 5.8×3＝ 1.25×0.4＝ 0.7×10＝ 【答案】0.11；1.5；21.6；0.2 0.13；17.4；0.5；7 【解析】略 【典型例题 2】小数乘法竖式计算综合。 列竖式计算。 1.45×0.12＝ 3.08×0.28＝ 13.5×26.7＝ 3.15×0.35＝ 【答案】0.174；0.8624； 360.45；1.1025 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的 位数不够，需要在前面补 0占位。 【详解】1.45×0.12＝0.174 3.08×0.28＝0.8624 13.5×26.7＝360.45 3.15×0.35＝1.1025 【对应练习】 1．列竖式计算。（带※的得数保留一位小数） 9.6×9＝ 2.5×12.44＝ 8.5×1.6＝ ※4.51×2.9≈ 【答案】86.4；31.1；13.6；13.1 【分析】小数乘法法则：先把尾数对齐，再按照整数的乘法进行计算，看因数一 16 / 39 共有几位小数，就从积的右边起数几位，点上小数点；根据四舍五入法则，保留 一位小数，就要看小数部分的第二位，小于 5就舍去，大于等于 5，则进一位。 【详解】（1）9.6×9＝86.4 （2）2.5×12.44＝31.1 （3）8.5×1.6＝13.6 （4）4.51×2.9 ＝13.1 2．列竖式计算。 3.7×5.8＝ 0.25×104＝ 8.45×9.2＝ 1.9×5.74＝ 【答案】21.46；26；77.74；10.906 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中 共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。据此进行计算即可。 【详解】3.7×5.8＝21.46 0.25×104＝26 8.45×9.2＝77.74 1.9×5.74＝ 10.906 【典型例题】 1．根据算式 2.59×3.4＝8.806，在括号里直接填数。 259×3.4＝( ) 2.59×( )＝880.6 88.06÷2.59＝( ) 8.806÷34＝( ) 【答案】 880.6 340 34 0.259 【分析】根据积的变化规律，一个因数除以 n，另一个因数除以 m，则积除以 mm；再根据商的变化规律，被除数除以 10，除数乘 10，则商除以 10×10＝100； 17 / 39 被除数不变，除数乘 10，则商除以 10，据此填空即可。 【详解】259×3.4＝880.6 2.59×340＝880.6 88.06÷2.59＝34 8.806÷34＝0.259 2．两个数分别扩大到原来的 10倍后，得到的积是 260.5，原来这两个数的积是 ( )。 【答案】2.605 【分析】在乘法中，一个乘数扩大到原来的 m（m≠0）倍，另一个乘数扩大到原 来的 n（n≠0）倍，积就扩大到原来的 m×n倍。根据积的变化规律可知，两个数 分别扩大到原来的 10倍，积就扩大到原来的 10×10倍，用 260.5÷（10×10）可 求出原来这两个数的积。 【详解】260.5÷（10×10） ＝260.5÷100 ＝2.605 所以，原来这两个数的积是 2.605。 3．两个因数的积是 5.63，如果一个因数缩小到原来的 1 10，另一个因数扩大到原 来的 100倍，那么积是( )。 【答案】56.3 【分析】两个因数的积是 5.63，如果一个因数缩小到原来的 1 10，积缩小到原来 的 1 10，另一个因数扩大到原来的 100倍，积再跟着扩大到原来的 100倍，即原 来的积÷10×100＝现在的积，据此分析。 【详解】5.63÷10×100＝56.3 积是 56.3。 【对应练习】 1．根据36 23 828  ，直接写出下面各题的结果。 3.6 2.3  ( ) 82.8 0.36  ( ) 0.828 3.6  ( ) 【答案】 8.28 230 0.23 18 / 39 【分析】先根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或 除以几（0除外），积也会随之乘或除以相同的数；一个因数乘（或除以）几， 另一个因数也乘（或除以）几，原来的积就乘（或除以）它们的乘积。 一个因数＝积÷另一个因数，据此先把 36×23＝828变为 828÷36＝23。在除法算 式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。据此解答。 【详解】根据36 23 828  ，可得： 3.6 2.3 8.28  82.8 0.36 230  0.828 3.6 0.23  【点睛】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。 2．根据 13×28＝364，写出下面各式的积。 1.3×2.8＝( ) 0.13×0.28＝( ) 0.13×2.8＝( ) 1.3×0.028＝( ) 【答案】 3.64 0.0364 0.364 0.0364 【分析】在乘法算式中，一个因数乘（或除以）几，另一个因数不变，则积也乘 （或除以）几；据此解答。 【详解】1.3×2.8＝（13÷10）×（28÷10）＝364÷10÷10＝3.64； 0.13×0.28＝（13÷100）×（28÷100）＝364÷100÷100＝0.0364； 0.13×2.8＝（13÷100）×（28÷10）＝364÷100÷10＝0.364； 1.3×0.028＝（13÷10）×（28÷1000）＝364÷10÷1000＝0.0364。 3．两个因数的积是 1.75，如果一个因数扩大到原来的 100倍，另一个因数缩小 到原来的 1 10，则所得的新积是( )。 【答案】17.5 【分析】在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个非零数，则积 也乘或除以这个数；据此解答。 【详解】1.75×100÷10 ＝175×10 ＝17.5 所以所得到的新积是 17.5。 19 / 39 【典型例题】 在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7.2×1.1( )7.2 3.2×0.99( )3.2 1.5×3.65( )36.5×0.15 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【分析】一个数（0除外）乘大于 1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外） 乘小于 1的数，结果比原来的数小。根据积不变的规律，一个因数除以 10，另 一个因数乘 10，积不变；据此填空即可。 【详解】7.2×1.1＞7.2 3.2×0.99＜3.2 1.5除以 10变为 0.15，3.65乘 10变为 36.5，符合积不变的规律 则 1.5×3.65＝36.5×0.15 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.75×1.5( )3.75 5.16×0.5( )5.16 【答案】 ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘一个大于 1的数，得到的积大于它本身； 一个数（0除外），乘一个小于 1的数（0除外），得到的积小于它本身； 一个数（0除外），除以一个小于 1的数（0除外），得到的商大于它本身； 一个数（0除外），除以一个大于 1的数，得到的商小于它本身；据此判断即可。 【详解】由分析可得： 1.5＞1，所以 3.75×1.5＞3.75； 0.5＜1，所以 5.16×0.5＜5.16； 【典型例题】 1．单位换算。 6吨 50千克＝( )吨 3.6时＝( )时( )分 【答案】 6.05 3 36 【分析】1吨＝1000千克；1时＝60分；高级单位换算成低级单位，乘进率；低 20 / 39 级单位换算成高级单位，除以进率；据此解答。 【详解】50千克＝50÷1000＝0.05千克 6吨 50千克＝6.05吨 0.6时＝0.6×60＝36分 3.6时＝3时 36分 2．单位换算。 24千克＝( )吨 3小时 45分＝( )时 0.2小时＝( )分钟 5公顷 3平方米＝( )公顷 【答案】 0.024 3.75 12 5.0003 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据 1吨＝1000千克，用 24÷1000即 可；根据 1时＝60分，用 45÷60再加上 3即可；高级单位换低级单位乘进率， 根据 1小时＝60分，用 0.2×60即可；根据 1公顷＝10000平方米，用 3÷10000 再加上 5即可。 【详解】24千克＝24÷1000吨＝0.024吨 3小时 45分＝3时＋45÷60时＝3时＋0.75时＝3.75时 0.2小时＝0.2×60分钟＝12分钟 5公顷 3平方米＝5公顷＋3÷10000公顷＝5公顷＋0.0003公顷＝5.0003公顷 【对应练习】 1．单位换算。 4.25千米＝( )米 2.15时＝( )时( )分 【答案】 4250 2 9 【分析】1千米＝1000米，1时＝60分，根据高级单位化低级单位乘进率，低级 单位化高级单位除以进率，据此解答。 【详解】4.25千米＝4250米 2.15时＝2时＋0.15时 0.15时＝9分 2.15时＝2时 9分 2．单位换算。 10230平方米＝( )公顷 510千克＝( )吨 21 / 39 108分＝( )小时 7元 3角 5分＝( )元 【答案】 1.023 0.51 1.8 7.35 【分析】单位间的换算方法：把高级单位的名数换算成低级单位的名数，用高级 单位的数乘进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，用低级单位的数除 以进率。据此进行解答即可。 【详解】1公顷＝10000平方米，10230÷10000＝1.023，即 10230平方米＝1.023 公顷。 1吨＝1000千克，510÷1000＝0.51，即 510千克＝0.51吨。 1时＝60分，108÷60＝1.8，即 108分＝1.8小时。 1元＝10角，1元＝100分，3÷10＝0.3，5÷100＝0.05，7＋0.3＋0.05＝7.35，即 7 元 3角 5分＝7.35元。 1.简便计算。 0.25×3.7×0.4 解析： =0.25×0.4×3.7 =0.1×3.7 =0.37 2.