第01讲 与三角形有关的线段(5个知识点+5个考点+1个易错分析）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第01讲 与三角形有关的线段(5个知识点+5个考点+1个易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解三角形的概念及基本要素(边、角、顶点). 2.掌握三角形的分类方法. 3.理解三角形的三边关系,并能运用它解决问题 4.理解三角形中线、高、角平分线和重心的概念, 会画三角形的“三线 5.了解三角形的稳定性,会解释生活中与三角形稳 定性有关的现象,并在运用三角形稳定性解决生活 中的问题时,体会数学的转化思想,增强数学应用 意识. 知识点1、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【例1-1】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【例1-3】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【例1-4】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 【例1-5】图中的锐角三角形有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，也可以与线段外的一点组成个三角形． 知识点2、三角形的分类 1.按角分类： 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点诠释： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【例2-1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例2-2】有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【例2-3】如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 知识点3、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【例3-1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　) A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 【例3-2】一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 【例3-2】已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长． 方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决． 【例3-3】若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简． 知识点4、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【例4-1】画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 【例4-2】下列说法中正确的是(   ) A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部 C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 【例5-1】在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 【例5-2】如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长． 方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差． 【例6-1】如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【例6-2】．如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【例6-3】如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查． 知识点5、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【例7-1】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【例7-2】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么? 【例7-3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？ 方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解． 易错点 解决求等腰三角形边长的问题时，忽略分类讨论，未用三边关系检验致错 特别提醒:解决求等腰三角形边长的问题时,要注意:当腰和底不确定时，必须进行分类讨论;②得出边长后，要用三角形三边关系检验是否能够组成三角形. 考点一：三角形三边关系的应用 考查角度1：求等腰三角形的边长或周长 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是（    ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 3．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知的三边a，b，c满足，，且． (1)求c的取值范围； (2)若的周长为，求c的值． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 考查角度2：与绝对值有关的综合应用 5．（23-24八年级上·广西玉林·阶段练习）若a、b、c是的三边的长，化简． 6．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 7．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c是奇数，试判断的形状； (3)化简：． 考查角度3：比较线段和差的大小 8．（23-24八年级上·四川南充·期末）已知点A，B，C是不在同一条直线上的三点，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 10．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． (1)补全上面步骤； (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 考查角度4：线段最值问题 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 12．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 考点二：三角形高的应用 考查角度1：利用三角形高的性质作图 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，是的两条高，，．    (1)请画出，； (2)若，求的长． 14．（22-23八年级上·江西九江·期中）如图，为的中线，为的中线． (1)作的边上的高线； (2)若的面积为，，求的边上的高线长． 15．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）画图并回答：在如图所示的的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点，，都在正方形网格的格点上．    (1)作点到的垂线段； (2)求的面积． 16．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，，． (1)画出中边上的高； (2)求的长． 17．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，过点C作于D，    (1)在图1中，若，，，则 ，边上的高 ； (2)在图2中，若点P是B，C所在直线上的一点（不与点B，C重合），过点P作于E，作于F，请你补齐图形，尝试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 考查角度2：利用等面积法计算线段长度 18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 19．