第06讲 角平分线的性质与判定-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第06讲 角平分线的性质与判定 【苏科版】 ·模块一 角平分线的作法与性质 ·模块二 角平分线的判定 ·模块三 课后作业 模块一 角平分线的作法与性质 1.角平分线的作法 a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M； b.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P； c.画射线OP,OP即为所求角平分线. 2. 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【例1.1】（2023八年级·山西朔州·期末）如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）    A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS 【答案】C 【分析】利用三角形全等的判定证明． 【详解】解：由题意AF=AE，FD=ED，AD=AD， ∴△ADF≌△ADE（SSS）， ∴∠DAF=∠DAE， 故选C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例1.2】（2023八年级·江苏南京·期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（    ）. A．②③① B．③①② C．③②①       D．②①③ 【答案】A 【分析】根据角平分线的作法可直接得到答案． 【详解】解：②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N； ③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C， ①画射线OC即为所求， 故选A． 【点睛】本题考查了尺规作图—作已知角的平分线，熟记作图的一般步骤是解决此题的关键． 【例1.3】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：连接CN、DN． 由作图可知，CM=DM，CN=DN, 在△MCN和△MDN中， ， ∴△MCN≌△MDN（SSS）， ∴∠CMN=∠DMN， ∵∠AOB=∠CMN=∠DMN， ∴∠CMD=2∠AOB=40°， 故选：D 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1.1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理． 【答案】见解析. 【分析】利用基本作图（作已知角的角平分线）作出OC，同时得到OC′，然后根据“SSS“判断△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根据等角的补角相等得到∠AOC′=∠BOC′． 【详解】解：如图，射线或为所作． 通过证明得到， 然后根据等角的补角相等得到． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【变式1.2】（2023八年级·河南漯河·期中）王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】根据题意可知：王师傅用角尺平分一个角时使得：，，，故王师傅的依据为：；学生小顾用三角尺平分一个角时使得：，，且，故学生小顾的依据为：；即可得到结果 【详解】∵王师傅用角尺平分一个角，在两边上分别取，使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为； ∴，，， ∴， 故王师傅的依据为：； ∵学生小顾用三角尺平分一个角，在两边上分别取，分别过，作，的垂线，交点为， ∴，，且， ∴， 故学生小顾的依据为：； 故答案为：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【考点2 角平分线的性质】 【例2.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，先根据计算，根据“角平分线上的点到角两边的距相等”，即可得出答案，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，是的角平分线， ∴点到的距离， 故选：C． 【例2.2】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，平分，过点作于点，并延长交的延长线于点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．根据角平分线的性质可得，然后利用全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】证明：， ， 平分，， ，， 在和中， ， ， ． 【例2.3】（2023八年级·河北唐山·期末）小将学习了角的平分线后，发现角平分线分得的和的面积比与两边长有关．如图，若，，你能帮小明算出下面两个比值吗？ （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为G，根据面积之比以及高相同可得底边之比． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， ，， ， 过点A作，垂足为G， ∵， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2.1】（2023八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分交于，于且，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质，由题意得，可证得，据此即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵的周长 ∴的周长为 故选：B． 【变式2.2】（2023八年级·重庆潼南·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ．    【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高． 过点E作于F，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵是边上的高， ∴． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：6．    【变式2.3】（2023八年级·江苏镇江·期末）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． (1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证． (2)并写出证明过程． 【答案】(1)，，垂足分别为、； (2)证明见解析 【分析】（1）根据文字描述证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，结合已知图形即可写出已知和求证； （2）根据，，得到，从而利用两个三角形全等的判定定理得到，最后利用两个全等三角形的对应边相等得到． 【详解】（1）解：已知：如图，，点在上， ，垂足分别为、； 求证：． （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的解法步骤，涉及文字描述的几何证明题的已知和求证的书写、两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理及相关性质是解决问题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·辽宁锦州·八年级期末）已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型2】（2023八年级·福建福州·期末）求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等． 要求：根据给出的和（，），在此图形上用尺规作出和的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．    【答案】画图和已知、求证和证明见解析 【分析】首先根据题意做出和的角平分线，然后证明出，得到，进而证明出即可． 【详解】如图所示，和分别是和的角平分线，    已知：在和中，，，和分别是和的角平分线，且． 求证： 证明：∵，， ∴ ∴ ∵和分别是和的角平分线， ∴ ∴ 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型3】（2023·陕西咸阳·八年级期末）如图，，平分，点在上，连接，，过点作，，垂足分别为，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键． 