5.5　用二次函数解决实际问题　讲义　2023—2024学年苏科版数学九年级下册

简案 学生姓名： 年级： 科目： 数学 授课日期： 2024 年 4 月 18 日 上课时间： 时 分 ～ 时 分 合计： 小时 授课章节 二次函数解决实际问题 教学目标 1.能够利用二次形式的代数式构造二次函数求解最值等 2.能够解决销售问题、增长率问题、图形问题等常见的实际问题 3.能够根据实际情况，得出最佳解决方案并计算 重点难点 重点： 二次函数实际问题的解决 难点： 灵活根据问题列出二次代数式构造二次函数 教学方法︻ 六 步 1 对 1 教 学 法 ︼ 一、【回顾】 （学生讲，教师纠正） □完成 □未完成 完成评价：□优 □良 □中 □差 二、【作业】 （作业难点讲解） □完成 □未完成 完成评价：□优 □良 □中 □差 三、【提优】 （拓展或新课讲解） □完成 □未完成 完成评价：□优 □良 □中 □差 四、【习惯】 （坚持培养习惯） □粘贴错题本 □艾宾浩斯记忆本 □语文积累 □5R三色笔记 □审题八字诀 □草稿纸的使用 □圈划预习法 □一拖三记忆学习法 五、【检测】 ( 出门考 ) □完成 □未完成 完成评价：□优 □良 □中 □差 六、【反馈】 ( 3+1+X ) □已反馈 □未反馈 教师备注 学生签字：（课后） 教师签字：（课后） 主管审核签字：盖章 【教案正文】 第四讲 二次函数解决实际问题 本讲主要考向 考向一：销售问题 考向二：图形问题 考向三：图形运动问题 考向四：投球、飞行、喷水问题 考向五：拱桥问题 考向六：增长率问题 考向七：其它问题 【知识点一】销售问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 【考向一：销售问题】 例1： （22-23九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 商场销售某品牌牛奶，已知进价为每箱40元．经市场调研，售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱．当每箱售价为多少元时，才能使利润最大？最大利润是多少元？ 练1 （23-24九年级上·江苏南京·期中）【A级★】 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多，最多是多少？ 练2 （江苏南京·学校作业）【A级★】 某网店销售某款童装，每件售价元，每星期可卖件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖件．已知该款童装每件成本价元． (1)该网店每星期要想获得元的利润，同时让顾客得到实惠，每件童装降价多少钱？ (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 练3 （江苏南京·学校作业）【A级★】 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 练4（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元， (1)则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)求其最大利润． 例2 （江苏南京·学校作业）【A级★】 记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（    ） A．y＝﹣（x﹣60）2+1825 B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850 C．y＝﹣（x﹣65）2+1900 D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000 练1 （23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加元，日均销售量减少40瓶． (1)当每㼛售价为11元时，日均销售量为______瓶； (2)当每㼛售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 练2（23-24九年级上·江苏南京·期中）【A级★】 年全国旅游市场持续回暖．经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价为每张元，那么当天入园人数预计将达到人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少人．要使每日门票收入达到元，票价应定为多少元? 例3 （22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）【B级★★】商社电器销售部门从厂家购进了、两种型号的空气净化器．已知一台型空气净化器的进价比一台型空气净化器的进价多300元，用7500元购进型空气净化器和用6000元购进型空气净化器的台数相同． (1)一台型空气净化器和一台型空气净化器的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大型空气净化器的销量，商社电器决定对型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当每台型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，每台售价每降低50元，每天将多售出1台．请问当商社电器将每台型空气净化器的售价定为多少元时，每天销售型空气净化器的利润最大，最大值为多少？ 练1 （2023·江苏南京·二模）【B级★★】 某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元． (1)若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？ (2)根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？ 练2 （22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）【B级★★】 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． (1)设5天后每千克鲜葡萄的市场价为元，则　　； (2)若存放天后将鲜葡萄一次性出售，销售金额为760元，求的值？ (3)问个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得最大利润？最大利润是多少？ 练3 （2022·江苏南京·二模）【B级★★】 某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝－20x＋2800． (1)若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？ (2)为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？ 练4 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售量n（株）与第x天（x为整数）满足关系式：n=-x+50，销售单价m（元/株）与x之间的函数关系为m＝ (1)求该基地销售这种果苗30天里单日所获利润y（元）与（天）的函数关系式； (2)为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？ 例4（江苏南京·学校作业）【B级★★】 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 练1 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化.据调查： ①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件； ②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示. (1)求该产品在六月份的单件生产成本； (2)该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？ (3)结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益=单件售价-单件成本） 练2 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 某超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式； (2)若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 练3（江苏南京·学校作业）【B级★★】 某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式： （1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件； （2）设第x天每件电子产品的成本是Р元，P与x之间的关系可用下图中的函数图像来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？ 练4（江苏南京·学校作业）【B级★★】农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）． （1）求直线AB的函数关系式； （2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？ 练5 （2015·江苏南京·中考真题）【B级★★】 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系． （1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段AB所表示的与x之间的函数表达式； （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 例5 （2021·江苏南京·一模）【B级★★】 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/件） 50 60 80 周销售量y（件） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价） (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元． 