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，中，，，，，是边上的高 ．求的长．    20．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，与是的高． (1)若，求； (2)若的高与的比是多少？ 21．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的两条高，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 22．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，分别是的高和中线，若，． (1)求的长； (2)求与的周长差． 23．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 考查角度3：与高有关的分类讨论问题 24．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．    (1)求的面积； (2)求点到的距离； (3)如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标． 考点三：三角形中线的应用 考查角度1：三角形的面积问题 25．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 26．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，．    (1)画边上的中线，并求长； (2)画边上的高，若，求的面积． 27．（23-24八年级上·广东韶关·期中）图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且．求    (1)的面积； (2)的面积． 28．（23-24八年级上·广东潮州·阶段练习）已知，是的中线，是的中线，求．    29．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 30．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，、、分别是的三边的延长线上一点，且，，，，求的值．    31．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 考查角度2：三角形的周长问题 32．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，是的边的中线，已知，求和的周长之差．    33．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，是中线，是高，且，，．    (1)______；______； (2)求和的周长差． 34．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，    (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 35．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，中，，于点D，为的中线，，，．求：    (1)的长 (2)的面积 (3)和 的周长的差 36．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 考点四：与三角形有关的设计问题 37．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）发现与探究：三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作． 图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为m，用含有m的式子表示的面积为 ， = (3)图4中点D、E在的边上，交于G，G是重心，，，，求四边形的面积． 考点五：动点问题与三线综合 38．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，到点B停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿运动，到点A停止运动．设点P运动的时间为t秒．    (1)点P在上运动时，           ，          （用含t的式子表示）；点Q在上运动时，          ，         （用含t的式子表示）． (2)当t值为           （秒）时，． (3)当t为何值时，P，Q两点在运动路线上相距的路程为4个单位长度． (4)当t为何值时，． 39．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图，中，，，，，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．      (1)当 时，把的周长分成相等的两部分？ (2)当 时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当t为何值时，的面积为4？ 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 3．（23-24八年级上·云南·阶段练习）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短 4．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 5．（22-23八年级上·湖北咸宁·期中）如图，是的高的线段是（ ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 6．（22-23八年级上·海南三亚·期中）若三角形的两条边长分别为和，且第三边长为偶数，则第三边长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 8．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ． 10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以为边的三角形有 个． 11．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ． 13．（23-24七年级下·江苏·周测）设、、是的三边，化简： ． 14．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 三、解答题 15．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 16．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 17．（23-24八年级上·河南信阳·期中）小华尝试用长分别为、、和的四根小铁棒中的三根焊接成三角形天线． (1)他能焊接几种不同规格的天线？ (2)如果周长越大，天线接收信号的效果越好，那么小华该取哪些铁棒作为焊接的材料？ 18．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 19．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足． (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值． 20．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，是的中线，若，，，求的长． 21．（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 与三角形有关的线段(5个知识点+5个考点+1个易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解三角形的概念及基本要素(边、角、顶点). 2.掌握三角形的分类方法. 3.理解三角形的三边关系,并能运用它解决问题 4.理解三角形中线、高、角平分线和重心的概念, 会画三角形的“三线 5.了解三角形的稳定性,会解释生活中与三角形稳 定性有关的现象,并在运用三角形稳定性解决生活 中的问题时,体会数学的转化思想,增强数学应用 意识. 知识点1、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【例1-1】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念， 故选：C 【例1-2】如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 【例1-3】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【分析】此题主要考查了三角形的定义及其表示．