期末模拟卷02-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

2023-2024学年八年级下学期期末模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 3．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 4．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论正确的是（　　） A．众数是8，中位数是8 B．众数是8，中位数是8.5 C．平均数是8.2，方差是1.2 D．平均数是8，方差是1.2 5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠ACB＝30°，AB＝4，则OB的长为（　　） A．6 B．4 C． D．8 6．在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2） 都在函数y＝﹣2x+3的图象上，若x1＜x2＜0，则下列四个推断中错误的是（　　） A．点P在第二象限 B．坐标原点不在此函数图象上 C．y1＞y2 D．y2＜3 7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），B（3，2），若一次函数y＝﹣x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围是（　　） A．b≤﹣1或b≥3 B．﹣1≤b≤3 C．b≤1或b≥5 D．1≤b≤5 8．按照如下方法分别在矩形ABCD（AB＞AD）中画四边形： 方法1： 1．如图1，取矩形ABCD各边的中点E，F，G，H； 2．连接各边的中点，得到四边形EFGH． 方法2： 1．如图2，连接AC； 2．分别作AB、DC关于AC的对称线段，交DC，AB于点N，M； 3．得到四边形ANCM． 结论一：方法1得到的四边形EFGH是矩形，方法2得到的四边形ANCM是菱形； 结论二：方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长相等． 下列判断正确的是（　　） A．只有结论一正确 B．只有结论二正确 C．结论一和结论二都正确 D．结论一和结论二都不正确 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　． 10．为了落实“双减”，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．10名选手投中篮框的个数分别为6，9，9，10，9，8，7，7，6，10，则这组数据的众数是 　 　． 11．当x＝　 　时，最简二次根式与3是同类二次根式． 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝5，则点A的坐标是 　 　． 13．如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　 　． 14．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为 　 ． 15．如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，AB＝6，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，连接OC，则OC的最大值为 　 　． 16．A、B两地相距630千米客车、货车分别从A、B两地同时出发，匀速相向行驶货车两小时可到达途中C站，客车需9小时到达C站．货车的速度是客车的，客、货车到C站的距离分别为y1、y2千米），它们与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图．下列说法：①客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米/小时；②P点横坐标为12；③A、C两站间的距离是540千米；④E点坐标为（6，180），其中正确的说法是 　 　（填序号）． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．计算： （1）； （2）． 18．已知，求代数式（x﹣1）2﹣2x+5的值． 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E．已知AB＝6，BC＝8，如果F是边BC的中点，连接EF，求EF的长． 20．如图，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B恰好与其对角线AC的中点O重合，折痕与边BC交于点E．延长EO交AD于F，连接CF． （1）根据题意补全图形； （2）求证：四边形AECF是菱形； （3）若AB，则CE的长为 　 　． 21．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 22．已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标（2，﹣1）， （1）在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出△ABC． （2）求△ABC的面积： （3）已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标． 23．下面是证明直角三角形斜边中线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点． 求证：． 方法一 证明：如图，取AC中点E，连接DE． 方法二 证明：如图，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE、BE． 24．某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； ②A，B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下： A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89 B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89 A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表： 平均数 中位数 方差 A班 80.6 m 96.9 B班 80.8 n 153.3 根据以上信息，回答问题： （1）A班有 　 　人，其中成绩在70≤x＜80这一组的有 　 　人； （2）表中m＝　 　，n＝　 　； （3）从两个方面来分析A，B两班的成绩： ①　 　； ②　 　． 