练1（21-22九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，下表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据． x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 (1)该商品进价 （元/件），y关于x的函数表达式是 （不要求写出自变量的取值范围）； (2)因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m的值． 练2 （22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）【B级★★】 某超市经销一种商品，每千克成本为元，经试销发现，该种商品的每天销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)为保证某天获得销售利润不低于元，则该天的销售量最多为多少？ 练3 （21-22九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？ (1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）； 调价后的每件利润 调价后的销售量 甲种礼品 ① 乙种礼品 ③ ② (2)解答： 练4 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）： 第天 …… 每件进价（单位：元） …… （1）直接写出与的函数关系式； （2）统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元； ①求该店每天利润的最大值； ②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围． 练5（2015·江苏南京·二模）【B级★★】 某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 （1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系： ①y=ax+b（a≠0）； ②y=a（x-h）2+k（ a≠0）； ③y=（a≠0）． 你可选择的函数的序号是 ． （2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？ 例6 （2022·江苏南京·二模）【C级★★★】某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式： 方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩． 方式二 每亩土地的年租金是600元． (1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元； (2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？ (3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围． （注：年收入＝年总租金－捐款数） 练1 （江苏南京·学校作业）【C级★★★】 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间x（天） 售价（元/斤） 第1次降价后的价格_____元/斤 第2次降价后的价格为8.1元/斤 销量（斤） 储存和损耗费用（元） 练2 （20-21九年级上·江苏南京·期末）【C级★★★】 某公司销售一种服装，已知每件服装的进价为60元，售价为120元．为了促销，公司推出如下促销方案：如果一次购买的件数超过20件，那么每超出一件，每件服装的售价就降低2元，但每件服装的售价不得低于元．该公司某次销售该服装所获得的总利润（元）与购买件数（件）之间的函数关系如图所示． （1）当时，的值为______； （2）求的值； （3）求关于的函数表达式； （4）若一次购买的件数不超过件，探索的最大值，直接写出结论．（可以用含有的代数式表示） 【知识点二】图形问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． 求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围． 【考向二：图形问题】 例7 （江苏南京·学校作业）【B级★★】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（    ） A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π 练1 （19-20九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶2．设BG的长为2x米． （1）用含x的代数式表示DF＝ ； （2）x为何值时，区域③的面积为180平方米； （3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？ 练2 （19-20九年级上·江苏南京·阶段练习）【B级★★】 如图，在足够大的空地上有一段长为30米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏，设这个菜园垂直于墙的一边长为x米． （1）若平行于墙的一边长为y米，写出y与x的函数表达式子，并求出自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边长为多少米时，这个矩形菜园ABCD的面积最大，最大值是多少？ 练3 （2011·江苏南京·中考模拟）【B级★★】 如图，某矩形相框长26cm，宽20cm，其四周相框边（图中阴影部分）的宽度相同，都是xcm，相框内部的面积（指图中较小矩形的面积）为ycm2． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若相框内部的面积为280cm2，求相框边的宽度． 练4 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 练5（江苏南京·学校作业）【B级★★】 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm． (1)若花园的面积为252m2，求x的值； (2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值． 练6（江苏南京·学校作业）【B级★★★】 爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题． 例如： ；因此 有最小值是1，只有当 时，才能得到这个式子的最小值1． 同样，因此有最大值是8，只有当 时，才能得到这个式子的最大值8． （1）当x＝　 　时，代数式﹣2（x﹣3）2+5有最大值为　 　． （2）当x＝　 　时，代数式2x2+4x+3有最小值为　 　． （3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？ 例8 （23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）【B级★★】 某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形面积都等于矩形面积的一半． (1)求当为何值时，矩形区域的面积为： (2)矩形区域的面积可能为吗？并说明理由． 练1（江苏南京·学校作业）【B级★★】 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 练2 （16-17九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【知识点三】图形运动问题 【考向三：图形运动问题】 例10（江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ） A． B． C． D． 练1 （23-24九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 练2 （2010·江苏南京·中考真题）【B级★★】 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　） A． B． C． D． 练3 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A． B． C． D． 练4 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，等腰的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止设CD的长为x，与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（      ） A． B． C． D． 练5（江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，在矩形ABCD中，AD＝8 cm，AB＝6 cm．动点E从点C开始沿边CB向终点B以2 cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 练6 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　） A．B．C． D． 