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【详解】解：图中共有5个三角形，分别是． 【例1-4】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 【答案】(1)图中有7个三角形，即 (2)的三个内角是 (3)含边的三角形有 【分析】本题考查了三角形的定义，角的写法，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【详解】（1）解：图中有7个三角形， 分别为：； （2）解：在中， 它的三个内角是； （3）解：由（1）知图中有7个三角形，即， 含边的三角形有． 【例1-5】图中的锐角三角形有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】(1)以A为顶点的锐角三角形有△ABC、△ADC共2个；(2)以E为顶点的锐角三角形有△EDC共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3(个)．故选B. 方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，也可以与线段外的一点组成个三角形． 知识点2、三角形的分类 1.按角分类： 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点诠释： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【例2-1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选C 【例2-2】有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 【例2-3】如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选C． 知识点3、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【例3-1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　) A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 【解析】选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B. 【例3-2】一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 【解析】∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A. 【例3-2】已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长． 【分析】先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解． 【解析】根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22. 方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决． 【例3-3】若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可． 【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b. 方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简． 知识点4、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【例4-1】画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是(　　) 【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知． 【解析】过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 【例4-2】下列说法中正确的是(   ) A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部 C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 【答案】B 【分析】根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点进行判断即可． 【详解】解：A．直角三角形的高有三条，故选项错误，不符合题意； B．锐角三角形的三条高交于三角形内部，故选项正确，符合题意； C．直角三角形的高交于直角顶点，故选项错误，不符合题意； D．钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点，熟练掌握三角形高的特点是解题的关键． 【例5-1】在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 【解析】如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm. 【例5-2】如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长． 【分析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比 △ACD的周长大3． 【解析】 解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD为△ABC的AB边上的中线， ∴ AD＝BD，即BC-AC＝3． 又∵ BC＝8，∴ AC＝5． 答：AC的长为5cm． 方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差． 【例6-1】如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 【例6-2】．如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键． 【详解】∵在中，，是的角平分线， ∴． 故选：B． 【例6-3】如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数． 【解析】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°. 方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查． 知识点5、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【例7-1】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案． 【详解】解：A、直角三角形具有稳定性，故此选项正确； B、长方形不具有稳定性，故此选项不正确； C、五边形不具有稳定性，故此选项不正确； D、正六边形不具有稳定性，故此选项不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 【例7-2】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么? 【解析】解：三角形的稳定性． 【总结升华】本题考查三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性． 【例7-3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？ 【分析】由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律． 【解析】过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定． 方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解． 易错点 解决求等腰三角形边长的问题时，忽略分类讨论，未用三边关系检验致错 特别提醒:解决求等腰三角形边长的问题时,要注意:当腰和底不确定时，必须进行分类讨论;②得出边长后，要用三角形三边关系检验是否能够组成三角形. 