专题03 随机变量的分布列（考点清单，11题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第二册）

清单03 随机变量的分布列 【考点题型一】随机变量的判断 1、随机变量的有关概念 （1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2、理解离散型随机变量的切入点 （1）判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下：①明确随机试验的所有可能结果.②将随机试验的结果数量化.③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量. （2）明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果. 【例1】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【变式1-1】（22-23高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（23-24高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列四个命题正确的是（    ） A．某次数学期中考试前，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量 B．黄河每年的最大流量是随机变量 C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量 D．方程根的个数是随机变量 【变式1-3】（23-24高二下·江苏·课后作业）（多选）下列随机变量中是离散型随机变量的是（    ） A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D．某高中每年参加高考的人数 【考点题型二】分布列的性质的应用 1、离散型随机变量分布列 （1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． （2）分布列的性质：（1），；（2）． 2、随机变量分布列性质的应用技巧 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 【例2】（23-24高二下·吉林·期中）随机变量的分布列为 1 3 P m 则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·湖北黄冈·月考）设随机变量的分布列为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【考点题型三】求离散型随机变量的分布列 求离散型随机变量的分布列，首先弄清楚随机变量的含义及其取值情况，并确定出随机变量对应取值的概率，然后检验计算结果是否满足. 【例3】（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 （1）求取出的球中红球数多于黄球数的概率； （2）设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 【变式3-1】（23-24高二下·重庆·月考）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. （1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； （2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 【变式3-2】（23-24高二下·甘肃兰州·月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． （1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列； （3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由． 【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个. （1）在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列； （2）给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率； 【考点题型四】两点分布 两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． X 0 1 P 1－p p 【例4】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【变式4-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【变式4-2】（23-24高二下·全国·单元测试）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ） A．抛掷一枚骰子，所得点数 B．某射击手射击一次，击中目标的次数 C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设 D．某医生做一次手术，手术成功的次数 【变式4-3】（23-24高二下·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 【考点题型五】n重独立重复试验的概率 1、次独立重复试验的定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、独立重复试验的概率公式：如果一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是． 【例5】（23-24高二下·河南·期中）小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·重庆·期中）若某射击手每次射击击中目标的概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． （1）求乙队以的比分获胜的概率； （2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 【变式5-3】（23-24高二下·河北张家口·月考）RoboMaster机甲大师高校系列赛（RMU，RoboMasterUniversitySeries），作为全国大学生机器人大赛旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交流平台，在“3V3”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为，每轮对抗赛没有平局且成绩互不影响． （1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率； （2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望. 【考点题型六】服从二项分布的概率最值 1、二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列 … … … … 【例6】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】（22-23高二下·河南周口·期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】（23-24高二下·江苏扬州·月考）若~，则取得最大值时， . 【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大. 【考点题型七】二项分布综合应用 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 【例7】（22-23高二·全国·课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． （1）写出X的分布列； （2）求出计算机网络不会断掉的概率． 【变式7-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. （1）经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； （2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 【变式7-2】（23-24高二下·湖北·月考）一个盒子里有大小相同的5个小球，其中2个白球和3个红球． （1）一次性从盒子中抽3个小球，抽出来的是1个白球和2个红球的概率； （2）有放回地抽3次小球，每次抽1个，求抽出白球次数的分布列和均值． 【变式7-3】（23-24高二下·天津·期中）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 （2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 【考点题型八】超几何分布 1、超几何分布的定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、求超几何的分布列的步骤 第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值； 第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步：用表格的形式列出分布列。 【例8】（22-23高二下·重庆长寿·期末）某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动． （1）求选出的人中，恰有名男生的概率； （2）用表示选出的人中男生的个数，求的分布列． 【变式8-1】（22-23高二下·重庆·期中）某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. （1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； （2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 【变式8-2】（23-24高三上·江苏南通·月考）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. （1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； （2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 【变式8-3】（23-24高二下·广东梅州·月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列； （3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 【考点题型九】正态曲线及其性质 1、正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最大值）； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， 【例9】（23-24高二下·山西阳泉·期中）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】（23-24高二下·广东广州·月考）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二下·全国·专题练习）（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【变式9-3】（22-23高二下·广东广州·月考）（多选）某质量指标的测量结果服从正态分布，则在一次测量中（    ） A．