期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形【四大篇目】-2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 30 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2 / 30 2023-2024 学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形 【四大篇目】 本专题是期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形。本部 分内容主要以图形与几何为主，其中包括三角形、平行四边和梯形以及图形的运 动、确定物体的位置等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 4 .......................................................................................... 4 ...........................................................................................................5 .......................................................................................... 6 ...................................................................................................... 7 ...............................................................................................................8 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........................................................................................................ 29 4 / 30 一、三角形的特性。 1. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 一个三角形有 3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延 长线上），底和高是一一对应的。 3. 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.它们在生活中都有着广泛的应用。 4. 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 5. 三条线段能围成三角形的条件是任意两边的和大于第三边。 二、三角形的分类。 1. 在直角三角形中，斜边最长。 2. 两腰相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形。 3. 三角形的分类：按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边 分可以分为等腰三角形和三边都不等的三角形 三、三角形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 【典型例题 1】其一。 下图中，一扇窗户打开后，可以用窗户挡风撑杆 AB将其固定，窗户就不会被风 吹得晃动。这里运用到的数学知识是( )。 【对应练习】 5 / 30 斜拉桥的设计运用了三角形有( )的特性，伸缩门的设计运用了 ( )易变形的特性。 【典型例题 2】其二。 要使下图的架子更稳固，可以怎样加固它？在图中画一画。 【对应练习】 如图，王叔叔用木条钉成了一个长方形的木框，请你想办法给这个木框加固，使 其不会变形。把你的想法画在下图中。 【典型例题 1】概念。 如图△ABC中，BC边上的高是线段( )，AB边上的高是线段( )。 【对应练习】 以 BC边为底，高是( )；以 AC边为底，高是( )。 【典型例题 2】画法。 说出下面每个三角形各部分的名称，并画出指定底边上的高。 6 / 30 【对应练习】 画出每个三角形指定底边上的高。 【典型例题 1】问题一。 下列能组成三角形的线段的长（单位：厘米）是( )。 A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6 【对应练习】 下面的哪组线段能围成一个三角形( )。 A．6、7、8 B．4、5、10 C．3、6、9 【典型例题 2】问题二。 王老师准备了 12厘米和 6厘米的木棒各一根，现在他想拼成一个三角形，这个 三角形第三边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米） 【对应练习】 已知一个三角形的两条边分别是 6厘米和 10厘米，如果第三边的长恰好是整数， 那么，第三边最长是多少厘米？最短又是多少厘米？（取整厘米数） 7 / 30 【典型例题 3】问题三。 如果三角形的两条边的长分别是 6厘米和 3厘米，那么第三条边的长可以是多 少？（边长为整厘米数） 【对应练习】 如果三角形的两边长分别是 9cm和 7cm，那么第三边长可能是多少厘米？（取 整厘米数） 【典型例题 1】问题一。 猜一猜：如图可能是什么三角形？ 如果还有一个角为 90°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为 100°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为 60°时，这个三角形是( )三角形。 【对应练习】 一个三角形最小的内角是 60 ，这个三角形按角进行分类是( )三角形， 按边进行分类是( )三角形。 【典型例题 2】问题二。 根据三角形露出的部分，不能判断出这个三角形类型（按角分）的是( )。 A． B． 8 / 30 C． D． 【对应练习】 下面四幅图中，三角形都被长方形纸板遮住了一部分。一定是锐角三角形的是 ( )。 A． B． C． D． 【典型例题】 1．画一个直角三角形，其中一个锐角是 50°。 2．在下面的点子图上画一个等腰三角形。 【对应练习】 1. 在下面的点子图中画出一个等腰直角三角形，再作出这个三角形斜边上的高。 9 / 30 2. 以线段 AB为一条直角边画三角形 ABC，使它既是等腰三角形，又是直角三 角形。 【典型例题 1】求底边长。 一个等腰三角形的周长是 28厘米，其中一条腰长 11厘米，那么它的底边长是 ( )厘米。 【对应练习】 一个等腰三角形的周长是 28厘米，其中一条腰长 11厘米，那么它的底边长是 ( )厘米。 【典型例题 2】求腰长。 用一根长 24分米的铁丝围成一个等腰三角形，如果底边长 10分米，那么这个三 角形的腰长( )分米。 【对应练习】 用一根长 24厘米的铁丝围一个底边是 10厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的 腰是( )厘米。 【典型例题 3】求底边长或腰长。 一个周长为 20米的等腰三角形，其中一条边长 4米，另外两条边长分别是 ( )米和( )米。 【对应练习】 将一根 16分米长的铁丝截成三段，首尾相接正好可以围成一个等腰三角形，其 中一段长 4分米，另外两段的长分别是( )分米和( )分米。 【典型例题 4】求角度。 10 / 30 1. 一个等腰三角形的顶角是 80°，它的一个底角是( )°。 2. 一个等腰三角形中，一个底角是 40°，则顶角是( ) 。 【对应练习】 一个等腰三角形的顶角是 92度，它的一个底角是( )度。 【典型例题 5】求周长。 王师傅想做一个等腰三角形形状的玩具。这个玩具的两条边长分别是 49厘米、 24厘米，这个等腰三角形玩具的周长是多少厘米？ 【对应练习】 小明制作了一个等腰三角形的风筝，其中两条边的长度分别是26厘米和58厘米， 小明想给风筝围上花边，花边长多少厘米？ 【典型例题 1】问题一。 在一个三角形中每个角都是 60°，已知其中的一条边长是 8厘米，求这个三角形 的周长是多少厘米？ 【对应练习】 一个等边三角形的花坛，边长 30米，小明每天绕着花坛跑 15圈，小明每天要跑 多少米？ 11 / 30 【典型例题 2】问题二。 一根铁丝围成的平行四边形的邻边分别是 12厘米和 6厘米，这个平行四边形的 周长是( )厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是( )厘 米。 【对应练习】 一个等边三角形和一个正方形的周长相等，正方形的边长是 15厘米，等边三角 形的边长是( )厘米。 【典型例题 3】问题三。 一个等边三角形，每个内角( )度。 【对应练习】 一个等边三角形按角的大小分是( )。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【典型例题 1】其一。 求未知角的度数。 【对应练习】 求出图中未知角的度数。 12 / 30 【典型例题 2】其二。 如图，已知∠1＝30°，∠2＝115°。求：∠3的度数。 【对应练习】 已知∠3＝100°，∠4＝80°，求∠5的度数。 【典型例题 3】其三。 如图，三角形 ABC和三角形 DBC都是等腰三角形，求∠3的度数。（注意： ∠A＝90°） 13 / 30 【对应练习】 在如图中三角形 ACD是一个等腰三角形，三角形 ABC是一个钝角三角形。你 能运用所学的知识，计算出∠2和∠4各是多少度吗？ 【典型例题】 一个多边形的内角和是 360°，这个图形是( )边形；五边形的内角和是 ( )。 【对应练习】 1．如图，在三角形中， =60B ，若沿虚线剪去 B ，则 1 与 2 的度数和是 ( )。 2．如图，一个六边形的内角和是 720°，试一试，推导出 1 2 3 4 5 6       ( )°。 14 / 30 一、平行与垂直。 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条 直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线 a与 b互相平行，记作 （ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一 条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）； 垂直可以用用符号“⊥”表示，直线 a与 b互相垂直，记作（ ），读作 （ ）。 二、平行四边形和梯形。 1.平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.梯形： 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一 个角是直角的梯形叫做直角梯形。 三、等腰梯形和直角梯形。 1.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 15 / 30 2.有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 1. 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 2. 下图中，a与 b互相( )，b与 c互相( )，c与 d互相( )。 3. 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【对应练习】 1. 图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是( )，图 2中，直线 c是直线 d的( )线；图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的( )。 2. 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 16 / 30 【典型例题】 1. 过 P点作 OA的平行线，作 OB的垂直线。 2. 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图 中画出最佳路线。 【对应练习】 1. 过点 O画 AB的平行线和垂线。 2. 甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。 【典型例题】 1. 分一分，填一填。把下面的图形分类。 平行四边形有( )，梯形有( )。 17 / 30 2. 伸缩门就是利用平行四边形( )的特点制作的。 3. 图中 a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。 【对应练习】 1. 如图哪些是正方形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是梯形？ 正方形：（ ）；长方形：（ ）；平行四边形：（ ）； 梯形：（ ）。 2. 折叠椅利用了平行四边形的( )性，在不使用时收起来可以节省空间。 3. 下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【典型例题】 1. 画出下面各图形的高，并用文字标出相应的底。 2. 在下面的点子图上分别画一个梯形和一个平行四边形，使这两个图形的高相 等。 18 / 30 3. 我会画。 （1）在平行四边形里画一条线段，使它变成两个梯形。 （2）在梯形里画一条线段，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 【对应练习】 1. 分别画出下面图形指定底边上的高。 2. 请在下面的点子图中画一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条 高。 3. 按要求在下面的梯形中画一条线段，把梯形分成两个图形。 （1）两个三角形。 19 / 30 （2）两个梯形。 （3）一个长方形和一个三角形。 【典型例题】 1. 下图平行四边形的高是( )厘米，周长是( )厘米。 2. 如图，平行四边形ABCD的周长是126厘米，边CD的长是16厘米，那么边AD的 长是( )厘米。 3. 王阿姨有一块平行四边形的菜地，这块菜地的一边长 12米，它的邻边比它短 3米。这块菜地的周长是多少米？ 【对应练习】 1. 一个平行四边形的一条边长是 23厘米，它的邻边比它长 6厘米。这个平行四 边形的周长是多少厘米？ 20 / 30 2. 一块平行四边形菜地，相邻两边分别是 120米和 80米，现在要在这块菜地的 四周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 【典型例题】 1. 一个等腰梯形上底长 12cm，下底长 30cm，腰长 15cm，这个梯形的周长为 （ ）cm。 2. 等腰梯形的周长是 18cm，腰长 3cm，这个梯形的上下底之和是( )cm。 3. 如图，某农场要在蔬菜种植区的三面围上栅栏（一面是墙）。已知每米栅栏 需要 45元，围这三面栅栏需要花多少钱？ 4. 用两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是 100厘米，已知一个等腰梯形的周长是60厘米，等腰梯形一条腰的长是( ) 厘米。 【对应练习】 1. 一个等腰梯形的上底是 6厘米，下底是 8厘米，一条腰是 7厘米，围成这个 等腰梯形至少要( )厘米长的铁丝。 2. 如图所示，李大爷沿墙用篱笆围了一个等腰梯形形状的花园，篱笆共长 18米， 则这个花园的一条腰的长是多少米？ 21 / 30 3. 把两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形（如图），这个直角梯形的周长 是( )。 22 / 30 一、轴对称。 1.如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.有的图形只有 1条对称轴，有的图形有多条对称轴。 3.在轴对称图形中，对称点的连线与对称轴互相垂直，对称点到对称轴的距离相 等。 4.补全轴对称图形，可以按三个步骤完成。 第一步：“找”关键点； 第二步：确“定”各关键点的对称点； 第三步：依次“连”接各对称点，得到轴对称图形的另一半。 二、平移。 1.图形的平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2.确定图形平移的方向和距离时，可以根据该图上某个关键点平移的方向和距离 来确定。 3.求一些不规则图形的面积时，可以利用平移将不规则图形转化成规则图形再计 算。 【典型例题 1】其一。 在下面的图形中，有( )个不是轴对称图形。 【对应练习】 在 ACHMNG中，轴对称字母有( )。 【典型例题 2】其二。 