考点一：三角形三边关系的应用 考查角度1：求等腰三角形的边长或周长 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是（    ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 设这个三角形的第三边是x，周长是l，由三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，得到，推出，即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形的第三边是x，周长是l， ， ， ， ， ∴该三角形的周长可能是15． 故选：C． 2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 【答案】共可以构成个不同的三角形，他们的周长分别为：，，， 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，先求得第三根木棒长的取值范围，进而求得满足已知的第三根木棒长以及周长． 【详解】解：两根木棒分别长、， 根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于而小于． 又第三根木棒的长是偶数，则应为，，，． 共可以构成个不同的三角形， 他们的周长分别为：，， ，． 3．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知的三边a，b，c满足，，且． (1)求c的取值范围； (2)若的周长为，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出|，结合，则，故，即可作答； （2）由的周长为，得，又因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：由题意有，且，， ∴， ∴ 又∵ ∴ 故 又因为 ∴ （2）解：∵周长为 ∴ 又∵， ∴ ∴， 【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可； （2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， 即； （2）∵，设的周长为x， ∴，即， ∵的周长为偶数， ∴其周长为16． 考查角度2：与绝对值有关的综合应用 5．（23-24八年级上·广西玉林·阶段练习）若a、b、c是的三边的长，化简． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的意义．由三角形三边关系定理得，由绝对值的意义，即可化简原式． 【详解】解：∵a、b、c是的三边， ∴， ∴， ∴ ． 6．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 根据非负数的性质列式求出、的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，再根据是奇数求出的值． 【详解】解：，满足， ，， 解得，， ，， ， 又是奇数， ， 的周长为． 故答案为． 7．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c是奇数，试判断的形状； (3)化简：． 【答案】(1)是等边三角形； (2)是等腰三角形； (3) 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解判断即可得到答案； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：由三边关系得， ，，， ∴原式， ． 【点睛】本题考查三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，绝对值非负性的运用，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0它们分别等于0． 考查角度3：比较线段和差的大小 8．（23-24八年级上·四川南充·期末）已知点A，B，C是不在同一条直线上的三点，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一条直线，难度不大． 根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：，，是不在一条直线上的三个点， ，，三点构成， 满足三边关系：，、， ∴A、B、D选项不正确，不符合题意，C选项正确，符合题意， 故选：C． 9．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 10．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． (1)补全上面步骤； (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 【答案】(1)，， ， (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系； （1）根据三角形三边关系进行解答即可； （2）利用三角形三边关系进行证明即可． 解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边． 【详解】（1）解：由三角形的两边之和大于第三边，得，， 将不等式两边相加得：， 即； 故答案为：；；；． （2）解：在中，， 在中， 在中，， 将三个不等式相加得：， 即． 考查角度4：线段最值问题 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 【答案】(1)； (2)15． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． （1）由三角形三边关系解答； （2）利用（1）中求得的x的取值范围，确定整数x的值；然后由三角形的周长公式解答． 【详解】（1）由题意得：，即． ∵3是最短边长， ∴． ∴x的取值范围是； （2）由（1）可知，， ∵x为整数， ∴x的最大值为7． ∴三角形周长的最大值为． 12．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 【答案】(1)最大值为19，最小值为3 (2) 【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． （1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围． 【详解】（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ， 要求的最小值，即将绕顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ． 综上，的最大值是19，最小值是3． （2）要围成四边形，则的取值范围为：． 考点二：三角形高的应用 考查角度1：利用三角形高的性质作图 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，是的两条高，，．    (1)请画出，； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，三角形面积等于的底乘以高． （1）过点A作交延长线于点E，过点C作交的延长线于点D即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求，    （2）解：∵， ∴， ∴． 14．（22-23八年级上·江西九江·期中）如图，为的中线，为的中线． (1)作的边上的高线； (2)若的面积为，，求的边上的高线长． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交边两点，分别以这两点为圆心，同样的长度为半径画弧，两弧相交于边下一点，连接这点和点，与图形相交于点，则即为边上的高； （）利用中线的性质易得到，，即可得结求解； 本题考查了作三角形的高，三角形中线的性质，掌握三角形中线与三角形面积的关系是解题的关键． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即边上的高线长为． 15．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）画图并回答：在如图所示的的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点，，都在正方形网格的格点上．    (1)作点到的垂线段； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用网格的特征，三角形高的定义作出图形即可； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）如图，线段即为所求．    （2）． 【点睛】本题考查了画三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 16．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，，． (1)画出中边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形的高定义作图即可． （2）因为，所以是直角三角形，根据等面积法即可求出的长． 