简便计算。 7.92.50.4 解析： 7.9×2.5×0.4 ＝7.9×（2.5×0.4） ＝7.9×1 ＝7.9 3.简便计算。 2.4×1.25 解析： 2.4×1.25 22 / 39 ＝（0.3×8）×1.25 ＝0.3×（8×1.25） ＝0.3×10 ＝3 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.02×8.5 1.25＋4.6＋0.75 1.6×7.5×1.25 56×1.25 3.4×7×1.5 0.8×0.25×0.4×12.5 【答案】17.17；6.6；15； 70；35.7；1 【分析】（1）先把 2.02拆为 2＋0.02，再利用乘法分配律简算。 （2）利用加法交换律、加法结合律简算。 （3）先把 1.6拆为 2×0.8，再利用乘法交换律、乘法结合律简算。 （4）先把 56拆为 7×8，再利用乘法结合律简算。 （5）利用乘法交换律、乘法结合律简算。 （6）利用乘法交换律、乘法结合律简算。 【详解】2.02×8.5 ＝（2＋0.02）×8.5 ＝2×8.5＋0.02×8.5 ＝17＋0.17 ＝17.17 1.25＋4.6＋0.75 ＝4.6＋1.25＋0.75 ＝4.6＋（1.25＋0.75） ＝4.6＋2 ＝6.6 1.6×7.5×1.25 ＝2×0.8×7.5×1.25 ＝2×7.5×0.8×1.25 23 / 39 ＝2×7.5×（0.8×1.25） ＝15×1 ＝15 56×1.25 ＝7×8×1.25 ＝7×（8×1.25） ＝7×10 ＝70 3.4×7×1.5 ＝7×3.4×1.5 ＝7×（3.4×1.5） ＝7×5.1 ＝35.7 0.8×0.25×0.4×12.5 ＝0.8×12.5×0.25×0.4 ＝（0.8×12.5）×（0.25×0.4） ＝10×0.1 ＝1 2．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 4.8×0.25 0.78×98 0.5×2.33×8 1.5×105 0.3×2.5×0.4 1.2×2.5＋0.8×2.5 【答案】1.2；76.44；9.32 157.5；0.3；5 【分析】4.8×0.25，改写成（4＋0.8）×0.25，再用乘法分配律进行简算； 0.78×98改写成 0.78×（100－2），，再用乘法分配律进行简算； 0.5×2.33×8用乘法交换律简算； 1.5×105，改写成 1.5×（100＋5），用乘法分配律进行简算； 0.3×2.5×0.4，用乘法结合律简算； 1.2×2.5＋0.8×2.5，用乘法分配律简算。 24 / 39 【详解】4.8×0.25 ＝（4＋0.8）×0.25 ＝4×0.25＋0.8×0.25 ＝1＋0.2 ＝1.2 0.78×98 ＝0.78×（100－2） ＝0.78×100－0.78×2 ＝78－1.56 ＝76.44 0.5×2.33×8 ＝0.5×8×2.33 ＝4×2.33 ＝9.32 1.5×105 ＝1.5×（100＋5） ＝1.5×100＋1.5×5 ＝150＋7.5 ＝157.5 0.3×2.5×0.4 ＝0.3×（2.5×0.4） ＝0.3×1 ＝0.3 1.2×2.5＋0.8×2.5 ＝2.5×（1.2＋0.8） ＝2.5×2 ＝5 【典型例题】 25 / 39 1.简便计算。 0.4×（2.5＋25） 解析： 0.4×（2.5＋25） ＝0.4×2.5＋0.4×25 ＝1＋10 ＝11 2.简便计算。 7.8×0.36＋0.64×7.8 解析： 7.8×0.36＋0.64×7.8 ＝（0.36＋0.64）×7.8 ＝1×7.8 ＝7.8 3.简便计算。 0.89×101－0.89 解析： 0.89×101－0.89 ＝0.89×（101－1） ＝0.89×100 ＝89 4.简便计算。 14.5×102 解析： 14.5×102 ＝14.5×（100＋2） ＝14.5×100＋14.5×2 ＝1450＋29 ＝1479 26 / 39 5.简便计算。 99 1.2 解析： 99 1.2 ＝  100 1 1.2  ＝100 1.2 1 1.2   ＝120－1.2 ＝118.8 6.简便计算。 7.15 99 0.715 10   解析： 7.15 99 0.715 10   ＝7.15 99 7.15 1   ＝7.15 (99 1)  ＝7.15 100 ＝715 【对应练习】 1．简便计算。 19.5×1.3－0.95×13 【答案】13 【详解】19.5×1.3－0.95×13 ＝（1.95－0.95）×13 ＝1×13 ＝13 2．简便计算。 101×0.75 【答案】75.75 【详解】101×0.75 =（100+1）×0.75 27 / 39 =100×0.75+1×0.75 =75+0.75 =75.75 3．简便计算。 8.4×1.8＋8.4×8.1＋0.84 3.56×38.5＋0.7×356＋9.15×35.6 【答案】84；712 【详解】依据积不变的规律，将 0.84改写成 8.4×0.1，然后再利用乘法分配律进 行计算即可。 8.4×1.8＋8.4×8.1＋0.84 ＝8.4×1.8＋8.4×8.1＋8.4×0.1 ＝8.4×（1.8＋8.1＋0.1） ＝8.4×10 ＝84 依据积不变的规律，将 3.56×38.5改写成 35.6×3.85，将 0.7×356改写成 70×35.6， 然后再利用乘法分配律进行计算即可。 3.56×38.5＋0.7×356＋9.15×35.6 ＝35.6×3.85＋7×35.6＋9.15×35.6 ＝35.6×（3.85＋7＋9.15） ＝35.6×20 ＝712 28 / 39 一、方程的相关概念与基本认识。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质 1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然 相等。 3.方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如 x±a=b、ax=b、ax±b=c和 a(x±b)=c的方程，利用等式的性质来解此类方 程。 5.方程的检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果 相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 二、利用等式的基本性质解方程。 1.等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 2.等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 三、利用四则运算的关系解方程。 1.加法： 加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 2.乘法： 因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 3.减法： 被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 4.除法： 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 29 / 39 四、移项法解方程。＊ 等式左边的数移至等式右边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。同 样的，等式右边的数移至等式左边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符 号。 【典型例题】 下面哪些是等式？哪些是方程？ ① 12 6x   ② 40 2 80  ③8 y ④5 2.5b＜ ⑤30 600x  ⑥ 0.6 1.8x   等式有( )方程有( )。 【答案】 ①②⑤⑥ ①⑤⑥ 【分析】含有“＝”的式子就是等式；含有未知数的等式就是方程，所以方程一定 是等式，但等式不一定是方程。据此解答即可。 【详解】由分析可知： ① 12 6x   ，含有未知数，且是等式，所以该式是等式又是方程； ②40 2 80  ，含有“＝”，不含有未知数，所以该式是等式； ③8 y ，含有未知数，但不是等式，所以该式既不是等式也不是方程； ④5 2.5b＜ ，含有未知数，但不是等式，所以该式既不是等式也不是方程； ⑤30 600x  ，含有未知数，且是等式，所以该式是等式又是方程； ⑥ 0.6 1.8x   ，含有未知数，且是等式，所以该式是等式又是方程。 则等式有①②⑤⑥，方程有①⑤⑥。 【点睛】本题考查等式与方程，明确等式与方程的定义是解题的关键。 【对应练习】 1．在 8a＋2＝20，3a－4b，7m＋3m＝100，3.4＋5.6＝9，6a＜12这些式子中等 式有( )个，方程有( )个。 【答案】 3 2 【分析】含有等号的式子叫做等式，含有未知数的等式就是方程。根据等式和方 程的意义解答即可。 【详解】8a＋2＝20，7m＋3m＝100，3.4＋5.6＝9这三个式子含有等号，它们是 30 / 39 等式，所以等式有 3个。 8a＋2＝20和 7m＋3m＝100中含有未知数，且是等式，它们是方程，所以方程 有 2个。 【点睛】所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。 2．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( ) 个，方程有( )。 【答案】 3 y＋a＝8，15x＝0 【分析】含有等号的式子是等式，据此找出等式来；含有未知数的等式是方程， 据此确定哪几个等式是方程。 【详解】由分析得： 等式有：y＋a＝8、15x＝0、9＋6＝15，一共是 3个； 方程有：y＋a＝8、15x＝0。 【点睛】考查了有关等式、方程的概念，同时对于等式与方程的联系也要有所了 解。 【典型例题】 1．已知 a＋b＝60，a＝b＋b＋b，根据等量代换，可推理得出 a＝( )。 【答案】45 【分析】已知 a＝b＋b＋b，即 a＝3×b，把它代入到 a＋b＝60，利用等式的性质， 即可求出 b的值，继而求出 a的值。据此解答。 【详解】a＝b＋b＋b 即 a＝3×b＝3b 代入到 a＋b＝60中，可得 3b＋b＝60 4b＝60 4b÷4＝60÷4 b＝15 a＝60－15＝45。 