我们学过的平面图形中，有两条对称轴的是( )，有三条对称轴的是 ( )，有四条对称轴的是( )。 23 / 30 【对应练习】 正方形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，圆的对称轴有 ( )条，半圆的对称轴有( )条。 【典型例题 1】问题一。 填一填。 (1)图形①和图形②是( )图形。 (2)点 B和点 B'到对称轴的距离都是( )小格。 (3)点 C到对称轴的距离是( )小格，与点( )到对称轴的距离是一 样的。 (4)点 D'与点( )到对称轴的距离都是 2小格。 【对应练习】 在字母 L、M、N中，( )是轴对称的；在轴对称图形中点 A到对称轴的 距离是 5厘米，它的对应点到对称轴的距离是( )厘米。 【典型例题 2】问题二。 轴对称图形的应用。 在美术课上，东东学习了利用对称的知识来剪纸。他想剪出一只小鸟，尝试了四 种剪法（如下图）。哪一种剪法可以剪出左边这只小鸟？把正确方法的序号填在 括号里。 正确的是 ( )。 24 / 30 【对应练习】 把一张长方形纸对折再对折，剪完后展开如下图，那么这张纸是( )。（填 序号） 【典型例题 3】问题三。 如果在平面镜中看到钟表上时刻为 ，那么实际上现在是( )。 【对应练习】 下边的图是小明在镜子中看到的图像，它表示的真实时间是( )。 【典型例题 1】其一。 下列是平移现象的有( )。 ①火车在笔直的轨道上行驶 ②翻开课本 ③拉抽屉的过程 ④乘直升电梯从一楼到五楼 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【对应练习】 关于图形的平移，说法正确的是( )。 A．改变了图形的大小 B．改变了图形的大小和位置 C．图形的大小和位置都没改变 D．只改变图形的位置不改变图形的大小 【典型例题 2】其二。 如图，小狗先向( )平移 1格，再向( )平移( )格才能吃到 骨头。 25 / 30 【对应练习】 下图中，图 A向( )平移( )格得到图 B。图 B向( )平移 ( )格得图 C。 【典型例题】 要求一：画出下面这个图形的轴对称图形。（虚线为对称轴） 要求二：画出原四边形 ABCD向右平移 6格后的图形。 【对应练习】 1．先补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移 6格后的图形。 26 / 30 2．补全下面轴对称图形，并画出完整图形向右平移 9格后的图形。 27 / 30 一、行与列。 竖排叫做列，横排叫做行；确定列数时，一般要从左往右数，确定行数时，一般 要从前往后（或从上往下）数。 二、数对表示位置。 用数对表示物体的位置，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数），不能调 换位置；两个数之间一定要用逗号隔开；相同的数在不同的位置表示的意义不同。 三、数对与位置的关系。 用数对可以表示平面图上物体的位置；给出物体在平面图上的数对，就可以确定 物体所在的位置。 四、平移与行列。 把一个点向右（或）向左平移几格，行数不变，列数加上（或减去）几；把一个 点向上（或下）平移几格，列数不变，行数加上（或减去）几。 五、图形的平移。 在方格纸上平移图形时，可以用数形结合的方法，先确定出原图形各顶点平移后 的对应点的位置，再将各对应点按顺序连接起来，得到平移后的图形。 【典型例题】 1.如果电影票上的“a排 b号”表示为（a，b），（7，15）表示( )排( ) 号。 2.电影票上的“8排 12号”简记作（8，12），则“10排 7号”简记作( )， （12，16）表示( )排( )号。 【对应练习】 1．小明坐在教室的第 3列、第 5行的位置，用数对表示是（3，5），小芳坐的 位置用数对表示是（7，5），她在第( )列、第( )行，他们之间 还坐着( )名同学。 2．同学们排队做操，小红站在第 5列第 3行，用( )表示，用（6，2） 28 / 30 表示的同学站在第( )列，第( )行。 【典型例题】 1.如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面 一个同学的座位用数对表示是( )。 2.王老师坐在大厅的第 5列第 7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相邻 老师的位置用数对表示为( )。 【对应练习】 1．李平在教室里的位置用数对表示是（6，5），坐在他正前面的同学的位置用 数对( )表示。 2．小丽坐在教室的第 4列第 2行，用数对( )表示，她左边同桌的位置 可用数对( )表示，坐在小丽正后方的第一个位置上的组长的位置用数对 表示是( )。 【典型例题】 如图：A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（ ， ），C点用 数对表示为（ ， ），三角形 ABC是( )三角形。 【对应练习】 1.三角形 ABC中的 A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1）， C点用数对表示为（1，3），则三角形 ABC是( )三角形。 2.如图，点 B的位置用数对表示是（4，2）。 29 / 30 (1)点 A的位置用数对表示是( )，点 C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形 ABC向右平移 3格，平移后点 C的位置用数对表示是( )。 【典型例题】 下图是冷水滩区河东部分的平面示意图。 （1）用数对标出位置：白石山公园( )，好又多超市( )。 （2）图中（6，3）表示的位置是( )。 （3）( )和( )在同一行上。 （4）小明同学从滨江公园出发到万达广场，他应该怎么走？ 【对应练习】 如图是某城市部分城区的平面示意图。 （1）周六，乐乐先后去了超市、图书馆、广场、公园、 请用数对表示出乐乐的活动路线。 ( )→( )→( )→( ) 30 / 30 （2）书店在学校以北 100m，再往东走 600m处，请在图中标出书店的位置。 1 / 58 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2 / 58 2023-2024 学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形 【四大篇目】 本专题是期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形。本部 分内容主要以图形与几何为主，其中包括三角形、平行四边和梯形以及图形的运 动、确定物体的位置等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 4 .......................................................................................... 4 ...........................................................................................................6 .......................................................................................... 8 .................................................................................................... 10 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........................................................................................................ 54 ........................................................................................................ 56 4 / 58 一、三角形的特性。 1. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 一个三角形有 3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延 长线上），底和高是一一对应的。 3. 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.它们在生活中都有着广泛的应用。 4. 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 5. 三条线段能围成三角形的条件是任意两边的和大于第三边。 二、三角形的分类。 1. 在直角三角形中，斜边最长。 2. 两腰相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形。 3. 三角形的分类：按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边 分可以分为等腰三角形和三边都不等的三角形 三、三角形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 【典型例题 1】其一。 下图中，一扇窗户打开后，可以用窗户挡风撑杆 AB将其固定，窗户就不会被风 吹得晃动。这里运用到的数学知识是( )。 【答案】三角形具有稳定性 5 / 58 【分析】根据图片可知，挡风撑杆 AB与窗户形成了一个三角形，三角形具有稳 定性，据此解答即可。 【详解】挡风撑杆 AB与窗户形成了一个三角形，三角形具有稳定性，所以窗户 就不会被风吹得晃动。所以这里运用到的数学知识是：三角形具有稳定性。 【对应练习】 斜拉桥的设计运用了三角形有( )的特性，伸缩门的设计运用了 ( )易变形的特性。 【答案】 稳定性 平行四边形 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。 平行四边形的不稳定性又叫做易变形性，是指平行四边形边长确定，其形状、大 小不能完全确定。 【详解】斜拉桥的设计运用了三角形有稳定性的特性，伸缩门的设计运用了平行 四边形易变形的特性。 【点睛】解答此题的关键是明确三角形的稳定性和平行四边形的不稳定性，需熟 练掌握。 【典型例题 2】其二。 要使下图的架子更稳固，可以怎样加固它？在图中画一画。 【答案】见详解 【分析】三角形具有稳定性，据此可以可以加固一根钢管，形成三角形即可。（答 案不唯一） 【详解】可以加固一根钢管，形成三角形，如下： 【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在生活中的应用。 【对应练习】 6 / 58 如图，王叔叔用木条钉成了一个长方形的木框，请你想办法给这个木框加固，使 其不会变形。把你的想法画在下图中。 【答案】见详解 【分析】利用三角形的特性，因为三角形的稳定性很好，三角形越多，稳定性越 好。将长方形构造为三角形，增强了它的稳定性即可。 【详解】根据分析得，可以斜着加一根木条，利用三角形的稳定性，可以使它更 牢固。 如图： 【点睛】此题的解题关键是灵活利用三角形的稳定性并运用在实际生活中。 【典型例题 1】概念。 如图△ABC中，BC边上的高是线段( )，AB边上的高是线段( )。 解析：AE；CD 【对应练习】 以 BC边为底，高是( )；以 AC边为底，高是( )。 7 / 58 解析：AN；BM 【典型例题 2】画法。 说出下面每个三角形各部分的名称，并画出指定底边上的高。 【答案】见详情 【分析】已知三角形的底，两边的角为底角，另一个角为顶角，有一个底，两条 边，高是从顶点起垂直与底角的线，据此画图即可。 【详解】如图： 【对应练习】 画出每个三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作画线，顶点和垂足 之间的线段就是三角形的一条高，再添上垂足，用三角板的直角可以画出三角形 的高；据此解答即可。 【详解】 8 / 58 【典型例题 1】问题一。 下列能组成三角形的线段的长（单位：厘米）是( )。 A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6 【答案】A 【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：三角形两边之和大 于第三边，三角形两边之差小于第三边。但通常不需一一验证，其简便方法是将 较短两边之和与较长边比较。 【详解】A．10＋10＝20＞12，两边之和大于第三边，可以组成三角形； B．1＋6＝7，两边之和等于第三边，不能组成三角形； C．3＋3＝6＜7，两边之和小于第三边，不能组成三角形； D．2＋4＝6，两边之和等于第三边，不能组成三角形。 故答案为：A 【对应练习】 下面的哪组线段能围成一个三角形( )。 A．6、7、8 B．4、5、10 C．3、6、9 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第 三边；进行解答即可。 【详解】A．6＋7＞8 B．4＋5＜10 C．3＋6＝9 所以，6、7、8三条线段能围成一个三角形。 故答案为：A 【典型例题 2】问题二。 9 / 58 王老师准备了 12厘米和 6厘米的木棒各一根，现在他想拼成一个三角形，这个 三角形第三边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米） 解析： 12＋6＝18（厘米） 12－6＝6（厘米） 根据三角形的三边关系，因此三角形的第三边必须在 6厘米和 18厘米之间（不 包括 6厘米和 18厘米）， 因此最长是：18－1＝17（厘米） 最短是：6＋1＝7（厘米） 答：这个三角形第三边最长是 17厘米；最短是 7厘米。 【对应练习】 已知一个三角形的两条边分别是 6厘米和 10厘米，如果第三边的长恰好是整数， 那么，第三边最长是多少厘米？最短又是多少厘米？（取整厘米数） 解析： 10＋6＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 则第三条边应比 16厘米短，比 4厘米长。因为要求取整厘米数，所以第三条边 最长是 15厘米，最短是 5厘米 . 答：第三条边最长是 15厘米，最短是 5厘米。 【典型例题 3】问题三。 如果三角形的两条边的长分别是 6厘米和 3厘米，那么第三条边的长可以是多 少？（边长为整厘米数） 解析： 6厘米＋3厘米＝9厘米，6厘米－3厘米＝3厘米， 3厘米＜第三边的长度＜9厘米，因此第三条边的长可以是 8厘米、7厘米、6 厘米、5厘米、4厘米。 答：第三条边的长可以是 8厘米、7厘米、6厘米、5厘米、4厘米。 【对应练习】 如果三角形的两边长分别是 9cm和 7cm，那么第三边长可能是多少厘米？（取 整厘米数） 10 / 58 解析：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15厘米 【典型例题 1】问题一。 猜一猜：如图可能是什么三角形？ 如果还有一个角为 90°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为 100°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为 60°时，这个三角形是( )三角形。 【答案】 直角 钝角 锐角 【分析】根据三角形的内角和为 180°，分别求出各种情况下三角形第三个角的 度数，再判断三角形的类型。 【详解】180°－60°－90°＝30° 180°－60°－100°＝20° 180°－60°－60°＝60° 如果还有一个角为 90°时，这个三角形是直角三角形； 如果还有一个角为 100°时，这个三角形是钝角三角形； 如果还有一个角为 60°时，这个三角形是锐角三角形。 【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形的分类，关键是求出第三个角的度 数。三角形中最大角的度数决定三角形的类型。 【对应练习】 一个三角形最小的内角是 60 ，这个三角形按角进行分类是( )三角形， 按边进行分类是( )三角形。 【答案】 锐角 等边 【分析】，由题可知，一个三角形最小的内角是 60°，则剩余两个角的和是 120°， 即剩余两个内角最小也是 60°，其和正好符合条件，所以这个三角形的三个内角 都是 60°，是等边三角形。这个三角形按角进行分类是锐角三角形，按边分类是 11 / 58 等边三角形。 【详解】一个三角形最小的角是 60°，则其他两个角也是 60°，所以按角分是锐 角三角形，按边分是等边三角形。 【点睛】本题主要考查的是三角形的分类，应熟知各三角形的特点。 【典型例题 2】问题二。 根据三角形露出的部分，不能判断出这个三角形类型（按角分）的是( )。