【详解】（1） （2）解：， ， ． 17．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，过点C作于D，    (1)在图1中，若，，，则 ，边上的高 ； (2)在图2中，若点P是B，C所在直线上的一点（不与点B，C重合），过点P作于E，作于F，请你补齐图形，尝试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)图形见详解，当点在线段上运动时，；当点在点左边运动时，；当点在点右边运动时，．理由见解析． 【分析】（1），据此即可求解； （2）分类讨论当点在线段上运动、当点在点左边运动、当点在点右边运动，结合之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ∴ 故答案为：； （2）解：当点在线段上运动时，连接，如图所示：    ∵， ，，， ∴ ∵ ∴ 当点在点左边运动时，连接，如图所示：    ∵， ，，， ∴ ∵ ∴ 当点在点右边运动时，连接，如图所示：    ∵， ，，， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的高线与三角形面积之间的关系．根据题意作出正确的几何图是解题关键． 考查角度2：利用等面积法计算线段长度 18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 19．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，中，，，，，是边上的高 ．求的长．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形面积计算公式的应用，掌握直角三角形面积的等于两条直角边的乘积的一半是解答此题的关键．在直角三角形中，两条直角边、斜边、斜边上的高四个量中，已知其中的三个，求第四个时，一般根据面积法进行求解，即根据直角三角形面积的两种计算方法：两直角边乘积的一半等于斜边与斜边上的高的乘积的一半． 本题中已知两条直角边的长度，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，即可得到的面积；接下来结合直角三角形的面积也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算即可． 【详解】解： ， 是边上的高 ∴ ，，， 解得 20．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，与是的高． (1)若，求； (2)若的高与的比是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式，即可求解； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的两条高，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据三角形面积公式计算即可； （2）结合（1）中的面积利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】（1）解：是的高，， 的面积为：； （2）是的高，，的面积为， ， 即， ． 22．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，分别是的高和中线，若，． (1)求的长； (2)求与的周长差． 【答案】(1)的长为； (2)与的周长的差是． 【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可； （2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， ， 即的长为； （2）解：为边上的中线， ， 的周长的周长 ， 即与的周长的差是． 【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型． 23．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，且， ∴， 又∵， ∴， 即． 考查角度3：与高有关的分类讨论问题 24．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．    (1)求的面积； (2)求点到的距离； (3)如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点到的距离为 (3)或 【分析】（1）先根据算术平方根和二次方的非负性求出，，得出，，即可得出答案； （2）过点作于，根据等积法求出即可； （3）由三角形的面积关系列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ，， 点，点， ，， ∴； （2）解：如图，过点作于，    ∵， ∴； 点到的距离为； （3）解：设运动时间为秒，则，，其中， ∴， ∵， ， ， ， 解得：，， ， 运动时间为秒或秒． 当时，， ， ； 当时，， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，算术平方根和平方的非负性，三角形的面积公式等知识，求出的长是解题的关键． 考点三：三角形中线的应用 考查角度1：三角形的面积问题 25．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：作于点H， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴同理可得． 26．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，．    (1)画边上的中线，并求长； (2)画边上的高，若，求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了线段中点和三角形面积的计算，熟练掌握三角形面积计算公式是解题的关键 （1）把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，根据是边上的中线即可求出； （2）是边的高，根据三角形面积=底高即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示， 是边上的中线，， 点D是线段的中点， ； （2）边上的高如图所示： 是边的高， ， ． 27．（23-24八年级上·广东韶关·期中）图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且．求    (1)的面积； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换． （1）根据根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，由D是边的中点，可得． （2）由E是的中点，可得．然后根据F是的中点，可得，即可求解． 【详解】（1）解：点为的中点， （2）∵E是AD的中点， 点为的中点， ， ∴． 点为的中点， ，即阴影部分的面积为． 28．（23-24八年级上·广东潮州·阶段练习）已知，是的中线，是的中线，求．    【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，利用三角形中线的性质可得，同理得到即可解答；掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两份是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴． 29．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)6； 【分析】（1）本题考查作格点三角形的高，根据格点图形的性质直接作图即可得到答案； （2）本题考查作格点三角形的中线，根据格点线段中点作中线即可得到答案； （3）本题考查求格点三角形的面积，根据（1）求出，再结合中线即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，的边上的高如图所示， ； （2）解：由题意可得，的边上的中线如图所示， ； （3）解：由（1）得， ， ∵是的边上的中线， ∴． 30．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，、、分别是的三边的延长线上一点，且，，，，求的值．    【答案】 【分析】连接，，，由三角形中线等分三角形的面积，可得、和的面积相等，即可得到，同理可得：，，即可得出面积等于7倍的面积，即可得出结果． 【详解】解：连接，，，如图所示：    ，三角形中线等分三角形的面积， ； 同理， ； 同理可得：，， ； 故选：． 