专题04 随机变量的均值与方差综合（考点清单，9题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第二册）

清单04 随机变量的均值与方差综合 【考点题型一】离散型随机变量的均值（期望） 1、一般地，如果离散型随机变量的分布列如下表所示． 则称为随机变量的均值或数学期望（简称期望）. 2、离散型随机变量的均值也可用表示，它刻画了的平均取值． 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设随机变量的分布列为，，则的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率； （2）已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望. 【考点题型二】均值性质的应用 1、（为常数）． 2、若，其中为常数，则也是随机变量，且． 3、． 4、如果相互独立，则． 【例2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量的概率分布如下表 x 1 2 4 P 则（  ） A．1 B． C．11 D．15 【变式2-1】（23-24高二上·黑龙江双鸭山·月考）设的分布列如图，又，则 . 1 2 3 4 P a 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·月考）若是离散型随机变量，且，其中为常数，则有，利用这个公式计算 【变式2-3】（22-23高二下·北京怀柔·期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 . 【考点题型三】离散型随机变量的方差与标准差 为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差． 【例3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）若随机变量X的分布列为（    ） X 2 3 10 P 0.2 0.2 0.6 则（    ） A．5 B．7 C．13.6 D．14.6 【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ． 0 1 2 【变式3-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． （1）求随机变量的分布列和期望； （2）若，设随机变量的方差为，求证：． 【考点题型四】方差性质的应用 若，其中为常数，则也是随机变量，且． 【例4】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（    ） A．20 B．18 C．8 D．6 【变式4-1】（23-24高二下·浙江湖州·月考）已知随机变量的取值为，若，，则 . 【变式4-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． （1）求常数的值； （2）求； （3）求随机变量的分布列及方差． 【变式4-3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． （1）写出X的分布列，并求出和的值； （2）若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 【考点题型五】方差的期望表示 ． 【例5】（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23高二下·黑龙江·期中）（多选）已知，，随机变量，的分布列如下表所示： 0 1 0 1 下列说法中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-2】（22-23高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【变式5-3】（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 【考点题型六】两点分布的均值与方差 若离散型随机变量服从两点分布，则， 【例6】（23-24高二上·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ． 【变式6-1】（22-23高二下·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·期中）若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-3】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】二项分布的均值与方差 若离散型随机变量服从二项分布，即，则， 【例7】（23-24高二下·山西运城·期中）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·河南·月考）（多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C．4 D．7 【变式7-2】（23-24高二下·江苏无锡·月考）（多选）已知随机变量满足，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高二下·广西钦州·期中）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ． 【考点题型八】超几何分布的均值与方差 若离散型随机变量服从超几何分布，即，则， 【例8】（23-24高二下·吉林长春·月考）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ． 【变式8-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. （1）求甲老师答对2个问题的概率； （2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【考点题型九】利用均值与方差进行决策 1、解决实际生活中的决策问题一般有三种途径: （1）利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定； （2）利用均值(数学期望)：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定,如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好； （3）利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近； （2）在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差（或标准差）. 【例9】（22-23高二下·广东东莞·期中）某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、． 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【变式9-1】（23-24高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. （1）求X，Y的概率分布； （2）求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【变式9-2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求： （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 【变式9-3】（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. （1）求随机变量的分布列和数学期望： （2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 随机变量的均值与方差综合 【考点题型一】离散型随机变量的均值（期望） 1、一般地，如果离散型随机变量的分布列如下表所示． 则称为随机变量的均值或数学期望（简称期望）. 2、离散型随机变量的均值也可用表示，它刻画了的平均取值． 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由分布列的性质知，所以，所以.故选：B 【变式1-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设随机变量的分布列为，，则的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为随机变量的分布列为，， 所以，解得， 所以，，， 所以.故选：A 【变式1-2】（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，发球次数为1的概率为， 发球次数为2的概率， 发球次数为3的概率， 则， 解得或，由可得.故选：C. 【变式1-3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率； （2）已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 【解析】（1）由已知得：设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手”为事件A， ， 设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手来自团体”为事件， 则团体选择2名非种子选手，， 故选出的4名运动员中恰有2名种子选手， 这2名种子选手来自团体的概率为； （2）由于，所以共有3名种子选手，可取的值为0，1，2，3， ，， ，， 随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 . 【考点题型二】均值性质的应用 1、（为常数）． 2、若，其中为常数，则也是随机变量，且． 3、． 4、如果相互独立，则． 【例2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量的概率分布如下表 x 1 2 4 P 则（  ） A．1 B． C．11 D．15 【答案】D 【解析】由，故， 则.故选：D. 【变式2-1】（23-24高二上·黑龙江双鸭山·月考）设的分布列如图，又，则 . 1 2 3 4 P a 【答案】 【解析】由分布列的性质得，得， 从而，而， 所以. 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·月考）若是离散型随机变量，且，其中为常数，则有，利用这个公式计算 【答案】0 【解析】由题意. 【变式2-3】（22-23高二下·北京怀柔·期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 . 【答案】17 【解析】由题意可得：的可能取值为， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 若，三个正整数为或，则有种，故； 若，三个正整数为或，则有种，故； 若，三个正整数为或，则有种，故； 若，三个正整数为，则有种，故； 若，三个正整数为，则有种，故； 故的分布列为： 4 5 6 7 8 故.= 所以 【考点题型三】离散型随机变量的方差与标准差 为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差． 