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形中，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的 三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，根据各个图形判 断出三角形的类型即可解答。 【详解】A．图中三角形露出的角是钝角，这个三角形是钝角三角形。 B．根据图中两个已知角可以判断出第三个角也是锐角，两个已知角也是锐角， 这个三角形是锐角三角形。 C．图中三角形露出的角是直角，这个角形是直角三角形。 D．图中三角形露出的角是锐角，不能确定另外两个角的类型，所以不能判断出 这个三角形的类型。 故答案为：D 【对应练习】 下面四幅图中，三角形都被长方形纸板遮住了一部分。一定是锐角三角形的是 ( )。 A． B． 12 / 58 C． D． 【答案】D 【分析】根据露出部分的角，判断末知角的大小情况，再根据三角形分类知识判 断哪个三角形一定是锐角三角形。 【详解】A．如下图，三角形的另一个末知角是钝角，这个三角形是钝角三角形。 B．如下图，三角形有一个钝角，这个三角形是钝角三角形。 C．如下图，三角形有一个锐角，另外的两个角中可能有一个钝角或直角，也可 能另外两个角都是锐角，所以这个三角形不一定是锐角三角形。 D．如下图，三角形的 3个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了三角形分类知识的灵活运用。 【典型例题】 1．画一个直角三角形，其中一个锐角是 50°。 【答案】见详解 13 / 58 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；因此可先画出一个直角，再以 直角其中一条边上的任意一点为另一个角的顶点，并根据角的画法画出一个 50° 的角，最后将这个角的另一条边延长并与直角的另一条直角边相交于一点，即可 得到有一个锐角是 50°的直角三角形，依此画图。 【详解】画图如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形的特点，以及用量角器画角的 方法，是解题的关键。 2．在下面的点子图上画一个等腰三角形。 【答案】见详解 【分析】两条边相等的三角形是等腰三角形，据此画图即可。 【详解】 （画法不唯一） 【点睛】熟记等腰三角形的特征是解题关键。 【对应练习】 1. 在下面的点子图中画出一个等腰直角三角形，再作出这个三角形斜边上的高。 14 / 58 【答案】见详解 【分析】等腰直角三角形的两条直角边相等，有一个直角，据此即可在点子图中 画出一个等腰直角三角形。过直角顶点向斜边作垂线，顶点与垂足间的线段，就 是斜边上的高，据此可画出这个三角形斜边上的高。 【详解】 （画法 不唯一） 【点睛】本题考查等腰直角三角形的特征以及三角形高的画法，高一般用虚线表 示，并画上垂足符号。垂足所在的边叫做底。 2. 以线段 AB为一条直角边画三角形 ABC，使它既是等腰三角形，又是直角三 角形。 【答案】见详解 【分析】等腰直角三角形的特点：有两条边相等且有一个角是直角，以 A点作 15 / 58 为直角的顶点，线段 AC＝线段 AB长，∠CAB＝90°，连接 CB即可得到三角形 ABC；据此作图。（画法不唯一） 【详解】作图如下： （画法不唯一） 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等腰直角三角形的特征以及它的画法。 【典型例题 1】求底边长。 一个等腰三角形的周长是 28厘米，其中一条腰长 11厘米，那么它的底边长是 ( )厘米。 解析： 28 11 2  28 22  6( ) 厘米 【对应练习】 一个等腰三角形的周长是 28厘米，其中一条腰长 11厘米，那么它的底边长是 ( )厘米。 【答案】6 【分析】等腰三角形的两腰长相等，用周长减去两个腰长就是底边的长度，据此 解答。 【详解】28 11 2  28 22  6( ) 厘米 一个等腰三角形的周长是 28厘米，其中一条腰长 11厘米，那么它的底边长是（6） 16 / 58 厘米。 【点睛】本题考查等腰三角形特征，熟知它的两腰长相等是解答本题的关键。 【典型例题 2】求腰长。 用一根长 24分米的铁丝围成一个等腰三角形，如果底边长 10分米，那么这个三 角形的腰长( )分米。 解析： 24－10＝14（分米） 14÷2＝7（分米） 【对应练习】 用一根长 24厘米的铁丝围一个底边是 10厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的 腰是( )厘米。 解析： （24－10）÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 这个等腰三角形的腰是 7厘米。 【典型例题 3】求底边长或腰长。 一个周长为 20米的等腰三角形，其中一条边长 4米，另外两条边长分别是 ( )米和( )米。 解析： 假设 4米为腰长，则底长为：20－4－4＝12（米） 4米＋4米＜12米，因此 4米不能为腰长 则 4米为底长； 20－4＝16（米） 16÷2＝8（米） 因此另外两条边长分别是 8米和 8米。 【对应练习】 将一根 16分米长的铁丝截成三段，首尾相接正好可以围成一个等腰三角形，其 中一段长 4分米，另外两段的长分别是( )分米和( )分米。 17 / 58 【答案】 6 6 【分析】等腰三角形的两腰相等，等腰三角形三条边的总长度是 16分米；三角 形 3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于 第三边，依此进行填空即可。 【详解】假设 4分米为腰长，则底长为：16－4－4＝8（分米） 4＋4＝8（分米），8分米＝8分米，因此 4分米不能为腰长； 假设 4分米为底长，则腰长为： （16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6分米＋4分米＞6分米；6分米－4分米＜6分米，即底长为 4分米，腰长为 6 分米 因此其中一段长 4分米，另外两段的长分别是 6分米和 6分米。 【点睛】此题考查的是三角形的周长，等腰三角形的特点，三角形三条边之间的 关系，应熟练掌握。 【典型例题 4】求角度。 1. 一个等腰三角形的顶角是 80°，它的一个底角是( )°。 解析：50 2. 一个等腰三角形中，一个底角是 40°，则顶角是( ) 。 解析：100 【对应练习】 一个等腰三角形的顶角是 92度，它的一个底角是( )度。 解析：44 【典型例题 5】求周长。 王师傅想做一个等腰三角形形状的玩具。这个玩具的两条边长分别是 49厘米、 24厘米，这个等腰三角形玩具的周长是多少厘米？ 【答案】122厘米 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形 3条边的关系是：任意两边的长度之和 大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形的腰 18 / 58 长，再计算出这个等腰三角形三条边的总长度即可。 【详解】当腰长为 24厘米时，24＋24＝48（厘米），48厘米＜49厘米，因此腰 长不能为 24厘米； 当腰长为 49厘米时，49＋24＝73（厘米），73厘米＞49厘米，49－24＝25（厘 米）25厘米＜49厘米；因此腰长为 49厘米。 49＋49＋24 ＝98＋24 ＝122（厘米） 答：这个等腰三角形玩具的周长是 122厘米。 【点睛】此题考查的是三角形的周长的计算，应熟练掌握三角形三边的关系，以 及等腰三角形的特点。 【对应练习】 小明制作了一个等腰三角形的风筝，其中两条边的长度分别是26厘米和58厘米， 小明想给风筝围上花边，花边长多少厘米？ 【答案】142厘米 【分析】如果 26厘米的边为腰，26＋26＜58，不符合任意两边之和大于第三边 要求，所以只能是 58厘米的边为腰，底边长 26厘米，把等腰三角形的三条边长 度相加即等于花边长度，据此即可解答。 【详解】26＋26＜58，不符合任意两边之和大于第三边要求，所以只能是 58厘 米的边为腰， 26厘米的边为底。 58×2＋26 ＝116＋26 ＝142（厘米） 答：花边长 142厘米。 【点睛】明确腰的长度是多少是解答本题的关键。 【典型例题 1】问题一。 在一个三角形中每个角都是 60°，已知其中的一条边长是 8厘米，求这个三角形 的周长是多少厘米？ 19 / 58 【答案】24厘米 【分析】已知三角形中每个角都是 60°，可知它是等边三角形，等边三角形 3个 角相等，3条边长度相等，利用每边长度×3＝周长，据此解答。 【详解】8×3＝24（厘米） 答：这个三角形的周长是 24厘米。 【点睛】掌握等边三角形的特征是解答此题关键。 【对应练习】 一个等边三角形的花坛，边长 30米，小明每天绕着花坛跑 15圈，小明每天要跑 多少米？ 【答案】1350米 【分析】先根据边长计算出一圈的长度，等边三角形的三边相等，再用乘法计算 出 15圈跑了多少米，据此解答。 【详解】30 3 15  90 15  1350( ) 米 答：小明每天要跑 1350米。 【点睛】熟练掌握等边三角形的特征以及两位数乘两位数的计算方法并灵活运用 是解答本题的关键。 【典型例题 2】问题二。 一根铁丝围成的平行四边形的邻边分别是 12厘米和 6厘米，这个平行四边形的 周长是( )厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是( )厘 米。 【答案】 36 12 【分析】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，平行四边形的周长为相邻两 边长度和的 2倍，据此解答即可。用这根铁丝围成一个等边三角形，则等边三角 形的周长等于这根铁丝的长度，也就等于平行四边形的周长。等边三角形的边长 ＝周长÷3，据此解答即可。 【详解】（12＋6）×2 ＝18×2 20 / 58 ＝36（厘米） 36÷3＝12（厘米） 即这个平行四边形的周长是 36厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是 12厘米。 【点睛】本题考查平行四边形和等边三角形的周长，熟记平行四边形和等边三角 形的特征是解题关键。 【对应练习】 一个等边三角形和一个正方形的周长相等，正方形的边长是 15厘米，等边三角 形的边长是( )厘米。 【答案】20 【分析】正方形的周长＝边长×4，依此即可计算出正方形的周长，等边三角形的 三条边都相等，因此用正方形的周长除以 3，即可计算出等边三角形的边长，依 此计算。 【详解】15×4＝60（厘米） 60÷3＝20（厘米） 等边三角形的边长是 20厘米。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握正方形的周长的计算，以及应掌握等边三 角形的特点。 【典型例题 3】问题三。 一个等边三角形，每个内角( )度。 解析：60 【对应练习】 一个等边三角形按角的大小分是( )。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：A 【典型例题 1】其一。 求未知角的度数。 21 / 58 【答案】96°；34°；66° 【分析】三角形的内角和是 180°，1直角＝90°，因此用 180°减另外两个角的度 数之和即可，依此计算。 【详解】180°－（35°＋49°） ＝180°－84° ＝96° 180°－（101°＋45°） ＝180°－146° ＝34° 180°－（90°＋24°） ＝180°－114° ＝66° 【对应练习】 求出图中未知角的度数。 【答案】55；120 【分析】（1）如图一个直角三角形，那么一个角是 90度，另两个角的和是 90 度，用 90度减去给出的一个角的度数就是所求的角的度数； （2）根据三角形内角和度数是 180度，减去所给的两个角的度数，就是所求角 的度数，据此解答。 【详解】（1）90 35 55    （2）180 36 24    144 24   22 / 58 120  【典型例题 2】其二。 如图，已知∠1＝30°，∠2＝115°。求：∠3的度数。 解析： ∠3＝180°－（180°－∠1－∠2） ∠3＝180°－（180°－30°－115°） ∠3＝180°－（150°－115°） ∠3＝180°－35° ∠3＝145° 【对应练习】 已知∠3＝100°，∠4＝80°，求∠5的度数。 解析： 100°－80°＝20° 【典型例题 3】其三。 如图，三角形 ABC和三角形 DBC都是等腰三角形，求∠3的度数。（注意： ∠A＝90°） 23 / 58 解析： ∠1的度数： 90°÷2－20° ＝45°－20° ＝25° ∠3＝180°－25°－25° ＝155°－25° ＝130° 答：∠3的度数是 130°。 【对应练习】 在如图中三角形 ACD是一个等腰三角形，三角形 ABC是一个钝角三角形。你 能运用所学的知识，计算出∠2和∠4各是多少度吗？ 解析： 三角形 ACD是一个等腰三角形，所以∠1＝∠2， 根据三角形内角和是 180°， 即∠2＝（180°－44°）÷2 ＝136°÷2 ＝68° 因为∠2＋∠3＝180°，∠2＝68°， 24 / 58 所以∠3＝180°－68°＝112° 所以∠4＝180°－30°－112° ＝150°－112° ＝38° 答：∠2＝68°，∠4＝38°。 【典型例题】 一个多边形的内角和是 360°，这个图形是( )边形；五边形的内角和是 ( )。 【答案】 四 540° 【分析】从同一顶点出发画出多边形这个顶点上所有对角线，将多边形分成若干 个三角形，结合三角形内角和是 180°，计算多边形的内角和即可。 四边形：同一顶点可画一条对角线，四边形被分为 2个三角形，所以其内角和是 2×180°＝360°。 五边形：同一顶点可画两条对角线，五边形被分为 3个三角形，所以其内角和是 3×180°＝540°。 多边形通过该方式分出三角形的个数等于多边形，边的条数减 2，假设多边形的 边数是 n，则多边形的内角和是（n－2）×180°；据此已知多边形内角和，多边 形的边数＝内角和÷180°＋2。 【详解】360°÷180°＋2＝2＋2＝4，所以内角和是 360°，这个图形是四边形。 （5－2）×180°＝3×180°＝540°，所以五边形的内角和是 540°。 【点睛】 【对应练习】 1．如图，在三角形中， =60B ，若沿虚线剪去 B ，则 1 与 2 的度数和是 ( )。 25 / 58 【答案】240 /240度 【分析】如图，将三角形剪去 B 后得四边形，根据多边形的内角和 ( 2) 180n   ， 求出四边形的内角和360， A 与 C 的度数等于三角形 ABC的度数180减60得 120，再用四边形的内角和360减 A 与 C 的度数和120，即得 1 与 2 的度数 和。据此解答。 【详解】180 60 120    (4 2) 180 120     360 120    240  1 与 2 的度数和是（240）。 【点睛】熟练掌握三角形的内角和是180以及四边形的内角和的求法是解题的关 键。 2．如图，一个六边形的内角和是 720°，试一试，推导出 1 2 3 4 5 6       ( )°。 【答案】360 【分析】因为∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠3＋∠9＝180°，∠4＋∠10 ＝180°，∠5＋∠11＝180°，∠6＋∠12＝180°， 所以（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6）＋内角和＝6×180°， 又因为这个六边形内角和是 720°， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－720°。据此计算。 【详解】6×180°－720° ＝1080°－720° ＝360° 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°。 26 / 58 一、平行与垂直。 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条 直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线 a与 b互相平行，记作 （ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一 条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）； 垂直可以用用符号“⊥”表示，直线 a与 b互相垂直，记作（ ），读作 （ ）。 二、平行四边形和梯形。 1.平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.梯形： 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一 个角是直角的梯形叫做直角梯形。 三、等腰梯形和直角梯形。 1.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 27 / 58 2.