精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考三模数学试题

2024年九年级复习情况调研（四） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. 4 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 抛物线与y轴的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某货船以24海里/时速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A. 12海里 B. 6海里 C. 12海里 D. 24海里 8. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A 15° B. 30° C. 45° D. 60° 10. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物．数字用科学记数法可表示为______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 13. 计算的结果是____________． 14. 把多项式分解因式的结果是______． 15. 不等式组的解集为___________ ． 16. 将字母“C”，“H”按照所示规律摆放，依次下去，则第个图形中“H”的个数是______． 17. 一个不透明的袋子中有1个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出2个球都是黄球的概率为______． 18. 一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______（用含的式子表示）． 19. 在等边中，，点在边上，连接，若，则的长为______________． 20. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接交于点，过点作于点，若，则线段的长为______． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，连接，使，且； （2）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，连接，，使凸四边形的面积为（画出一个即可）． 23. 为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校部分九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图根据图表信息，解答下列问题： （1）______； （2）通过计算补全条形统计图； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数． 24. 已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形． 25. 为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元． （1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且购买的总费用不高于1160元，最多购买A型羽毛球拍多少副？ 26. 已知：是的内接三角形，直径交于点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，其中，当，且时，求线段的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B． （1）求的长； （2）如图1，点D为第三象限内一点，连接，其中，点C在x轴的负半轴上，，连接，，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，直线交于点E，交的延长线于点F，过点D作轴，交的延长线于点G，其中，且，当时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级复习情况调研（四） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中为无理数是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 【详解】解：无理数为， 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、单项式除以单项式，根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意； B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面所看到的图形即可． 【详解】解：从上面看从下往上数，左边有1个正方形，右边有1个正方形， ∴俯视图是： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图． 5. 抛物线与y轴的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点y轴上的点的横坐标为．求此类问题可令函数的，求出y值即是与y轴的交点纵坐标． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点的坐标为， 故选B． 6. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设乙同学的速度是米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解∶设乙同学的速度是米/分，可得： 故选∶ D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 7. 如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A. 12海里 B. 6海里 C. 12海里 D. 24海里 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 8. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象为双曲线，当时，图象发布在第一、三象限，在每一象限，y随x增大而减小；当时，图象发布在第二、四象限，在每一象限，y随x增大而增大． 【详解】解：由题意得：，解得， 故选：B． 9. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数． 【详解】解：如图，设AD与BC交于点F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝30° 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物．数字用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为0得，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 13. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减与分母有理化，熟练掌握分母有理化的运算是解题的关键． 14. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式，平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15. 不等式组的解集为___________ ． 【答案】－2＜x＜1 【解析】 【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分即可． 【详解】详解： ， 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为 故答案为． 【点睛】考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可． 16. 将字母“C”，“H”按照所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中“H”的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意可推导一般性规律为：第个图形中“H”的个数是；然后将代入求解即可． 【详解】解：由题意知，第1个图形中“H”的个数是； 第2个图形中“H”的个数是； 第3个图形中“H”的个数是； … ∴第个图形中“H”的个数是； ∴当时，， ∴第个图形中“H”的个数是， 故答案为：． 17. 一个不透明的袋子中有1个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出2个球都是黄球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：列表如下： 白 黄 黄 红 白 白，黄 白，黄 白，红 黄 黄，白 黄，黄 黄，红 黄 黄，白 黄，黄 黄，红 红 红，白 红，黄 红，黄 共12种等可能的结果，其中摸出2个球都是黄球的情况有2种， ∴； 故答案为：． 18. 一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，设扇形的半径为，根据弧长求出半径，最后由扇形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 19. 在等边中，，点在边上，连接，若，则的长为______________． 【答案】2或4##4或2 【解析】 【分析】过点作于点，根据等边三角形的性质，勾股定理得出，在，勾股定理求得，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等边中，， ∴， 在，， ∴或． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识，并能分类讨论是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接交于点，过点作于点，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，证明求出，，由勾股定理得出，，求出，得出，证明，由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键． 先分式除法法则进行化简，再运算减法，然后把字母的值代入运算即可． 详解】解： ； 当时，原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，连接，使，且； （2）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，连接，，使凸四边形的面积为（画出一个即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，正方形的性质与判定； （1）根据网格的特点找到的格点，即可求解； （2）根据正方形的面积减去两个三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：点即为所求， 如图所示， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴凸四边形的面积为 23. 为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校部分九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图根据图表信息，解答下列问题： （1）______； （2）通过计算补全条形统计图； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数． 【答案】（1） （2）见解析 （3）估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数为名 【解析】 【分析】（1）根据各部分所占百分比之和为可求得的值，由参加“综合与实践”活动为天的人数及其所占百分比可得的值； （2）用总人数乘以活动天数为天的学生人数所占百分比可得对应人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中参加“综合与实践”活动天及以上的人数所占百分比即可得． 小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 调查的总人数为：（名）， 参加“综合与实践”活动天数为天的学生人数为名， 补全条形图如下： 【小问3详解】 估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数为（名）， 答：估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数为名． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． 24. 已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，结合，即可得证； （2）根据全等三角形的判定解答即可． 【小问1详解】 证明：∵直线是线段的垂直平分线， ∴，即，且，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形菱形； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴四对全等的等腰三角形是：，，，． 25. 为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元． （1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且购买的总费用不高于1160元，最多购买A型羽毛球拍多少副？ 【答案】（1）型球拍每副元，型球拍每副元 （2）最多购买A型羽毛球拍副 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设型球拍每副x元，型球拍y元，根据等量关系：购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元，列出二元一次方程组并解之即可； （2）设购买A型羽毛球拍m副，根据不等关系：购买的总费用不高于1160元，列出不等式，最后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设型球拍每副x元，型球拍y元； 由题意得：， 解得：， 答：型球拍每副元，型球拍每副元； 【小问2详解】 解：设购买A型羽毛球拍m副， 由题意，得：， 解得：； 答：最多购买A型羽毛球拍副． 26. 已知：是的内接三角形，直径交于点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，其中，当，且时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，推出，求出，即可得证； （2）在上截取，设，由线段垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，证明得出，再证明，即可得证； （3）连接、，作于，则，令，则，，由勾股定理得出，，证明，得出，求出，得到，，求出的长，求出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在上截取，设， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接、，作于，则， ， 令，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B． （1）求的长； （2）如图1，点D为第三象限内一点，连接，其中，点C在x轴的负半轴上，，连接，，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，直线交于点E，交的延长线于点F，过点D作轴，交的延长线于点G，其中，且，当时，求n的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，解出x的值即可解题； （2）过点作于点，设与轴交于点M， 由解析式可以得到，的长，然后证明，即可得到，即可求出长，根据解题即可； （3）过点作 交直线于点,交于点,设交轴于点，得到，然后设交于点,交于点,在上取一点,使，则有，则有，然后利用，计算解题即可． 【小问1详解】 解：令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 又∵， ∴， 点的坐标为， 过点作于点，设与轴交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 【小问3详解】 过点作 交直线于点,交于点,设交轴于点. ， ， ， ∴四边形为矩形. ， 同理四边形为矩形, ∴. ， ， ， ， ∵, ∴. ∵ , ∴， 设交于点,交于点, ， ， ， ， ， 在上取一点,使， ∵, ∴， ∴， ∵, ∴， , ∴， ∴， ∴， ∵点的横坐标为,在直线上, ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$