11.1坐标平面内的图形（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十一章平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标 第二课时 坐标平面内的图形 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，并能求出顺次连接所得图形的面积;（重点） 2. 能建立适当的直角坐标系，描述图形的位置;（难点） 3.通过用直角坐标系表示图形的位置，使学生体会平面直角坐标系在实际问题中的应用． 问题：如果某小区里有一块如图所示的空地，打算进行绿化，李磊想请他的同学吴莉提一些建议，李磊要在电话中告诉吴莉同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的知识．你知道李磊是怎样叙述的吗？ 情景导入 4 1.在坐标平面内描点作图 探究：上节课我们已经学习过了平面直角坐标系的定义．根据定义想一想你会在坐标轴上描点吗？ 找点的方法： 先分别找出该点的横坐标、纵坐标在两条数轴上的点，再分别作对应坐标轴的垂线，交点即为我们所要找的点的位置． 新知探究 5 1.在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接起来，观察点所构成的图形 ① (-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3); ② (-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3); ③ (3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7); ④ (3,7),(1,5),(2,5),(5,5),(6,5); ⑤ (2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5). 练一练 6 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 x y O ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 房子 松树 2.图中由线段所构成的星形是由哪些点按顺序连成的？请你说出这些点的坐标. y 6 4 2 -2 -4 -6 x -6 -4 -2 2 4 6 O • A • B • C • D • E • F • G • H • I • J • K • L • M • N • O • P A（0,6），B（2,4），C（4,4）， D（4,2），E（6,0），F（4,-2）， G（4,-4），H（2,-4）I（0,-6）， J（-2,-4），K（-4,-4），L（-4,-2）， M（-6,0），N（-4,2），O（-4,4），P（-2,4）. 练一练 练一练：你能在右 图的直角坐标系里 描出点A(-4,-5), B(-2,0),C(4,0)吗？ O x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 A B C ● ● ● 2.坐标平面内图形面积的计算 新知探究 O x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 A B C ● ● ● D 问题：观察下表你能求出△ABC的面积吗？ 解：过点A作AD⊥x轴于点D. ∵A(-4,-5)，∴D(-4,0) . 由点的坐标可得 AD=5 ，BC=6， ∴ S△ABC = ·BC·AD = ×6×5=15. 例 1: 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说得到的是什么图形，并计算他们的面积. (1)A(5,1),B(2,1),C(2,-3) (2)A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2) 3 2 1 -2 -1 -3 4 x y A B C D A B C -1 -2 O O 1 2 3 4 5 x y 2 2 4 -2 -2 课本例题 (1)得到一个直角三角形， 如图所示. ∴ S = ×3×4=6. (2)得到一个平行四边形， 如图所示. ∴ S =3×4=12. 练一练 练一练 【变式3】如图，已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)， 试求△ABC的面积． 思路分析：本题宜用补形法．过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两条平行线交于点E，过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC的延长线于点D，交EA的延长线于点F，然后根据S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA即可求出△ABC的面积． 练一练 【变式3】如图，已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，试求△ABC的面积． 