有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 1. 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 【答案】 ②④ ③⑥ 【分析】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则 互相平行的只有②④；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的 有③⑥。 【详解】根据平行和垂直的定义可知，互相平行的只有②④，互相垂直的有③⑥。 【点睛】本题主要考查的是垂直与平行的特征及性质的理解，即可判断是否平行 或垂直，在判断过程中不要漏掉，按顺序判断。 2. 下图中，a与 b互相( )，b与 c互相( )，c与 d互相( )。 【答案】 平行 垂直 平行 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成 90度 时，这两条直线就互相垂直。 【详解】上图中，a与 b互相平行，b与 c互相垂直，c与 d互相平行。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 3. 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【答案】 4 4 28 / 58 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 当两条直线相交成 90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】上图中互相平行的线段有 4组，互相垂直的线段有 4组。 【点睛】掌握平行和垂直的概念是解答本题的关键。 【对应练习】 1. 图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是( )，图 2中，直线 c是直线 d的( )线；图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的( )。 【答案】 平行 垂 距离 【分析】根据平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 根据垂线的定义：当两条直线相交成 90度时，这两条直线就互相垂直，据此解 答即可。 【详解】图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是平行； 图 2中，直线 c是直线 d的垂线； 图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的距离。 【点睛】此题考查了平行、垂直的定义，注意平时基础知识的积累。 2. 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【答案】 6 6 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两 条直线互相垂直；将平行或垂直的定义运用于线段即可。 【详解】图形共 6条边，横向 3条中任意两条相互平行，共 3组平行线段，纵向 29 / 58 条中任意两条相互平行，共 3组平行线段，所以总共 6组平行线段； 图中共 6个角，其中从图内看有 5个直角，从图外看有 1个直角，所以 6个角的 两条边相互垂直，共 6组互相垂直的线段。 【点睛】本题主要考查平行和垂直，明确其特征是解答本题的关键。 【典型例题】 1. 过 P点作 OA的平行线，作 OB的垂直线。 【答案】见详解 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线 OA重合，用直尺靠紧三角板 的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边 和 P点重合，过 P点沿三角板的直角边画直线即可； （2）用三角板的一条直角边和已知直线 OB重合，沿重合的直线平移三角板， 使三角板的另一条直角边和 P点重合，过 P沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】如图： 【点睛】本题考查平行线和垂直线，熟练掌握平行线和垂直线的作图方法是解题 的关键。 2. 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图 中画出最佳路线。 30 / 58 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长 度叫做点到直线的距离。据此可知，要使煤气管道最短，则从幸福小区向煤气管 道作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最 短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。 【对应练习】 1. 过点 O画 AB的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边 与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一 条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直 线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已 知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺 平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学 生利用三角尺作图的能力。 2. 甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形【四大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形。本部分内容主要以图形与几何为主，其中包括三角形、平行四边和梯形以及图形的运动、确定物体的位置等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】三角形 【知识总览】 4 【考点一】三角形的性质与应用 4 【考点二】三角形的高 5 【考点三】三角形三边关系定理 6 【考点四】三角形的分类 7 【考点五】画三角形 8 【考点六】等腰三角形的特征与应用 9 【考点七】等边三角形的特征与应用 10 【考点八】三角形的内角和 11 【考点九】多边形的内角和 13 【第二篇】平行四边形+梯形 【知识总览】 14 【考点一】平行与垂直 15 【考点二】平行线与垂线作图 16 【考点三】平行四边形和梯形 16 【考点四】平行四边形和梯形作图 17 【考点五】平行四边形的周长与实际应用 19 【考点六】梯形的周长与实际应用 20 【第三篇】图形的运动 【知识总览】 22 【考点一】轴对称图形与对称轴 22 【考点二】轴对称图形的三种问题 23 【考点三】平移及平移现象 24 【考点四】平移和轴对称综合作图 25 【第四篇】确定位置 【考点一】数对 27 【考点二】教室与数对 28 【考点三】图形与数对 28 【考点四】路线与数对 29 【第一篇】三角形 【知识总览】 一、三角形的特性。 1. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。 3. 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.它们在生活中都有着广泛的应用。 4. 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 5. 三条线段能围成三角形的条件是任意两边的和大于第三边。 二、三角形的分类。 1. 在直角三角形中，斜边最长。 2. 两腰相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形。 3. 三角形的分类：按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分可以分为等腰三角形和三边都不等的三角形 三、三角形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 【考点一】三角形的性质与应用。 【典型例题1】其一。 下图中，一扇窗户打开后，可以用窗户挡风撑杆AB将其固定，窗户就不会被风吹得晃动。这里运用到的数学知识是( )。 【对应练习】 斜拉桥的设计运用了三角形有( )的特性，伸缩门的设计运用了( )易变形的特性。 【典型例题2】其二。 要使下图的架子更稳固，可以怎样加固它？在图中画一画。 【对应练习】 如图，王叔叔用木条钉成了一个长方形的木框，请你想办法给这个木框加固，使其不会变形。把你的想法画在下图中。 【考点二】三角形的高。 【典型例题1】概念。 如图△ABC中，BC边上的高是线段( )，AB边上的高是线段( )。 【对应练习】 以BC边为底，高是( )；以AC边为底，高是( )。 【典型例题2】画法。 说出下面每个三角形各部分的名称，并画出指定底边上的高。 【对应练习】 画出每个三角形指定底边上的高。 【考点三】三角形三边关系定理。 【典型例题1】问题一。 下列能组成三角形的线段的长（单位：厘米）是( )。 A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6 【对应练习】 下面的哪组线段能围成一个三角形( )。 A．6、7、8 B．4、5、10 C．3、6、9 【典型例题2】问题二。 王老师准备了12厘米和6厘米的木棒各一根，现在他想拼成一个三角形，这个三角形第三边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米） 【对应练习】 已知一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，如果第三边的长恰好是整数，那么，第三边最长是多少厘米？最短又是多少厘米？（取整厘米数） 【典型例题3】问题三。 如果三角形的两条边的长分别是6厘米和3厘米，那么第三条边的长可以是多少？（边长为整厘米数） 【对应练习】 如果三角形的两边长分别是9cm和7cm，那么第三边长可能是多少厘米？（取整厘米数） 【考点四】三角形的分类。 【典型例题1】问题一。 猜一猜：如图可能是什么三角形？ 如果还有一个角为90°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为100°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为60°时，这个三角形是( )三角形。 【对应练习】 一个三角形最小的内角是60，这个三角形按角进行分类是( )三角形，按边进行分类是( )三角形。 【典型例题2】问题二。 根据三角形露出的部分，不能判断出这个三角形类型（按角分）的是( )。 A．B． C．D． 【对应练习】 下面四幅图中，三角形都被长方形纸板遮住了一部分。一定是锐角三角形的是( )。 A．   B．   C．   D．   【考点五】画三角形。 【典型例题】 1．画一个直角三角形，其中一个锐角是50°。 2．在下面的点子图上画一个等腰三角形。    【对应练习】 1. 在下面的点子图中画出一个等腰直角三角形，再作出这个三角形斜边上的高。 2. 以线段AB为一条直角边画三角形ABC，使它既是等腰三角形，又是直角三角形。    【考点六】等腰三角形的特征与应用。 【典型例题1】求底边长。 一个等腰三角形的周长是28厘米，其中一条腰长11厘米，那么它的底边长是( )厘米。 【对应练习】 一个等腰三角形的周长是28厘米，其中一条腰长11厘米，那么它的底边长是( )厘米。 【典型例题2】求腰长。 用一根长24分米的铁丝围成一个等腰三角形，如果底边长10分米，那么这个三角形的腰长( )分米。 【对应练习】 用一根长24厘米的铁丝围一个底边是10厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰是( )厘米。 【典型例题3】求底边长或腰长。 一个周长为20米的等腰三角形，其中一条边长4米，另外两条边长分别是( )米和( )米。 【对应练习】 将一根16分米长的铁丝截成三段，首尾相接正好可以围成一个等腰三角形，其中一段长4分米，另外两段的长分别是( )分米和( )分米。 【典型例题4】求角度。 1. 一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°。 2. 一个等腰三角形中，一个底角是40°，则顶角是( )。 【对应练习】 一个等腰三角形的顶角是92度，它的一个底角是( )度。 【典型例题5】求周长。 王师傅想做一个等腰三角形形状的玩具。这个玩具的两条边长分别是49厘米、24厘米，这个等腰三角形玩具的周长是多少厘米？ 【对应练习】 小明制作了一个等腰三角形的风筝，其中两条边的长度分别是26厘米和58厘米，小明想给风筝围上花边，花边长多少厘米？ 【考点七】等边三角形的特征与应用。 【典型例题1】问题一。 在一个三角形中每个角都是60°，已知其中的一条边长是8厘米，求这个三角形的周长是多少厘米？ 【对应练习】 一个等边三角形的花坛，边长30米，小明每天绕着花坛跑15圈，小明每天要跑多少米？ 【典型例题2】问题二。 一根铁丝围成的平行四边形的邻边分别是12厘米和6厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是( )厘米。 【对应练习】 一个等边三角形和一个正方形的周长相等，正方形的边长是15厘米，等边三角形的边长是( )厘米。 【典型例题3】问题三。 一个等边三角形，每个内角( )度。 【对应练习】 一个等边三角形按角的大小分是( )。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【考点八】三角形的内角和。 【典型例题1】其一。 求未知角的度数。 【对应练习】 求出图中未知角的度数。             【典型例题2】其二。 如图，已知∠1＝30°，∠2＝115°。求：∠3的度数。 【对应练习】 已知∠3＝100°，∠4＝80°，求∠5的度数。 【典型例题3】其三。 如图，三角形ABC和三角形DBC都是等腰三角形，求∠3的度数。（注意：∠A＝90°） 【对应练习】 在如图中三角形ACD是一个等腰三角形，三角形ABC是一个钝角三角形。你能运用所学的知识，计算出∠2和∠4各是多少度吗？ 【考点九】多边形的内角和。 【典型例题】 一个多边形的内角和是360°，这个图形是( )边形；五边形的内角和是( )。 【对应练习】 1．如图，在三角形中，，若沿虚线剪去，则与的度数和是( )。 2．如图，一个六边形的内角和是720°，试一试，推导出( )°。 【第二篇】平行四边形+梯形 【知识总览】 一、平行与垂直。 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。 二、平行四边形和梯形。 1.平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.梯形： 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 三、等腰梯形和直角梯形。 1.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2.有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【考点一】平行与垂直。 【典型例题】 1. 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。    2. 下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。 3. 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【对应练习】 1. 图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。 2. 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【考点二】平行线与垂线作图。 【典型例题】 1. 过P点作OA的平行线，作OB的垂直线。    2. 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画出最佳路线。    【对应练习】 1. 过点O画AB的平行线和垂线。 2. 甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。 【考点三】平行四边形和梯形。 【典型例题】 1. 分一分，填一填。把下面的图形分类。 平行四边形有( )，梯形有( )。 2. 伸缩门就是利用平行四边形( )的特点制作的。 3. 图中a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。 