【点睛】此题主要考查等量代换，通过等式的性质，求出 a的值。 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程 【三大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程。本部分内容主要以数与代数为主，其中包括小数加减法、小数乘法以及解方程等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】小数的加法和减法 【知识总览】 4 【考点一】小数加减法基础计算 4 【考点二】小数加减法列竖式计算 5 【考点三】小数加减法混合运算和简便计算 6 【考点四】错中求解问题 7 【第二篇】小数乘法 【知识总览】 9 【考点一】小数乘法基本计算 10 【考点二】积的变化规律问题 11 【考点三】积与“1”大小关系问题 12 【考点四】小数与单位换算 12 【考点五】小数乘法交换律和乘法结合律 12 【考点六】小数乘法分配律 14 【第三篇】解简易方程 【知识总览】 16 【考点一】方程的认识（方程与等式） 17 【考点二】等式与等量代换 17 【考点三】定义新运算 18 【考点四】解方程“基础型” 18 【考点五】解方程“提高型” 19 【第一篇】小数的加法和减法 【知识总览】 一、小数的加减法。 1. 笔算数位相同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，再按整数加减法的计算法则计算，得数的小数点与竖式中横线上面的小数点对齐。 2. 笔算数位不同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，哪一位上没有数，可以看作0来算，再按数位相同的小数加减法的笔算方法进行计算。 二、小数加减混合运算。 1. 小数连加运算，可以用竖式计算，也可以用脱式计算。 2. 小数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。算式中有小括号时，要先算小括号里面的，再算小括号外面的；没有小括号时，要按照从左往右的顺序计算。 3. 整数减法的性质同样适用于小数减法。 三、整数加法运算定律推广到小数。 1. 整数加法的交换律、结合律对小数加法同样适用。 2. 在小数加减混合运算中要仔细观察每个数的特征，注意数与数之间的关系及每个数前 面的运算符号，恰当地运用加法交换律、结合律可以进行简便计算。 【考点一】小数加减法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。 0.27＋0.3＝     1－0.07＝     5－0.37＝     0.9＋9.1＝ 0.85＋0.15＝      10－2.58＝      0.7＋0.19＝     60.51－6.51＝ 【对应练习】 直接写出得数。 0.8＋0.02＝     1－0.28＝     0.56＋0.4＝     9.3＋17＝ 0.46＋3.54＝     1.6＋0.16＝     0.8＋3.2＝     7.3－0.6＝ 【考点二】小数加减法列竖式计算。 【典型例题】 列竖式计算。 30－2.26＝                  104.97＋48.03＝ 【对应练习】 1．列竖式计算并验算。 5.84＋26.76＝                     15.8＋16.28＝ 10.25－9.68＝                     20－12.39＝ 2．列竖式计算，带△的要验算。 △12.6－1.08＝            △12.15＋45.65＝ 7.4＋9.5－4.3＝            8.7－5.59＋1.02＝ 【考点三】小数加减法混合运算和简便计算。 【典型例题】 脱式计算。 26.41－（8.78＋6.017）             20.7＋4.56－3.98 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 8.68＋5.76＋1.32           4.78－0.96－0.04              17.83－（5.83＋4.38） 19－9.09－1.91             2.86＋5.78－0.86             0.72＋0.18＋0.49＋0.21 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 20.7＋4.56－3.98               15.2＋0.9＋0.1                 8.15－2.85－1.15 19.92＋4.8－9.92               48.67－（5.67＋0.9）           7.5＋2.5－7.5＋2.5 【考点四】错中求解问题。 【典型例题1】问题一。 小红在做一道加法题时，把加数7.6十分位上的6看成是3，个位上的7看成是2，得到的和是10.5，正确的结果是( )。 【对应练习】 小马虎在计算一道减法算式时，粗心地把减数十位上的8写成了3，百分位上的3写成了8，这样算得的差是67.16，那么正确的差是( )。 A．19.71 B．18.17 C．17.21 D．16.41 【典型例题2】问题二。 小明在做一道加法算式时，把其中一个加数0.75看成了7.5，结果是9.2，正确的结果是( )。 【对应练习1】 乐乐在做小数加法时，把一个加数6.9看成了9.6，结果是17.1，正确结果应该 是( )。 【典型例题3】问题三。 小糊涂在计算3.68加一个一位小数时，误把两个加数的末位对齐了，结果得4.83，正确的和应该是( )。 【对应练习】 小明在计算7.68加上一个整数时，错误地把加数的末尾对齐了，得到的结果是8.64，正确的结果应该是( )。 【典型例题4】问题四。 奇思在计算13.5＋A时，把A的小数点向右移动了一位，得出的结果是19.3，正确的结果是( )。 【对应练习】 小舟在计算12.6加一个两位小数时，把小数点看错了，得出的结果是28.4，正确的结果是( )。 【典型例题5】问题五。 小强在计算8.5减去一个两位小数时，把减号当成了加号，算的结果是13.09，这道减法算式的正确得数是( )。 【对应练习】 芳芳在计算7.3加上一个两位小数时，错把加号看成了减号，结果得到5.84，正确的得数应是( )。 【第二篇】小数乘法 【知识总览】 一、小数乘法。 1.小数乘整数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数部分末尾的0要去掉。 2.小数乘小数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数位数不够，要先在前面补0，再点小数点； ④积的小数部分末尾的0要去掉。 3.小数乘法验算。 ①一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同； ②用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 4.积的近似数。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结果。 5.积的大小与因数关系。 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 二、小数乘除法四则混合运算。 1.整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2.一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 三、小数乘法简便计算。 1.乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2.乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3.乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4.乘法分配律逆运算： a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5.添加因数1： 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【考点一】小数乘法基本计算。 【典型例题1】小数乘法口算综合。 直接写得数。 0.8×4＝          2.5×100＝        0.06×7＝         1.5×3＝     0.5×100＝        1.3×5＝          4.2×3＝         0.7×0.8＝ 【对应练习】 1．直接写得数。 3×0.5＝          4×1.4＝           3.2×8＝            5×1.6＝ 1.1×8＝           5×0.05＝         0.8×0.4＝          0.3×0.01＝ 2．直接写得数。 0.22×0.5＝          7.5×0.2＝          7.2×3＝           0.25×0.8＝ 1.3×0.1＝           5.8×3＝           1.25×0.4＝         0.7×10＝ 【典型例题2】小数乘法竖式计算综合。 列竖式计算。 1.45×0.12＝                            3.08×0.28＝ 13.5×26.7＝                           3.15×0.35＝ 【对应练习】 1．列竖式计算。（带※的得数保留一位小数） 9.6×9＝        2.5×12.44＝         8.5×1.6＝       ※4.51×2.9≈ 2．列竖式计算。 3.7×5.8＝         0.25×104＝         8.45×9.2＝       1.9×5.74＝ 【考点二】积的变化规律问题。 【典型例题】 1．根据算式2.59×3.4＝8.806，在括号里直接填数。 259×3.4＝( )    2.59×( )＝880.6 88.06÷2.59＝( )    8.806÷34＝( ) 2．