该质量指标大于80的概率为0.5 B．越大，该质量指标落在的概率越大 C．该质量指标小于60与大于100的概率相等 D．该质量指标落在与落在的概率相等 【考点题型十】正态分布的概率计算 1、正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． ；；． 【例10】（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）富岗苹果作为河北内丘县特产、中国国家地理标志产品，生产基地位于海拔500-1200米的太行山深处岗底村，是太行山上新愚公-李保国教授根据岗底村独待的自然条件，培育出来的绿色食品、有机食品．据统计，富岗苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布，则直径在内的概率为（    ） 附：若，则， A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545 【变式10-2】（23-24高二下·江西·月考）根据人口普查数据，某市30万人的身高X（cm）近似服从正态分布，即，已知该市恰好有的人的身高在162cm以上（含162cm），身高在174cm以上（含174cm）的有6840人，则估计该市身高在180cm以上（含180cm）的人数为（    ）（参考数据：若，则：，，.） A．390 B．780 C．1710 D．3420 【变式10-3】（2024·辽宁·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 【考点题型十一】正态分布的综合应用 利用正态分布的原则检验产品是否合格的方法 （1）确定某种指标服从正态分布，即； （2）确定一次试验中的取值； （3）做出判断：若，则产品合格；若，则产品不合格. 【例11】（23-24高二下·吉林白山·期中）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【变式11-1】（23-24高二下·广东惠州·月考）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布． （1）假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求； （2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【变式11-2】（23-24高三下·重庆·开学考试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求 ②请说明上述监控生产过程方法的合理性． 附： 【变式11-3】（23-24高二下·福建福州·期中）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． （2）将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品． ①从设备的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数的数学期望； ②从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数的分布列．（答案用分数表示，要画表格） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 随机变量的分布列 【考点题型一】随机变量的判断 1、随机变量的有关概念 （1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2、理解离散型随机变量的切入点 （1）判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下：①明确随机试验的所有可能结果.②将随机试验的结果数量化.③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量. （2）明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果. 【例1】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【解析】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量； 对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量； 对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；故选：D. 【变式1-1】（22-23高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来， ②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来， ④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选：B． 【变式1-2】（23-24高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列四个命题正确的是（    ） A．某次数学期中考试前，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量 B．黄河每年的最大流量是随机变量 C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量 D．方程根的个数是随机变量 【答案】ABC 【解析】选项 ABC对应的量都是随机的实数，故正确； 选项D中方程的根有2个是确定的，不是随机变量．故选：ABC. 【变式1-3】（23-24高二下·江苏·课后作业）（多选）下列随机变量中是离散型随机变量的是（    ） A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D．某高中每年参加高考的人数 【答案】AD 【解析】对于A，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种： 3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球， 即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义； 对于B，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，是连续型随机变量； 对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，是连续型随机变量； 对于D，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义．故选：AD 【考点题型二】分布列的性质的应用 1、离散型随机变量分布列 （1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． （2）分布列的性质：（1），；（2）． 2、随机变量分布列性质的应用技巧 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 【例2】（23-24高二下·吉林·期中）随机变量的分布列为 1 3 P m 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得，故选：A 【变式2-1】（23-24高二下·湖北黄冈·月考）设随机变量的分布列为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：， 解得：.故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得，即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误.故选：D. 【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以.故选：A. 【考点题型三】求离散型随机变量的分布列 求离散型随机变量的分布列，首先弄清楚随机变量的含义及其取值情况，并确定出随机变量对应取值的概率，然后检验计算结果是否满足. 【例3】（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 （1）求取出的球中红球数多于黄球数的概率； （2）设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 【答案】（1）；（2）分布列见解析 【解析】（1）记取出的球中红球数多于黄球数为事件， 若取出一个红球则只需另取出两个篮球，有种取法； 若取出两个红球则从剩下的四个球中再取出一个球即可，故有种取法； 所以. （2）依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 【变式3-1】（23-24高二下·重庆·月考）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. （1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； （2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为 【解析】（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为. （2）由题意得的可能取值为2，3，4，5，6， ，， ，，， 则的分布列为 2 3 4 5 6 所以. 【变式3-2】（23-24高二下·甘肃兰州·月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． （1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列； （3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由． 【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）1，理由见解析 【解析】（1）5名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率：． （2）表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，的可能取值有0，1，2． ；；． 