首先根据证明：，进而得出，再利用角平分线的性质得出． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·新疆乌鲁木齐·八年级期末）如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查基本作图——作角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，是解决问题的关键． 当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得，即得． 【详解】当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为2， 故选：A． 【题型2】（2023八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质推出即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断． 【详解】解：①如图，过点作于点， ∵的平分线交于点P，，，， ，， ， ∴，， ∴平分，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ， ，故②正确；    ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确． 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型3】（2023八年级·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍成立，理由见解析 【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键． （1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）同（1）可证明． 【详解】（1）解：过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴． （2）画出图形，结论仍成立， 理由如下： 过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 模块二 角平分线的判定 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 【考点1 角平分线的判定】 【例1.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据角平分线的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点到射线的距离相等， ∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴点在的平分线上， ∴平分，故A正确． 故选：A． 【例1.2】（2023八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点E，作于点F，根据可证，从而可知是的平分线，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，作于点E，作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴ ∴， ∴是的平分线． ∴． 故选C． 【例1.3】（2023八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】 此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】证明：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【变式1.1】（2023八年级·山东聊城·期末）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【详解】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 【变式1.2】（2023八年级·贵州安顺·期末）如图，，，，点是的中点，求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形性质和判断，以及角平分线的判定，连接、，根据“”证得和根据“”证得，利用全等三角形性质，即可解题． 【详解】证明：如图，连接、， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分． 【变式1.3】（2023八年级·辽宁盘锦·期末）如图，，，，、交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）过点作于，于，可证明，可证得，利用角平分线的判定可证明结论； （3）由（1）可得，再利用三角形内角及外角的性质可求得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， ， 于，于， 平分； （3）解：， ， ， ， ， 由（2）得平分， ， 即． 【考点2 三角形三内角的角平分线】 【例2.1】（2023八年级·江苏南京期末）在内一点P到三边的距离相等，则点P一定是（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质；熟练掌握角的平分线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可． 【详解】解：∵点到的三边的距离相等， ∴点应是三条角平分线的交点． 故选：A． 【例2.2】（2023·甘肃武威·八年级期末）如图，的三边 、、的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点O作，，分别垂直于，，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而可得到三个三角形面积的比值． 【详解】如图，过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E．    ∵平分， ∴． 同理， ∴． ∵的三边的长分别为40，50，60， ∴ ， 故答案为：． 【例2.3】（2023八年级·全国·期末）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 【变式2.1】（2023八年级·河北邯郸·期中）嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，由此判断即可． 【详解】解：到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，选项C满足条件． 故选：C． 【变式2.2】（2023八年级·四川遂宁·期末）如图，​是​内一点，且​到三边​的距离​，若​ ． 【答案】​/125度 【分析】本题考查了角平分的判定、三角形内角和定理等知识，掌握在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理得出平分，平分，然后根据三角形内角和定理求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】到三边的距离， 平分，平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2.3】（2023八年级·黑龙江大庆·期末）中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是 . 【答案】2 【分析】根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF，根据三角形面积公式求出R即可． 【详解】解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC， ∵O为∠A、∠B的平分线的交点， ∴OD＝OF，OE＝OF， ∴OD＝OE＝OF， 设OD＝OE＝OF＝R， ∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO， 则×6×8＝×6R＋×8R＋×10R， 解得R＝2， 即OD＝OE＝OF＝2， ∴点O到三边的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键． 【考点3 角平分线的实际应用】 【例3.1】（2023八年级·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【例3.2】（2023八年级·辽宁大连·期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ）    A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处． 故选：C． 