2024年中考数学专题复习：初中数学几何模型之直线轨迹型瓜豆原理专题

初中数学几何模型之直线轨迹型瓜豆原理专题 一、模型解读 所谓瓜豆原理，即若两动点到某定点的距离之比为定值，且其夹角为定角，那么两动点的运动路径相同。动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型。我们把主动点形象的叫“瓜”，从动点叫“豆”，“瓜”在直线上运动，“豆”也在直线上运动；“瓜”在圆周上运动，“豆”的轨迹也是圆。下面，先讲直线型的“瓜豆原理”。 ( 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、 两动点与定点的连线夹角是定角 3、 两动点到定点的距离比值是定值 ) 运动轨迹为直线型的瓜豆原理 题目 （1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ （2）如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60°得到P'，求P'点轨迹？ 解析 Q点轨迹是直线l。（相似模型） P'点轨迹是直线BP'（手拉手模型） 确定从动点轨迹的方法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的从动点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 一．例题赏析 例1．如图所示，A（0，4），点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF．则线段OF的最小值是 　2　． 【分析有据】连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，可得到△APF为等边三角形，通过△AOP≌△ACF得到∠ACF＝∠AOP＝90°，即当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，作OF'⊥FC交直线FC于F'，OE⊥AC于E，得到当F在直线FC上运动到点F'位置时，线段OF的最小值为OF'＝2． 【解题有法】解：连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC， ∴AO＝AC＝4，∠OAC＝60°，∠APF＝60°，AP＝FP， ∴△APF为等边三角形，∴AF＝AP，∠PAF＝60°＝∠OAC， ∴∠OAP＝∠CAF，在△AOP和△ACF中， ，∴△AOP≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠AOP＝90°， ∴当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动， 作OF'⊥FC交直线FC于F'，OE⊥AC于E， ∵∠OAC＝60°，AO＝AC＝4，∴∠AOE＝∠COE＝30°，OE⊥AC， ∴，∴显然，当F在直线FC上运动到点F'位置时，线段OF的最小值为OF'＝2，故答案为：2． 例2．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 　120°　；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 　75°　． 【分析有据】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论． 【解题有法】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′． ∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE， ∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，， ∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°， ∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O， 当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°， 当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°， ∴EOOB，OP′OC，∴EP′＝EO+OP′OBOCBC， ∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°， ∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°． 故答案为：120°，75°． 二．巩固练习 1．正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（　　） A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线 2．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为AD的中点，点F为CD边上一点，DF＝2，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EH，点H恰好在线段BF上，过H作直线HM⊥AD于点M，交BC于点N，则CF的长为（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，当点C，B′，C′三点共线时，AB′交DC于点E，则DE的长度是（　　） A． B． C． D． 4．如图，矩形ABCD的边AB，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是 　 　． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为　 　． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 　 　． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 　 　． 