25．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表： A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 60 150 （1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求由x的取值范围； （2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．（1）求这个一次函数的解析式； （2）已知一次函数y＝mx+m（m≠0）． ①无论m取何值，直线y＝mx+m（m≠0）都经过点 　 　； ②当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx+m的值都大于一次函数y＝kx+b的值，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 27．如图，在长方形ABCD中，点E是边BC的中点，沿AE对折长方形ABCD，使点B落在点P处，折痕为AE，连接CP并延长交AD于点F，连接BP，BC＝12． （1）证明：△BPC为直角三角形； （2）证明：BE＝DF； （3）连接DP，当△APF为等腰三角形时，求DP的长． 28．我们给出如下定义：两个图形G1和G2对于G1上的任意一点P（x1，y1）与G2上的任意一点Q（x2，y2），如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“理想距离”． （1）如图1，点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为理想距离，那么PQ的长为 　 　； （2）有射线EF（E（4，0），F（0，4））和线段AB，点P在线段AB上，点Q在射线EF上： ①如图2，当A（1，0），B（3，0）时，画出理想距离的示意图，PQ的长为 　 　； ②如图3，保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，A（m，0），理想距离PQ的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级下学期期末模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 答案：C． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝60°， ∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE， 在△BAC和△AED中， ， ∴△BAC≌△AED（SAS）， ∴∠BAC＝∠AED＝80°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°， 答案：C． 3．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A.，错误，不符合题意； B.，正确，符合题意； C.，错误，不符合题意； D.，错误，不符合题意． 答案：B． 4．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论正确的是（　　） A．众数是8，中位数是8 B．众数是8，中位数是8.5 C．平均数是8.2，方差是1.2 D．平均数是8，方差是1.2 解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8， 10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8， 平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2， 方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56， 答案：A． 5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠ACB＝30°，AB＝4，则OB的长为（　　） A．6 B．4 C． D．8 解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°，AB＝4， ∴AC＝2AB＝2×4＝8， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BOBDAC＝4． 答案：B． 6．在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2） 都在函数y＝﹣2x+3的图象上，若x1＜x2＜0，则下列四个推断中错误的是（　　） A．点P在第二象限 B．坐标原点不在此函数图象上 C．y1＞y2 D．y2＜3 解：∵一次函数y＝﹣2x+3，a＝﹣2＜0，b＝3＞0， ∴图象过第一、二、四象限，y随x的增大而减小， ∴坐标原点不在此函数图象上，故B正确，不合题意； ∵x1＜x2＜0， ∴点P（x1，y1），Q（x2，y2） 都在第二象限，y1＞y2，y2＞3， 故A、C正确，不合题意，D错误，符合题意． 答案：D． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），B（3，2），若一次函数y＝﹣x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围是（　　） A．b≤﹣1或b≥3 B．﹣1≤b≤3 C．b≤1或b≥5 D．1≤b≤5 解：∵A（﹣1，2），B（3，2）， ∴若过A点，则2＝1+b，解得b＝1， 若过B点，则2＝﹣3+b，解得b＝5， ∴1≤b≤5． 答案：D． 8．按照如下方法分别在矩形ABCD（AB＞AD）中画四边形： 方法1： 1．如图1，取矩形ABCD各边的中点E，F，G，H； 2．连接各边的中点，得到四边形EFGH． 方法2： 1．如图2，连接AC； 2．分别作AB、DC关于AC的对称线段，交DC，AB于点N，M； 3．得到四边形ANCM． 结论一：方法1得到的四边形EFGH是矩形，方法2得到的四边形ANCM是菱形； 结论二：方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长相等． 