例12 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C移动；同时，点Q从点C出发沿CB以2 cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为t s． （1）CQ＝ cm，CP＝ cm；（用含t的代数式表示） （2）t为何值时，△PCQ的面积等于5 cm2． 练1 （2011·江苏南京·中考模拟）【B级★★】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm． （1）当x= s时，DE⊥AB； （2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长； （3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值． 练2 （19-20九年级上·江苏南京·期中）【B级★★】 已知矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿AB方向向B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度沿CD方向向D运动，如果P、Q两点同时出发，问几秒后以△BPQ是直角三角形？ 练3 （江苏南京·学校作业）【C级★★★】 如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为 cm2． 例4 （2019·江苏南京·二模）【C级★★★】 如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值． 练5（江苏南京·学校作业）【C级★★★】 如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=5，P是线段BC上的一动点． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，按下列要求作图：（不要求写作法，但保留作图痕迹），在CD边上确定一点E，使得∠DEP+∠APB=180°； （2）在（1）的条件下，点P从点B移动到点C的过程中，对应点E随之运动，则移动过程中点E经过的总路程长为 ． 例12（2011·江苏南京·中考模拟）【C级★★★】 如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决． (1) 请你求出FG的长度． (2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值． (3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也 不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果)． 练1（2012·江苏南京·二模）【C级★★★】 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ，设AP=x． (1)当时，x的值等于 (2)如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式 (3)在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？ 练2（2015·江苏南京·二模）【C级★★★】 如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BA＝BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA–AD–DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段． 请根据图中的信息，解答下列问题： （1）AD＝ cm，BC＝ cm； （2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义； （3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5． 练3（17-18九年级上·江苏南京·阶段练习）【C级★★★】 如图1，半圆O的半径=5cm，点N是半径AO上的一个动点（不与A、O重合），沿AO方向以1cm/s的速度向O点运动，过点N作MN⊥AB，交半圆O于点M，设运动时间为ts． (1)求当t等于多少时，MN=3cm? (2)如图2，以MN为边在半圆O内部作正方形MNPQ，使得点P落在AB上，点Q落在半圆内（或半圆上），设正方形MNPQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式与自变量t的取值范围． 练4（2018·江苏南京·二模）【C级★★★】 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝2，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．设AM＝x． （1）△MNP的面积S＝ ，MN＝ ；（用含x的代数式表示） （2）在动点M的运动过程中，设△MNP与四边形MNCB重合部分的面积为y．试求y关于x的函数表达式，并求出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？ 练5 （江苏南京·学校作业）【C级★★★】 如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示． （1）AB＝　 　cm，点Q的运动速度为　 　cm/s； （2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止． ①当点O在QD上时，求t的值； ②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围． 练6（2022·江苏南京·中考真题）【C级★★★】 如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．    (1)若，，则的值为________； (2)求与之间的函数表达式； (3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围． 【知识点四】投球、飞行、喷水问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥、拱门和抛物等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【考向四：投球、飞行、喷水问题】 例13 （江苏南京·学校作业）【A级★】 如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为 米． 练1 （江苏南京·学校作业）【A级★】 如图所示，从高为2m的点A处向右上抛一个小球P，小球飞行路线呈抛物线L形状，小球飞行的水平距离2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶上弹起，已知m，m，m，若小球弹起形成一条与L形状相同的抛物线，落下时落点Q与B，D在同一直线上，则小球在台阶弹起时的最大高度是 m． 练2 （江苏南京·学校作业）【A级★】 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点． 练3（18-19九年级上·江苏南京·期末）【A级★】从地面竖直向上抛出一个小球.小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝24t－4t2.小球运动的高度最大为 m． 练4 （江苏南京·学校作业）【A级★】 2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒． 练5 （江苏南京·学校作业）【A级★】 飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行时间（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是 m． 练6（江苏南京·学校作业）【A级★】 军事演习近平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足．经过 秒时间，炮弹落到地上爆炸了． 例14 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 练1 （2022·江苏南京·二模）【B级★★】 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）． (1)求这段抛物线表示的二次函数表达式； (2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离； (3)落点P与坡顶C之间的距离为 m． 练2（江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取） （3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？ （取） 练3（2021·江苏南京·二模）【B级★★】 如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同． （1）分别求出与x之间的函数表达式． （2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中． ①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等； ②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？ 练4 （19-20九年级上·江苏南京·期末）【C级★★★】 现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题． 