9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在边AD上，且AD＝4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则　 　.若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 　 　． 11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠B＝60°，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　 　． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段BC上一动点，将线段PA绕点P顺时针转90°得到线段PA′，连接DA′，则DA′的最小值为 　 　． 13．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是 　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，且OA＝3，点M为x轴上的一个动点，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转60°至线段AN，连接ON，则ON的最小值为 　 　． 15．如图，平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是 　 　． 初中数学几何模型之直线轨迹型瓜豆原理专题 巩固练习参考答案与试题解析 1．正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（　　） A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线 【分析有据】建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，证明△AOE≌△BOF（ASA），推出AE＝BF，设AE＝BF＝a，则F（a，0），E（0，1﹣a），由题意G（a，a），推出点G在直线y＝﹣x上运动，可得结论． 【解题有法】解：建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB， ∵∠AOB＝∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， 设AE＝BF＝a，则F（a，0），E（0，1﹣a）， ∵EG＝FG， ∴G（a，a）， ∴点G在直线y＝﹣x上运动， ∴点G的运动轨迹是线段， 解法二：连接BG，OG．因为BG＝OG＝二分之一EF，所以点G在OB的垂直平分线上． ∴点G的运动轨迹是线段， 故选：A． 2．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为AD的中点，点F为CD边上一点，DF＝2，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EH，点H恰好在线段BF上，过H作直线HM⊥AD于点M，交BC于点N，则CF的长为（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 【分析有据】设CF＝x．过H点作MN⊥AD，则MN∥CD，易证得△MEH≌△DFE（AAS），得出ME＝DF＝2，MH＝DE＝6，进而得出HN＝x﹣4，然后通过证得△BNH∽△BCF，得到，即，解方程即可求得CF． 【解题有法】解：过H点作MN⊥AD，则MN∥CD，设CF＝x． ∵AB＝CD＝DF+CF＝2+x，BC＝12，E为边AD的中点， ∴AE＝ED＝6， ∵∠FEH＝90°， ∴∠MEH+∠DEF＝90°， ∵∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠MEH＝∠DFE， 在△MEH和△DFE中， ， ∴△MEH≌△DFE（AAS）， ∴ME＝DF＝2，MH＝DE＝6， ∴HN＝x+2﹣6＝x﹣4， ∴BN＝AM＝6﹣2＝4， ∵NH∥CF， ∴△BNH∽△BCF， ∴，即， 解得x＝6， ∴CF的长是6， 故选：C． 3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，当点C，B′，C′三点共线时，AB′交DC于点E，则DE的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析有据】连接AC，AC′，由旋转易得AC＝AC′，结合等腰三角形的三线合一性质知B′C＝B′C′＝3＝AD，进而可利用AAS证明△ADE≌△CB′E，得到AE＝CE，DE＝B′E，于是设AE＝x，则B′E＝4﹣x＝DE，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【解题有法】解：如图，连接AC，AC′， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝3，AD＝AB＝4， 由旋转可知，BC＝B′C′＝3，AC＝AC′，∠ABC＝∠AB′C′＝90°，AB′＝AB＝4， ∴△ACC′是等腰三角形，且AB′⊥CC′， ∴B′C＝B′C′＝3， ∴AD＝B′C＝3， 在△ADE和△CB′E中， ， ∴△ADE≌△CB′E（AAS）， ∴AE＝CE，DE＝B′E， 设AE＝x，则B′E＝4﹣x＝DE， 在Rt△ADE中，DE2+AD2＝AE2， ∴（4﹣x）2+32＝x2， 解得：x， ∴DE＝4﹣x． 故选：A． 4．如图，矩形ABCD的边AB，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析有据】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【解题有法】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB，BC＝3， ∴∠B＝90°，CD，AD＝3， ∵AE＝1， ∴BE， ∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°， ∴∠EGH＝∠FEA， 在△GEH和△FEA中， ， ∴△GEH≌△EFA（AAS）， ∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值， 故选：B． 