解：如右图，作辅助线. ∵A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)， ∴BD＝3，CD＝1，CE＝3，AE＝1， AF＝2，BF＝4， ∴S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA ＝BD·DE－ DC·DB－ CE·AE－ AF·BF ＝12－1.5－1.5－4 ＝5. 如何利用简单方法求坐标系中图形的面积． 已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法： 方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高； 方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差； 方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形． 概念归纳 问题：正方形ABCD的边长为6，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A,B,C,D在这个平面直角坐标系中的坐标. A B C D 3.建立坐标系求图形中点的坐标 新知探究 6 6 y x （A） B C D 解：如图，以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 此时，正方形四个顶点A,B,C,D的坐标分别为： A(0，0), B(6，0), C(6，6), D(0，6). O A B C D A(0，-6), B(6，-6),C(6，0), D(0，0). y x O 还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点A,B,C,D的坐标吗？ A(-6，0), B(0，0),C(0，6), D(-6，6). A(-6，-4), B(0，-4),C(0，0), D(-6，0). A(-3，-3), B(3，-2),C(3，3), D(-3，3). 想一想 由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？ 平面直角坐标系建立得适当，可以很容易确定图形上的点，例如：以正方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．又如以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系．建立不同的平面直角坐标系，同一个点就会有不同的坐标，但正方形的形状和性质不会改变． 总结归纳 例2：如图，正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A，B，C，D在这个平面直角坐标系的坐标. A B C D -2 2 4 6 x 6 4 2 -2 y 解: 如图，以顶点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. A（0,0），B（4,0）， C（4,4），D（0,4）. 课本例题 【变式1】右图是一个围棋棋盘(局部)，把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是(－3，－1)，白棋③的坐标是(－1，－3)，则黑棋❷的坐标是__________． 解析：由已知白棋①的坐标是(－2，－1)，白棋③的坐标是(－1，－3)，可知y轴应在从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，x轴在从上往下数第二条格线上，且向右为正方向，这两条直线的交点为坐标原点，由此可得黑棋②的坐标是(1，－2)． (1，－2) 练一练 【变式2】李磊同学家在学校以东100m再往北150m处，吴莉同学家在学校以西100m再往南50m处，张明同学家在学校以南150m处，如图，在坐标系中画出这三位同学家的位置，并用坐标表示出来. 练一练 O 东 北 50 50 单位：m 吴莉 李磊 张明 (100,150) (-100,-50) (0,-150) 学校 (0,0) 【解析】如右图所示 【变式3】长方形的两条边长分别为4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(－2，－3)．请你写出另外三个顶点的坐标． 解：如图建立直角坐标系， ∵长方形的一个顶点的坐标为A(-2，-3)， ∴长方形的另外三个顶点的坐标分别为B(2，－3)，C(2，3)，D(－2，3)． 练一练 由已知条件正确确定坐标轴的位置是解题的关键，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就大不相同，但一定要注意，直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了． 概念归纳 1.（1）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点： A（2,0），B（1,3），C（-2,-2），D（1,-2）； （2）按次序A→B →C →D →A 将所描出的点用线段连接起来，看看得到是什么图形. （3）计算所得到的图形面积. x -4 -2 2 4 y 4 2 -2 -4 • A • B • C • D O （3）面积是10. 解：（1）如右图所示 （2）如右图所示四边形ABCD 课本练习 课本练习 2.