所以分布列为： 0 1 2 0.1 0.6 0.3 （3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有： 因为， 故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人． 【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个. （1）在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列； （2）给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率； 【答案】（1）分布列见解析；（2） 【解析】（1）由题知的可能取值为， ，， 所以小张答对的题数的分布列为 （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”， 由题知，，，， 则. 【考点题型四】两点分布 两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． X 0 1 P 1－p p 【例4】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【解析】因为随机变量服从两点分布，则.故选：D. 【变式4-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【解析】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以.故选：D. 【变式4-2】（23-24高二下·全国·单元测试）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ） A．抛掷一枚骰子，所得点数 B．某射击手射击一次，击中目标的次数 C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设 D．某医生做一次手术，手术成功的次数 【答案】BCD 【解析】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布， 而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6， 所以A中的随机变量不服从两点分布.故选:BCD 【变式4-3】（23-24高二下·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 【答案】分布列见解析 【解析】由题意知，， 故随机变量的概率分布列如下表所示： 0 1 【考点题型五】n重独立重复试验的概率 1、次独立重复试验的定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、独立重复试验的概率公式：如果一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是． 【例5】（23-24高二下·河南·期中）小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“红灯等待时间不少于两分钟的概率”为事件A， 由题意可知：事件A：小明遇到2个或3个红绿灯， 所以.故选：C. 【变式5-1】（23-24高二下·重庆·期中）若某射击手每次射击击中目标的概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为射击手每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果相互独立， 由题可得，即，解得或（舍），故选：D. 【变式5-2】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． （1）求乙队以的比分获胜的概率； （2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 【答案】（1）；（2）分布列见解析 【解析】（1）乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜， 故乙队以的比分获胜的概率． （2）由题意，的可能取值为、、， 所以； ； ． 所以的分布列为 【变式5-3】（23-24高二下·河北张家口·月考）RoboMaster机甲大师高校系列赛（RMU，RoboMasterUniversitySeries），作为全国大学生机器人大赛旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交流平台，在“3V3”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为，每轮对抗赛没有平局且成绩互不影响． （1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率； （2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析； 【解析】（1）因为乙胜丙的概率为，所以丙胜乙的概率为， 设丙胜乙的场数为，则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概率为： . （2）由题意，的值可以为：2，3，4，5 且，, . 所以的分布列为： 2 3 4 5 所以. 【考点题型六】服从二项分布的概率最值 1、二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列 … … … … 【例6】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】依题意， 由， 即，解得或.故选：C. 【变式6-1】（22-23高二下·河南周口·期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5，故选：C． 【变式6-2】（23-24高二下·江苏扬州·月考）若~，则取得最大值时， . 【答案】 【解析】由于， 故. 所以当时；当时. 故所求的. 【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大. 【答案】112 【解析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 易知， 所以，即， 易知时，最大， 所以得分的概率最大. 【考点题型七】二项分布综合应用 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 【例7】（22-23高二·全国·课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． （1）写出X的分布列； （2）求出计算机网络不会断掉的概率． 【答案】（1）分布列见解析；（2）0.999 【解析】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即． 因此，， ，， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 【变式7-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. （1）经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； （2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 【答案】（1）分布列见解析，2；（2） 【解析】（1）由题意得，，X的取值可能为0，1，2，3， 则，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以X的期望. （2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局，甲获胜3局， 所以所求概率为. 【变式7-2】（23-24高二下·湖北·月考）一个盒子里有大小相同的5个小球，其中2个白球和3个红球． （1）一次性从盒子中抽3个小球，抽出来的是1个白球和2个红球的概率； （2）有放回地抽3次小球，每次抽1个，求抽出白球次数的分布列和均值． 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 【解析】（1）设抽出来的是1个白球和2个红球的事件为， 则随机试验一次性从盒子中抽3个小球的样本空间中的样本点的个数：， 事件包含的样本点个数为：，． （2）每一次抽出白球的概率为． 的所有可能取值为0，1，2，3，则， 所以，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 故． 【变式7-3】（23-24高二下·天津·期中）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 （2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 【答案】（1）分布列见解析，；（2）；（3） 【解析】（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为， 则，的可能取值为，，，， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以（或）； （2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为， 因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛， 则分两种情况：乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜， 所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （3）由题知比赛局结束，且甲赢得比赛， 应要满足：前局甲只赢局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢， 又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为， 故所求概率为． 【考点题型八】超几何分布 1、超几何分布的定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、求超几何的分布列的步骤 第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值； 第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步：用表格的形式列出分布列。 【例8】（22-23高二下·重庆长寿·期末）某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动． （1）求选出的人中，恰有名男生的概率； （2）用表示选出的人中男生的个数，求的分布列． 