下列判断正确的是（　　） A．只有结论一正确 B．只有结论二正确 C．结论一和结论二都正确 D．结论一和结论二都不正确 解：如图1中，连接AC，BD． ∵AE＝ED，DH＝CH，AF＝FB，CG＝GB， ∴EH∥AC，FG∥AC，EHAC，FGAC， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵GHBD，EHAC， ∴EH＝HG， ∴四边形EHFG是菱形． 如图2中，由作图可知∠MAC＝NAC，∠MCA＝∠NCA， ∵AC＝CA， ∴△AMC≌△ANC（ASA）， ∴AM＝AN＝CN， ∵CN∥AM， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵AM＝AN， ∴四边形AMCN是菱形，故结论1错误． ∵图1中，四边形EFGH都是周长＝2AC，图2中，四边形AMCN的周长＝2（AM+MC）＞2AC， ∴方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长不相等，故结论2错误． 答案：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x≥3　． 解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0，解得x≥3． 答案：x≥3． 10．为了落实“双减”，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．10名选手投中篮框的个数分别为6，9，9，10，9，8，7，7，6，10，则这组数据的众数是 　9　． 解：6，9，9，10，9，8，7，7，6，10，这组数据中，9出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为9． 答案：9． 11．当x＝　4　时，最简二次根式与3是同类二次根式． 解：∵最简二次根式与3是同类二次根式， ∴3x﹣2＝x+6， 3x﹣x＝6+2， 2x＝8， x＝4， 答案：4． 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝5，则点A的坐标是 　（2，0）　． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC＝90°，OC＝OA， ∵点B的坐标是（0，1）， ∴OB＝1， 在直角三角形BOC中，BC＝5， ∴OC2， ∴点C的坐标（﹣2，0）， ∵点A与点C关于原点对称， ∴点A的坐标（2，0）． 答案：（2，0）． 13．如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　10　． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO， ∵O为BD的中点， ∴OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴CD﹣DF＝AB﹣BE， ∴CF＝AE＝10． 答案：10． 14．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为 　10﹣3　． 解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，BC＝6， ∴AD＝BC＝6， 由折叠得A′D＝AD＝6，点D与点A关于直线MN对称， ∴MN垂直平分AD， ∴∠AMN＝∠DMN＝90°，DM＝AMAD＝3， ∵∠A＝∠B＝∠AMN＝90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝10， ∵A′M3， ∴A′N＝MN﹣A′M＝10﹣3， 答案：10﹣3． 15．如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，AB＝6，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，连接OC，则OC的最大值为 　33　． 解：如图，取AB的中点H，连接OH，HC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠AOB＝90°，AB＝BC＝6， ∵点H是AB的中点， ∴OH＝BHAB＝3， ∴CH3， 在△OCH中，OC＜OH+HC， ∴当点H在OC上时，OC有最大值，最大值为33， 答案：33． 16．A、B两地相距630千米客车、货车分别从A、B两地同时出发，匀速相向行驶货车两小时可到达途中C站，客车需9小时到达C站．货车的速度是客车的，客、货车到C站的距离分别为y1、y2千米），它们与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图．下列说法：①客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米/小时；②P点横坐标为12；③A、C两站间的距离是540千米；④E点坐标为（6，180），其中正确的说法是 　①③④　（填序号）． 解：设客车的速度为4a千米/小时，则货车的速度为3a千米/小时，由函数图象得：货车行驶2小时到达C站，客车行驶9小时到达C站，则2•3a+9•4a＝630，解得a＝15，因此，客车的速度为60千米/小时，货车的速度为45千米/小时，说法①正确； 货车到达A地所用时间为 （小时），则点P的横坐标为14，说法②错误； A、C两站间的距离是 60×9＝540（千米），说法③正确； 两车相遇的时间为 630÷（60+45）＝6（小时），则相遇位置离C站的距离为60×（9﹣6）＝180（千米），因此，点E的坐标为（6，180），说法④正确； 综上，正确的说法是①③④， 答案：①③④． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．计算： （1）； （2）． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．已知，求代数式（x﹣1）2﹣2x+5的值． 解：（x﹣1）2﹣2x+5 ＝x2﹣2x+1﹣2x+5 ＝x2﹣4x+6 ＝x2﹣4x+4+2 ＝（x﹣2）2+2， 当x＝2时，原式＝（22）2+2＝3+2＝5， ∴代数式（x﹣1）2﹣2x+5的值为5． 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E．已知AB＝6，BC＝8，如果F是边BC的中点，连接EF，求EF的长． 