假如你想让你的同学在不看图的情况下，准确地画出如图所示的“小船”图案，你怎样来描述它？ 【解析】在平面直角坐标系中描出下列各点：A（-3，0），B（-2，-1），C（3，-1），D（4，0），E（2，0），F（0，4），G（0，2），H（-2，0）.并依次序A→B→C→D→E→F→G→H→A将所描出的点用线段连接起来即可画出“小船”. 1. 如图，象棋盘上，若“将”位于点（1，-2）， “象”位于点（3，-2），则“炮”位于点（ ） (A)（-1，1） (B)（-1，2） (C)（-2，1） (D)（-2，2） C 炮 将 象 习题11.1 发现AC与BD的交点E处就是“桃花源”的入口.试指出“桃花源”入口E的坐标. 解：如图所示. E的坐标为（2，-1）. 2. “桃花源”的入口很隐蔽，探险者在地图上建 立了一个平面直角坐标系，巧妙地运用坐标 来确定它所在的位置.他首先确定了四棵桃 花树的位置： A(-1，2)，B(-1，-4)，C(5，-4)，D(5，2) 3. 在如图所示的平面直角坐 标系中描出下列各点：A(1， 4)，B(3，-2)，C(-3，-2)， D(-1，4).描好后，再把各 点用线段依次连接起来(最 后一个点与第一个点连接 起来)，看看你得到了什么 图形？ 解：如图，把各点用线段依次连接起来，得到的是等腰梯形. 先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置. 4. 解：答案不唯一． 如以人民广场为原点， 以水平方向为x轴， 向右为正方向， 以竖直方向为y轴， 向上为正方向 建立平面直角坐标系， 则图中各点的位置分别为人民广场（0，0）， 电视台（-5，0）， 立交桥（-4．-2）， 国际饭店（-2，4）， 大剧院（-2，1）， 新天地（-1，-5）， 大世界（2．-1）， 书城（4，3）. 已知a<b<0，那么点P（a-b，-b）在第几象限？ 5. 解：因为a<b<0，所以a-b<0，-b>0， 所以点P（a-b，-b）在第二象限． 已知点A（-4，a），点B（3，a），那么过点A，B的直线与坐标轴有怎样的位置关系？ 6. 解：当a=0时，点A，B都在x轴上，故直线AB与x轴重合； 当a≠0时，直线AB与x轴平行， 且与x轴的距离为 ． 相同 相同 D 分层练习-基础 C (－3,3) (5,1)或(－1,1) 分层练习-基础 x y C 18 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 5 －4或6 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 坐标平面内的图形 在坐标平面内描点作图 坐标平面内图形面积的计算 建立适当的直角坐标系描述图形的位置 课堂小结 【变式1】在平面直角坐标系内描出下列各点，并依次用线段连接各点：(4,4)、(3,3)、(4,3)、(2,1)、(4,1)、(eq \f(7,2)，0)、(eq \f(9,2)，0)、(4,1)、(6,1)、(4,3)、(5,3)、(4,4)．观察得到的图形，你觉得该图形像什么？求所得到图形的面积． 解：如图所示：f(1,2)INCLUDEPICTURE"HK010.TIF" 该图形像宝塔松．图形的面积为：×1×1＋eq \f(1,2)×4×2＋eq \f(1,2)×2×1＝eq \f(1,2)＋4＋1＝eq \f(11,2). 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A(4,0)、B(0,4)，点C在x轴上，并且点C到原点的距离为3，画出符合条件的图形，并求出三角形ABC的面积． 解：因为点C在x轴上，并且点C到原点的距离为3，所以点C的位置可以分成两种情况，如图：①当点C在x轴的负半轴上，坐标为(－3,0)，此时AC＝7，所以S三角形ABC＝eq \f(1,2)AC·BO＝14；②当点C在x轴的正半轴上，坐标为(3,0)，此时AC＝1，所以S三角形ABC＝eq \f(1,2)AC·BO＝2；所以三角形ABC的面积为2或14. 知识点一：描点、连线、判断封闭图形 平面直角坐标系中，平行于x轴的直线须满足直线上所有点的纵坐标 ，平行于y轴的直线须满足直线上所有点的横坐标 ． 1．已知点M(3，－2)、N(－3，－2)，则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为(　　) A．相交，相交　　　　　　　　 B．平行，平行 C．垂直相交，平行 D．平行，垂直相交 2．已知点P(－3,2)、点Q(－3，－5)，则线段PQ的长度为(　　) A．6　　　　　 B．3　　　　　 C．7　　　　　 D．8 3．如图，在长方形ABCD中，A(－3,1)、B(0,1)、C(0,3)，则点D的坐标为 ． 4．已知点A(2,1)，AB∥x轴，且AB＝3，则点B的坐标为 ． 知识点二：计算坐标平面内图形的面积 在平面直角坐标系中，求图形的面积，通常采用向 轴或 轴作垂线，将不规则的几何图形割补成我们常见的几何图形，然后运用所学过的面积公式进行计算． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶 点A、B、C、D的坐标分别是(0,0)、(5,0)、(7,4)、(2,4)， 则这个四边形的面积是(　　) A．6 B．8 C．20 D．12 6．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶 点B的坐标为(6,3)，则长方形OABC的面积为 . 