【对应练习】 1. 如图哪些是正方形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是梯形？ 正方形：（ ）；长方形：（ ）；平行四边形：（ ）；梯形：（ ）。 2. 折叠椅利用了平行四边形的( )性，在不使用时收起来可以节省空间。 3. 下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【考点四】平行四边形和梯形作图。 【典型例题】 1. 画出下面各图形的高，并用文字标出相应的底。    2. 在下面的点子图上分别画一个梯形和一个平行四边形，使这两个图形的高相等。    3. 我会画。 （1）在平行四边形里画一条线段，使它变成两个梯形。 （2）在梯形里画一条线段，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 【对应练习】 1. 分别画出下面图形指定底边上的高。    2. 请在下面的点子图中画一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条高。 3. 按要求在下面的梯形中画一条线段，把梯形分成两个图形。 （1）两个三角形。 （2）两个梯形。 （3）一个长方形和一个三角形。 【考点五】平行四边形的周长与实际应用。 【典型例题】 1. 下图平行四边形的高是( )厘米，周长是( )厘米。 2. 如图，平行四边形的周长是厘米，边的长是厘米，那么边的长是( )厘米。 3. 王阿姨有一块平行四边形的菜地，这块菜地的一边长12米，它的邻边比它短3米。这块菜地的周长是多少米？ 【对应练习】 1. 一个平行四边形的一条边长是23厘米，它的邻边比它长6厘米。这个平行四边形的周长是多少厘米？ 2. 一块平行四边形菜地，相邻两边分别是120米和80米，现在要在这块菜地的四周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 【考点六】梯形的周长与实际应用。 【典型例题】 1. 一个等腰梯形上底长12cm，下底长30cm，腰长15cm，这个梯形的周长为（ ）cm。 2. 等腰梯形的周长是18cm，腰长3cm，这个梯形的上下底之和是( )cm。 3. 如图，某农场要在蔬菜种植区的三面围上栅栏（一面是墙）。已知每米栅栏需要45元，围这三面栅栏需要花多少钱？ 4. 用两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是100厘米，已知一个等腰梯形的周长是60厘米，等腰梯形一条腰的长是( )厘米。 【对应练习】 1. 一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是8厘米，一条腰是7厘米，围成这个等腰梯形至少要( )厘米长的铁丝。 2. 如图所示，李大爷沿墙用篱笆围了一个等腰梯形形状的花园，篱笆共长18米，则这个花园的一条腰的长是多少米？ 3. 把两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形（如图），这个直角梯形的周长是( )。 【第三篇】图形的运动 【知识总览】 一、轴对称。 1.如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.有的图形只有1条对称轴，有的图形有多条对称轴。 3.在轴对称图形中，对称点的连线与对称轴互相垂直，对称点到对称轴的距离相等。 4.补全轴对称图形，可以按三个步骤完成。 第一步：“找”关键点； 第二步：确“定”各关键点的对称点； 第三步：依次“连”接各对称点，得到轴对称图形的另一半。 二、平移。 1.图形的平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2.确定图形平移的方向和距离时，可以根据该图上某个关键点平移的方向和距离来确定。 3.求一些不规则图形的面积时，可以利用平移将不规则图形转化成规则图形再计算。 【考点一】轴对称图形与对称轴。 【典型例题1】其一。 在下面的图形中，有( )个不是轴对称图形。 【对应练习】 在ACHMNG中，轴对称字母有( )。 【典型例题2】其二。 我们学过的平面图形中，有两条对称轴的是( )，有三条对称轴的是( )，有四条对称轴的是( )。 【对应练习】 正方形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，圆的对称轴有( )条，半圆的对称轴有( )条。 【考点二】轴对称图形的三种问题。 【典型例题1】问题一。 填一填。 (1)图形①和图形②是( )图形。 (2)点B和点B'到对称轴的距离都是( )小格。 (3)点C到对称轴的距离是( )小格，与点( )到对称轴的距离是一样的。 (4)点D'与点( )到对称轴的距离都是2小格。 【对应练习】 在字母L、M、N中，( )是轴对称的；在轴对称图形中点A到对称轴的距离是5厘米，它的对应点到对称轴的距离是( )厘米。 【典型例题2】问题二。 轴对称图形的应用。 在美术课上，东东学习了利用对称的知识来剪纸。他想剪出一只小鸟，尝试了四种剪法（如下图）。哪一种剪法可以剪出左边这只小鸟？把正确方法的序号填在括号里。 正确的是( )。 【对应练习】 把一张长方形纸对折再对折，剪完后展开如下图，那么这张纸是( )。（填序号） 【典型例题3】问题三。 如果在平面镜中看到钟表上时刻为，那么实际上现在是( )。 【对应练习】 下边的图是小明在镜子中看到的图像，它表示的真实时间是( )。 【考点三】平移及平移现象。 【典型例题1】其一。 下列是平移现象的有( )。 ①火车在笔直的轨道上行驶     ②翻开课本 ③拉抽屉的过程     ④乘直升电梯从一楼到五楼 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【对应练习】 关于图形的平移，说法正确的是( )。 A．改变了图形的大小 B．改变了图形的大小和位置 C．图形的大小和位置都没改变 D．只改变图形的位置不改变图形的大小 【典型例题2】其二。 如图，小狗先向( )平移1格，再向( )平移( )格才能吃到骨头。 【对应练习】 下图中，图A向( )平移( )格得到图B。图B向( )平移( )格得图C。 【考点四】平移和轴对称综合作图。 【典型例题】 要求一：画出下面这个图形的轴对称图形。（虚线为对称轴） 要求二：画出原四边形ABCD向右平移6格后的图形。 【对应练习】 1．先补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移6格后的图形。    2．补全下面轴对称图形，并画出完整图形向右平移9格后的图形。    【第四篇】确定位置 【知识总览】 一、行与列。 竖排叫做列，横排叫做行；确定列数时，一般要从左往右数，确定行数时，一般要从前往后（或从上往下）数。 二、数对表示位置。 用数对表示物体的位置，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数），不能调换位置；两个数之间一定要用逗号隔开；相同的数在不同的位置表示的意义不同。 三、数对与位置的关系。 用数对可以表示平面图上物体的位置；给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置。 四、平移与行列。 把一个点向右（或）向左平移几格，行数不变，列数加上（或减去）几；把一个点向上（或下）平移几格，列数不变，行数加上（或减去）几。 五、图形的平移。 在方格纸上平移图形时，可以用数形结合的方法，先确定出原图形各顶点平移后的对应点的位置，再将各对应点按顺序连接起来，得到平移后的图形。 【考点一】数对。 【典型例题】 1.如果电影票上的“a排b号”表示为（a，b），（7，15）表示( )排( )号。 2.电影票上的“8排12号”简记作（8，12），则“10排7号”简记作( )，（12，16）表示( )排( )号。 【对应练习】 1．小明坐在教室的第3列、第5行的位置，用数对表示是（3，5），小芳坐的位置用数对表示是（7，5），她在第( )列、第( )行，他们之间还坐着( )名同学。 2．同学们排队做操，小红站在第5列第3行，用( )表示，用（6，2）表示的同学站在第( )列，第( )行。 【考点二】教室与数对。 【典型例题】 1.如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面一个同学的座位用数对表示是( )。 2.王老师坐在大厅的第5列第7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为( )。 【对应练习】 1．李平在教室里的位置用数对表示是（6，5），坐在他正前面的同学的位置用数对( )表示。 2．小丽坐在教室的第4列第2行，用数对( )表示，她左边同桌的位置可用数对( )表示，坐在小丽正后方的第一个位置上的组长的位置用数对表示是( )。 【考点三】图形与数对。 【典型例题】 如图：A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（ ， ），C点用数对表示为（ ， ），三角形ABC是( )三角形。    【对应练习】 1.三角形ABC中的A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C点用数对表示为（1，3），则三角形ABC是( )三角形。 2.如图，点B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点A的位置用数对表示是( )，点C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形ABC向右平移3格，平移后点C的位置用数对表示是( )。 【考点四】路线与数对。 【典型例题】 下图是冷水滩区河东部分的平面示意图。 （1）用数对标出位置：白石山公园( )，好又多超市( )。 （2）图中（6，3）表示的位置是( )。 （3）( )和( )在同一行上。 （4）小明同学从滨江公园出发到万达广场，他应该怎么走？ 【对应练习】 如图是某城市部分城区的平面示意图。 （1）周六，乐乐先后去了超市、图书馆、广场、公园、 请用数对表示出乐乐的活动路线。 ( )→( )→( )→( ) （2）书店在学校以北100m，再往东走600m处，请在图中标出书店的位置。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形【四大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题三：图形与几何—三角形、平行四边形和梯形。本部分内容主要以图形与几何为主，其中包括三角形、平行四边和梯形以及图形的运动、确定物体的位置等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】三角形 【知识总览】 4 【考点一】三角形的性质与应用 4 【考点二】三角形的高 6 【考点三】三角形三边关系定理 8 【考点四】三角形的分类 10 【考点五】画三角形 12 【考点六】等腰三角形的特征与应用 15 【考点七】等边三角形的特征与应用 18 【考点八】三角形的内角和 20 【考点九】多边形的内角和 24 【第二篇】平行四边形+梯形 【知识总览】 26 【考点一】平行与垂直 27 【考点二】平行线与垂线作图 29 【考点三】平行四边形和梯形 31 【考点四】平行四边形和梯形作图 33 【考点五】平行四边形的周长与实际应用 38 【考点六】梯形的周长与实际应用 39 【第三篇】图形的运动 【知识总览】 42 【考点一】轴对称图形与对称轴 42 【考点二】轴对称图形的三种问题 43 【考点三】平移及平移现象 46 【考点四】平移和轴对称综合作图 48 【第四篇】确定位置 【考点一】数对 51 【考点二】教室与数对 52 【考点三】图形与数对 54 【考点四】路线与数对 56 【第一篇】三角形 【知识总览】 一、三角形的特性。 1. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。 3. 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.它们在生活中都有着广泛的应用。 4. 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 5. 三条线段能围成三角形的条件是任意两边的和大于第三边。 二、三角形的分类。 1. 在直角三角形中，斜边最长。 2. 两腰相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形。 3. 三角形的分类：按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分可以分为等腰三角形和三边都不等的三角形 三、三角形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 【考点一】三角形的性质与应用。 【典型例题1】其一。 下图中，一扇窗户打开后，可以用窗户挡风撑杆AB将其固定，窗户就不会被风吹得晃动。这里运用到的数学知识是( )。 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据图片可知，挡风撑杆AB与窗户形成了一个三角形，三角形具有稳定性，据此解答即可。 【详解】挡风撑杆AB与窗户形成了一个三角形，三角形具有稳定性，所以窗户就不会被风吹得晃动。所以这里运用到的数学知识是：三角形具有稳定性。 【对应练习】 斜拉桥的设计运用了三角形有( )的特性，伸缩门的设计运用了( )易变形的特性。 【答案】 稳定性 平行四边形 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。平行四边形的不稳定性又叫做易变形性，是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。 【详解】斜拉桥的设计运用了三角形有稳定性的特性，伸缩门的设计运用了平行四边形易变形的特性。 【点睛】解答此题的关键是明确三角形的稳定性和平行四边形的不稳定性，需熟练掌握。 【典型例题2】其二。 要使下图的架子更稳固，可以怎样加固它？在图中画一画。 【答案】见详解 【分析】三角形具有稳定性，据此可以可以加固一根钢管，形成三角形即可。（答案不唯一） 【详解】可以加固一根钢管，形成三角形，如下： 【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在生活中的应用。 【对应练习】 如图，王叔叔用木条钉成了一个长方形的木框，请你想办法给这个木框加固，使其不会变形。把你的想法画在下图中。 【答案】见详解 【分析】利用三角形的特性，因为三角形的稳定性很好，三角形越多，稳定性越好。将长方形构造为三角形，增强了它的稳定性即可。 【详解】根据分析得，可以斜着加一根木条，利用三角形的稳定性，可以使它更牢固。 如图： 【点睛】此题的解题关键是灵活利用三角形的稳定性并运用在实际生活中。 【考点二】三角形的高。 【典型例题1】概念。 如图△ABC中，BC边上的高是线段( )，AB边上的高是线段( )。 解析：AE；CD 【对应练习】 以BC边为底，高是( )；以AC边为底，高是( )。 解析：AN；BM 【典型例题2】画法。 说出下面每个三角形各部分的名称，并画出指定底边上的高。 【答案】见详情 【分析】已知三角形的底，两边的角为底角，另一个角为顶角，有一个底，两条边，高是从顶点起垂直与底角的线，据此画图即可。 【详解】如图： 【对应练习】 画出每个三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作画线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，再添上垂足，用三角板的直角可以画出三角形的高；据此解答即可。 【详解】 【考点三】三角形三边关系定理。 【典型例题1】问题一。 下列能组成三角形的线段的长（单位：厘米）是( )。 A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6 【答案】A 【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较。 【详解】A．10＋10＝20＞12，两边之和大于第三边，可以组成三角形； B．1＋6＝7，两边之和等于第三边，不能组成三角形； C．3＋3＝6＜7，两边之和小于第三边，不能组成三角形； D．2＋4＝6，两边之和等于第三边，不能组成三角形。 故答案为：A 【对应练习】 下面的哪组线段能围成一个三角形( )。 A．6、7、8 B．4、5、10 C．3、6、9 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；进行解答即可。 【详解】A．6＋7＞8 B．4＋5＜10 C．3＋6＝9 所以，6、7、8三条线段能围成一个三角形。 故答案为：A 【典型例题2】问题二。 