二．填空题（共13小题） 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是 　22　． 【分析有据】在BC上截取BE＝BD，由等腰直角三角形的性质可得BA＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2BE，由旋转的性质可得BP＝BP'，∠PBP'＝45°，可证△BDP'≌△BEP，可得PE＝P'D，当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值，由直角三角形的性质可求DP′的最小值． 【解题有法】解：如图，在BC上截取BE＝BD，连接EP， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB， ∴BA＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2BE， ∵以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′， ∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°＝∠ABC， ∴∠DBP'＝∠CBP， 在△BDP'和△BEP中， ， ∴△BDP'≌△BEP（SAS）， ∴PE＝P'D， ∴当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值， ∵PE⊥CD，∠BCD＝45°， ∴CEPE＝BC﹣BE＝4﹣2， ∴PE＝22， 故答案为：22． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为　　． 【分析有据】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．证明△ADP∽△DHG，推出∠DHG＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HF时，CG的值最小，想办法求出CG即可． 【解题有法】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E． ∵DG⊥PG，DH⊥AC， ∴∠DGP＝∠DHA， ∵∠DPG＝∠DAH， ∴△ADH∽△PDG， ∴，∠ADH＝∠PDG， ∴∠ADP＝∠HDG， ∴△ADP∽△DHG， ∴∠DHG＝∠DAP＝定值， ∴点G在射线HF上运动， ∴当CG⊥HF时，CG的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADH+∠HDF＝90°， ∵∠DAH+∠ADH＝90°， ∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF， ∴FD＝FH， ∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°， ∴∠FHC＝∠FCH， ∴FH＝FC＝DF＝1.5， 在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3， ∴AC5，DH， ∴CH， ∴EH， ∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF， ∴△CGF≌△HEF（AAS）， ∴CG＝HE， ∴CG的最小值为， 故答案为． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 　2　． 【分析有据】方法一：点F运动所形成的图象是一条射线F2F1，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：P1O＝F1O，进而得P1A＝P1F1＝AF1，求得点F1的坐标为（，0），当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，﹣4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为yx﹣4，再由线段中垂线性质得出F1F2＝AF1，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得OF1×OF2F1F2×h，即 4h，解得h＝2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2． 方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，可证得△BAP≌△OAF（SAS），得出BP＝OF，当BP⊥x轴时，BP最小值为2，故OF的最小值为2． 【解题有法】解：方法一：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF， ∴∠APF＝60°，PF＝PA， ∴△APF是等边三角形， ∴AP＝AF， 如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形， 则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°， ∵AO⊥P1F1， ∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°， ∴∠P1AO＝30°，且AO＝4， 由勾股定理得：P1O＝F1O， ∴P1A＝P1F1＝AF1， ∴点F1的坐标为（，0）， 如图，当点F2在y轴上时， ∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O， ∴AO＝F2O＝4， ∴点F2的坐标为（0，﹣4）， ∵tan∠OF1F2， ∴∠OF1F2＝60°， ∴点F运动所形成的图象是一条直线F2F1， ∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短， 设直线F1F2的解析式为y＝kx+b， 则 ， 解得， ∴直线F1F2的解析式为yx﹣4， ∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1， ∴F1F2＝AF1， 在Rt△OF1F2中， 设点O到F1F2的距离为h，则 OF1×OF2F1F2×h， ∴4h， 解得h＝2， 