【答案】（1）；（2）分布列见解析 【解析】（1）选出的2人中恰有1名男生的概率是. （2）的值可取， 则，， . 所以的分布列如下： 【变式8-1】（22-23高二下·重庆·期中）某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. （1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； （2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2， 依题意得：，，， 的分布列为： 0 1 2 （2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件， 则第1次和第2次都抽到男老师为事件， 根据分步计数原理，． 所以． 【变式8-2】（23-24高三上·江苏南通·月考）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. （1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； （2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为 【解析】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A， 可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”， 所以. （2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有： ， ， 可得的分布列为 0 1 2 3 所以. 【变式8-3】（23-24高二下·广东梅州·月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列； （3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【解析】（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则； （2）的所有可能值为， 且 综上知，的分布列为 1 2 3 （3）由题意知的所有可能值为， 且 . 综上知，的分布列为 1 2 3 【考点题型九】正态曲线及其性质 1、正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最大值）； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， 【例9】（23-24高二下·山西阳泉·期中）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以.故选：C 【变式9-1】（23-24高二下·广东广州·月考）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴.故选：C 【变式9-2】（23-24高二下·全国·专题练习）（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【解析】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 【变式9-3】（22-23高二下·广东广州·月考）（多选）某质量指标的测量结果服从正态分布，则在一次测量中（    ） A．该质量指标大于80的概率为0.5 B．越大，该质量指标落在的概率越大 C．该质量指标小于60与大于100的概率相等 D．该质量指标落在与落在的概率相等 【答案】AC 【解析】∵某质量指标的测量结果服从正态分布， ∴该质量指标的测量结果的概率分布关于80对称，且方差越小分布越集中， 对于A，该质量指标大于80的概率为0.5，故A正确； 对于B，越大，该质量指标落在的概率越小，故B错误； 对于C，该质量指标小于60与大于100的概率相等，故C正确； 对于D，由于概率分布关于80对称， 故该质量指标落在的概率大于落在的概率，故D错误.故选：AC. 【考点题型十】正态分布的概率计算 1、正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． ；；． 【例10】（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】因为体温X服从正态分布，所以， 因为的值在内的概率约为，且， 则， 所以， 则，解得，所以，解得，故选：D. 【变式10-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）富岗苹果作为河北内丘县特产、中国国家地理标志产品，生产基地位于海拔500-1200米的太行山深处岗底村，是太行山上新愚公-李保国教授根据岗底村独待的自然条件，培育出来的绿色食品、有机食品．据统计，富岗苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布，则直径在内的概率为（    ） 附：若，则， A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545 【答案】C 【解析】 .故选：C 【变式10-2】（23-24高二下·江西·月考）根据人口普查数据，某市30万人的身高X（cm）近似服从正态分布，即，已知该市恰好有的人的身高在162cm以上（含162cm），身高在174cm以上（含174cm）的有6840人，则估计该市身高在180cm以上（含180cm）的人数为（    ）（参考数据：若，则：，，.） A．390 B．780 C．1710 D．3420 【答案】A 【解析】由题意得， 由于，故， ，得，故， 所以身高在180cm以上的人数有（人）.故选：A. 【变式10-3】（2024·辽宁·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 【答案】公交 【解析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到； 若选择自驾，则； 若选择地铁，则； 若选择公交，则， 而， 故选择公交上班迟到的可能性最小. 【考点题型十一】正态分布的综合应用 利用正态分布的原则检验产品是否合格的方法 （1）确定某种指标服从正态分布，即； （2）确定一次试验中的取值； （3）做出判断：若，则产品合格；若，则产品不合格. 【例11】（23-24高二下·吉林白山·期中）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【答案】（1）；（2）①3274人；②不可信. 【解析】（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语． 若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种， 在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门， 则有种，共种； 若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种． 所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为． （2）①设此次网络测试的成绩记为，则． 由题知， 则， 所以． 所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人． ②不可信． ， 则， 4000名学生中成绩大于410分的约有人， 这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分． 所以说“某校200人参与此次网络测试， 有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 【变式11-1】（23-24高二下·广东惠州·月考）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布． （1）假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求； （2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【答案】（1）；（2）理由见解析 【解析】（1）依题意，又， 所以，， 且， 所以. （2）由（1）可得， 又希尔伯特计算份披萨质量的平均值为，，而， 所以份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生， 所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由. 【变式11-2】（23-24高三下·重庆·开学考试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求 ②请说明上述监控生产过程方法的合理性． 附： 【答案】（1）；（2）;说明见解析. 【解析】（1）由题意可知： ， （2）①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在之内的概率为， 所以； ②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在之外的概率只有 一天内抽取10个零件中，发现尺寸在之外的概率只有， 发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常， 需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理. 【变式11-3】（23-24高二下·福建福州·期中）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． （2）将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品． ①从设备的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数的数学期望； ②从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数的分布列．（答案用分数表示，要画表格） 【答案】（1）性能等级为丙；（2）① ；②分布列见解析 【解析】（1）， 所以由图表知： ， 因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙． （2）样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06， 直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件 ①从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为， 依题意得，； ②由题意可知服从超几何分布，的可能值为：， ，， 所以Z的分布列为： 0 1 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$