【例3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）若随机变量X的分布列为（    ） X 2 3 10 P 0.2 0.2 0.6 则（    ） A．5 B．7 C．13.6 D．14.6 【答案】C 【解析】由题意得， 所以.故选：C. 【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ． 0 1 2 【答案】/ 【解析】根据题意有，即①， 又因为，即，即②， 联立①②，有，解得， 所以，. 【变式3-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，， 又， 所以， 所以，， 所以.故选：B 【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． （1）求随机变量的分布列和期望； （2）若，设随机变量的方差为，求证：． 【答案】（1）分布列见解析，；（2）证明见解析 【解析】（1）由题随机变量可能的取值为，， 则， ， 故的分布列为： 2 3 故； （2）由（1）知，， 令，因为，故， 此时， 因为二次函数关于对称， 又，当时，所以，即． 【考点题型四】方差性质的应用 若，其中为常数，则也是随机变量，且． 【例4】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（    ） A．20 B．18 C．8 D．6 【答案】B 【解析】根据分布列可知，解得， ， ， 所以.故选：B. 【变式4-1】（23-24高二下·浙江湖州·月考）已知随机变量的取值为，若，，则 . 【答案】/ 【解析】随机变量的取值为，且，， 则，解得， 所以， 则. 【变式4-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． （1）求常数的值； （2）求； （3）求随机变量的分布列及方差． 【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，方差为 【解析】（1）由题意得随机变量的分布列如下表所示． 1 由分布列的性质得，解得． （2）． （3）的所有可能值为， ∴，， 所以的分布列为： 所以， . 【变式4-3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． （1）写出X的分布列，并求出和的值； （2）若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 【答案】（1）分布列见解析，，；（2），; 【解析】（1）依题意，得， ，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 ； . （2）依题意，得， 则，. 【考点题型五】方差的期望表示 ． 【例5】（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得、的分布列如下表所示： 由分布列的性质可得，所以，， 所以，，， 所以，， 设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有， 则， 当且仅当时取等号，所以，， 因为函数在上单调递减， 所以，．故选：B. 【变式5-1】（22-23高二下·黑龙江·期中）（多选）已知，，随机变量，的分布列如下表所示： 0 1 0 1 下列说法中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】依题意， ，则， 又，， 所以，， 所以 对于A：因为且，所以， 所以，所以，故A正确； 对于B：因为，由于无法确定与的大小关系， 即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故B错误； 对于C：因为，所以，， 所以，即，即，故C正确； 对于D：因为，所以，但是无法确定与的大小关系， 即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故D错误；故选：AC 【变式5-2】（22-23高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【答案】1 【解析】，， ，， ， 当时，. 【变式5-3】（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 【答案】0.1/ 0.2/ 【解析】由，得，因此； 依题意，，， 因此， 则当时，取得最大值. 【考点题型六】两点分布的均值与方差 若离散型随机变量服从两点分布，则， 【例6】（23-24高二上·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ． 【答案】1 【解析】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，得到， 所以，故. 【变式6-1】（22-23高二下·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A正确； 又由，，所以B错误； 由，所以C错误； 由，所以D错误.故选：A. 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·期中）若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】依题意，可知服从两点分布， 又，则，所以，.故选：D. 【变式6-3】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且.故选：D 【考点题型七】二项分布的均值与方差 若离散型随机变量服从二项分布，即，则， 【例7】（23-24高二下·山西运城·期中）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】随机变量，则有， 由，解得， 所以.故选：. 【变式7-1】（23-24高二下·河南·月考）（多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【解析】因为，所以，则.故选：D. 【变式7-2】（23-24高二下·江苏无锡·月考）（多选）已知随机变量满足，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由随机变量满足，且，可得，解得， 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，因为，即，可得，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，可得，所以D正确.故选：BCD. 【变式7-3】（23-24高二下·广西钦州·期中）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得， 当，即时，； 当，即时，， 而，即，则当时，； 当时，，因此， 则， 所以的取值范围是． 【考点题型八】超几何分布的均值与方差 若离散型随机变量服从超几何分布，即，则， 【例8】（23-24高二下·吉林长春·月考）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设男生人数为，且， ，，, 则.故选：C 【变式8-1】（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式8-2】（23-24高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ． 【答案】3 【解析】依题意，摸出红球个数服从超几何分布，，所以. 【变式8-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. （1）求甲老师答对2个问题的概率； （2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . 【考点题型九】利用均值与方差进行决策 1、解决实际生活中的决策问题一般有三种途径: （1）利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定； （2）利用均值(数学期望)：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定,如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好； （3）利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近； （2）在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差（或标准差）. 【例9】（22-23高二下·广东东莞·期中）某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、． 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【答案】选择项目一较好，理由见解析 【解析】设投资项目一、二获利分别为、万元， 则的可能取值有、，且，， 的可能取值有、、，且，，， 所以，，， 所以，， ， ，则， 这说明虽然项目一、项目二获得利润的期望相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一较好. 【变式9-1】（23-24高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. （1）求X，Y的概率分布； （2）求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【答案】（1）分布列见解析；（2）（环）；（环）；；， 应选拔甲射手参加奥运会 【解析】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 【变式9-2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求： （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 【答案】（1）甲分布列见解析，；乙分布列见解析，；（2）答案不唯一，见解析. 【解析】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 则. 设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知， 所以，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. （2）由（1），知，， ，，． 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强. 【变式9-3】（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. （1）求随机变量的分布列和数学期望： （2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析，；（2）应选择方案一，理由见解析 【解析】（1）由题意可知，的值可能为、、， ，，. . （2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则. ，， ，，. ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一； 法二：的值可能为、、、， ，， ，， 则， ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$