王老师准备了12厘米和6厘米的木棒各一根，现在他想拼成一个三角形，这个三角形第三边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米） 解析： 12＋6＝18（厘米） 12－6＝6（厘米） 根据三角形的三边关系，因此三角形的第三边必须在6厘米和18厘米之间（不包括6厘米和18厘米）， 因此最长是：18－1＝17（厘米） 最短是：6＋1＝7（厘米） 答：这个三角形第三边最长是17厘米；最短是7厘米。 【对应练习】 已知一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，如果第三边的长恰好是整数，那么，第三边最长是多少厘米？最短又是多少厘米？（取整厘米数） 解析： 10＋6＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 则第三条边应比16厘米短，比4厘米长。因为要求取整厘米数，所以第三条边最长是15厘米，最短是5厘米 答：第三条边最长是15厘米，最短是5厘米。 【典型例题3】问题三。 如果三角形的两条边的长分别是6厘米和3厘米，那么第三条边的长可以是多少？（边长为整厘米数） 解析： 6厘米＋3厘米＝9厘米，6厘米－3厘米＝3厘米， 3厘米＜第三边的长度＜9厘米，因此第三条边的长可以是8厘米、7厘米、6厘米、5厘米、4厘米。 答：第三条边的长可以是8厘米、7厘米、6厘米、5厘米、4厘米。 【对应练习】 如果三角形的两边长分别是9cm和7cm，那么第三边长可能是多少厘米？（取整厘米数） 解析：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15厘米 【考点四】三角形的分类。 【典型例题1】问题一。 猜一猜：如图可能是什么三角形？ 如果还有一个角为90°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为100°时，这个三角形是( )三角形； 如果还有一个角为60°时，这个三角形是( )三角形。 【答案】 直角 钝角 锐角 【分析】根据三角形的内角和为180°，分别求出各种情况下三角形第三个角的度数，再判断三角形的类型。 【详解】180°－60°－90°＝30° 180°－60°－100°＝20° 180°－60°－60°＝60° 如果还有一个角为90°时，这个三角形是直角三角形； 如果还有一个角为100°时，这个三角形是钝角三角形； 如果还有一个角为60°时，这个三角形是锐角三角形。 【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形的分类，关键是求出第三个角的度数。三角形中最大角的度数决定三角形的类型。 【对应练习】 一个三角形最小的内角是60，这个三角形按角进行分类是( )三角形，按边进行分类是( )三角形。 【答案】 锐角 等边 【分析】，由题可知，一个三角形最小的内角是60°，则剩余两个角的和是120°，即剩余两个内角最小也是60°，其和正好符合条件，所以这个三角形的三个内角都是60°，是等边三角形。这个三角形按角进行分类是锐角三角形，按边分类是等边三角形。 【详解】一个三角形最小的角是60°，则其他两个角也是60°，所以按角分是锐角三角形，按边分是等边三角形。 【点睛】本题主要考查的是三角形的分类，应熟知各三角形的特点。 【典型例题2】问题二。 根据三角形露出的部分，不能判断出这个三角形类型（按角分）的是( )。 A．B． C．D． 【答案】D 【分析】三角形中，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，根据各个图形判断出三角形的类型即可解答。 【详解】A．图中三角形露出的角是钝角，这个三角形是钝角三角形。         B．根据图中两个已知角可以判断出第三个角也是锐角，两个已知角也是锐角，这个三角形是锐角三角形。         C．图中三角形露出的角是直角，这个角形是直角三角形。         D．图中三角形露出的角是锐角，不能确定另外两个角的类型，所以不能判断出这个三角形的类型。 故答案为：D 【对应练习】 下面四幅图中，三角形都被长方形纸板遮住了一部分。一定是锐角三角形的是( )。 A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据露出部分的角，判断末知角的大小情况，再根据三角形分类知识判断哪个三角形一定是锐角三角形。 【详解】A．如下图，三角形的另一个末知角是钝角，这个三角形是钝角三角形。          B．如下图，三角形有一个钝角，这个三角形是钝角三角形。    C．如下图，三角形有一个锐角，另外的两个角中可能有一个钝角或直角，也可能另外两个角都是锐角，所以这个三角形不一定是锐角三角形。          D．如下图，三角形的3个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：D    【点睛】本题主要考查了三角形分类知识的灵活运用。 【考点五】画三角形。 【典型例题】 1．画一个直角三角形，其中一个锐角是50°。 【答案】见详解 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；因此可先画出一个直角，再以直角其中一条边上的任意一点为另一个角的顶点，并根据角的画法画出一个50°的角，最后将这个角的另一条边延长并与直角的另一条直角边相交于一点，即可得到有一个锐角是50°的直角三角形，依此画图。 【详解】画图如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形的特点，以及用量角器画角的方法，是解题的关键。 2．在下面的点子图上画一个等腰三角形。    【答案】见详解 【分析】两条边相等的三角形是等腰三角形，据此画图即可。 【详解】（画法不唯一） 【点睛】熟记等腰三角形的特征是解题关键。 【对应练习】 1. 在下面的点子图中画出一个等腰直角三角形，再作出这个三角形斜边上的高。 【答案】见详解 【分析】等腰直角三角形的两条直角边相等，有一个直角，据此即可在点子图中画出一个等腰直角三角形。过直角顶点向斜边作垂线，顶点与垂足间的线段，就是斜边上的高，据此可画出这个三角形斜边上的高。 【详解】（画法不唯一） 【点睛】本题考查等腰直角三角形的特征以及三角形高的画法，高一般用虚线表示，并画上垂足符号。垂足所在的边叫做底。 2. 以线段AB为一条直角边画三角形ABC，使它既是等腰三角形，又是直角三角形。    【答案】见详解 【分析】等腰直角三角形的特点：有两条边相等且有一个角是直角，以A点作为直角的顶点，线段AC＝线段AB长，∠CAB＝90°，连接CB即可得到三角形ABC；据此作图。（画法不唯一） 【详解】作图如下：   （画法不唯一） 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等腰直角三角形的特征以及它的画法。 【考点六】等腰三角形的特征与应用。 【典型例题1】求底边长。 一个等腰三角形的周长是28厘米，其中一条腰长11厘米，那么它的底边长是( )厘米。 解析： 【对应练习】 一个等腰三角形的周长是28厘米，其中一条腰长11厘米，那么它的底边长是( )厘米。 【答案】6 【分析】等腰三角形的两腰长相等，用周长减去两个腰长就是底边的长度，据此解答。 【详解】 一个等腰三角形的周长是28厘米，其中一条腰长11厘米，那么它的底边长是（6）厘米。 【点睛】本题考查等腰三角形特征，熟知它的两腰长相等是解答本题的关键。 【典型例题2】求腰长。 用一根长24分米的铁丝围成一个等腰三角形，如果底边长10分米，那么这个三角形的腰长( )分米。 解析： 24－10＝14（分米） 14÷2＝7（分米） 【对应练习】 用一根长24厘米的铁丝围一个底边是10厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰是( )厘米。 解析： （24－10）÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 这个等腰三角形的腰是7厘米。 【典型例题3】求底边长或腰长。 一个周长为20米的等腰三角形，其中一条边长4米，另外两条边长分别是( )米和( )米。 解析： 假设4米为腰长，则底长为：20－4－4＝12（米） 4米＋4米＜12米，因此4米不能为腰长 则4米为底长； 20－4＝16（米） 16÷2＝8（米） 因此另外两条边长分别是8米和8米。 【对应练习】 将一根16分米长的铁丝截成三段，首尾相接正好可以围成一个等腰三角形，其中一段长4分米，另外两段的长分别是( )分米和( )分米。 【答案】 6 6 【分析】等腰三角形的两腰相等，等腰三角形三条边的总长度是16分米；三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此进行填空即可。 【详解】假设4分米为腰长，则底长为：16－4－4＝8（分米） 4＋4＝8（分米），8分米＝8分米，因此4分米不能为腰长； 假设4分米为底长，则腰长为： （16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6分米＋4分米＞6分米；6分米－4分米＜6分米，即底长为4分米，腰长为6分米 因此其中一段长4分米，另外两段的长分别是6分米和6分米。 【点睛】此题考查的是三角形的周长，等腰三角形的特点，三角形三条边之间的关系，应熟练掌握。 【典型例题4】求角度。 1. 一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°。 解析：50 2. 一个等腰三角形中，一个底角是40°，则顶角是( )。 解析：100 【对应练习】 一个等腰三角形的顶角是92度，它的一个底角是( )度。 解析：44 【典型例题5】求周长。 王师傅想做一个等腰三角形形状的玩具。这个玩具的两条边长分别是49厘米、24厘米，这个等腰三角形玩具的周长是多少厘米？ 【答案】122厘米 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形的腰长，再计算出这个等腰三角形三条边的总长度即可。 【详解】当腰长为24厘米时，24＋24＝48（厘米），48厘米＜49厘米，因此腰长不能为24厘米； 当腰长为49厘米时，49＋24＝73（厘米），73厘米＞49厘米，49－24＝25（厘米）25厘米＜49厘米；因此腰长为49厘米。 49＋49＋24 ＝98＋24 ＝122（厘米） 答：这个等腰三角形玩具的周长是122厘米。 【点睛】此题考查的是三角形的周长的计算，应熟练掌握三角形三边的关系，以及等腰三角形的特点。 【对应练习】 小明制作了一个等腰三角形的风筝，其中两条边的长度分别是26厘米和58厘米，小明想给风筝围上花边，花边长多少厘米？ 【答案】142厘米 【分析】如果26厘米的边为腰，26＋26＜58，不符合任意两边之和大于第三边要求，所以只能是58厘米的边为腰，底边长26厘米，把等腰三角形的三条边长度相加即等于花边长度，据此即可解答。 【详解】26＋26＜58，不符合任意两边之和大于第三边要求，所以只能是58厘米的边为腰， 26厘米的边为底。 58×2＋26 ＝116＋26 ＝142（厘米） 答：花边长142厘米。 【点睛】明确腰的长度是多少是解答本题的关键。 【考点七】等边三角形的特征与应用。 【典型例题1】问题一。 在一个三角形中每个角都是60°，已知其中的一条边长是8厘米，求这个三角形的周长是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】已知三角形中每个角都是60°，可知它是等边三角形，等边三角形3个角相等，3条边长度相等，利用每边长度×3＝周长，据此解答。 【详解】8×3＝24（厘米） 答：这个三角形的周长是24厘米。 【点睛】掌握等边三角形的特征是解答此题关键。 【对应练习】 一个等边三角形的花坛，边长30米，小明每天绕着花坛跑15圈，小明每天要跑多少米？ 【答案】1350米 【分析】先根据边长计算出一圈的长度，等边三角形的三边相等，再用乘法计算出15圈跑了多少米，据此解答。 【详解】 答：小明每天要跑1350米。 【点睛】熟练掌握等边三角形的特征以及两位数乘两位数的计算方法并灵活运用是解答本题的关键。 【典型例题2】问题二。 一根铁丝围成的平行四边形的邻边分别是12厘米和6厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是( )厘米。 【答案】 36 12 【分析】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，平行四边形的周长为相邻两边长度和的2倍，据此解答即可。用这根铁丝围成一个等边三角形，则等边三角形的周长等于这根铁丝的长度，也就等于平行四边形的周长。等边三角形的边长＝周长÷3，据此解答即可。 【详解】（12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 36÷3＝12（厘米） 即这个平行四边形的周长是36厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是12厘米。 【点睛】本题考查平行四边形和等边三角形的周长，熟记平行四边形和等边三角形的特征是解题关键。 【对应练习】 一个等边三角形和一个正方形的周长相等，正方形的边长是15厘米，等边三角形的边长是( )厘米。 【答案】20 【分析】正方形的周长＝边长×4，依此即可计算出正方形的周长，等边三角形的三条边都相等，因此用正方形的周长除以3，即可计算出等边三角形的边长，依此计算。 【详解】15×4＝60（厘米） 60÷3＝20（厘米） 等边三角形的边长是20厘米。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握正方形的周长的计算，以及应掌握等边三角形的特点。 【典型例题3】问题三。 一个等边三角形，每个内角( )度。 解析：60 【对应练习】 一个等边三角形按角的大小分是( )。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：A 【考点八】三角形的内角和。 【典型例题1】其一。 求未知角的度数。 【答案】96°；34°；66° 【分析】三角形的内角和是180°，1直角＝90°，因此用180°减另外两个角的度数之和即可，依此计算。 【详解】180°－（35°＋49°） ＝180°－84° ＝96° 180°－（101°＋45°） ＝180°－146° ＝34° 180°－（90°＋24°） ＝180°－114° ＝66° 【对应练习】 求出图中未知角的度数。             【答案】； 【分析】（1）如图一个直角三角形，那么一个角是90度，另两个角的和是90度，用90度减去给出的一个角的度数就是所求的角的度数； （2）根据三角形内角和度数是180度，减去所给的两个角的度数，就是所求角的度数，据此解答。 【详解】（1） （2） 【典型例题2】其二。 如图，已知∠1＝30°，∠2＝115°。求：∠3的度数。 解析： ∠3＝180°－（180°－∠1－∠2） ∠3＝180°－（180°－30°－115°） ∠3＝180°－（150°－115°） ∠3＝180°－35° ∠3＝145° 【对应练习】 已知∠3＝100°，∠4＝80°，求∠5的度数。 解析： 100°－80°＝20° 【典型例题3】其三。 如图，三角形ABC和三角形DBC都是等腰三角形，求∠3的度数。（注意：∠A＝90°） 解析： ∠1的度数： 90°÷2－20° ＝45°－20° ＝25° ∠3＝180°－25°－25° ＝155°－25° ＝130° 答：∠3的度数是130°。 【对应练习】 在如图中三角形ACD是一个等腰三角形，三角形ABC是一个钝角三角形。你能运用所学的知识，计算出∠2和∠4各是多少度吗？ 解析： 三角形ACD是一个等腰三角形，所以∠1＝∠2， 根据三角形内角和是180°， 即∠2＝（180°－44°）÷2 ＝136°÷2 ＝68° 因为∠2＋∠3＝180°，∠2＝68°， 所以∠3＝180°－68°＝112° 所以∠4＝180°－30°－112° ＝150°－112° ＝38° 答：∠2＝68°，∠4＝38°。 【考点九】多边形的内角和。 【典型例题】 一个多边形的内角和是360°，这个图形是( )边形；五边形的内角和是( )。 【答案】 四 540° 【分析】从同一顶点出发画出多边形这个顶点上所有对角线，将多边形分成若干个三角形，结合三角形内角和是180°，计算多边形的内角和即可。 四边形：同一顶点可画一条对角线，四边形被分为2个三角形，所以其内角和是2×180°＝360°。 五边形：同一顶点可画两条对角线，五边形被分为3个三角形，所以其内角和是3×180°＝540°。 多边形通过该方式分出三角形的个数等于多边形，边的条数减2，假设多边形的边数是n，则多边形的内角和是（n－2）×180°；据此已知多边形内角和，多边形的边数＝内角和÷180°＋2。 【详解】360°÷180°＋2＝2＋2＝4，所以内角和是360°，这个图形是四边形。 （5－2）×180°＝3×180°＝540°，所以五边形的内角和是540°。 【点睛】 【对应练习】 1．如图，在三角形中，，若沿虚线剪去，则与的度数和是( )。 【答案】/240度 【分析】如图，将三角形剪去后得四边形，根据多边形的内角和，求出四边形的内角和，与的度数等于三角形ABC的度数减得，再用四边形的内角和减与的度数和，即得与的度数和。