即线段OF的最小值为2； 方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF， 过点B作BP′⊥x轴于点P′， ∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF， ∴∠APF＝60°，PF＝PA， ∴△APF是等边三角形， ∴AP＝AF，∠PAF＝60°， ∵△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°， ∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF， 在△BAP和△OAF中， ， ∴△BAP≌△OAF（SAS）， ∴BP＝OF， ∵P是x轴上一动点， ∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小， ∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°， ∴BP′OB4＝2， ∴OF的最小值为2， 故答案为2． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 　2+3　． 【分析有据】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小． 【解题有法】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°， ∵∠BET＝∠FEG＝45°， ∴∠BEF＝∠TEG， 在△EBF和△ETG中， ， ∴△EBF≌△ETG（SAS）， ∴∠B＝∠ETG＝90°， ∴点G的在射线TG上运动， ∴当CG⊥TG时，CG的值最小， ∵BC＝8，BE＝2，CD＝6， ∴CE＝CD＝6， ∴∠CED＝∠BET＝45°， ∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°， ∴四边形ETGJ是矩形， ∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝2， ∴CJ⊥DE， ∴JE＝JD， ∴CJDE＝3， ∴CG＝CJ+GJ＝2+3， ∴CG的最小值为2+3， 故答案为2+3． 9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　． 【分析有据】如图1，过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD．构造全等三角形△GPF≌△GQE（AAS），由该全等三角形的性质可以判定点G在BD所在的直线上运动；当CG⊥BD时，CG取最小值．根据正方形的性质解答即可． 【解题有法】解：如图1，过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD， 根据题意知，∠ABC＝90°，∠PGQ＝90°． ∴∠PGF+∠FGQ＝∠QGE+∠FGQ＝90°． ∴∠PGF＝∠QGE． 又∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE＝90°， ∴GF＝GE． 在△GPF与△GQE中， ， ∴△GPF≌△GQE（AAS）． ∴GP＝GQ，∠GBP＝∠GBE∠ABC． ∴点G在BD所在的直线上运动． ∵F为AB边上的一个动点，如图2， 当点F与点B重合时，点G的位置如图所示． 当点F与点A重合时，记点G的位置为G″． ∴点G的运动轨迹为线段GG″． 过点C作CG′⊥BD于点G′． ∴|CG|min＝CG′BD． ∵正方形ABCD的边长为2， ∴BD＝2． ∴|CG|min． 故答案为：． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在边AD上，且AD＝4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则　4　.若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 　16　． 【分析有据】过F作FK⊥AD交AD延长线于K，设AP＝m，证明△APE∽△DET，有，DT，而△DET∽△CFT，有，可得CF＝4m﹣6，EK＝4m，根据△APE∽△KEF，知4；过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H，证明△EGM≌△FHM（AAS），得MG＝MH．故点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，当点P与点B重合时，可证△EF1B∽△∠EF1F2，得，F1F2＝32，从而M1M2F1F2＝16，即点M运动的路径长为16． 【解题有法】解：过F作FK⊥AD交AD延长线于K，如图： 设AP＝m， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，AD＝4AE， ∴AE＝2，DE＝6，∠A＝∠EDC＝90°， ∵EF⊥PE， ∴∠PEF＝90°， ∴∠DET＝90°﹣∠AEP＝∠APE， ∴△APE∽△DET， ∴，即， ∴DT， ∴CT＝CD﹣DT＝8， ∵DE∥CF， ∴△DET∽△CFT， ∴，即， ∴CF＝4m﹣6， ∴DK＝CF＝4m﹣6， ∴EK＝4m， ∵∠DET＝∠APE，∠A＝∠K＝90°， ∴△APE∽△KEF， ∴4； 过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H，如图： ∵AD∥CB，GH⊥AD， ∴GH⊥BC． 在△EGM和△FHM中， ， ∴△EGM≌△FHM（AAS）， ∴MG＝MH． ∴点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段， 当点P与A重合时，BF1＝AE＝2， 当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°， ∴∠F2＝∠BEF1． ∵∠EF1B＝∠EF1F2， ∴△EF1B∽△∠EF1F2． ∴，即：， ∴F1F2＝32， ∵M1M2是△EF1F2的中位线， ∴M1M2F1F2＝16，即点M运动的路径长为16；故答案为：4；16． 