两个数分别扩大到原来的10倍后，得到的积是260.5，原来这两个数的积是( )。 3．两个因数的积是5.63，如果一个因数缩小到原来的，另一个因数扩大到原来的100倍，那么积是( )。 【对应练习】 1．根据，直接写出下面各题的结果。 ( )     ( )    ( ) 2．根据13×28＝364，写出下面各式的积。 1.3×2.8＝( )                0.13×0.28＝( )   0.13×2.8＝( )                1.3×0.028＝( ) 3．两个因数的积是1.75，如果一个因数扩大到原来的100倍，另一个因数缩小到原来的，则所得的新积是( )。 【考点三】积与“1”大小关系问题。 【典型例题】 在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7.2×1.1( )7.2    3.2×0.99( )3.2    1.5×3.65( )36.5×0.15 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.75×1.5( )3.75          5.16×0.5( )5.16 【考点四】小数与单位换算。 【典型例题】 1．单位换算。 6吨50千克＝( )吨     3.6时＝( )时( )分 2．单位换算。 24千克＝( )吨         3小时45分＝( )时 0.2小时＝( )分钟        5公顷3平方米＝( )公顷 【对应练习】 1．单位换算。 4.25千米＝( )米   2.15时＝( )时( )分 2．单位换算。 10230平方米＝( )公顷      510千克＝( )吨 108分＝( )小时           7元3角5分＝( )元 【考点五】小数乘法交换律和乘法结合律。 1.简便计算。 0.25×3.7×0.4 2.简便计算。 7.92.50.4 3.简便计算。 2.4×1.25 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.02×8.5               1.25＋4.6＋0.75                1.6×7.5×1.25 56×1.25                3.4×7×1.5                      0.8×0.25×0.4×12.5 2．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 4.8×0.25              0.78×98                  0.5×2.33×8 1.5×105              0.3×2.5×0.4             1.2×2.5＋0.8×2.5 【考点六】小数乘法分配律。 【典型例题】 1.简便计算。 0.4×（2.5＋25） 2.简便计算。 7.8×0.36＋0.64×7.8 3.简便计算。 0.89×101－0.89 4.简便计算。 14.5×102 5.简便计算。 6.简便计算。 【对应练习】 1．简便计算。 19.5×1.3－0.95×13 2．简便计算。   101×0.75 3．简便计算。 8.4×1.8＋8.4×8.1＋0.84 3.56×38.5＋0.7×356＋9.15×35.6 【第三篇】解简易方程 【知识总览】 一、方程的相关概念与基本认识。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程，利用等式的性质来解此类方程。 5.方程的检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 二、利用等式的基本性质解方程。 1.等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 2.等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 三、利用四则运算的关系解方程。 1.加法： 加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 2.乘法： 因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 3.减法： 被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 4.除法： 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 四、移项法解方程。＊ 等式左边的数移至等式右边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。同样的，等式右边的数移至等式左边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。 【考点一】方程的认识（方程与等式）。 【典型例题】 下面哪些是等式？哪些是方程？ ①        ②    ③ ④        ⑤        ⑥ 等式有( )方程有( )。 【对应练习】 1．在8a＋2＝20，3a－4b，7m＋3m＝100，3.4＋5.6＝9，6a＜12这些式子中等式有( )个，方程有( )个。 2．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( )个，方程有( )。 【考点二】等式与等量代换。 【典型例题】 1．已知a＋b＝60，a＝b＋b＋b，根据等量代换，可推理得出a＝( )。 2．根据等式的基本性质得出，如果x＋5.2＝10，那么x＋5.2－5.2＝10－( )。 【对应练习】 1．要保持天平平衡，下面右边的托盘应放置( )个灰色球。 2．根据等式的性质填空。 (1)如果x－8＝11，那么x－8＋8＝( )＋( )。 (2)如果x÷8＝11，那么x÷8×8＝( )×( )。 【考点三】定义新运算。 【典型例题】 定义新运算“©”，A©B＝（A－2）×B，如果A©5＝30，那么A＝( )。 【对应练习】 1．对于a、b定义新运算：a★b＝a（a－b）＋1，比如5★2＝5×（5－2）＋1＝5×3＋1＝16，如果4★x＝13，那么x＝( )。 2．定义 ，则( )。 【考点四】解方程“基础型”。 【典型例题】 解方程。           【对应练习】 1．解方程。                       2．解方程。 ①1.56＋x＝6.24        ②x－7.6×5＝18 【考点五】解方程“提高型”。 【典型例题】 解方程。 15＋5x＝70           4x－6＝30         14x－9＝145 1.6×25－5x＝5         x÷15＝26         16x＋3.6＝67.6 【对应练习】 1．解方程。 4y－24＝16         54x＝108           5x÷6＝2.5 12x＝72           x÷6.8＝4.5         5x－1.5＝18.5 2．解方程。                                                          1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程 【三大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题二：数与代数—小数加减法、乘法和方程。本部分内容主要以数与代数为主，其中包括小数加减法、小数乘法以及解方程等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】小数的加法和减法 【知识总览】 4 【考点一】小数加减法基础计算 4 【考点二】小数加减法列竖式计算 5 【考点三】小数加减法混合运算和简便计算 7 【考点四】错中求解问题 9 【第二篇】小数乘法 【知识总览】 13 【考点一】小数乘法基本计算 14 【考点二】积的变化规律问题 16 【考点三】积与“1”大小关系问题 19 【考点四】小数与单位换算 19 【考点五】小数乘法交换律和乘法结合律 21 【考点六】小数乘法分配律 24 【第三篇】解简易方程 【知识总览】 28 【考点一】方程的认识（方程与等式） 29 【考点二】等式与等量代换 30 【考点三】定义新运算 32 【考点四】解方程“基础型” 34 【考点五】解方程“提高型” 36 【第一篇】小数的加法和减法 【知识总览】 一、小数的加减法。 1. 笔算数位相同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，再按整数加减法的计算法则计算，得数的小数点与竖式中横线上面的小数点对齐。 2. 笔算数位不同的小数加减法时，先把小数点对齐，也就是相同数位对齐，哪一位上没有数，可以看作0来算，再按数位相同的小数加减法的笔算方法进行计算。 二、小数加减混合运算。 1. 小数连加运算，可以用竖式计算，也可以用脱式计算。 2. 小数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。算式中有小括号时，要先算小括号里面的，再算小括号外面的；没有小括号时，要按照从左往右的顺序计算。 3. 整数减法的性质同样适用于小数减法。 三、整数加法运算定律推广到小数。 1. 整数加法的交换律、结合律对小数加法同样适用。 2. 在小数加减混合运算中要仔细观察每个数的特征，注意数与数之间的关系及每个数前 面的运算符号，恰当地运用加法交换律、结合律可以进行简便计算。 【考点一】小数加减法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。 0.27＋0.3＝     1－0.07＝     5－0.37＝     0.9＋9.1＝ 0.85＋0.15＝     10－2.58＝     0.7＋0.19＝     60.51－6.51＝ 【答案】0.57；0.93；4.63；10 1；7.42；0.89；54 【详解】略 【对应练习】 直接写出得数。 0.8＋0.02＝    1－0.28＝    0.56＋0.4＝    9.3＋17＝ 0.46＋3.54＝    1.6＋0.16＝    0.8＋3.2＝    7.3－0.6＝ 【答案】0.82；0.72；0.96；26.3 4；1.76；4；6.7 【详解】略 【考点二】小数加减法列竖式计算。 