【点睛】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果． 31．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了直角三角形面积的计算方法，三角形的高、中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质． （1）找的中点，连接，则是的边上的中线，根据三角形中线的性质可得，即可求解； （2）过点作，先根据，求出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，找的中点，连接，则是的边上的中线， 在直角三角形中，，，， ， 是的中线， ； （2）如图，过点作，则为的边边上的高， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 考查角度2：三角形的周长问题 32．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，是的边的中线，已知，求和的周长之差．    【答案】 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：是中边上的中线， ， 和的周长的差 ． 【点睛】本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，三角形一边的中点与此边所对的顶点的连线叫做三角形的中线． 33．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，是中线，是高，且，，．    (1)______；______； (2)求和的周长差． 【答案】(1)84；14 (2) 【分析】本题考查的是三角形的中线与高的含义，三角形的面积与周长的计算； （1）由三角形的中线的含义可得，再利用等面积法可得的长； （2）由，，结合三角形的中线的含义列式计算周长差即可． 【详解】（1）解：∵是中线， ， ∴； ∴，而， ∴； （2）∵． ∵的周长为， 的周长为，且， ∴和的周长差为． 34．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，    (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可； （2）根据中线的性质，，根据的周长为，则，求出，再根据，即可． 【详解】（1）∵中，，， ∴， ∴， ∵是偶数， ∴． （2）∵是的中线， ∴， ∵的周长为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，三角形的中线的知识，解题的关键是掌握三角形三边的关系，三角形的中线的性质． 35．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，中，，于点D，为的中线，，，．求：    (1)的长 (2)的面积 (3)和 的周长的差 【答案】(1)4.8 (2)12 (3)2 【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）与的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．据此即可得到答案； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，易求其值． 【详解】（1），是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ， ，即， ． 的面积是． （3）为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了三角形的面积、三角形中线、三角形的高等知识，（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 36．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 考点四：与三角形有关的设计问题 37．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）发现与探究：三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作． 图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为m，用含有m的式子表示的面积为 ， = (3)图4中点D、E在的边上，交于G，G是重心，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3)12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． 根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 由（1）中的结论即可得出； 运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． 故答案为；相等，；  2∶1． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 考点五：动点问题与三线综合 38．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，到点B停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿运动，到点A停止运动．设点P运动的时间为t秒．    (1)点P在上运动时，           ，          （用含t的式子表示）；点Q在上运动时，          ，         （用含t的式子表示）． (2)当t值为           （秒）时，． (3)当t为何值时，P，Q两点在运动路线上相距的路程为4个单位长度． (4)当t为何值时，． 【答案】(1)；；； (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据路程时间速度，结合图形填空； （2）根据等量关系列出方程并解答； （3）需要分类讨论：分P、Q两点相遇前后两种情况； （4）由三角形的面积公式列出方程并解答． 【详解】（1）解：点P在上运动时，，． 点Q在上运动时，，． 故答案是：；；；． （2）解：若Q在上运动，则， 解得：； 若Q在上运动，则， 解得：， ∴当或时，； 故答案为：或． （3）解：若P、Q两点还未相遇，则， 解得：； 若P、Q两点已经相遇，则， 解得：， ∴当或时，P、Q两点相距的路程为； （4）解：若Q在上运动，则， 解得：； 若Q在上运动，则， 解得： ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算． 39．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图，中，，，，，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．      (1)当 时，把的周长分成相等的两部分？ (2)当 时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当t为何值时，的面积为4？ 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）先求出的周长为，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间路程速度即可求解； （2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）分两种情况：①P在上；②P在上． 【详解】（1）∵， ∴的周长为， ∵把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴， 故当时，把的周长分成相等的两部分， 故答案为：3； （2）当把的面积分成相等的两部分时，点P为的中点， ∴点P运动的路程为， ∴， ∴当时，把的面积分成相等的两部分， 故答案为：； （3）当P在上时， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴； 当P在上时， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴点P运动的路程为， ∴， ∴当t为或时，的面积为4． 【点睛】本题考查的是三角形的周长、面积的计算，明确点P的位置是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据三角形的定义即：由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C，中的三条线段没有首尾顺次连接，故不是三角形， C中的三条线段首尾顺次连接，且不在同一条直线上，故C满足题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的定义与判定，能够深刻理解三角形的定义是解决本题的关键． 