第07讲 线段垂直平分线的性质与判定-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第07讲 线段垂直平分线的性质与判定 【苏科版】 ·模块一 线段垂直平分线的作法 ·模块二 线段垂直平分线的性质及判定 ·模块三 课后作业 模块一 线段垂直平分线的作法 线段的垂直平分线的作法 如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下： 第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点； 第二步：作直线． 点是直线上一点，则线段．    【考点1 线段垂直平分线的尺规作图】 【例1.1】（2023八年级·江西九江·阶段练习）下列尺规作图中，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场中心P到三个小区的距离相等，能确定文化广场中心P的位置的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023八年级·浙江温州·期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.3】（2023·福建·一模）如图，中，，点O为边中点，且，． (1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的面积． 【变式1.1】（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【变式1.2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）折纸：有一张矩形纸片ABCD（如图所示），要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的点D′处，请在图中用尺规作出该直线．（保留作图痕迹） 【考点2 经过直线外一点作已知直线的垂线】 【例2.1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【例2.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式2.1】（2023·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 模块二 线段垂直平分线的性质及判定 线段的垂直平分线　 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【考点1 线段垂直平分线的性质】 【例1.1】（2023八年级·陕西榆林·阶段练习）如图，的周长为，垂直且平分，交于点E，交于点D，的周长为，则的长为 ．    【例1.2】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作，交于点，连接，若，的周长为，求的周长． 【例1.3】（2023八年级·湖北随州·期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ． 【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点．若，则的周长为 ． 【变式1.2】（2023八年级·陕西咸阳·期中）如图，在中，垂直平分线段垂直平分线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．    【考点2 线段垂直平分线的判定】 【例2.1】（2023八年级·贵州遵义·期中）如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 【例2.2】（2023八年级·湖南长沙·期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　）    A．，两边中线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．与这两个角的角平分线的交点处 D．，两边的垂直平分线的交点处 【例2.3】（2023·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于．求证： (1)； (2)直线是线段的垂直平分线． 【变式2.1】（2023八年级·北京大兴·期中）如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．    【变式2.2】（2023八年级·陕西渭南·期中）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． 【变式2.3】（2023八年级·上海·阶段练习）如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线） 【题型2】（2023八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ． 【题型3】（2023八年级·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证： (2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·广东珠海·期末）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【题型2】（2023八年级·安徽六安·阶段练习）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与的大小关系，并说明理由． 【题型3】（2023八年级·河南南阳·期末）如图，中，是的中点，，，交于，，，则 ．    模块三 对称轴的画法 线段的垂直平分线的作法 如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下： 第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点； 第二步：作直线． 点是直线上一点，则线段．    【考点1 线段垂直平分线的尺规作图】 【例1.1】（2023八年级·江西九江·阶段练习）下列尺规作图中，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场中心P到三个小区的距离相等，能确定文化广场中心P的位置的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023八年级·浙江温州·期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.3】（2023·福建·一模）如图，中，，点O为边中点，且，． (1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的面积． 【变式1.1】（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【变式1.2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）折纸：有一张矩形纸片ABCD（如图所示），要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的点D′处，请在图中用尺规作出该直线．（保留作图痕迹） 【考点2 画成轴对称的两个图形（或轴对称图形）的对称轴】 【例2.1】（2023八年级·山东青岛·课后作业）找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴． 【例2.2】（2023八年级·河北邢台·阶段练习）下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 【例2.3】（2023八年级·全国·单元测试）如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l. 【变式2.1】（2023八年级·全国·单元测试）如图，已知扇形OAB与扇形O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．       【变式2.2】（2023八年级·山东青岛·课后作业）如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【变式2.3】（2023八年级·全国·课后作业）作出下列各图形的一条对称轴. 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·广东佛山·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M．N作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（   ）    A．25 B．22 C．20 D．14 【题型2】（2023八年级·陕西榆林·阶段练习）如图，校园有两条路，在交叉路口附近有两块宣传我市创建国家级卫生城市的牌C、D，学校准备再在这里安装一个宣传栏，宣传创建国家级卫生城市的相关知识，要求宣传栏柱子的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出柱子的位置P．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【题型3】（2023八年级·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，请直接在图中仅用直尺，准确画出它的对称轴． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·广东广州·期中）（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______cm． 【题型2】（2023八年级·江苏南京·阶段练习）如图，平行线是一条灌溉渠道的两岸，是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，那么此桥应该架在何处？请你用直尺和圆规作出桥的位置．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【题型3】（2023八年级·江西抚州·期末）已知，△ABC是等边三角形，请仅使用无刻度的直尺分别画出图1和图2的对称轴． (1)若△DEF是等腰三角形，A点是DE的中点，且DE∥BC (2)若△ADE是等腰三角形，四边形BCGF为等腰梯形． 模块三 课后作业 1．（2023八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，直线m是中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．13 D．15 2．（2023·河北邯郸·三模）如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 3．（2023八年级·江苏镇江·阶段练习）如图，，边上存在一点P，使得．下列描述正确的是（    ）    A．P是的垂直平分线与的交点 B．P是的平分线与AB的交点 C．P是的垂直平分线与的交点 D．P是的中点 4．（2023八年级·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 5．（2023八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，D为上一点，于点E，于点F，连接，点H是的中点，交于点G，连接．若平分，则下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023·北京房山·二模）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长为 ． 7．（2023八年级·山东青岛·期中）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 8．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，交于点G，连接，则的周长为 ． 9．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于 10．（2023八年级·上海静安·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．    11．（2023八年级·山西太原·期中）已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点． 求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 结论： 12．（2023八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，平分，于点，交于点，交于点，求证：． 13．（2023·河南安阳·一模）如图所示，是一条线段，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法) ． (2)若（1）中所作的垂直平分线交于点O，交于点E，交于点F，求证：． 14．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）如图，是的角平分线，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作于点F，连接交于点G．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：．小强进行了如下的证明，请你帮小强完成相应的填空． 证明：（2）∵是的角平分线，， ， ∴ ， 在和中，， ∴（）， ∴ ，而， ∴垂直平分线段，即． 15．（2023八年级·云南红河·期中）如图，，，点在的垂直平分线上．    (1)，，有什么数是关系？请说明理由． (2)求证：． (3)若，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 线段垂直平分线的性质与判定 【苏科版】 ·模块一 线段垂直平分线的作法 ·模块二 线段垂直平分线的性质及判定 ·模块三 课后作业 模块一 线段垂直平分线的作法 线段的垂直平分线的作法 如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下： 第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点； 第二步：作直线． 点是直线上一点，则线段．    【考点1 线段垂直平分线的尺规作图】 【例1.1】（2023八年级·江西九江·阶段练习）下列尺规作图中，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场中心P到三个小区的距离相等，能确定文化广场中心P的位置的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作、的垂直平分线，两线交点即为所求作的点．掌握作线段的垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：要使文化广场中心P到三个小区的距离相等，即：， ∴点为的垂直平分线与的垂直平分线的交点， 如图，点即为所求， 故选：B． 【例1.2】（2023八年级·浙江温州·期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若与的周长之差为4，则AE的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，AC=5，代入计算即可． 【详解】根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线， ∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4， ∴AC=5， ∴10-2AE=4， 解得AE=3， 故选C． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键． 【例1.3】（2023·福建·一模）如图，中，，点O为边中点，且，． (1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）在的延长线上截取，作的垂直平分线交于点D即可； （2）如图，连接，，利用可计算出，则，再利用三角形面积公式可计算出，然后利用点O为边中点得到即可． 【详解】（1）解：如图所示：点D为在上一点，使得 （2）解：如图，连接， ∵ ∴ 即，则 ∴ ∴ ∵点O为边中点 ∴ 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的面积． 【变式1.1】（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【答案】B 【分析】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案． 【详解】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线， ∴DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC，AE=EC=6cm， ∵AB+AD+BD=13cm， ∴AB+BD+DC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， 故选B． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 【变式1.2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ，， ，， ， ， ， ， 故选项A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1.3】（2023八年级·江苏无锡·阶段练习）折纸：有一张矩形纸片ABCD（如图所示），要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的点D′处，请在图中用尺规作出该直线．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】连接DD′，作DD′的垂直平分线即可求解． 【详解】解：由题意可知，连接DD′，作DD′的垂直平分线交矩形AD和BC分别为E点和F点，则直线EF即为所求，如下图所示： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，明确题意，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法是解决本题的关键． 【考点2 经过直线外一点作已知直线的垂线】 【例2.1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了作垂线以及垂直平分线的性质，以点B为圆心，为半径，画弧交于一点，即为D点，再作的垂线，连接，并延长交于一点，即为点P，得出，则,即，得证 【详解】解：如图所示： 【例2.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图—过直线外一点作已知直线的垂线，四边形的内角和定理，过点作的垂线，垂足为，作出点是解决本题的关键． 