据此解答。 【详解】 与 的度数和是（）。 【点睛】熟练掌握三角形的内角和是以及四边形的内角和的求法是解题的关键。 2．如图，一个六边形的内角和是720°，试一试，推导出( )°。 【答案】360 【分析】因为∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠3＋∠9＝180°，∠4＋∠10＝180°，∠5＋∠11＝180°，∠6＋∠12＝180°， 所以（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6）＋内角和＝6×180°， 又因为这个六边形内角和是720°， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－720°。据此计算。 【详解】6×180°－720° ＝1080°－720° ＝360° 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°。 【第二篇】平行四边形+梯形 【知识总览】 一、平行与垂直。 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。 二、平行四边形和梯形。 1.平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.梯形： 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 三、等腰梯形和直角梯形。 1.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2.有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【考点一】平行与垂直。 【典型例题】 1. 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。    【答案】 ②④ ③⑥ 【分析】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则互相平行的只有②④；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的有③⑥。 【详解】根据平行和垂直的定义可知，互相平行的只有②④，互相垂直的有③⑥。 【点睛】本题主要考查的是垂直与平行的特征及性质的理解，即可判断是否平行或垂直，在判断过程中不要漏掉，按顺序判断。 2. 下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。 【答案】 平行 垂直 平行 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直。 【详解】上图中，a与b互相平行，b与c互相垂直，c与d互相平行。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 3. 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【答案】 4 4 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】上图中互相平行的线段有4组，互相垂直的线段有4组。 【点睛】掌握平行和垂直的概念是解答本题的关键。 【对应练习】 1. 图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。 【答案】 平行 垂 距离 【分析】根据平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 根据垂线的定义：当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，据此解答即可。 【详解】图1中，直线a与直线b的位置关系是平行； 图2中，直线c是直线d的垂线； 图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的距离。 【点睛】此题考查了平行、垂直的定义，注意平时基础知识的积累。 2. 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【答案】 6 6 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；将平行或垂直的定义运用于线段即可。 【详解】图形共6条边，横向3条中任意两条相互平行，共3组平行线段，纵向条中任意两条相互平行，共3组平行线段，所以总共6组平行线段； 图中共6个角，其中从图内看有5个直角，从图外看有1个直角，所以6个角的两条边相互垂直，共6组互相垂直的线段。 【点睛】本题主要考查平行和垂直，明确其特征是解答本题的关键。 【考点二】平行线与垂线作图。 【典型例题】 1. 过P点作OA的平行线，作OB的垂直线。    【答案】见详解 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线OA重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可； （2）用三角板的一条直角边和已知直线OB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】如图：      【点睛】本题考查平行线和垂直线，熟练掌握平行线和垂直线的作图方法是解题的关键。 2. 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画出最佳路线。    【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使煤气管道最短，则从幸福小区向煤气管道作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】   【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。 【对应练习】 1. 过点O画AB的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的能力。 2. 甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。 【答案】见详解 【分析】利用点到直线的距离，垂线段最短的性质解决问题即可。 【详解】根据垂线段最短的性质，画图如下：    【点睛】本题主要考查了利用垂直线段最短的性质解决实际问题。 【考点三】平行四边形和梯形。 【典型例题】 1. 分一分，填一填。把下面的图形分类。 平行四边形有( )，梯形有( )。 解析：②、④；①、③ 2. 伸缩门就是利用平行四边形( )的特点制作的。 【答案】容易变形 【分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性。生活中人们利用这个特性制作很多实用工具，如：升降梯、折叠椅等；据此解答。 【详解】伸缩门就是利用平行四边形容易变形的特点制作的。 【点睛】本题主要考查学生对平行四边形不稳定性知识的掌握和灵活应用。 3. 图中a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。 【答案】 4 1 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，观察图中可知，单个的梯形有2个，2个梯形组成的梯形有1个，1个梯形和一个三角形组成的梯形有1个，据此加起来即可；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；据此解答。 【详解】2＋1＋1 ＝3＋1 ＝4（个） 图中a∥b，两条平行线之间有4个梯形，1个平行四边形。 【点睛】此题解答的关键是：一定要认真观察，有条理、有顺序的进行数，做到不重复，不遗漏。 【对应练习】 1. 如图哪些是正方形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是梯形？ 正方形：（ ）；长方形：（ ）；平行四边形：（ ）；梯形：（ ）。 解析：④、⑩；①、⑧；①、②、④、⑥、⑧、⑩；③、⑦、⑨ 2. 折叠椅利用了平行四边形的( )性，在不使用时收起来可以节省空间。 【答案】不稳定 【分析】平行四边形容易变形，具有不稳定性，依此填空。 【详解】根据分析可知，折叠椅利用了平行四边形的不稳定性，在不使用时收起来可以节省空间。 【点睛】此题考查的是平行四边形的不稳定性及其应用，应熟练掌握。 3. 下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【答案】 3 6 【分析】根据两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此在图中数出即可。 【详解】观察图形可知，第一层中有1个平行四边形；第二层中有1个平行四边形；两层合起来有1个平行四边形； 平行四边形共有：1＋1＋1＝3（个） 第一层中有2个梯形；第二层中有2个梯形；两层合起来有2个梯形； 梯形共有：2＋2＋2＝6（个） 所以图中有3个平行四边形，有6个梯形。 【点睛】此题主要考查了平行四边形和梯形的认识与特征。 【考点四】平行四边形和梯形作图。 【典型例题】 1. 画出下面各图形的高，并用文字标出相应的底。    【答案】见详解 【分析】平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号； 梯形的高：在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图。 【详解】画图如下：    【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握梯形和平行四边形的高及画法。 2. 在下面的点子图上分别画一个梯形和一个平行四边形，使这两个图形的高相等。    【答案】见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；因此可先用直尺画一条长7个小格的线段作为梯形的下底，再将这条下底向上平移4个小格，并向左右各缩短1个小格的长度，作为梯形的上底，最后将这两条线段左右两边的端点用线段分别连起来，即可得到一个梯形； 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；因此可用直尺先画一条长5个小格线段作为平行四边形的底，然后将这条底向上平移4个小格，并向左移动一个小格，最后将这两条线段左右两边的端点用线段分别连起来，即可得到一个平行四边形；依此画图。 【详解】画图如下：    【点睛】此题考查的是画等高的梯形和平行四边形，应熟练掌握梯形和平行四边形的高及画法。 3. 我会画。 （1）在平行四边形里画一条线段，使它变成两个梯形。 （2）在梯形里画一条线段，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 解析： （1）（2）见下图： 【对应练习】 1. 分别画出下面图形指定底边上的高。    【答案】见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高； 梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。 【详解】作图如下：    【点睛】本题考查了高的画法知识，注意作完垂线后，要画出垂足。 2. 请在下面的点子图中画一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条高。 【答案】见详解 【分析】平行四边形对边平行且相等，梯形只有一组对边平行，据此画图；在平行四边形任意底和梯形的上底任取一个端点作垂直于相对应的底的垂直线段，称为作高。 【详解】如图： 【点睛】本题考查了平行四边形、梯形的特征及高的画法。 3. 按要求在下面的梯形中画一条线段，把梯形分成两个图形。 （1）两个三角形。 （2）两个梯形。 （3）一个长方形和一个三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）原图形为直角梯形，属于四边形，画一条线段使之变成两个三角形，则是连接任意对角线即可； （2）梯形上下底平行且不相等，所以取上下底各一点，连接即可，但画的这条线段不能与腰平行； （3）将直角梯形分为一个长方形和一个三角形，则是过上底的钝角顶点画出下底的垂线段即可。 【详解】（1）两个三角形如图： 或 （2）两个梯形如图： （3）一个长方形和一个三角形如图： 【点睛】解答本题的关键是牢记直角梯形的特点。 【考点五】平行四边形的周长与实际应用。 【典型例题】 1. 下图平行四边形的高是( )厘米，周长是( )厘米。 解析： 图中平行四边形的高是6或9厘米； （12＋8）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 2. 如图，平行四边形的周长是厘米，边的长是厘米，那么边的长是( )厘米。 解析： ＝ （厘米） 3. 王阿姨有一块平行四边形的菜地，这块菜地的一边长12米，它的邻边比它短3米。这块菜地的周长是多少米？ 解析： 12－3＝9（米） （12＋9）×2 ＝21×2 ＝42（米） 答：这块菜地的周长是42米。 【对应练习】 1. 一个平行四边形的一条边长是23厘米，它的邻边比它长6厘米。这个平行四边形的周长是多少厘米？ 解析： （23＋6＋23）×2 ＝52×2 ＝104（厘米） 答：这个平行四边形的周长是104厘米。 2. 一块平行四边形菜地，相邻两边分别是120米和80米，现在要在这块菜地的四周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 解析： （120＋80）×2 ＝200×2 ＝400（米） 答：篱笆至少需要400米。 【考点六】梯形的周长与实际应用。 【典型例题】 1. 一个等腰梯形上底长12cm，下底长30cm，腰长15cm，这个梯形的周长为（ ）cm。 解析： 12＋30＋15×2 ＝12＋30＋30 ＝42＋30 ＝72（cm） 2. 等腰梯形的周长是18cm，腰长3cm，这个梯形的上下底之和是( )cm。 解析： 18-3×2 ＝18-6 ＝12（cm） 3. 如图，某农场要在蔬菜种植区的三面围上栅栏（一面是墙）。已知每米栅栏需要45元，围这三面栅栏需要花多少钱？ 解析： 45×（168＋124＋228） ＝45×（292＋228） ＝45×520 ＝23400（元） 答：围这三面栅栏需要花23400元。 4. 用两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是100厘米，已知一个等腰梯形的周长是60厘米，等腰梯形一条腰的长是( )厘米。 解析： 如图所示，等腰梯形中上底与下底的和等于平行四边形的一条边，平行四边形中相邻两条边的长度和是周长÷2，则用梯形的周长减去平行四边形中相邻两条边的长度和，即可求出梯形中一条腰的长度。 60－100÷2 ＝60－50 ＝10（厘米） 【对应练习】 1. 一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是8厘米，一条腰是7厘米，围成这个等腰梯形至少要( )厘米长的铁丝。 解析： 6＋8＋7×2 ＝6＋8＋14 ＝28（厘米） 2. 如图所示，李大爷沿墙用篱笆围了一个等腰梯形形状的花园，篱笆共长18米，则这个花园的一条腰的长是多少米？ 解析： 18－4＝14（米） 14÷2＝7（米） 答：这个花园的一条腰的长是7米。 3. 把两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形（如图），这个直角梯形的周长是( )。 解析： 25＋10＋13＝48（cm） 【第三篇】图形的运动 【知识总览】 一、轴对称。 1.如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.有的图形只有1条对称轴，有的图形有多条对称轴。 3.在轴对称图形中，对称点的连线与对称轴互相垂直，对称点到对称轴的距离相等。 4.补全轴对称图形，可以按三个步骤完成。 第一步：“找”关键点； 第二步：确“定”各关键点的对称点； 第三步：依次“连”接各对称点，得到轴对称图形的另一半。 二、平移。 1.图形的平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2.确定图形平移的方向和距离时，可以根据该图上某个关键点平移的方向和距离来确定。 3.求一些不规则图形的面积时，可以利用平移将不规则图形转化成规则图形再计算。 【考点一】轴对称图形与对称轴。 【典型例题1】其一。 在下面的图形中，有( )个不是轴对称图形。 【答案】2 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可。 【详解】在下面的图形中，有最后2个图形不是轴对称图形。 【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。 