解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 则AC10， ∵AD＝AB＝6， ∴DC＝AC﹣AD＝10﹣6＝4， ∵AD＝AB，AE⊥BD， ∴BE＝ED， ∵BF＝FC， ∴EF为△BCD的中位线， ∴EFCD4＝2． 20．如图，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B恰好与其对角线AC的中点O重合，折痕与边BC交于点E．延长EO交AD于F，连接CF． （1）根据题意补全图形； （2）求证：四边形AECF是菱形； （3）若AB，则CE的长为 　4　． （1）解：如图： （2）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠EAC＝∠ACB，∠AFE＝∠FEC， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B恰好与其对角线AC的中点O重合， ∴AC⊥EF， ∴▱AECF是菱形； （3）∵O是AC的中点，AO＝AB， ∴AC＝2AO＝2AB＝4， ∴BC6， ∵EF垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∵∠B＝90°， ∴（2）2+（6﹣EC）2＝CE2， 解得：CE＝4． 21．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）由题意可得，A型电脑的总利润为：120x，B型电脑的总利润为：140（100﹣x）， ∴A、B电脑的总利润：y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+14000， 又B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍， ∴100﹣x≤3x， 解得：x≥25， ∴自变量x的取值范围为：25≤x≤100，且x为正整数， ∴y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x为正整数）； （2）∵y＝﹣20x+14000，且﹣20＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵25≤x≤100，且x为正整数， ∴x＝25时，y有最大值为：﹣20×25+14000＝13500， ∴A型电脑进货25台，B型电脑进货75台，销售利润最大为13500元． 22．已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标（2，﹣1）， （1）在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出△ABC． （2）求△ABC的面积： （3）已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标． 解：（1）如图：△ABC即为所求； （2）△ABC的面积为：4×45； （3）设P（x，0）， 则：|x﹣4|×3＝6， 解得：x＝2或x＝6， ∴P点坐标为（2，0）或（6，0）． 23．下面是证明直角三角形斜边中线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点． 求证：． 方法一 证明：如图，取AC中点E，连接DE． 方法二 证明：如图，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE、BE． 方法一， 证明：如图，取AC中点E，连接DE， ∵AD＝BD， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∴DE垂直平分线AC， ∴CD＝AD， ∵ADAB， ∴CDAB． ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 方法二， 证明：如图，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE、BE， ∴CDCE， ∵AD＝BD， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形AEBC是矩形， ∴AB＝CE， ∴CDAB． ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 24．某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； ②A，B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下： A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89 B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89 A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表： 平均数 中位数 方差 A班 80.6 m 96.9 B班 80.8 n 153.3 根据以上信息，回答问题： （1）A班有 　40　人，其中成绩在70≤x＜80这一组的有 　10　人； （2）表中m＝　81　，n＝　85　； （3）从两个方面来分析A，B两班的成绩： ①　从平均分来看，A，B两班差不多　； ②　从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多　． 解：（1）由题意可知，A班有：5+2+3+22+8＝40（人）；其中成绩在70≤x＜80这一组的有：40﹣（1+7+13+9）＝10（人）， 答案：40；10； （2）A班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数m81， B班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数n85， 故m、n的值分别为81，85； （3）从平均分来看，A，B两班差不多；从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多；从方差看，A班方差小，学生成绩差距较小，B班方差大，说明B班学生发展不均衡．（任选两点）． 答案：从平均分来看，A，B两班差不多；从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多． 25．