【详解】如图，点即为所作．    【变式2.1】（2023·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键． （1）以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线， 即为所求； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）证明：为的平分线，为的垂线，， ，， 在和中 ， ， ， ． 模块二 线段垂直平分线的性质及判定 线段的垂直平分线　 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【考点1 线段垂直平分线的性质】 【例1.1】（2023八年级·陕西榆林·阶段练习）如图，的周长为，垂直且平分，交于点E，交于点D，的周长为，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：垂直平分， ∴，， 的周长， ， 的周长为， ， ∴， 故答案为：4． 【例1.2】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，过点作，交于点，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由题可得是的垂直平分线，得，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，是的中点， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 即的周长为． 【例1.3】（2023八年级·湖北随州·期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ． 【答案】20或14/14或20 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段的长度计算，灵活运用相关图形的性质进行分类讨论是解题的关键．由垂直平分线的性质，，，然后结合图形，进行分类讨论，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ①当点在线段之间时，如图 ∴； ②当点在线段之间时，如图 ∴； 故答案为：20或14． 【变式1.1】（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵直线与分别是边和的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1.2】（2023八年级·陕西咸阳·期中）如图，在中，垂直平分线段垂直平分线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解： 垂直平分线段， ， 垂直平分线段， ， 故选：C． 【变式1.3】（2023八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．    【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．由线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ， ， ∴的周长， 故答案为：18． 【考点2 线段垂直平分线的判定】 【例2.1】（2023八年级·贵州遵义·期中）如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 【例2.2】（2023八年级·湖南长沙·期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　）    A．，两边中线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．与这两个角的角平分线的交点处 D．，两边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】生活超市到这三个居民小区的距离相等， 生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 【例2.3】（2023·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于．求证： (1)； (2)直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再利用“”证明 ，根据全等三角形的性质，即可证明结论； （2）根据“到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 【变式2.1】（2023八年级·北京大兴·期中）如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．    【答案】三边的垂直平分线 【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论 【详解】∵， ∴点O是三边的垂直平分线的交点； 故答案为：三边的垂直平分线． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键． 【变式2.2】（2023八年级·陕西渭南·期中）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析． 【分析】题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，由三角形的外角性质得到，结合已知推出，得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． 【变式2.3】（2023八年级·上海·阶段练习）如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的判定条件是解题关键．根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，可得点、在线段的垂直平分线上，易得垂直平分线段，即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∵延长线交于， ∴． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线） 【答案】 【分析】延长至，使，连接、，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】延长至，使，连接、， 在和中， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型2】（2023八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，垂直平分于，垂直平分于，若，，，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，，据此利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分线段， ， 垂直平分线段， ， 的周长， 故答案为：15． 【题型3】（2023八年级·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证： (2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，先根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据和直角梯形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：为中点， ， 在和中，， ， ． （2）解：如图，连接，    由（1）已证：， ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分， ， ∵在四边形中，，，， ∴四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·广东珠海·期末）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解 (2)3 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，与三角形高有关的计算等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． （1）由角平分线的性质定理可推出，从而可证，即得出，结合，即证明垂直平分； （2）由图可知，结合和三角形面积公式可得出，即，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴． 在与中，， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型2】（2023八年级·安徽六安·阶段练习）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）先利用判定，从而得出； （2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出． 【详解】（1） 证明：， ． 为的中点， 又， 在与中， ． ． （2）证明：． ， ，． 又， （垂直平分线到线段端点的距离相等）． 在中，， 即． 【题型3】（2023八年级·河南南阳·期末）如图，中，是的中点，，，交于，，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，连接，      ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ， 故答案为：10． 