【对应练习】 在ACHMNG中，轴对称字母有( )。 【答案】A、C、H、M 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】 在ACHMNG中，轴对称字母有A、C、H、M。 【点睛】掌握轴对称图形的意义及特点，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。 【典型例题2】其二。 我们学过的平面图形中，有两条对称轴的是( )，有三条对称轴的是( )，有四条对称轴的是( )。 解析：长方形；等边三角形；正方形 【对应练习】 正方形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，圆的对称轴有( )条，半圆的对称轴有( )条。 解析：4；2；无数；1 【考点二】轴对称图形的三种问题。 【典型例题1】问题一。 填一填。 (1)图形①和图形②是( )图形。 (2)点B和点B'到对称轴的距离都是( )小格。 (3)点C到对称轴的距离是( )小格，与点( )到对称轴的距离是一样的。 (4)点D'与点( )到对称轴的距离都是2小格。 【答案】(1)轴对称 (2)3 (3) 1 C' (4)D 【分析】 轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。据此解答即可。 【详解】（1）观察图形可知，四边形ABCD沿直线a折叠与四边形A'B'C'D'完全重合，故两个图形关于直线a对称，对称轴是直线a，图形①和图形②是轴对称图形。 （2）经过数数发现，点B和点B'到对称轴的距离都是3小格。 （3）点C到对称轴的距离是1小格，与点C'到对称轴的距离是一样的。 （4）点D'与点D到对称轴的距离都是2小格。 【对应练习】 在字母L、M、N中，( )是轴对称的；在轴对称图形中点A到对称轴的距离是5厘米，它的对应点到对称轴的距离是( )厘米。 【答案】 M 5 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 轴对称图形中，对称点到对称轴的距离相等。 【详解】在字母L、M、N中，M是轴对称的； 在轴对称图形中点A到对称轴的距离是5厘米，它的对应点到对称轴的距离是5厘米。 【点睛】掌握轴对称图形的意义及特点，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。 【典型例题2】问题二。 轴对称图形的应用。 在美术课上，东东学习了利用对称的知识来剪纸。他想剪出一只小鸟，尝试了四种剪法（如下图）。哪一种剪法可以剪出左边这只小鸟？把正确方法的序号填在括号里。 正确的是( )。 【答案】③ 【分析】根据轴对称的认识可知，剪出的图形应该是轴对称图形的一半，据此逐项分析即可。 【详解】由分析可知：①剪出来只有一半，方向是头向左，不符合；②缺少眼睛，不符合；③正好是轴对称图形的一半；④在纸的边缘处剪的，那么打开后是纸的左右两边都有一半小鸟，不符合。 所以正确的是③。 【点睛】本题主要考查轴对称图形的剪纸问题，关键是要清楚如何去剪。 【对应练习】 把一张长方形纸对折再对折，剪完后展开如下图，那么这张纸是( )。（填序号） 【答案】① 【分析】，把此图平均分成4份（如下图），再从①②③中找出一张纸与分成的4份中的一份是一致的即可。 【详解】由题意分析得： 把一张长方形纸对折再对折，剪完后展开如此图：，那么这张纸是。 【典型例题3】问题三。 如果在平面镜中看到钟表上时刻为，那么实际上现在是( )。 解析：7∶00 【对应练习】 下边的图是小明在镜子中看到的图像，它表示的真实时间是( )。 解析：3：35 【考点三】平移及平移现象。 【典型例题1】其一。 下列是平移现象的有( )。 ①火车在笔直的轨道上行驶     ②翻开课本 ③拉抽屉的过程     ④乘直升电梯从一楼到五楼 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做图形的平移。 【详解】①火车在笔直的轨道上行驶，是平移现象； ②翻开课本，没有沿某个方向移动一定的距离，不是平移现象； ③拉抽屉的过程，是平移现象； ④乘直升电梯从一楼到五楼，是平移现象； 综上所述，是平移现象的有①③④。 故答案为：D 【点睛】本题考查平移的意义及应用。 【对应练习】 关于图形的平移，说法正确的是( )。 A．改变了图形的大小 B．改变了图形的大小和位置 C．图形的大小和位置都没改变 D．只改变图形的位置不改变图形的大小 【答案】D 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动移动的过程，称为平移。平移时图形的位置发生变化而形状、大小不变。平移时图形沿直线运动，本身方向不发生改变；据此即可解答。 【详解】A．根据分析可知，平移不改变图形的大小，原说法错误。      B．根据分析可知，平移改变了图形的位置，但不改变图形的大小，原说法错误。 C．根据分析可知，平移时图形的位置发生变化而形状、大小不变，原说法错误。 D．根据分析可知，平移时图形的位置发生变化而形状、大小不变，原说法正确。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查学生对平移的定义和特征的掌握及灵活运用。 【典型例题2】其二。 如图，小狗先向( )平移1格，再向( )平移( )格才能吃到骨头。 解析：下；右；4 【对应练习】 下图中，图A向( )平移( )格得到图B。图B向( )平移( )格得图C。 解析：右；5；下；4 【考点四】平移和轴对称综合作图。 【典型例题】 要求一：画出下面这个图形的轴对称图形。（虚线为对称轴） 要求二：画出原四边形ABCD向右平移6格后的图形。 【答案】见详解 【分析】要求一：把一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，据此先画出BC边关于虚线的对称线段，再画出AB边关于虚线的对称线段，画出AD边关于虚线的对称线段，最后画出CD边关于虚线的对称线段，即可得到这个四边形的对称图形。 要求二：画出原四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D向右平移6格后的位置，再把4个顶点顺次相邻即可得到平移后的图形。 【详解】 【对应练习】 1．先补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移6格后的图形。    【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形：根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点，依次连结即可补全这个轴对称图形； 作平移图形：把图形的各顶点分别向右平移6格，然后顺次把各个顶点连接起来即可。 【详解】画图如下： 【点睛】熟练掌握轴对称图形和平移图形的画法是解答本题的关键。 2．补全下面轴对称图形，并画出完整图形向右平移9格后的图形。    【答案】见详解 【分析】这个轴对称图形的上半部分是三角形，下半部分是长方形，先根据轴对称图形的特点画出三角形右边的边，以及底的一部分，再画出下面长方形的另一半即可；将上部分三角形的三个顶点向右平移9格后的位置找出来，再按照左图的方法将其连接，接着找出下半部分长方形下面的两个顶点向右平移9格后的位置，依据左图连线即可。 【详解】   【点睛】熟记轴对称图形的特点，根据其完成轴对称图形的另一半。 【第四篇】确定位置 【知识总览】 一、行与列。 竖排叫做列，横排叫做行；确定列数时，一般要从左往右数，确定行数时，一般要从前往后（或从上往下）数。 二、数对表示位置。 用数对表示物体的位置，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数），不能调换位置；两个数之间一定要用逗号隔开；相同的数在不同的位置表示的意义不同。 三、数对与位置的关系。 用数对可以表示平面图上物体的位置；给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置。 四、平移与行列。 把一个点向右（或）向左平移几格，行数不变，列数加上（或减去）几；把一个点向上（或下）平移几格，列数不变，行数加上（或减去）几。 五、图形的平移。 在方格纸上平移图形时，可以用数形结合的方法，先确定出原图形各顶点平移后的对应点的位置，再将各对应点按顺序连接起来，得到平移后的图形。 【考点一】数对。 【典型例题】 1.如果电影票上的“a排b号”表示为（a，b），（7，15）表示( )排( )号。 【答案】 7 15 【分析】电影票上的“a排b号”表示为（a，b），说明数对的第一个数表示排，第二个数表示号，据此填空。 【详解】如果电影票上的“a排b号”表示为（a，b），（7，15）表示7排15号。 【点睛】关键是掌握用数对表示位置的方法。 2.电影票上的“8排12号”简记作（8，12），则“10排7号”简记作( )，（12，16）表示( )排( )号。 【答案】 （10，7） 12 16 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几排，后一个数表示第几号；据此解答。 【详解】电影票上的“8排12号”简记作（8，12），则“10排7号”简记作（10，7），（12，16）表示12排16号。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法，掌握相应的方法是解答本题的关键。 【对应练习】 1．小明坐在教室的第3列、第5行的位置，用数对表示是（3，5），小芳坐的位置用数对表示是（7，5），她在第( )列、第( )行，他们之间还坐着( )名同学。 【答案】 7 5 3 【分析】用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 小明的位置用数对表示是（3，5），小芳的位置用数对表示是（7，5），两人数对的第二个数字相同，即小明和小芳在同一行；第3列与第7列之间还有（7－3－1）名同学。 【详解】7－3－1＝3（名） 小明坐在教室的第3列、第5行的位置，用数对表示是（3，5）；小芳坐的位置用数对表示是（7，5），她在第7列、第5行，他们之间还坐着3名同学。 2．同学们排队做操，小红站在第5列第3行，用( )表示，用（6，2）表示的同学站在第( )列，第( )行。 【答案】 （5，3） 6 2 【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此填空即可。 【详解】同学们排队做操，小红站在第5列第3行，用（5，3）表示，用（6，2）表示的同学站在第6列2行。 【考点二】教室与数对。 【典型例题】 1.如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面一个同学的座位用数对表示是( )。 【答案】 （2，3） （2，4） 【分析】用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。 【详解】小明的座位在第2列、第3行的交点处，用数对（2，3）表示。他后面一个同学与小明在同一列，即在第2列、第4行的交点处，所以他后面一个同学的座位用数对表示是（2，4）。 【点睛】用数对表示物体的位置时，先表示列，后表示行，不能调换位置。 2.王老师坐在大厅的第5列第7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为( )。 【答案】（6，7） 【分析】用数对表示物体的位置时，括号里面先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，王老师右边相邻的老师与王老师在同一行，列数比王老师的列数多1，据此解答。 【详解】5＋1＝6 分析可知，坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为（6，7）。 【点睛】掌握用数对表示物体位置的方法是解答题目的关键。 【对应练习】 1．李平在教室里的位置用数对表示是（6，5），坐在他正前面的同学的位置用数对( )表示。 【答案】（6，4） 【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行；李平在教室里的位置用数对表示是（6，5），即第6列，第5行，坐在他正前面的同学与他所在的列数相同，用李平所在的行数减去1即可他正前面的同学所在的行数。据此填空即可。 【详解】5－1＝4 则李平在教室里的位置用数对表示是（6，5），坐在他正前面的同学的位置用数对（6，4）表示。 2．小丽坐在教室的第4列第2行，用数对( )表示，她左边同桌的位置可用数对( )表示，坐在小丽正后方的第一个位置上的组长的位置用数对表示是( )。 【答案】 （4，2） （3，2） （4，3） 【分析】根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 已知小丽坐在教室的第4列第2行，先根据用数对表示位置的方法写出小丽的位置； 小丽左边的同桌与小丽在同一行，列数加1，即在第3列第2行，据此用数对表示她左边同桌的位置； 坐在小丽正后方的第一个位置上的组长，与小丽在同一列，行数加1，即在第4列第3行，据此用数对表示组长的位置。 【详解】小丽坐在教室的第4列第2行，用数对（4，2）表示；她左边同桌的位置可用数对（3，2）表示；坐在小丽正后方的第一个位置上的组长的位置用数对表示是（4，3）。 【考点三】图形与数对。 【典型例题】 如图：A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（ ， ），C点用数对表示为（ ， ），三角形ABC是( )三角形。    【答案】 5 1 3 3 等腰 【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示出点B和点C的位置；再根据三角形的分类标准进行判断即可。 【详解】由分析可知： A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（5，1），C点用数对表示为（3，3），三角形ABC是等腰三角形。 【点睛】本题考查用数对表示位置，明确用数对表示位置的方法是解题的关键。 【对应练习】 1.三角形ABC中的A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C点用数对表示为（1，3），则三角形ABC是( )三角形。 【答案】直角 【分析】平面内，从左往右数是列数，从前往后数是行数，以（列数，行数）的形式来表示位置，就是数对，可据此先把三角形的3个顶点确定在平面内，再根据其具体形状确定三角形的分类。 【详解】如图：如果A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C点用数对表示为（1，3），那么三角形ABC按角分是直角三角形。 【点睛】此题主要考查了两个知识点：一是数对与位置；二是三角形按角分类。 2.如图，点B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点A的位置用数对表示是( )，点C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形ABC向右平移3格，平移后点C的位置用数对表示是( )。 【答案】(1) （1，2） （2，5） (2)（5，5） 【分析】（1）根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解答； （2）将三角形ABC向右平移3格，平移后点C在第5列第5行，据此用数对表示平移后点C的位置。 【详解】（1）点A的位置用数对表示是（1，2），点C的位置用数对表示是（2，5）。 （2）把三角形ABC向右平移3格（下图红色部分），平移后点C的位置用数对表示是（5，5）。 【点睛】掌握用数对表示物体的位置、作平移后的图形的作图方法是解题的关键。 【考点四】路线与数对。 【典型例题】 下图是冷水滩区河东部分的平面示意图。 （1）用数对标出位置：白石山公园( )，好又多超市( )。 （2）图中（6，3）表示的位置是( )。 （3）( )和( )在同一行上。 （4）小明同学从滨江公园出发到万达广场，他应该怎么走？ 解析： （1）（2，5）；（10，1） （2）体育中心 （3）市委；滨江公园 （4）先向北走4格（或向西走5格），再向西走5格（向北走4格）。 【对应练习】 如图是某城市部分城区的平面示意图。 （1）周六，乐乐先后去了超市、图书馆、广场、公园、 请用数对表示出乐乐的活动路线。 ( )→( )→( )→( ) （2）书店在学校以北100m，再往东走600m处，请在图中标出书店的位置。 解析： （1）超市的位置用数对表示是（6，2），图书馆的位置用数对表示是（2，4），广场的位置用数对表示是（4，6），公园的位置用数对表示是（6，7）。 （2）小正方形的边长是100米，书店在学校以北100m，再往东走600m处，由此可知，书店的位置用数对表示是（9，2）。 作图如下： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$