如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m处达到最高，高度为1 m． （1）求喷灌出的圆形区域的半径； （2）在边长为16 m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程） 【知识点五】拱桥问题 【考向五：拱桥问题】 例15 （22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）【A级★】 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型．拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱的长度为 m． 练1 （江苏南京·学校作业）【A级★】 如图所示是一座抛物线拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，则当水面上升3m时，水面的宽度是 米 练2（20-21九年级上·江苏南京·期中）【A级★】 如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为 m（结果保留根号）． 练3 （江苏南京·学校作业）【A级★】 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m. 练4 （江苏南京·学校作业）【A级★】 如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒．    练5 （20-21九年级上·江苏南京·期中）【A级★】如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为 m（结果保留根号）． 练6 （2015·江苏南京·二模）【A级★】 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系 （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2．5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明． 【知识点六】增长率问题 【考向六：增长率问题】 例16（江苏南京·学校作业）【A级★】据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2 C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2 练1 （江苏南京·学校作业）【A级★】 小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x 练2 （江苏南京·学校作业）【A级★】 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．（1+x）2= B．x+2x= C．（1+x）2= D．1+2x= 练3 （江苏南京·学校作业）【A级★】 一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ． 练4 （江苏南京·学校作业）【A级★】 据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 练5 （江苏南京·学校作业）【A级★】 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ． 练6 （江苏南京·学校作业）【A级★】 某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 【知识点七】其它问题 （1）二次函数的生活应用问题，即实物抛物线型问题，若题 目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标 系要使求出的二次函数表达式 比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解 . （2）二次函数与一次函数相结合的应用型问题：分析问题中的数量关系，列出函数关系式；研究自变量的取值范围；确定所得的函数；检验 x的值是否在自 变量的取值范 围内，并求相关的值；解决提出的实际问题. （3）二次函数的综合型问题，此类问题是每年中考必考题目，综合性非常强，常涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、线段以及面积的最值问题. 【考向七：其它问题】 例17 （江苏南京·学校作业）【A级★】 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称．轴，，最低点在轴上，高，则右轮廓线的函数解析式为(    ) A． B． C． D． 练1 （江苏南京·学校作业）【A级★】 某小区发现一名新型冠状病毒无症状感染者，政府决定对该小区所有居民进行核酸检测．从上午8：00起第x分钟等候检测的居民人数为y人，且y与x成二次函数关系（如图所示），已知在第10分钟时，等候检测的人数达到最大值150人． （1）求0～10分钟内，y与x的函数解析式． （2）若8：00起检测人员开始工作，共设两个检测岗，已知每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，问检测开始后，第几分钟等候检测的居民人数最多，是多少人？ 练2（22-23九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某塑料大棚如图①所示，其截面如图②，其中曲线部分可近似看作抛物线形，现测得，最高点D到地面的距离为，点D到墙的距离为．求墙高． 练3（2022·江苏南京·一模）【B级★★】 在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第x s时，A，B离终点的距离分别为y1 m，y2 m，其中y1是x的一次函数，y2＝－0.01x2－0.02x＋50，它们的图像如图所示． (1)求y1与x之间的函数表达式； (2)在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值． 练4 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 晨晨和明明是两名汽车爱好者，对甲、乙两种智能汽车进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，发现甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，乙的舒适指数与空调启动时间的函数关系式为，函数图象如图，且在小时，乙的舒适指数最大． (1)求m的值及乙的舒适指数最大值； (2)当时，求的较大值． 练5 （21-22九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 实验表明，汽车急刹车的停车距离等于反应距离与制动距离之和；反应距离与汽车速度成正比，制动距离与汽车速度的平方成正比．已知当汽车的速度为时，急刹车的停车距离为；当汽车的速度为时，急刹车的停车距离为．设汽车的速度为，急刹车的停车距离为． (1)求关于的函数表达式； (2)一辆汽车以的速度行驶，突然发现正前方处有一障碍物，紧急刹车，问汽车与障碍物是否会相撞？并说明理由； (3)一辆行驶中的汽车突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，要使汽车距离运输车不小于处停住，则汽车行驶的最大速度是__________． 练6（江苏南京·学校作业）【B级★★】 公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 练7（江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图所示的是轮滑场地的截面示意图，平台距x轴（水平），与y轴交于点B，与滑道交于点A，且．运动员（看成点M）在方向获得速度（v的最大值为）后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离与飞出时间的平方成正比，且时；M，A的水平距离是． （1）求k和h关于t的关系式（不写t的取值范围）； （2）设，用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是，．当甲距x轴，且乙位于甲右侧超过的位置时，请求出t的值及的范围． 出门考（新课使用） （ 2024 年 4 月 18 日 周 ） 学生姓名： 年级： 年级 科目： 数学 评价： 【出门考】正文 订正栏 1（17-18九年级上·江苏南京·阶段练习）某商场以元/件的进价购进一批商品，按元/件出售，平均每天可以售出件．经市场调查，单价每降低元，则平均每天的销售量可增加件．若该商品想要平均每天获利元，则每件应降价多少元？设每件应降价元，可列方程为 ． 2（18-19九年级上·江苏南京·期末）将二次函数的图象绕点顺时针旋转，得到的图象所对应的函数表达式为 ． 3（21-22九年级上·江苏南京·期末）在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（   ） A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m 4（江苏南京·学校作业）据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 5如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m. 备注：课后教师拍照此页上传至学生学习提升专属小微信群 出门考（复习使用） （ 2024 年 4 月 18 日 周 ） 学生姓名： 年级： 年级 科目： 数学 评价： 【出门考】正文 订正栏 1（江苏南京·学校作业）矩形ABCD中，点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向B点运动，至B点停止；同时点Q也从A点出发，以同样的速度沿A-D-C-B的路径运动，至B点停止，在此过程中△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示，则m的值为 2（江苏南京·学校作业）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．