能力点：建立平面直角坐标系 建立平面直角坐标系的关键是确定原点和坐标轴，一般选择某中心位置作为坐标原点，坐标轴选在水平线和铅垂线上． 7．(安庆中考)长方形的两条边长分别为4、6，建立适当的平面直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(－2，－3)．请你写出另外三个顶点的坐标． 解：(答案不唯一)建立如图直角坐标系， ∵长方形的一个顶点的坐标为A(－2，－3)，∴长方形的另外三个顶点的坐标分别为：B(2，－3)、C(2,3)、D(－2,3)． 8．在坐标平面内有三点A(－1,1)、B(1,1)、C(1，－1)，那么以A、B、C三点画正方形，则第四点D的坐标为(　　) A．(2,2)　　　　 B．(－1,2) C．(2，－2) D．(－1，－1) 9．如图，求S△ABC的解法正确的是(　　) (1)eq \f(1,2)|AC|·|BO|； (2)eq \f(1,2)|AO|·|OB|＋eq \f(1,2)|OC|·|OB|； (3)eq \f(1,2)|AB|·|AC|. A．(1)(2)(3) B．(1)(2) C．(1)(3) D．(2)(3) 10．如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD四个顶点的坐标分别是：(－2,3)、(－3,0)、(4,0)、(2,3)，那么梯形ABCD的面积为(　　) A．33　　 B．16.5　　 C．20　　 D．40 11．如图，在平面直角坐标系中，A(2,3)、B(5,0)、E(4,1)，则三角形AOE的面积为 . 12．在平面直角坐标系中，若点M(1,3)与点N(x,3)之间的距离是5，则x的值是 . 13．如图，在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0)、C(－1，2)，且|2a＋b＋1|＋(a＋2b－4)2＝0. (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上存在点M，使S△COM＝eq \f(1,2)S△ABC，求点M的坐标． 解：(1)∵|2a＋b＋1|＋(a＋2b－4)2＝0，且|2a＋b＋1| ≥0，(a＋2b－4)2≥0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＋1＝0,a＋2b－4＝0))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝3))，∴A、B两点的坐标为A(－2,0)、B(3,0)；　 (2)过C 作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，f(1,2)INCLUDEPICTURE"X2.TIF" 则CD＝2，CE＝1，∵A(－2,0)、B(3,0)，AB＝5，设点M的坐标为M(0，m)，依题意得：×1×|m|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×5×2，解得：m＝±5，∴点M的坐标为(0,5)或(0，－5)． 建立坐标系确定图形中点的坐标及图形面积的计算． 【例1】在如图①所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,0)、B(9,0)、C(7,5)、D(2,7)．试求四边形ABCD的面积． INCLUDEPICTURE"HK005.TIF" 　 【思路分析】在平面直角坐标系内求不规则图形的面积，需将不规则图形进行割补，转化为规则的几何图形．过图形的顶点向x轴或y轴引垂线，便可找出不规则图形与规则图形之间的联系．注意体会本题解法中的转化思想． 【规范解答】如图②所示，分别过D、C向x轴作垂线，垂足分别为E、F，则四边形ABCD被分割为直角三角形ADE、直角三角形BCF及梯形CDEF.由各点坐标可知，AE＝2，DE＝7，EF＝7－2＝5，FB＝9－7＝2，CF＝5.所以S△AED＝eq \f(1,2)AE·DE＝eq \f(1,2)×2×7＝7，S△BCF＝eq \f(1,2)FB·CF＝eq \f(1,2)×2×5＝5，S梯形CDEF＝eq \f(1,2)(CF＋DE)·EF＝eq \f(1,2)×(5＋7)×5＝30，所以S四边形ABCD＝7＋5＋30＝42. 【例2】一个四边形如图甲，请建立适当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中画出这个四边形，标出各定点的坐标，并计算它的面积． 【思路分析】为了使这个四边形的各个顶点坐标容易确定，可把点E作为坐标原点，线段AB画在x轴上，DE落在y轴上(如图乙)，写出A、B、C、D各点的坐标，再把四边形ABCD分割成三个三角形，由点的坐标的意义可求出四边形的面积． 【规范解答】取点E为坐标原点，使线段AB在x轴上，建立平面直角坐标系，如图乙，则可得A、B、C、D各点的坐标分别为(－1,0)、(2,0)、(2.5，1.5)、(0,3.5)，如图乙中的四边形ABCD就是所求的四边形，则S四边形ABCD＝S△AOD＋S△OCD＋S△OBC＝eq \f(1,2)×1×3.5＋eq \f(1,2)×3.5×2.5＋eq \f(1,2)×2×1.5＝7.625，故所求四边形ABCD的面积为7.625. $$