【典型例题】 列竖式计算。 30－2.26＝                 104.97＋48.03＝ 【答案】27.74；153 【分析】小数加减竖式的计算方法：把小数点对齐，相同的数位也就对齐了，然后按照整数加减法计算方法计算；据此列竖式计算。 【详解】30－2.26＝27.74                 104.97＋48.03＝153                 【对应练习】 1．列竖式计算并验算。 5.84＋26.76＝                     15.8＋16.28＝ 10.25－9.68＝                     20－12.39＝ 【答案】32.60；32.08； 0.57；7.61 【分析】（1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。 （2）加法的验算方法：一种是交换加数的位置，再计算一次；一种是和减一个加数等于另一个加数。 （3）减法的验算方法：一种是差加减数等于被减数；一种是被减数减差等于减数。 【详解】5.84＋26.76＝32.60                      15.8＋16.28＝32.08 验算：验算： 10.25－9.68＝0.57                       20－12.39＝7.61 验算：验算： 2．列竖式计算，带△的要验算。 △12.6－1.08＝           △12.15＋45.65＝ 7.4＋9.5－4.3＝           8.7－5.59＋1.02＝ 【答案】11.52；57.8； 12.6；4.13 【分析】小数加减法计算时，要先对齐小数点，也就是把相同数位对齐，再按照整数加减法的计算方法解答。减法验算时，用差加上减数，看是不是等于被减数。加法验算时，用和减去一个加数，看是不是等于另一个加数。 【详解】△12.6－1.08＝11.52            验算： △12.15＋45.65＝57.8 验算： 7.4＋9.5－4.3＝12.6       8.7－5.59＋1.02＝4.13                【考点三】小数加减法混合运算和简便计算。 【典型例题】 脱式计算。 26.41－（8.78＋6.017）             20.7＋4.56－3.98 【答案】11.613；21.28 【分析】（1）先算小括号里面加法，再算小括号外面的减法； （2）先算加法，再算减法。 【详解】26.41－（8.78＋6.017） ＝26.41－14.797 ＝11.613 20.7＋4.56－3.98 ＝25.26－3.98 ＝21.28 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 8.68＋5.76＋1.32          4.78－0.96－0.04             17.83－（5.83＋4.38） 19－9.09－1.91            2.86＋5.78－0.86            0.72＋0.18＋0.49＋0.21 【答案】15.76；3.78；7.62； 8；7.78；1.6 【分析】根据加法交换律：两个加数交换位置，和不变； 加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变； 减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和，据此解题即可。 【详解】8.68＋5.76＋1.32 ＝（8.68＋1.32）＋5.76 ＝10＋5.76 ＝15.76 4.78－0.96－0.04 ＝4.78－（0.96＋0.04） ＝4.78－1 ＝3.78 17.83－（5.83＋4.38） ＝17.83－5.83－4.38 ＝12－4.38 ＝7.62 19－9.09－1.91 ＝19－（9.09＋1.91） ＝19－11 ＝8 2.86＋5.78－0.86 ＝2.86－0.86＋5.78 ＝2＋5.78 ＝7.78 0.72＋0.18＋0.49＋0.21 ＝（0.72＋0.18）＋（0.49＋0.21） ＝0.9＋0.7 ＝1.6 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 20.7＋4.56－3.98              15.2＋0.9＋0.1                8.15－2.85－1.15 19.92＋4.8－9.92              48.67－（5.67＋0.9）           7.5＋2.5－7.5＋2.5 【答案】21.28；16.2；4.15 14.8；42.1；5 【分析】（1）按照从左到右的顺序计算。 （2）根据加法结合律简算。 （3）（5）根据减法的性质简算。 （4）根据加法交换律进行简算。 （6）根据加法交换律和结合律进行简算。 【详解】20.7＋4.56－3.98 ＝25.26－3.98 ＝21.28 15.2＋0.9＋0.1 ＝15.2＋（0.9＋0.1） ＝15.2＋1 ＝16.2 8.15－2.85－1.15 ＝8.15－（2.85＋1.15） ＝8.15－4 ＝4.15 19.92＋4.8－9.92 ＝19.92－9.92＋4.8 ＝10＋4.8 ＝14.8 48.67－（5.67＋0.9） ＝48.67－5.67－0.9 ＝43－0.9 ＝42.1 7.5＋2.5－7.5＋2.5 ＝（7.5－7.5）＋（2.5＋2.5） ＝0＋5 ＝5 【考点四】错中求解问题。 【典型例题1】问题一。 小红在做一道加法题时，把加数7.6十分位上的6看成是3，个位上的7看成是2，得到的和是10.5，正确的结果是( )。 解析： 10.5－2.3＝8.2 8.2＋7.6＝15.8 【对应练习】 小马虎在计算一道减法算式时，粗心地把减数十位上的8写成了3，百分位上的3写成了8，这样算得的差是67.16，那么正确的差是( )。 A．19.71 B．18.17 C．17.21 D．16.41 解析： 因为被减数不变，所以减数十位上的8写成3，减数少了50，接着又把十分位上的3写成8，这样减数又比原来多了0.05，那么最终错误的减数比正确的减数少了50－0.05＝49.95，错误的差就比正确的差多了49.95，故正确的差为：67.16－49.95＝17.21。 【典型例题2】问题二。 小明在做一道加法算式时，把其中一个加数0.75看成了7.5，结果是9.2，正确的结果是( )。 解析： 【对应练习1】 乐乐在做小数加法时，把一个加数6.9看成了9.6，结果是17.1，正确结果应该 是( )。 解析：14.4 【典型例题3】问题三。 小糊涂在计算3.68加一个一位小数时，误把两个加数的末位对齐了，结果得4.83，正确的和应该是( )。 解析： 4.83－3.68＝1.15，所以一位小数是11.5。 3.68＋11.5＝15.18 【对应练习】 小明在计算7.68加上一个整数时，错误地把加数的末尾对齐了，得到的结果是8.64，正确的结果应该是( )。 解析： （8.64－7.68）×100＋7.68 ＝0.96×100＋7.68 ＝96＋7.68 ＝103.68 所以，正确的结果是103.68。 【典型例题4】问题四。 奇思在计算13.5＋A时，把A的小数点向右移动了一位，得出的结果是19.3，正确的结果是( )。 解析： 19.3﹣13.5＝5.8 5.8向左移动一位是0.58； 13.5＋0.58＝14.08 所以正确的结果是14.08。 【对应练习】 小舟在计算12.6加一个两位小数时，把小数点看错了，得出的结果是28.4，正确的结果是( )。 解析： 28.4－12.6＝15.8 因为是两位小数，所以这个两位小数是1.58 12.6＋1.58＝14.18 【典型例题5】问题五。 小强在计算8.5减去一个两位小数时，把减号当成了加号，算的结果是13.09，这道减法算式的正确得数是( )。 解析： 13.09－8.5＝4.59 8.5－4.59＝3.91 【对应练习】 芳芳在计算7.3加上一个两位小数时，错把加号看成了减号，结果得到5.84，正确的得数应是( )。 解析： 7.3－5.84＝1.46 7.3＋1.46＝8.76 则正确的得数是8.76。 【第二篇】小数乘法 【知识总览】 一、小数乘法。 1.小数乘整数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数部分末尾的0要去掉。 2.小数乘小数。 ①先按照整数乘整数进行计算； ②再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； ③积的小数位数不够，要先在前面补0，再点小数点； ④积的小数部分末尾的0要去掉。 3.小数乘法验算。 ①一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同； ②用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 4.积的近似数。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结果。 5.积的大小与因数关系。 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 二、小数乘除法四则混合运算。 1.整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2.一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 三、小数乘法简便计算。 1.乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2.乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3.乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4.乘法分配律逆运算： a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5.添加因数1： 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【考点一】小数乘法基本计算。 【典型例题1】小数乘法口算综合。 直接写得数。 