则羽毛球飞行的路线的最高高度为_______。 3（23-24九年级上·江苏南京·期末）某游乐城销售一种玩具，当售价为50元/件时，每天可以销售40件．现游乐城对该玩具开展酬谢促销活动，通过市场调研发现，该玩具单价每降1元，销量增加4件．若该玩具进价为30元/件． (1)售价为多少元时，每天的利润为864元？ (2)售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润为多少元？ 备注：课后教师拍照此页上传至学生学习提升专属小微信群 3A积累（新课使用） （ 2024 年 4 月 18 日 周 ） 学生姓名： 年级： 年级 科目： 数学 评价： 【3A积累】正文 备注 1（江苏南京·学校作业）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 2（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③；④当是等腰直角三角形时，；⑤若，则抛物线的对称轴直线上的动点P与B、D两点围成的周长最小值为．其中，正确结论的序号为 ． 3（23-24九年级上·江苏南京·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件，降价幅度不超过10元．那么每件应降价多少元，可获得最大利润？最大利润是多少？ 4（21-22九年级上·江苏南京·期末）用一根长20 cm的铁丝围矩形． (1)若围成的矩形的面积是16 cm2，求该矩形的长和宽； (2)当长和宽分别为多少时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 备注：3A积累由学生或家长拍照此页上传至学生学习提升专属小微信群 3A积累（复习使用） （ 2024 年 4 月 18 日 周 ） 学生姓名： 年级： 年级 科目： 数学 评价： 【3A积累】正文 备注 1（23-24九年级上·江苏南京·期末）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算） 2（23-24九年级上·江苏南京·期末）某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更大利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，当销售单价为20元时，每月能卖360件；若按每月25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y件是价格x（单位：元）的一次函数． (1)求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素条件下，销售价格是多少时，才能使每月获得最大利润？最大利润是多少？ 3（19-20九年级上·江苏南京·期末）某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个． （1）求y与x之间的关系式； （2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 420个以上？ 4（20-21九年级下·江苏南京·阶段练习）二次函数（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为 ． 5（18-19九年级上·江苏南京·期末）将二次函数的图像向左平移1个单位长度后，经过点、，求、的值． 6（江苏南京·学校作业）如图，直线l：y＝2x＋1与抛物线C：y＝2x2＋bx＋c相交于点A（0，m），B（n，7）． (1)填空：m＝ ，n＝ ，抛物线的解析式为 ． (2)将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围． (3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7（2005·江苏南京·中考真题） 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽是米． （1）求与之间的关系式． （2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 8（2018·江苏南京·一模）甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系． （1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式； （2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？ 9据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 10为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 销售问题练习： 1（22-23九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某超市销售一种商品，成本为每千克50元．当每千克售价60元时，每天的销售量为60千克，经市场调查，当每千克售价增加1元，每天的销售量减少2千克． (1)为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ (2)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 2 （江苏南京·学校作业）【A级★】 近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为元的商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出30件．通过市场调查，该商售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．（x为5的倍数） (1)每件商品降价x元时，日销售量为______件； (2)若日销售盈利为元，为尽快减少库存，x的值应为多少； (3)设日销售盈利为Q元，当x为何值时，Q取值最大，最大值是多少？ 1（江苏南京·学校作业）【A级★】 某药店在口罩销售中发现：一款进价为元盒的口罩，销售单价为元盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价元，则每天可多售出盒，设每盒降价元，为整数）． (1)为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元？ (2)在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润． 2（22-23九年级上·江苏南京·期末）【A级★】一企业生产并销售某种产品（假设销量与产量相等），已知该产品每千克生产成本为元，售价（元）与产量之间的函数关系为． (1)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ (2)若企业每销售该产品需支出其他费用元，当时该企业获得的最大利润为元，求的值． 1（15-16九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． (1)当该商品的销售价为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ (2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 2 （22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元． (1)超市从第二天起日销售量增加　 　个，每个“冰墩墩”盈利　 　元（用含x的代数式表示）； (2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利225元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？ 1 （江苏南京·学校作业）【A级★】 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元． (1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 2（江苏南京·学校作业）【A级★】 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． (1)写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数关系式 （结果化为一般形式）． (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ (3)当售价定为多少元时会获得最大利润？并求出最大利润． 1（21-22九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某水果商店经销一种热带水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克． (1)现该商场保证每天盈利1500元，同时又要让利顾客，那么每千克应涨价多少元？ (2)若该商场要求销售量不低于130千克，这种水果每千克涨价多少元，才能使该商场获利最大． 2（21-22九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少10瓶． （1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为 瓶； （2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为700元？ （3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 1（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 某商店经销一批季节性小家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加1元，销售量将减少10台． （1）若商店销售该家电获利2000元，那么每台家电定价应增加多少元？ （2）求每台家电定价为多少元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润为多少元？ 2（江苏南京·学校作业）【A级★】 某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数表达式； （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？ 1 （2021·江苏南京·一模）【A级★】 （2021·江苏南京·一模）“垃圾分类，利在千秋”．某废品回收站的废纸回收价为1.5元/千克，每天可回收100千克．回收价格每增加0.1元/千克，每天可多回收废纸40千克．如果废纸销往废品收购公司的价格为2.5元/千克，销售废纸的利润为元，如何定回收价可以使得当天利润不低于150元？ 2 （江苏南京·学校作业）【A级★】 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 1 （江苏南京·学校作业）【A级★】 某超市准备进一批每个进价为40元的小家电，经市场调查预测，售价定为50元时可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个． （1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示） （2）超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？ （3）超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 2（江苏南京·学校作业）【A级★】 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元． （1）请直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 1（19-20九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表： 售价x（元/件） 40 45 月销售量y（件） 300 250 月销售利润w（元） 3000 3750 注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价） （1）①求y关于x的函数表达式； ②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为 ． 2（江苏南京·学校作业）【A级★】 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 1（18-19九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元． （1）若降价3元后商场平均每天可售出 个玩具； （2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 2 （18-19九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某网店销售一种手帕，每条进价为30元，经市场调研，售价为50元时，每月可销售200条；售价每降低1元，销售量将增加10条． （1）每条售价为40元时，每月可获得利润 元； （2）如果规定月销售量不低于250条，且售价不低于进价，当售价为多少元时，每月获得利润最大？最大利润为多少元？ 1（2018·江苏南京·一模）【A级★】 某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t（件）与每件销售价x（元/件）之间有如下关系：． （1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数表达式； （2）当x为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ 2 （2017·江苏南京·二模）【A级★】 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x>40），请你分别用x的代数式来表示销售量y（件）和销售该品牌玩具获得利润w(元)； （2）求该玩具销售单价x为多少元时，商场获得最大利润，并求出最大利润． 1（江苏南京·学校作业）【A级★】 某果品批发公司以16元/千克购进一批樱桃．由往年市场销售情况的统计分析可知：当销售价定为25 元/千克时，每天可售出1 000 千克；若销售价定为20元/千克时，每天可售出2000千克．假设每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）在商品无积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每天的销售毛利润W（元）最大？最大利润是多少？ 2 （14-15九年级上·江苏南京·期末）【A级★】某批发商以每件50元的价格购进400件T恤．若以单价70元销售,预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量,降价销售,经过市场调查,单价每降低0.5元,可多售出5件,但最低单价不低于购进的价格;第一个月结束后,将剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元．设第一个月单价降低x元． （1）根据题意,完成下表： 每件T恤的利润（元） 销售量（件） 第一个月 清仓时 （2）T恤的销售单价定为多少元时,该批发商可获得最大利润？最大利润为多少？ 1 （2013·江苏南京·二模）【A级★】某汽车销售公司10月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为30万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/部． （1）若该公司当月售出2部汽车，则每部汽车的进价为 万元； （2）如果汽车的售价为31万元/部． ①写出公司当月盈利y（万元）与汽车销售量x（部）之间的函数关系式； ②若该公司当月盈利28万元，求售出汽车的数量． 2（2022·江苏南京·一模）【B级★★】某地市场上第一年大米价格p（元/公斤）与销售数量m（万公斤）之间的函数表达式为，第二年大米产量n（万公斤）与第一年大米价格p（元／公斤）之间的函数表达式为n＝25（p-1）． (1)若该地市场第一年大米的销售数量为100万公斤，预计第二年该地大米产量为多少？ (2)若该地市场第一年大米的销售总价达到最大值，预计第二年该地大米产量为多少？ 1 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 2 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 1（17-18九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且当x＝80时，y＝40，当x＝70时，y＝50． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若该商场获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？ 2（2021·江苏南京·二模）【B级★★】某商品有线上、线下两种销售方式． 线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5 000元；线下销售单件利润500元．另需支付其它成本12 500元．(注：净利润＝销售商品的利润－其他成本) （1）线上销售100件的净利润为 元；线下销售100件的净利润为 元； （2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润； （3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？ 1（江苏南京·学校作业）【B级★★】 2021年春节，不少市民响应国家号召原地过年．为保障市民节日消费需求，某商家宣布“今年春节不打烊”，该商家以每件80元的价格购进一批商品，规定每件商品的售价不低于进价且不高于100元，经市场调查发现，该批商品的日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每件售价（元） … 85 90 95 … 日销售量（件） … 230 180 130 … （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，该批商品的日销售利润最大？日销售最大利润是多少？ 2（20-21九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件． （1）当销售单价为58元时，每天销售量是 件． （2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 1（江苏南京·学校作业）【B级★★】 某公司生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品每千克的成本费是30元，生产乙种产品每千克的成本费是20元．物价部门规定，这两种产品的销售单价（每千克的售价）之和为80元．经市场调研发现，甲种产品的销售单价为（元），在公司规定的范围内，甲种产品的月销售量（千克）符合；乙种产品的月销售量（千克）与它的销售单价成正比例，当乙产品单价为30元（即：）时，它的月销售量是30千克． （1）求与之间的函数关系式； （2）公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？（销售利润销售额生产成本费） （3）是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由． 