2．（23-24八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念，熟记三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解本题的关键． 【详解】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点处， 故选A 3．（23-24八年级上·云南·阶段练习）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性， 故选：A． 4．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 【答案】D 【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确； B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确； C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确； D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级上·湖北咸宁·期中）如图，是的高的线段是（ ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高”，根据三角形的高的画法即可得，正确认识三角形的高是解题的关键． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高， 故选：C． 6．（22-23八年级上·海南三亚·期中）若三角形的两条边长分别为和，且第三边长为偶数，则第三边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可解答． 【详解】 解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边，即第三边， ∵第三边的边长为偶数， ∴第三边长为， 故选：A． 7．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】 此题考查了非负数的性质，绝对值、偶次方和二次根式的性质，得出的值是解题关键； 先根据非负数的性质，求出、、的值，再判断即可； 【详解】解: ∵， ∴， 解得：， ∴是等边三角形， 故选：D． 8．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线．熟练掌握三角形的中线，角平分线的定义，是解题的关键．三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的平分线．先根据是中线，是角平分线得出，；根据这两个条件逐一判断即得． 【详解】∵是的中线， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意； ∵是的角平分线， ∴， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵是的中线，但不是的中线，故C错误，符合题意． 故选：C． 二、填空题 9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】 根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系列出不等式是解决问题的关键 【分析】解：根据三角形的三边关系，得， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以为边的三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，，一共有2个． 故答案为：2． 11．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据题意得出，，代入数据即可求解． 【详解】解：是的边上的中线， ， 又，的周长比的周长多， ， 即， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 先根据中线的定义求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线，， ， 是的高， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·江苏·周测）设、、是的三边，化简： ． 【答案】0 【分析】 本题考查了三角形的三边关系及化简绝对值，根据三角形的三边关系得，，再化简绝对值即可求解，熟练掌握三角形的三边关系及化简绝对值是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，， ，， ， 故答案为：0． 14．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质．熟练掌握中线将大三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键． 由中线的性质可得，，则，进而可求阴影面积． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】(1)以为边的三角形有个，，，， (2)以点为顶点的三角形还有、 【分析】本题考查的是认识三角形， （1）以为边的三角形有个； （2）以为顶点的三角形有个，除外，还有个． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个，，，，． （2）解：除外，以点为顶点的三角形还有、． 16．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)4 【分析】 本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法， （1）延长，过A作与D，即可得到答案． （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案． （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）如下图，即为所求 （3）， ∴． 故答案为：4． 17．（23-24八年级上·河南信阳·期中）小华尝试用长分别为、、和的四根小铁棒中的三根焊接成三角形天线． (1)他能焊接几种不同规格的天线？ (2)如果周长越大，天线接收信号的效果越好，那么小华该取哪些铁棒作为焊接的材料？ 【答案】(1)他能焊接2种不同规格的天线 (2)小华该选取长度分别为、、的铁棒作为焊接材料 【分析】（1）根据四选三分情况讨论，依次应用三角形三边关系进行判断，即可求解， （2）计算（1）中得到的两种组合的周长，选择比较长的一组， 本题考查了三角形三边关系在实际问题中的应用，解题的关键是：熟练掌握三角形三边关系． 【详解】（1）解：从四根小铁棒中选三根，分为四种情况： ①、、，，不能构成三角形， ②、、，，不构成三角形， ③、、，，能构成三角形， ④、、，，能构成三角形， 故答案为：他能焊接2种不同规格的天线， （2）解：选取一种（1）可焊接成三角形天线的两种组合， ③、、，， ④、、，， 、、，组成的三角形天线周长最大， 故答案为：小华该选取长度分别为、、的铁棒作为焊接材料． 18．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：如图， ∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大5， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足． (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值． 【答案】(1) (2)c的值为，， 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第三边长c是整数，求c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵是整数， 的值为，，． 20．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，是的中线，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积公式，利用中位线求面积．根据题意可知的面积，再利用三角形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：是的中线，， ∴的面积的面积， ，， ∴， ∴， 解得：， 的长为． 21．（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$