0.8×4＝          2.5×100＝        0.06×7＝         1.5×3＝     0.5×100＝        1.3×5＝          4.2×3＝         0.7×0.8＝ 【答案】3.2；250；0.42；4.5； 50；6.5；12.6；0.56 【详解】略 【对应练习】 1．直接写得数。 3×0.5＝         4×1.4＝          3.2×8＝           5×1.6＝ 1.1×8＝          5×0.05＝        0.8×0.4＝         0.3×0.01＝ 【答案】1.5；5.6；25.6；8 8.8；0.25；0.32；0.003 【详解】略。 2．直接写得数。 0.22×0.5＝         7.5×0.2＝         7.2×3＝          0.25×0.8＝ 1.3×0.1＝           5.8×3＝          1.25×0.4＝        0.7×10＝ 【答案】0.11；1.5；21.6；0.2 0.13；17.4；0.5；7 【解析】略 【典型例题2】小数乘法竖式计算综合。 列竖式计算。 1.45×0.12＝                            3.08×0.28＝ 13.5×26.7＝                           3.15×0.35＝ 【答案】0.174；0.8624； 360.45；1.1025 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 【详解】1.45×0.12＝0.174                            3.08×0.28＝0.8624                         13.5×26.7＝360.45                           3.15×0.35＝1.1025                           【对应练习】 1．列竖式计算。（带※的得数保留一位小数） 9.6×9＝       2.5×12.44＝        8.5×1.6＝      ※4.51×2.9≈ 【答案】86.4；31.1；13.6；13.1 【分析】小数乘法法则：先把尾数对齐，再按照整数的乘法进行计算，看因数一共有几位小数，就从积的右边起数几位，点上小数点；根据四舍五入法则，保留一位小数，就要看小数部分的第二位，小于5就舍去，大于等于5，则进一位。 【详解】（1）9.6×9＝86.4   （2）2.5×12.44＝31.1   （3）8.5×1.6＝13.6   （4）4.51×2.9＝13.1                        2．列竖式计算。 3.7×5.8＝        0.25×104＝        8.45×9.2＝      1.9×5.74＝ 【答案】21.46；26；77.74；10.906 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。据此进行计算即可。 【详解】3.7×5.8＝21.46        0.25×104＝26       8.45×9.2＝77.74     1.9×5.74＝10.906                  【考点二】积的变化规律问题。 【典型例题】 1．根据算式2.59×3.4＝8.806，在括号里直接填数。 259×3.4＝( )    2.59×( )＝880.6 88.06÷2.59＝( )    8.806÷34＝( ) 【答案】 880.6 340 34 0.259 【分析】根据积的变化规律，一个因数除以n，另一个因数除以m，则积除以mm；再根据商的变化规律，被除数除以10，除数乘10，则商除以10×10＝100；被除数不变，除数乘10，则商除以10，据此填空即可。 【详解】259×3.4＝880.6 2.59×340＝880.6 88.06÷2.59＝34 8.806÷34＝0.259 2．两个数分别扩大到原来的10倍后，得到的积是260.5，原来这两个数的积是( )。 【答案】2.605 【分析】在乘法中，一个乘数扩大到原来的m（m≠0）倍，另一个乘数扩大到原来的n（n≠0）倍，积就扩大到原来的m×n倍。根据积的变化规律可知，两个数分别扩大到原来的10倍，积就扩大到原来的10×10倍，用260.5÷（10×10）可求出原来这两个数的积。 【详解】260.5÷（10×10） ＝260.5÷100 ＝2.605 所以，原来这两个数的积是2.605。 3．两个因数的积是5.63，如果一个因数缩小到原来的，另一个因数扩大到原来的100倍，那么积是( )。 【答案】56.3 【分析】两个因数的积是5.63，如果一个因数缩小到原来的，积缩小到原来的，另一个因数扩大到原来的100倍，积再跟着扩大到原来的100倍，即原来的积÷10×100＝现在的积，据此分析。 【详解】5.63÷10×100＝56.3 积是56.3。 【对应练习】 1．根据，直接写出下面各题的结果。 ( )     ( )    ( ) 【答案】 8.28 230 0.23 【分析】先根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也会随之乘或除以相同的数；一个因数乘（或除以）几，另一个因数也乘（或除以）几，原来的积就乘（或除以）它们的乘积。 一个因数＝积÷另一个因数，据此先把36×23＝828变为828÷36＝23。在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。据此解答。 【详解】根据，可得： 【点睛】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。 2．根据13×28＝364，写出下面各式的积。 1.3×2.8＝( )                0.13×0.28＝( )   0.13×2.8＝( )                1.3×0.028＝( ) 【答案】 3.64 0.0364 0.364 0.0364 【分析】在乘法算式中，一个因数乘（或除以）几，另一个因数不变，则积也乘（或除以）几；据此解答。 【详解】1.3×2.8＝（13÷10）×（28÷10）＝364÷10÷10＝3.64； 0.13×0.28＝（13÷100）×（28÷100）＝364÷100÷100＝0.0364； 0.13×2.8＝（13÷100）×（28÷10）＝364÷100÷10＝0.364； 1.3×0.028＝（13÷10）×（28÷1000）＝364÷10÷1000＝0.0364。 3．两个因数的积是1.75，如果一个因数扩大到原来的100倍，另一个因数缩小到原来的，则所得的新积是( )。 【答案】17.5 【分析】在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个非零数，则积也乘或除以这个数；据此解答。 【详解】1.75×100÷10 ＝175×10 ＝17.5 所以所得到的新积是17.5。 【考点三】积与“1”大小关系问题。 【典型例题】 在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7.2×1.1( )7.2    3.2×0.99( )3.2    1.5×3.65( )36.5×0.15 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。根据积不变的规律，一个因数除以10，另一个因数乘10，积不变；据此填空即可。 【详解】7.2×1.1＞7.2 3.2×0.99＜3.2 1.5除以10变为0.15，3.65乘10变为36.5，符合积不变的规律 则1.5×3.65＝36.5×0.15 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.75×1.5( )3.75          5.16×0.5( )5.16 【答案】 ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘一个大于1的数，得到的积大于它本身； 一个数（0除外），乘一个小于1的数（0除外），得到的积小于它本身； 一个数（0除外），除以一个小于1的数（0除外），得到的商大于它本身； 一个数（0除外），除以一个大于1的数，得到的商小于它本身；据此判断即可。 【详解】由分析可得： 1.5＞1，所以3.75×1.5＞3.75； 0.5＜1，所以5.16×0.5＜5.16； 【考点四】小数与单位换算。 【典型例题】 1．单位换算。 6吨50千克＝( )吨     3.6时＝( )时( )分 【答案】 6.05 3 36 【分析】1吨＝1000千克；1时＝60分；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率；据此解答。 【详解】50千克＝50÷1000＝0.05千克 6吨50千克＝6.05吨 0.6时＝0.6×60＝36分 3.6时＝3时36分 2．单位换算。 24千克＝( )吨         3小时45分＝( )时 0.2小时＝( )分钟        5公顷3平方米＝( )公顷 【答案】 0.024 3.75 12 5.0003 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1吨＝1000千克，用24÷1000即可；根据1时＝60分，用45÷60再加上3即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1小时＝60分，用0.2×60即可；根据1公顷＝10000平方米，用3÷10000再加上5即可。 【详解】24千克＝24÷1000吨＝0.024吨 3小时45分＝3时＋45÷60时＝3时＋0.75时＝3.75时 0.2小时＝0.2×60分钟＝12分钟 5公顷3平方米＝5公顷＋3÷10000公顷＝5公顷＋0.0003公顷＝5.0003公顷 【对应练习】 1．单位换算。 4.25千米＝( )米   2.15时＝( )时( )分 【答案】 4250 2 9 【分析】1千米＝1000米，1时＝60分，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【详解】4.25千米＝4250米 2.15时＝2时＋0.15时 0.15时＝9分 2.15时＝2时9分 2．