2（江苏南京·学校作业）【B级★★】 榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了箱榴莲．已知“线上”销售的每箱利润为元．“线下”销售的每箱利润（元）与销售量（箱）之间的函数关系如图中的线段． （1）求与之间的函数关系． （2）当“线下”的销售利润为元时，求的值． （3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用元，若“线上”与“线下”售完这箱榴莲所获得的最大总利润为元，求的值． 1（2019·江苏南京·一模）【B级★★】 某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为件，线下销售的每件利润为元，线上销售的每件利润为元．下图中折线、线段分别表示与之间的函数关系． （1）当时，线上的销售量为_______件； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）当线下的销售量为多少时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？ 2（2019·江苏南京·二模）【B级★★】 某商品的市场销售量y1(万件)和生产量y2(万件)都是该商品的定价x(元/件)的一次函数，其函数图象如图所示． （1）分别求出y1、y2与x之间的函数表达式； （2）若生产一件该商品成本为10元，未售出的商品一律报废． ①请解释点A的实际意义，并求出此时所获得的利润； ②该商品的定价为多少元时获得的利润最大，最大利润为多少万元？ 1 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系. （1）求与之间的关系式； （2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？ 2（2019·江苏南京·一模）【B级★★】 某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据： 售价（元/件） 60 61 62 63 … 利润（元） 6000 6090 6160 6210 … （1）当售价为每件60元时，当天售出　 　件； （2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元． ①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：　 　． ②如何定价才能使当天的销售利润不d低于6200元？ 1 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 某种蔬菜每千克售价y1(元)与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2(元)与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为(6，1)． (1)求出y1与x之间满足的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)求出y2与x之间满足的函数表达式； (3)设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．(收益＝售价﹣成本) 2 （2018·江苏南京·一模）【B级★★】 某商场在“双十一”促销活动中决定对购买空调的顾客实行现金返利．规定每购买一台空调，商场返利若干元．经调查，销售空调数量y1（单位：台）与返利x（单位：元）之间的函数表达式为．每台空调的利润y2（单位：元）与返利x的函数图像如图所示． （1）求y2与x之间的函数表达式； （2）每台空调返利多少元才能使销售空调的总利润最大？最大总利润是多少？ 1（17-18九年级上·江苏南京·阶段练习）【B级★★】 晨光专卖店专销某种品牌的计算器，进价元/只，售价元/只，为了促销，专卖店决定凡是买只以上的，每多买一只，售价就降低元（例如：某人买只计算器，于是每只降价元就可以按元/只的价格购买），但是最低价为元/只． （）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （）写出当一次购买只时（），利润（元）与购买量（只）之间的函数关系式． 2（16-17九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现： ①每只水果每降价1元，每周可多卖出25只； ②每只水果每涨价1元，每周将少卖出10只； ③水果定价不能低于18元． 我们知道，销售收入=销售单价×销售量，设降价出售时的销售收入为y1元，涨价出售时的销售收入为y2元，水果的定价为x元/只． 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出y1、y2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； y1= ；y2= ； （2）你认为应当如何定价才能使一周的销售收入最多？请说明理由． 1（16-17九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某水果店经营某种水果，顾客的批发量x（kg）与批发单价y（元/kg）之间的关系如图所示．图中线段AB表示：批发量x每增加1 kg，批发单价y降低0.1元/kg． （1）求m的值； （2）已知该水果进价为6元/kg，设该水果店获利w元． ①求w与x的函数表达式； ②当0＜x≤m时，求w的最大值． 2 （16-17九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 2016年巴西里约奥运会期间，南京某奥运特许经营商店以每件10元的价格购进了一批奥运纪念玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个.经调查发现，奥运纪念玩具的单价每降1元，每天可多售出40个；奥运纪念玩具的单价每涨1元，每天要少售出5个．如何定价才能使每天的利润最大？求出此时的最大利润． 3（2017·江苏南京·一模）【B级★★】 A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x（0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B两厂产值分别为yA、yB（单位：万元）． （1）分别写出yA、yB与x的函数表达式； （2）当yA＝yB时，求x的值； （3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？ 1 （2016·江苏南京·一模）【B级★★】 问题提出 某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”（图1）玩具，“小白”玩具每个进价60元．为进行促销，商店制定如下“优惠”方案：如果一次销售数量不超过10个，则销售单价为100元/个；如果一次销售数量超过10个，每增加一个，所有“小白”玩具销售单价降低1元/个，但单价不得低于80元/个．一次销售“小白”玩具的单价y（元/个）与销售数量x（个）之间的函数关系如图2所示． （1）求m的值并解释射线所表示的实际意义； （2）写出该店当一次销售x个时，所获利润w（元）与x（个）之间的函数关系式； （3）店长经过一段时间的销售发现：即并不是销量越大利润越大（比如，卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多）．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把原来的最低单价80（元/个）至少提高到多少元/个？ 2（16-17九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用． （1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 （元/千克），获得的总利润为 （元）； （2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式； （3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 图形问题： 1（22-23九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大．请建立二次函数关系解决问题． 2 （16-17九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 课本1.4有这样一道例题： 据此，一位同学提出问题：“用这根长22 cm的铁丝能否围成面积最大的矩形？若能围成，求出面积最大值；若不能围成，请说明理由．”请你完成该同学提出的问题． 3 （22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）【B级★★】 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为 ，矩形的面积为 ．问：当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 1（江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)已知墙的最大可用长度为8 m， ①求所围成花圃的最大面积； ②若所围花圃的面积不小于20 m2，请直接写出x的取值范围． 2 （18-19九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为x m，总面积为y m2． (1)求y与x的函数关系式． (2)如果要围成总面积为63 m2的羊圈，AB的长是多少? 1 （2021·江苏南京·一模）【B级★★】 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长． （2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值． 