11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠B＝60°，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　2　． 【分析有据】在BC上取点P，使BP＝AB，作射线PF交AD于点M，过点D作DH⊥PF于H，证明△BAE≌△PAF（SAS），得∠ABE＝∠APF＝60°，∠BPM＝∠APB+∠APF＝120°，可得△APM是等边三角形，即得AM＝6，DM＝4，由DH⊥PM，∠DMH＝∠AMP＝60°，可得DH＝DM•sin60°＝2，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，最小值为2． 【解题有法】解：在BC上取点P，使BP＝AB，作射线PF交AD于点M，过点D作DH⊥PF于H，如图： ∵AB＝BP，∠B＝60°，∴△ABP是等边三角形， ∴AB＝AP，∠BAP＝60°， ∵线段AE逆时针旋转60°得到AF，∴∠EAF＝60°，AE＝AF， ∴∠BAE＝∠PAF， 在△BAE和△PAF中， ， ∴△BAE≌△PAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠APF＝60°， ∴∠BPM＝∠APB+∠APF＝120°， ∵AM∥BP， ∴∠AMP＝180°﹣120°＝60°， ∴△APM是等边三角形， ∴AM＝AP， ∵AB＝AP＝6， ∴AM＝6， ∴点F在射线PM上运动， ∵BC＝10， ∴DM＝AD﹣AM＝BC﹣AM＝4， ∵DH⊥PM，∠DMH＝∠AMP＝60°， ∴DH＝DM•sin60°＝42， 根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，最小值为2， 故答案为：2． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段BC上一动点，将线段PA绕点P顺时针转90°得到线段PA′，连接DA′，则DA′的最小值为 　2　． 【分析有据】根据旋转的性质，确定A'在线段GH上运动，当DA'⊥GH时，DA′有最小值． 【解题有法】解：当点P与点B重合时，A'在BC上，且A'B＝AB＝6， ∵BC＝8， ∴CG＝2， 当点P与点C重合时，A'运动到H处， ∴点A'在线段GH上运动， 当点A'在CD上时， ∵∠APA'＝90°， ∴∠APB+∠CPA′＝90°， ∵∠APB+∠PAB＝90°， ∴∠CPA′＝∠PAB， ∵AP＝A'P， ∴△ABP≌△PCA′（AAS）， ∴AB＝PC，BP＝A′C， ∵AB＝6，BC＝8， ∴A'C＝2， ∴A'D＝4，∵CG＝A'C＝2， ∴∠DA′H＝45°，过点D作DM⊥GH， ∴DM＝2，∴DA′的最小值为2，故答案为：2． 13．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是 　　． 【分析有据】①当P点纵坐标≥0时，过点B作BC⊥y轴于C，由△BPC≌△PAO可得BC＝PO，PC＝AO，设OP长度为x由两点距离公式建立二次函数，再由二次函数的性质求值即可；②当P点纵坐标＜0时，过点B作BC⊥y轴于C，同理可得OB的表达式，再由二次函数的性质求值即可． 【解题有法】解：①当P点纵坐标≥0时，如图1，过点B作BC⊥y轴于C， ∠CBP+∠CPB＝90°，∠OPA+∠CPB＝90°， 则∠CBP＝∠OPA， 由旋转的性质可得：PB＝PA， 在△BPC和△PAO中， ， ∴△BPC≌△PAO（AAS）， ∴BC＝PO，PC＝AO， 设OP长度为x，则PC＝AO＝4，BC＝x，B（x，x+4）， ∴， ∵x≥0，∴x＝0时OB最小，最小值为4； ②当P点纵坐标＜0时，如图3，过点B作BC⊥y轴于C， 同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC＝PO，PC＝AO， 设OP长度为x，则PC＝AO＝4，BC＝x，B（﹣x，4﹣x）， ∴，∵x＞0， ∴x＝2时OB最小，最小值为， 综上所述：OB最小值为，故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，且OA＝3，点M为x轴上的一个动点，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转60°至线段AN，连接ON，则ON的最小值为 　　． 【分析有据】以OA为边作等边△OAC，利用等边三角形的性质和旋转的特性，可证△OAM≌△CAN（SAS），点N在直线CG上运动，当ON⊥CG时，ON最小，由含30°的直角三角形的性质，求解即可． 【解题有法】解：以OA为边作等边△OAC，作直线CN交OM于G，过C作CD⊥OA于D，CE⊥OM于E，如图， ∵△OAC是等边三角形，将线段AM绕点A逆时针旋转60°至线段AN， ∴， ∴∠OAM＝∠CAN，∴△OAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ACN＝∠AOM＝∠ACG＝90°， ∴∠OCG＝∠ACG﹣∠ACO＝90°﹣60°＝30°， 当点M在x轴上运动时，点N在直线CG上运动， 当ON⊥CG时，ON最小，过O作ON⊥CG于N，如图， 则∠CNO＝90°，∵∠OCG＝30°，∴，故答案为：． 15．如图，平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是 　　． 【分析有据】设P（0，m），则OP＝m，作QM⊥y轴于M，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ，即可求得当m＝1时，BQ有最小值． 【解题有法】解：∵A（1，0）， ∴OA＝1，设P（0，m），则OP＝m， 过点Q作QM⊥y轴于M， 由于将线段PA绕点P逆时针旋转90°到PQ， ∵∠APQ＝90°，∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM， ∴∠OAP＝∠QPM， 在△AOP和△PMQ中，， ∴△AOP≌△PMQ（AAS）， ∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝1， ∴Q（m，m+1），∵B（2，0）， ∴BQ，∵2＞0， ∴当m时，BQ有最小值，故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$