【例3.3】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，直线a、b、c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有 处．    【答案】4 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：如图所示，可供选择的地址有4个．    故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，难点在于要考虑中转站在△AOB内部和外部两种情况． 【变式3.1】（2023八年级·北京·期末）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由 ． 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】根据角平分线性质定理求解即可． 【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【点睛】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键． 【变式3.2】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求． 【变式3.3】（2023·北京海淀·八年级期末）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房O到每条公路的距离相等． （1）则点O为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图，设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【答案】 角平分线 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，进行作答即可； （2）根据题意，得到三条路线，在上截取，连接，证明，利用三角形的三边关系，即可得到最短路径． 【详解】解：（1）∵厂房O到每条公路的距离相等， ∴点O为三条角平分线的交点； 故答案为：角平分线． （2）如图： 有三条路线可走：， 在上截取，连接， ∵点O为三条角平分线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 同理， ∴最短， 即最短路线长为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ． 【答案】/84度 【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，于， ， ，，，， ， ，， 平分， ， 故答案为：． 【题型2】（2023八年级·北京东城·期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ）.    A． ∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 【答案】A 【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】如图，    ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF， ∴M在∠BAC的角平分线上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 【题型3】（2023八年级·江苏南京·期末）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得． 【详解】解：作法如下： 1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点； 2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点． 证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点是∠A与∠ABC平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点、点即为所求作的点 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·全国·假期作业）已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的判定定理等知识点，掌握平行线上的两点距离相等成为解题的关键． 根据平行的性质可得点、到直线的距离相等，即点到的距离相等，然后根据角平分线的判定定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴点、到直线的距离相等，即点到的距离相等， ∴点O为三条角平分线的交点． 故选B． 【题型2】（2023八年级·全国·期中）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边长分别为6 m和8 m，斜边长为10 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是 ． 【答案】6m 【分析】根据三角形的面积公式,RT△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离,然后乘以3即可. 【详解】设点O到三边的距离为h, 则, 解得h=2m, ∴O到三条支路的管道总长为:3×2=6m. 故答案为:6m. 【点睛】本题考查了角平分线上的点到两边的距离相等的性质,以及勾股定理,三角形的面积的不同表示,根据三角形的面积列式求出点O到三边的距离是解题的关键. 【题型3】（2023八年级·重庆开州·期末）如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理； （1）先根据，推出，然后根据等角的余角相等推出，结合已知条件判定即可证明结论； （2）过点B分别作于M，于N，根据全等三角形的对应高相等推出，根据角平分线的判定定理推出是的平分线，根据即可证得结论． 掌握角平分线的判定定理，深入理解题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ， 在和中 ， （）， ； （2）证明：如图，过点B分别作于M，于N， ， ∴， 即， 又， ， 平分， ， ， ， ． 模块三 课后作业 1．（2023八年级·山西大同·期中）在中，，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，则下列结论错误的是（   ） A．DE=DC B．∠ADE=∠ABC C．BE=BC D．∠EDB=∠EAD 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质可判断选项A；根据直角三角形的两锐角互余可判断选项B和D；根据三角形全等的判定定理与性质可判断选项C． 【详解】， ， 是的平分线，， ，，则选项A正确； ， ， ，即， ，， ，则选项B正确； ， ，则选项D错误； 在和中，， ， ，则选项C正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义与性质是解题关键． 2．（2023八年级·湖南邵阳·期中）如图：在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的面积是（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ，， ， ， 故选B． 3．（2023八年级·贵州安顺·期末）如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解： 于点，且，到射线的最小距离为4， 点到两边的距离相等， 射线是的角平分线， ， ， ， ， 故选：C． 4．（2023八年级·广西河池·期末）如图，已知中，点是、角平分线的交点，点到边的距离为3，且的面积为6，则的周长为(　　) A．6 B．4 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意过O分别作，连接OB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出进行分析即可. 【详解】解：由题意过O分别作，连接OB如图所示： ∵点是、角平分线的交点， ∴， ∵点到边的距离为3，即,的面积为6， ∴, ∴，即的周长为4. 故选：B. 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握并利用角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 5．