2 （21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）【B级★★】 如图，一个矩形养鸡场，一边靠墙（墙长为a米），另外三边用长为48米的篱笆围成． （1）①若，求养鸡场的面积的最大值； ②若，求养鸡场的面积的最大值． （2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270平方米，求a的值． 1 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点E在线段的延长线上． (1)当点D在线段上时， ①设的长为x米，请用含x的代数式表示的长； ②若要求所围成的小型农场的面积为12平方米，求DF的长； (2)当点D在线段延长线上，为多少时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？ 2 （2022·江苏南京·模拟预测）【B级★★】 【问题呈现】现在有一段长的铁丝，要把它围成一个长方形．怎样围才能使得它的面积最大？ 【分组研究】 同学们经过审题，分析解题思路，并且进行演算，最后小军和小英先后发表了自己的观点如图所示． 【请您仲裁】 请你利用所学的函数知识来裁决，小军和小英两人的说法谁正确？ 1（22-23九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】如图，用长度均为的两根绳子分别围成矩形和扇形，设的长为，半径为，矩形和扇形的面积分别为，． (1)的长为______，的长为______；（用含x或R的代数式表示） (2)求，的最大值，并比较大小． 2 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 如图，在正方形ABCD中，AB=，E是AD边上的一点(点E与点A和点D不重合)，BE的垂直平分线交AB于点M，交DC于点N. (1)证明：MN = BE. (2)设AE=，四边形ADNM的面积为S，写出S关于的函数关系式. (3)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？ 1 （2007·江苏南京·中考真题）【B级★★】 在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，． （1）求与的函数表达式； （2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 2（14-15七年级上·江苏南京·期末）【B级★★】如图，把一块等腰直角三角板△ABC，∠C=90°，BC=5，AC=5．现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距离为x（0≤x≤5），△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积y，则y= （用含x的代数式表示y）． 3 （2020·江苏南京·一模）【B级★★】 如图，AB＝3，BD⊥AB，AC⊥AB，且AC＝1．点E是线段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD于点F，则BF的长的最大值是 ． 1 （江苏南京·学校作业）【B级★★】 已知抛物线具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则△PMF周长的最小值是 .    2（16-17九年级上·江苏南京·期末）【B级★★】 如图，AB＝5，P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF，则CF的最小值是 ． 1（23-24九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试飞机性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线，以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原点的水平线为x轴，所在直线为y轴，建立如图①所示的平面直角坐标系，若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为.                 ①                                          ② (1)求抛物线的函数表达式； (2)求飞机飞行的最大高度； (3)如图②，由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点A的上下平移而上下平移.在水平线x轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点P，Q），则发射台的高度的取值范围是 . 2（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投郑实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 1（江苏南京·学校作业）【A级★】 某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ 2 （16-17九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成某一角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．请解答以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （3）小球从飞出到落地要用多少时间？ 3 （23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 某喷水头喷出的水柱呈抛物线形状，测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，设当水柱距喷水头的水平距离为时，水柱距地面的高度为． (1)求与之间的函数表达式； (2)求水柱的最大喷射距离． 1（16-17九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为 米． 2 （21-22九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．    (1)求拱桥所在抛物线的函数表达式； (2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号） 3（江苏南京·学校作业）【A级★】 如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽． 　   1（19-20九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法． 方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy； 方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy， 2（16-17九年级上·江苏南京·期末）【A级★】 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 m 3 （江苏南京·学校作业）【A级★】 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米. 1（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）【A级★】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，整个图形是轴对称图形．矩形的长为，宽为，抛物线的顶点到地面距离为．    (1)自建平面直角坐标系，并求抛物线的解析式； (2)一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？ (3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？ 2（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）【A级★】 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)该隧道内设双行道，中间隔离带1m，一辆货车高4m，宽m，能否安全通过，为什么？ 1（江苏南京·学校作业）【B级★★】 2020年12月12日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童装某产品每小时的成交量（万件）与时间（时）的函数图象，与的关系正好可用两段二次函数的图象来表示，点是两段函数的顶点，其中时，图象的解析式为；时，图象的解析式为． （1）根据函数图象，求几时成交量达到最大值？最大值为多少？ （2）系统平台显示，当成交量达到2.25万件以上时（包括2.25万件），需要专门安排后台技术人员做维护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？ 2 （2020·江苏南京·中考真题）【B级★★】 小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第时， 小丽、小明离B地的距离分别为、，与x之间的数表达式，与x之间的函数表达式是． （1）小丽出发时，小明离A地的距离为 ． （2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ 1（江苏南京·学校作业）【B级★★】 在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50． （1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？ （2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）． （参考数据：=7.14，=7.21，=7.28，=7.35） 备注：3A积累由学生或家长拍照此页上传至学生学习提升专属小微信群 学科网（北京）股份有限公司 $$