单位换算。 10230平方米＝( )公顷      510千克＝( )吨 108分＝( )小时           7元3角5分＝( )元 【答案】 1.023 0.51 1.8 7.35 【分析】单位间的换算方法：把高级单位的名数换算成低级单位的名数，用高级单位的数乘进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，用低级单位的数除以进率。据此进行解答即可。 【详解】1公顷＝10000平方米，10230÷10000＝1.023，即10230平方米＝1.023公顷。 1吨＝1000千克，510÷1000＝0.51，即510千克＝0.51吨。 1时＝60分，108÷60＝1.8，即108分＝1.8小时。 1元＝10角，1元＝100分，3÷10＝0.3，5÷100＝0.05，7＋0.3＋0.05＝7.35，即7元3角5分＝7.35元。 【考点五】小数乘法交换律和乘法结合律。 1.简便计算。 0.25×3.7×0.4 解析： =0.25×0.4×3.7 =0.1×3.7 =0.37 2.简便计算。 7.92.50.4 解析： 7.9×2.5×0.4 ＝7.9×（2.5×0.4） ＝7.9×1 ＝7.9 3.简便计算。 2.4×1.25 解析： 2.4×1.25 ＝（0.3×8）×1.25 ＝0.3×（8×1.25） ＝0.3×10 ＝3 【对应练习】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.02×8.5               1.25＋4.6＋0.75                1.6×7.5×1.25 56×1.25                3.4×7×1.5                     0.8×0.25×0.4×12.5 【答案】17.17；6.6；15； 70；35.7；1 【分析】（1）先把2.02拆为2＋0.02，再利用乘法分配律简算。 （2）利用加法交换律、加法结合律简算。 （3）先把1.6拆为2×0.8，再利用乘法交换律、乘法结合律简算。 （4）先把56拆为7×8，再利用乘法结合律简算。 （5）利用乘法交换律、乘法结合律简算。 （6）利用乘法交换律、乘法结合律简算。 【详解】2.02×8.5                ＝（2＋0.02）×8.5 ＝2×8.5＋0.02×8.5 ＝17＋0.17 ＝17.17 1.25＋4.6＋0.75                 ＝4.6＋1.25＋0.75 ＝4.6＋（1.25＋0.75） ＝4.6＋2 ＝6.6 1.6×7.5×1.25 ＝2×0.8×7.5×1.25 ＝2×7.5×0.8×1.25 ＝2×7.5×（0.8×1.25） ＝15×1 ＝15 56×1.25                 ＝7×8×1.25    ＝7×（8×1.25） ＝7×10 ＝70 3.4×7×1.5                      ＝7×3.4×1.5 ＝7×（3.4×1.5） ＝7×5.1 ＝35.7 0.8×0.25×0.4×12.5 ＝0.8×12.5×0.25×0.4 ＝（0.8×12.5）×（0.25×0.4） ＝10×0.1 ＝1 2．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 4.8×0.25              0.78×98                0.5×2.33×8 1.5×105              0.3×2.5×0.4            1.2×2.5＋0.8×2.5 【答案】1.2；76.44；9.32 157.5；0.3；5 【分析】4.8×0.25，改写成（4＋0.8）×0.25，再用乘法分配律进行简算； 0.78×98改写成0.78×（100－2），，再用乘法分配律进行简算； 0.5×2.33×8用乘法交换律简算； 1.5×105，改写成1.5×（100＋5），用乘法分配律进行简算； 0.3×2.5×0.4，用乘法结合律简算； 1.2×2.5＋0.8×2.5，用乘法分配律简算。 【详解】4.8×0.25 ＝（4＋0.8）×0.25 ＝4×0.25＋0.8×0.25 ＝1＋0.2 ＝1.2 0.78×98 ＝0.78×（100－2） ＝0.78×100－0.78×2 ＝78－1.56 ＝76.44 0.5×2.33×8 ＝0.5×8×2.33 ＝4×2.33 ＝9.32 1.5×105 ＝1.5×（100＋5） ＝1.5×100＋1.5×5 ＝150＋7.5 ＝157.5 0.3×2.5×0.4 ＝0.3×（2.5×0.4） ＝0.3×1 ＝0.3 1.2×2.5＋0.8×2.5 ＝2.5×（1.2＋0.8） ＝2.5×2 ＝5 【考点六】小数乘法分配律。 【典型例题】 1.简便计算。 0.4×（2.5＋25） 解析： 0.4×（2.5＋25） ＝0.4×2.5＋0.4×25 ＝1＋10 ＝11 2.简便计算。 7.8×0.36＋0.64×7.8 解析： 7.8×0.36＋0.64×7.8 ＝（0.36＋0.64）×7.8 ＝1×7.8 ＝7.8 3.简便计算。 0.89×101－0.89 解析： 0.89×101－0.89 ＝0.89×（101－1） ＝0.89×100 ＝89 4.简便计算。 14.5×102 解析： 14.5×102 ＝14.5×（100＋2） ＝14.5×100＋14.5×2 ＝1450＋29 ＝1479 5.简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝120－1.2 ＝118.8 6.简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ ＝715 【对应练习】 1．简便计算。 19.5×1.3－0.95×13 【答案】13 【详解】19.5×1.3－0.95×13 ＝（1.95－0.95）×13 ＝1×13 ＝13 2．简便计算。   101×0.75 【答案】75.75 【详解】101×0.75 =（100+1）×0.75 =100×0.75+1×0.75 =75+0.75 =75.75 3．简便计算。 8.4×1.8＋8.4×8.1＋0.84 3.56×38.5＋0.7×356＋9.15×35.6 【答案】84；712 【详解】依据积不变的规律，将0.84改写成8.4×0.1，然后再利用乘法分配律进行计算即可。 8.4×1.8＋8.4×8.1＋0.84 ＝8.4×1.8＋8.4×8.1＋8.4×0.1 ＝8.4×（1.8＋8.1＋0.1） ＝8.4×10 ＝84 依据积不变的规律，将3.56×38.5改写成35.6×3.85，将0.7×356改写成70×35.6，然后再利用乘法分配律进行计算即可。 3.56×38.5＋0.7×356＋9.15×35.6 ＝35.6×3.85＋7×35.6＋9.15×35.6 ＝35.6×（3.85＋7＋9.15） ＝35.6×20 ＝712 【第三篇】解简易方程 【知识总览】 一、方程的相关概念与基本认识。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程，利用等式的性质来解此类方程。 5.方程的检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 二、利用等式的基本性质解方程。 1.等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 2.等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 三、利用四则运算的关系解方程。 1.加法： 加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 2.乘法： 因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 3.减法： 被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 4.除法： 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 四、移项法解方程。＊ 等式左边的数移至等式右边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。同样的，等式右边的数移至等式左边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。 【考点一】方程的认识（方程与等式）。 【典型例题】 下面哪些是等式？哪些是方程？ ①        ②    ③ ④        ⑤        ⑥ 等式有( )方程有( )。 【答案】 ①②⑤⑥ ①⑤⑥ 【分析】含有“＝”的式子就是等式；含有未知数的等式就是方程，所以方程一定是等式，但等式不一定是方程。据此解答即可。 【详解】由分析可知： ①，含有未知数，且是等式，所以该式是等式又是方程； ②，含有“＝”，不含有未知数，所以该式是等式； ③，含有未知数，但不是等式，所以该式既不是等式也不是方程； ④，含有未知数，但不是等式，所以该式既不是等式也不是方程； ⑤，含有未知数，且是等式，所以该式是等式又是方程； ⑥，含有未知数，且是等式，所以该式是等式又是方程。 则等式有①②⑤⑥，方程有①⑤⑥。 【点睛】本题考查等式与方程，明确等式与方程的定义是解题的关键。 【对应练习】 1．在8a＋2＝20，3a－4b，7m＋3m＝100，3.4＋5.6＝9，6a＜12这些式子中等式有( )个，方程有( )个。 【答案】 3 2 【分析】含有等号的式子叫做等式，含有未知数的等式就是方程。根据等式和方程的意义解答即可。 【详解】8a＋2＝20，7m＋3m＝100，3.4＋5.6＝9这三个式子含有等号，它们是等式，所以等式有3个。 8a＋2＝20和7m＋3m＝100中含有未知数，且是等式，它们是方程，所以方程有2个。 【点睛】所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。 2．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( )个，方程有( )。 