（2023·天津滨海新·八年级期末）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2023·北京朝阳·八年级期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，分别交于点M，N，N为圆心，大于，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了基本作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质，利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到的距离相等，于是利用三角形面积公式得到，从而可计算出的面积． 【详解】解：由作法得：平分， 点D到的距离相等， ， ． 故答案为：3． 7．（2023八年级·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 8．（2023八年级·浙江宁波·期末）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设，，根据三等分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可． 【详解】设，， ∵点是与三等分线的交点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点N作于G，于E， 于F， ∵点是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故答案为：50． 9．（2023八年级·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且分别平分．若，则四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质等知识，过点作于，过点作于，过点作的延长线于，根据分别平分，得出，根据可得，，根据得，，即可得，，经过推理变形得，即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于，过点作的延长线于，    分别平分， ， ， 分别平分， 故答案为：． 10．（2023八年级·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（2023八年级·山东菏泽·期末）如图，四边形中，，对角线，相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【详解】在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 又∵，， ∴． 12．（2023八年级·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1） ， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 13．（2023八年级·河北邢台·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 14．（2023八年级·全国·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由 可得； （3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴． （2）证明：∵ ∴ ∵ 又， ， ∴， ∴ （3）解：结论：② 理由：作于于J． ∵ ∴ ∴ •， ∴， ∵作于K，于J， ∴ 不妨设①成立，则，则显然不可能，故①错误． 故答案为：②． 15．（2023八年级·河北保定·期末）已知，平分，定点C在射线上，与射线交于点B，与直线交于点D，且，当时，的长为5．           【证明】（1）如图1，当点D在射线上，且时． 求证：①；②； 【探究】（2）如图2，当点D在射线上，且与不垂直时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展】（3）如图3，当点D在射线的反向延长线上时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）仍然成立，证明见解析；（3）不成立，结论为，理由见解析． 【分析】题目主要考查四边形内角和，角平分线的性质定理及全等三角形的判定和性质， （1）①直接利用角平分线的性质定理即可证明；②利用全等三角形的判定和性质即可证明； （2）过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F，同（1）类似，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F，利用全等三角形的判定和性质证明求解即可； 熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：（1）证明：①在四边形中，， ． ∵， ， ， 平分， ； ②在和中， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中的结论②仍然成立； 理由：如图1，过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F， ∴，与（1）同理可得． ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）（1）中结论②不成立，． 理由：如图2，过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F， ∴，与（1）同理可得． ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 角平分线的性质与判定 【苏科版】 ·模块一 角平分线的作法与性质 ·模块二 角平分线的判定 ·模块三 课后作业 模块一 角平分线的作法与性质 1.角平分线的作法 a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M； b.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P； c.画射线OP,OP即为所求角平分线. 2. 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【例1.1】（2023八年级·山西朔州·期末）如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）    A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS 【例1.2】（2023八年级·江苏南京·期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（    ）. A．②③① B．③①② C．③②①       D．②①③ 【例1.3】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 【变式1.1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理． 【变式1.2】（2023八年级·河南漯河·期中）王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（　　） A．； B．； C．； D．； 【考点2 角平分线的性质】 【例2.1】（2023八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，平分，过点作于点，并延长交的延长线于点，且．求证：．    【例2.3】（2023八年级·河北唐山·期末）小将学习了角的平分线后，发现角平分线分得的和的面积比与两边长有关．如图，若，，你能帮小明算出下面两个比值吗？ （1） ； （2） ． 【变式2.1】（2023八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分交于，于且，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（2023八年级·重庆潼南·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ．    【变式2.3】（2023八年级·江苏镇江·期末）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． (1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证． (2)并写出证明过程． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·辽宁锦州·八年级期末）已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023八年级·福建福州·期末）求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等． 