模块三 课后作业 1．（2023八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，直线m是中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据题意知这是动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点A关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：∵直线垂直平分， ∴、关于直线对称， 令直线交于，连接，如图所示： ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：B． 2．（2023·河北邯郸·三模）如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 【答案】A 【分析】本题考查了用尺规作直线的垂线，熟练掌握做法和原理是解题的关键．利用尺规作直线的垂线的方法解答即可． 【详解】解：由画图痕迹可得：于点O， 点P在点O处． 故选：A． 3．（2023八年级·江苏镇江·阶段练习）如图，，边上存在一点P，使得．下列描述正确的是（    ）    A．P是的垂直平分线与的交点 B．P是的平分线与AB的交点 C．P是的垂直平分线与的交点 D．P是的中点 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定解答即可． 【详解】解：， ， ∴P是的垂直平分线与的交点． 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，熟知判定定理是解题的关键． 4．（2023八年级·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选C．    5．（2023八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，D为上一点，于点E，于点F，连接，点H是的中点，交于点G，连接．若平分，则下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键； 根据角平分线的性质可对①进行判断；根据线段的垂直平分线的性质可对②进行判断；通过证明可对③进行判断；由，则，由于与的大小关系不能确定，则与的大小不能确定，则根据全等三角形的判定方法可对④进行判断； 【详解】 于点E，于点F，平分， 故①正确， 点H是的中点，， 垂直平分， ，故②正确 平分， ， ， ， ， ，故③正确， ， 与的大小关系不能确定， 与的大小不能确定， 不能判断，故④错误， 综上所述：①②③正确； 故选：C． 6．（2023·北京房山·二模）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查段垂直平分线的性质的应用，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：12 7．（2023八年级·山东青岛·期中）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】2000 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，证明垂直平分，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴， 设交于点，则：， ∴制作这个风筝需要的布料至少为； 故答案为：2000． 8．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，交于点G，连接，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】由作法知，，是的垂直平分线，则，然后根据周长公式即可得出答案． 【详解】解：由作法知，，是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 9．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于 【答案】2或10 【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴点都在的垂直平分线上， 由题意知，分两种情况： ①当点在的内部时，； ②当点O在的外部时，； 故答案为：2或10． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论． 10．（2023八年级·上海静安·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．    【答案】2 【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 11．（2023八年级·山西太原·期中）已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点． 求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 结论： 【答案】见解析 【分析】过C点作的垂线即可．此时，则∵，即．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质． 【详解】解：如图，为所作． 12．（2023八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，平分，于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．先证明，得，再由线段垂直平分线的性质得，则，然后由平行线的性质得，即可得出结论． 【详解】证明： ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， . 13．（2023·河南安阳·一模）如图所示，是一条线段，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法) ． (2)若（1）中所作的垂直平分线交于点O，交于点E，交于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析． 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质， （1）根据线段垂直平分线的基本作图方法进行解答即可， （2）根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求出，根据线段垂直平分线的性质可得，再利用即可证明，进而得出结论 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：∵， ∴． ∵ 垂直平分， ∴． 在和中， ∴． ∴． 14．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）如图，是的角平分线，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作于点F，连接交于点G．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：．小强进行了如下的证明，请你帮小强完成相应的填空． 证明：（2）∵是的角平分线，， ， ∴ ， 在和中，， ∴（）， ∴ ，而， ∴垂直平分线段，即． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，垂线的尺规作图，直角全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握垂线的尺规作图方法，是解答本题的关键． （1）以D为圆心、合适的长度为半径画弧，交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于一半的长度画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点F，连接交于点G； （2）按照题中给出的思路作答即可． 【详解】（1）解：以D为圆心、合适的长度为半径画弧，交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于一半的长度画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点F，连接交于点G．如图所示， （2）证明：∵是的角平分线，，， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴，而， ∴垂直平分线段，即， 故答案为：，，，． 15．（2023八年级·云南红河·期中）如图，，，点在的垂直平分线上．    (1)，，有什么数是关系？请说明理由． (2)求证：． (3)若，，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定和性质即可求解； （2）结合（1）中结论即可证明； （3）结合题意和三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴． （2）证明：由（1）可得， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：由（1）可得， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，线段的和与差，三角形的面积公式，熟练掌握线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$