【答案】 3 y＋a＝8，15x＝0 【分析】含有等号的式子是等式，据此找出等式来；含有未知数的等式是方程，据此确定哪几个等式是方程。 【详解】由分析得： 等式有：y＋a＝8、15x＝0、9＋6＝15，一共是3个； 方程有：y＋a＝8、15x＝0。 【点睛】考查了有关等式、方程的概念，同时对于等式与方程的联系也要有所了解。 【考点二】等式与等量代换。 【典型例题】 1．已知a＋b＝60，a＝b＋b＋b，根据等量代换，可推理得出a＝( )。 【答案】45 【分析】已知a＝b＋b＋b，即a＝3×b，把它代入到a＋b＝60，利用等式的性质，即可求出b的值，继而求出a的值。据此解答。 【详解】a＝b＋b＋b 即a＝3×b＝3b 代入到a＋b＝60中，可得 3b＋b＝60 4b＝60 4b÷4＝60÷4 b＝15 a＝60－15＝45。 【点睛】此题主要考查等量代换，通过等式的性质，求出a的值。 2．根据等式的基本性质得出，如果x＋5.2＝10，那么x＋5.2－5.2＝10－( )。 【答案】5.2 【分析】根据等式的基本性质，等式两边同时加或减同一个数，或同时乘或除以一个数（不为0），等式依然成立。据此解答。 【详解】x＋5.2＝10， 解：x＋5.2－5.2＝10－5.2 x＝4.8 根据等式的基本性质得出，如果x＋5.2＝10，那么x＋5.2－5.2＝10－（5.2）。 【点睛】掌握等式的基本性质是解答的关键。 【对应练习】 1．要保持天平平衡，下面右边的托盘应放置( )个灰色球。 【答案】9 【分析】天平左边1个黑色球的重量等于天平右边3个灰色球的重量，根据等式的性质1，天平的左边增加了2个黑色球，那么右边也得增加2×3个灰色球，此时右边的托盘应放置灰色球（3＋2×3）个；也可根据等式的性质2，天平左边黑色球的数量乘3，则右边灰色球的数量也应乘3，亦可得解。 【详解】根据分析得， 3＋2×3 ＝3＋6 ＝9（个） 或者3×3＝9（个） 所以右边的托盘应放置9个灰色球。 【点睛】此题主要考查等式性质的灵活运用，熟练掌握等式的性质1和等式性质2是解题的关键。 2．根据等式的性质填空。 (1)如果x－8＝11，那么x－8＋8＝( )＋( )。 (2)如果x÷8＝11，那么x÷8×8＝( )×( )。 【答案】(1) 11 8 (2) 11 8 【分析】根据等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。据此解答。 【详解】（1）如果x－8＝11，那么x－8＋8＝11＋8。 （2）如果x÷8＝11，那么x÷8×8＝11×8。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用等式的性质求解。 【考点三】定义新运算。 【典型例题】 定义新运算“©”，A©B＝（A－2）×B，如果A©5＝30，那么A＝( )。 【答案】8 【分析】这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数减去2，再乘运算符号后面的数。据此由A©5＝30，则有（A－2）×5＝30。再解关于A的方程，可求出A的值。 【详解】（A－2）×5＝30 解：（A－2）×5÷5＝30÷5 A－2＝6 A－2＋2＝6＋2 A＝8 【点睛】解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 【对应练习】 1．对于a、b定义新运算：a★b＝a（a－b）＋1，比如5★2＝5×（5－2）＋1＝5×3＋1＝16，如果4★x＝13，那么x＝( )。 【答案】1 【分析】根据新的运算法则“a★b＝a（a－b）＋1”，将4★x＝13代入得一个关于x的方程4×（4－x）＋1＝13，然后方程两边先同时减去1，再同时除以4，然后根据减数＝被减数－差，求解 x的值即可。 【详解】4×（4－x）＋1＝13 解：4×（4－x）＋1－1＝13－1 4×（4－x）＝12 4×（4－x）÷4＝12÷4 4－x＝3 x＝4－3 x＝1 即如果4★x＝13，那么x＝1。 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 2．定义 ，则( )。 【答案】193 【分析】先把a＝4，b＝2代入中，计算出的结果为14，再把a＝14，b＝3代入中，计算出即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝14 ＝ ＝ ＝ ＝193 定义 ，则193。 【点睛】本题根据题意定义的运算进行解答即可。 【考点四】解方程“基础型”。 【典型例题】 解方程。          【答案】；； 【分析】（1）先将方程的左右两边同时乘8，计算出方程左右两边算式的结果，再将方程的左右两边同时除以2； （2）先将方程的左右两边同时加上（15x），再将方程左右两边的式子交换位置，然后将方程的左右两边同时减去6，最后将方程的左右两边同时除以15； （3）将方程的左右两边同时减去6.9即可，据此计算。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【对应练习】 1．解方程。                      【答案】x＝72；x＝251；x＝3.68 【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立。等式两边同时乘上或除以一个相同的数（0除外），等式仍成立。利用等式的性质可以解方程。 （1）观察式子特点可得，等式两边同时减去48即可得到x的值； （2）观察式子特点可得，先把3x看成一个整体，然后等式两边同时减去36即可得到3x的值，再在等式两边同时除以3即可得到x的值； （3）观察式子特点可得，等式两边同时乘上0.8即可得到x的值。 【详解】48＋x＝120 x＋48＝120 x＋48－48＝120－48 x＝72 3x＋36＝789 3x＋36－36＝789－36 3x＝753 x＝251 x÷0.8＝4.6 x÷0.8×0.8＝4.6×0.8 x＝3.68 2．解方程。 ①1.56＋x＝6.24        ②x－7.6×5＝18 【答案】①x＝4.68；②x＝56 【分析】①先把等式两边同时减去1.56即可解答； ②先计算出7.6×5的积，再把等式的两边同时加上积即可解答。 【详解】①1.56＋x＝6.24         解：1.56－1.56＋x＝6.24－1.56 x＝4.68 ②x－7.6×5＝18 解：x－38＝18 x－38＋38＝18＋38 x＝56 【考点五】解方程“提高型”。 【典型例题】 解方程。 15＋5x＝70          4x－6＝30        14x－9＝145 1.6×25－5x＝5        x÷15＝26        16x＋3.6＝67.6 【答案】x＝11；x＝9；x＝11 x＝7；x＝390；x＝4 【分析】 在等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍成立，在等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍成立。利用等式的性质解方程即可。 【详解】15＋5x＝70 解：15＋5x－15＝70－15 5x＝55 5x÷5＝55÷5 x＝11 4x－6＝30 解：4x－6＋6＝30＋6 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 14x－9＝145 解：14x－9＋9＝145＋9 14x＝154 14x÷14＝154÷14 x＝11 1.6×25－5x＝5 解：40－5x＝5 40－5x＋5x＝5＋5x 5＋5x＝40 5＋5x－5＝40－5 5x＝35 5x÷5＝35÷5 x＝7 x÷15＝26 解：x÷15×15＝26×15 x＝390 16x＋3.6＝67.6 解：16x＋3.6－3.6＝67.6－3.6 16x＝64 16x÷16＝64÷16 x＝4 【对应练习】 1．解方程。 4y－24＝16        54x＝108          5x÷6＝2.5 12x＝72          x÷6.8＝4.5        5x－1.5＝18.5 【答案】y＝10；x＝2；x＝3 x＝6；x＝30.6；x＝4 【分析】 根据等式的性质，两边同时加上24再同时除以4即可； 根据等式的性质两边同时除以54即可； 根据等式的性质两边同时乘6再同时除以5即可； 根据等式的性质两边同时除以12即可； 根据等式的性质两边同时乘6.8即可； 根据等式的性质两边同时加上1.5再同时除以5即可。 【详解】4y－24＝16 解：4y－24＋24＝16＋24 4y＝40 4y÷4＝40÷4 y＝10 54x＝108 解：54x＝108 54x÷54＝108÷54 x＝2 5x÷6＝2.5 解：5x÷6×6＝2.5×6 5x＝15 5x÷5＝15÷5 x＝3 12x＝72 解：12x÷12＝72÷12 x＝6 x÷6.8＝4.5 解：x÷6.8×6.8＝4.5×6.8 x＝30.6 5x－1.5＝18.5 解：5x－1.5＋1.5＝18.5＋1.5 5x＝20 5x÷5＝20÷5 x＝4 2．解方程。                                                        【答案】x＝25.6；x＝15；x＝34.5 y＝20；x＝4；x＝6 【分析】在等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍成立，在等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍成立。利用等式的性质解方程即可。 【详解】x－0.9＝24.7 解：x－0.9＋0.9＝24.7＋0.9 x＝25.6 4x＝60 解：4x÷4＝60÷4 x＝15 x÷7.5＝4.6 解：x÷7.5×7.5＝4.6×7.5 x＝34.5 2y－5.2＝34.8 解：2y－5.2＋5.2＝34.8＋5.2 2y＝40 2y÷2＝40÷2 y＝20 2x＋5.67＝13.67 解：2x＋5.67－5.67＝13.67－5.67 2x＝8 2x÷2＝8÷2 x＝4 1.6×25－6x＝4 解：40－6x＝4 40－6x＋6x＝4＋6x 4＋6x＝40 4＋6x－4＝40－4 6x＝36 6x÷6＝36÷6 x＝6 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$