要求：根据给出的和（，），在此图形上用尺规作出和的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．    【题型3】（2023·陕西咸阳·八年级期末）如图，，平分，点在上，连接，，过点作，，垂足分别为，，求证：． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·新疆乌鲁木齐·八年级期末）如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2】（2023八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3】（2023八年级·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 模块二 角平分线的判定 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 【考点1 角平分线的判定】 【例1.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【例1.2】（2023八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【变式1.1】（2023八年级·山东聊城·期末）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【变式1.2】（2023八年级·贵州安顺·期末）如图，，，，点是的中点，求证：平分． 【变式1.3】（2023八年级·辽宁盘锦·期末）如图，，，，、交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求的度数．（用含α的式子表示） 【考点2 三角形三内角的角平分线】 【例2.1】（2023八年级·江苏南京期末）在内一点P到三边的距离相等，则点P一定是（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【例2.2】（2023·甘肃武威·八年级期末）如图，的三边 、、的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则 ． 【例2.3】（2023八年级·全国·期末）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【变式2.1】（2023八年级·河北邯郸·期中）嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　） A．     B．   C．   D．   【变式2.2】（2023八年级·四川遂宁·期末）如图，​是​内一点，且​到三边​的距离​，若​ ． 【变式2.3】（2023八年级·黑龙江大庆·期末）中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是 . 【考点3 角平分线的实际应用】 【例3.1】（2023八年级·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【例3.2】（2023八年级·辽宁大连·期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ）    A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【例3.3】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，直线a、b、c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有 处．    【变式3.1】（2023八年级·北京·期末）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由 ． 【变式3.2】（2023八年级·全国·课堂例题）如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置． 【变式3.3】（2023·北京海淀·八年级期末）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房O到每条公路的距离相等． （1）则点O为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图，设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ． 【题型2】（2023八年级·北京东城·期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ）.    A． ∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 【题型3】（2023八年级·江苏南京·期末）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·全国·假期作业）已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【题型2】（2023八年级·全国·期中）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边长分别为6 m和8 m，斜边长为10 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是 ． 【题型3】（2023八年级·重庆开州·期末）如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接．求证： (1)； (2)． 模块三 课后作业 1．（2023八年级·山西大同·期中）在中，，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，则下列结论错误的是（   ） A．DE=DC B．∠ADE=∠ABC C．BE=BC D．∠EDB=∠EAD 2．（2023八年级·湖南邵阳·期中）如图：在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的面积是（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 3．（2023八年级·贵州安顺·期末）如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023八年级·广西河池·期末）如图，已知中，点是、角平分线的交点，点到边的距离为3，且的面积为6，则的周长为(　　) A．6 B．4 C．3 D．无法确定 5．（2023·天津滨海新·八年级期末）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 6．（2023·北京朝阳·八年级期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，分别交于点M，N，N为圆心，大于，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为2，则的面积为 ． 7．（2023八年级·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    8．（2023八年级·浙江宁波·期末）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ． 9．（2023八年级·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且分别平分．若，则四边形的面积是 ．    10．（2023八年级·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 11．（2023八年级·山东菏泽·期末）如图，四边形中，，对角线，相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：． 12．（2023八年级·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 13．（2023八年级·河北邢台·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 14．（2023八年级·全国·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 15．（2023八年级·河北保定·期末）已知，平分，定点C在射线上，与射线交于点B，与直线交于点D，且，当时，的长为5．           【证明】（1）如图1，当点D在射线上，且时． 求证：①；②； 【探究】（2）如图2，当点D在射线上，且与不垂直时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展】（3）如图3，当点D在射线的反向延长线上时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$