暑假作业15 概率综合-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业15 概率综合 1．事件的分类 确定事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅；P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 3．古典概型特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． (2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 4．古典概型概率公式 P(A)＝＝. 一、单选题 1．某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 4．某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（    ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 7．已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 8．某大学选拔生补充进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2023年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为．则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是： 则下个星期恰有2天涨潮的概率为 . 10．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 四、解答题 11．成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在内的概率. 12．某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 1．已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 2．给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（    ） A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 4．甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 5．甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 1．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 2．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 3．某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. (1)若，求这两人中奖的概率； (2)若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 1．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 2．（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 5．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 概率综合 1．事件的分类 确定事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅；P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 3．古典概型特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． (2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 4．古典概型概率公式 P(A)＝＝. 一、单选题 1．某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法写出基本事件，利用古典概型的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知，射击5枪，命中3枪，总的方法包含，共10种， 其中3枪中恰有2枪连中的情况有,,,,,，共6种， 所以3枪中恰有2枪连中的概率为. 故选：B 2．从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意知，数字1，2，3，4，5中共有3个质数，分别是2，3，4， 从1，2，3，4，5中随机选取2个数的所有基本事件有： ，共10个， 其中恰好有1个数是质数的基本事件有，，共6个，所以所求概率为. 故选：C． 3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先列举出所有情况，再从中挑出数字之和是5的倍数的情况，结合古典概型求概率，即可求解． 【详解】从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有 共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有共3种情况， 所以所求的概率为. 故选：A. 4．某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率. 【详解】根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为． 故选：C. 5．某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为“恰有2队完成任务”，即可能是“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，根据相互独立事件及互斥事件的概率可得结果. 【详解】设事件A为“恰有2队完成任务”，有三类：“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，且相互互斥， 则， 故选：B． 二、多选题 6．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（    ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】ABD 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D， 共8个基本事件. 对于A选项，因， 则，故A与相互独立，故A正确； 对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确； 对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误； 对于D选项，因，，， 则，故D与相互独立，故D正确. 故选：ABD 7．已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 【答案】BC 【分析】根据对立事件的定义判断选项A；若相互独立，则相互独立，可以判断选项B;互斥，判断选项C和D. 【详解】对于A，由,则,故A错误； 对于B，与相互独立，则与相互独立， 故,故B正确； 对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误. 故选：BC 8．某大学选拔生补充进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2023年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据独立事件同时发生的概率，三个社团他都能进入的概率为，根据对立事件的概率，至少进入一个社团的概率为，组成方程组，即可解得、的值. 【详解】依题意有，解得，. 故选：AC. 三、填空题 9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是： 则下个星期恰有2天涨潮的概率为 . 【答案】/0.2 【分析】由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为， 故答案为：. 10．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 四、解答题 11．成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在内的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得的值； （2）再由和的频率比，确定这5株分别在和的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在的频率为：； 高度在的频率为：； 且，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 因此记高度在植株为，记高度在植株为， 则所有选取的结果为（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共10种情况， 令抽取的2株高度均在内为事件，事件的所有情况为（，）、（，）、（，）共3种情况， 由古典概型的计算公式得：. 12．某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）令甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，由，，根据相互独立事件性质可求解； （2）令甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，即三个家庭中有一个家庭回答错误或者三个家庭都回答正确 则：，代入第一问数据即可. 【详解】（1）设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，所以. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和. （2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件， 则有 ， 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为. 1．已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得的样本点个数，则可得的样本点个数，即可得解. 【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点， 又，故共有个样本点， 则有个样本点，故. 故选：C. 2．给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据互斥事件及对立事件的定义及概率计算公式，逐个判定即可. 【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件， 故①错误； 对于②，若A，B为两个事件， 则,故②错误； 对于③，若事件A，B，C彼此互斥， 则，故③正确； 对于④，若事件A，B满足， 则A，B不一定是对立事件， 例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”， 事件“出现3次正面”， 则,满足， 但A，B不是对立事件，故④错误， 故错误的命题有3个， 故选:D. 3．现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（    ） A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 【答案】D 【分析】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，结合独立事件的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得， 有放回的抽取卡片两次的基本事件数为， 两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个， 两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，， 显然丙与丁为对立事件，C错误； 对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个， 则，所以乙与丁不相互独立，A错误； 对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个， 则，所以甲与丙不相互独立，B错误； 对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个， 则，所以甲与乙相互独立，D正确. 故选：D. 4．甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 【答案】/ 【分析】考虑先赢四场比赛的队伍获胜，甲队已经赢了两场，故只需再先赢两场则获胜，分析得到甲在随后进行的场次可以有两场连胜，也可输一场赢两场（含两种情况），还可以输两场赢两场（含三种情况），分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式即得. 【详解】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛. 则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为； ②再进行三场比赛甲队获胜的概率为； ③再进行四场比赛甲队获胜的概率为， 由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为． 故答案为. 5．甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 . （2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”， ““博学队”猜对三个数学名词”，所以， ，则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为. 1．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【分析】 根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 2．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【答案】D 【分析】 根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 3．某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. (1)若，求这两人中奖的概率； (2)若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列举样本点，再应用古典概型公式计算即可. （2）应用相互独立事件的概率是概率乘积公式计算. 【详解】（1）记1个红球为个白球分别为. 则从箱子中随机摸出两球，样本点有：，共10个样本点 其中含有红球的为：，共4个样本点， 所以在一次摸奖中，中奖概率为. 当时，甲､乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为. （2）当时，他们可以摸奖4次. 记事件第次由甲摸奖为，记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件， 则， 所以 1．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 【答案】/0.3 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 2．（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 3．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 4．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 / 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 5．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$