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表： A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 60 150 （1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求由x的取值范围； （2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 解：（1）分配给甲店A型产品x件，则分配给甲店B型产品（70﹣x）件，分配给乙店A型产品（40﹣x）件，分配给乙店B型产品30﹣（40﹣x）＝（x﹣10）件， ∴W＝200x+170（70﹣x）+60（40﹣x）+150（x﹣10）＝120x+12800， ∵， ∴10≤x≤40， ∴y＝120x+12800（10≤x≤40）； （2）由题意得：W＝（200﹣a）x+170（70﹣x）+60（40﹣x）+150（x﹣10）， 即W＝（120﹣a）x+12800， ∵200﹣a＞170， ∴a＜30． ∴120﹣a＞0，函数W随x的增大而增大， ∴当x＝40时，总利润最大，此时分配给甲店A产品40件，B产品30件，分配给乙店A产品0件，B产品30件． 26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．（1）求这个一次函数的解析式； （2）已知一次函数y＝mx+m（m≠0）． ①无论m取何值，直线y＝mx+m（m≠0）都经过点 　（﹣1，0）　； ②当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx+m的值都大于一次函数y＝kx+b的值，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝2x平移得到， ∴k＝2， 将点（2，1）代入y＝2x+b， 得4+b＝1，解得b＝﹣3， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣3； （2）①∵y＝mx+m＝m（x+1）， ∴x＝﹣1时，y＝0， ∴无论m取何值，直线y＝mx+m（m≠0）都经过点（﹣1，0）， 答案：（﹣1，0）； ②当x＝2时，y＝2x﹣3＝1， 把点（2，1）代入y＝mx+m，求得m， ∵x≤2时，对于x的每一个值，函数y＝mx+m的值都大于一次函数y＝kx+b的值， ∴m≤2． 27．如图，在长方形ABCD中，点E是边BC的中点，沿AE对折长方形ABCD，使点B落在点P处，折痕为AE，连接CP并延长交AD于点F，连接BP，BC＝12． （1）证明：△BPC为直角三角形； （2）证明：BE＝DF； （3）连接DP，当△APF为等腰三角形时，求DP的长． （1）证明：∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 由折叠的性质得：BE＝PE， ∴PE＝BE＝CE， ∴PEBC， ∴△BPC是直角三角形； （2）证明：由（1）得：∠BPC＝90°， ∴CF⊥BP， 由折叠的性质得：AE⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠AEB＝∠FCB， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝90°，AD∥BC， ∴∠FCB＝∠CFD， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF； （3）解：分两种情况： ①当FA＝FP时，如图1所示： 则∠FAP＝∠FPA， 由（2）得：BE＝DF，AE∥CF， ∴∠PAE＝∠FAP＝∠FPA， 由折叠的性质得：∠BAE＝∠PAE， ∴∠BAE＝∠PAE＝∠FAP， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC＝12，∠BAD＝90°， ∴∠PAD90°＝30°， 又∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CEBC， ∵BE＝DF， ∴FA＝FD， ∴FP＝FA＝FDAD， ∴∠APD＝90°， ∴； ②当PA＝PE时，如图2所示： ∠PAF＝∠PFA， ∵AE∥CF， ∴∠EAF＝∠PFA＝∠PAF∠PAE， 由折叠的性质得：∠BAE＝∠PAE， ∴∠EAF∠BAE， ∴∠PFA＝∠PAF＝∠EAF∠BAD＝30°， 过P作PM⊥AD交AD于M， 则AM＝FMAFDF＝3， ∴PMAM，DM＝DF+FM＝9， ∴PD2； 综上所述，DP的长为6或2． 28．我们给出如下定义：两个图形G1和G2对于G1上的任意一点P（x1，y1）与G2上的任意一点Q（x2，y2），如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“理想距离”． （1）如图1，点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为理想距离，那么PQ的长为 　　； （2）有射线EF（E（4，0），F（0，4））和线段AB，点P在线段AB上，点Q在射线EF上： ①如图2，当A（1，0），B（3，0）时，画出理想距离的示意图，PQ的长为 　　； ②如图3，保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，A（m，0），理想距离PQ的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 解：（1）∵点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上， ∴当P与点A重合，Q与点D重合时，PQ最小， ∵OP＝OA＝1，OQ＝OD＝2， ∴， ∴理想距离， 答案：． （2）①如图，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即是PQ的长， ∵射线EF（E（4，0），F（0，4））， ∴OE＝OF＝4， ∴∠OEF＝45°， ∵BE＝4﹣3＝1， ∴PQ＝BM， 答案：． ②如图，当AB在射线EF的左侧时，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即为PQ的长， ∵， ∴BE， ∴AE＝AB+BE＝4， ∴OA＝0，即m＝0； 当AB在射线EF的左侧时，A′E的长即为PQ的长， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$