专题08 菱形的性质与判定（专题测试）-2023-2024学年浙教版数学八年级下册期末专题突破

专题08 菱形的性质与判定 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•周村区期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都相等 2．（2023秋•未央区期末）如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC长为6cm，则它的面积为（　　） A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2 D．48cm2 3．（2022春•通榆县期末）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 4．（2023春•固阳县期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A．2 B．3.5 C．7 D．14 5．（2023秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 6．（2023秋•潍坊期末）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下： 甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 7．（2023秋•梅县区期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③（AC+BD）（AC﹣BD）＝80；④DF＝DE．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023春•思明区校级期末）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD长为（　　） A．20 B．30 C． D． 9．（2023秋•城阳区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 10．（2023秋•莱西市期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 二．填空题 11．（2023春•苍溪县期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，要使▱ABCD成为菱形，还需添加的一个条件是 　 　． 12．（2023春•榆树市期末）如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 　　cm2． 13．（2023秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　　． 14．（2023春•太康县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 　　．（填写正确结论的序号） 15．（2023秋•锦江区校级期末）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得过点D作∠ECM＝30°，DF⊥CM，垂足为F，若，则对角线BD的长为 　　． 16．（2023秋•西安期末）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　．（提示：根据轴对称的性质） 三．解答题 17．（2023秋•府谷县期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，CE＝CF，连接BE，DF交于点G．求证：BE＝DF． 18．（2020春•大兴区期末）如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE，AF．求证：四边形AECF是菱形． 19．（2023春•廊坊期末）如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD． （1）求证：∠DAC＝∠DCA； （2）求证：四边形ABCD是菱形； （3）如图2，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E连接OE，若AB＝，BD＝2，求OE的长． 20．（2023春•惠山区期末）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是 　　（写序号），并证明． 21．（2023春•嘉鱼县期末）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 22．（2023春•沈丘县期末）如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F （1）求证：CF＝AD； （2）连接BD、DF， ①当∠ABC＝90°时，△BDF的形状是 　　； ②若∠ABC＝50°，当∠CFD＝　　°时，四边形ABCD是菱形． 23．（2023秋•莱西市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ （3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积． 24．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 25．（2023秋•巴彦县校级期末）如图1，已知四边形ABCD是菱形，点E，F在对角线BD上，BE＝DF． （1）求证：∠BAE＝∠DAF； （2）如图2，若AF⊥BA，点E为BF的中点，连接AC交BD于点O，连接CF并延长交AD于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段OE的倍的四条线段． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 菱形的性质与判定 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•周村区期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都相等 【思路点拨】由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论． 【解析】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意； B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意； D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2023秋•未央区期末）如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC长为6cm，则它的面积为（　　） A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2 D．48cm2 【思路点拨】根据菱形的性质求得AB＝×20＝5（cm），OA＝OC＝×6＝3（cm），由AC⊥BD，得∠AOB＝90°，则OD＝OB＝＝4cm，所以BD＝2OB＝8cm，则S菱形ABCD＝AC•BD＝24cm2，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为20cm，AC长为6cm， ∴AB＝×20＝5（cm），OA＝OC＝AC＝×6＝3（cm）， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OD＝OB＝＝＝4（cm）， ∴BD＝2OB＝2×4＝8（cm）， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24（cm2）， 故选：A． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长和面积公式、勾股定理等知识，正确地求出BD的长是解题的关键． 3．（2022春•通榆县期末）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【思路点拨】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答． 【解析】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形． 故选：C． 【点睛】本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形． 4．（2023春•固阳县期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A．2 B．3.5 C．7 D．14 【思路点拨】由菱形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD＝7，BO＝DO，AC⊥BD，由三角形中位线定理可求OE的长． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为28， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝7，BO＝DO，AC⊥BD， ∵点E AD中点，BO＝DO， ∴OE＝AB＝3.5 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 5．（2023秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 【思路点拨】连接BD、BF，由菱形的性质得AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝43°，再证AF＝DF，则∠FAD＝∠FDA＝43°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解析】解：如图，连接BD、BF， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝94°， ∴AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝∠BAD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，BF＝DF， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣94°＝86°， ∴∠FAD＝43°， 又∵EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA＝43°， ∴∠CFD＝∠FAD+∠FDA＝43°+43°＝86°， 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（2023秋•潍坊期末）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下： 甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【思路点拨】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形． 【解析】解：甲的作法正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO， 在△AOE和△COF中， ∵， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形； 乙的作法正确； ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠6＝∠7， ∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD， ∴∠2＝∠3，∠5＝∠6， ∴∠1＝∠3，∠5＝∠7， ∴AB＝AF，AB＝BE， ∴AF＝BE ∵AF∥BE，且AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴平行四边形ABEF是菱形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 7．（2023秋•梅县区期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③（AC+BD）（AC﹣BD）＝80；④DF＝DE．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】可设DE＝3k，则AE＝4k，AD＝5K，BE＝k，从而求出边长及高，计算面积；连接BD、AC，根据勾股定理可求对角线的长度； 作DH⊥BC于H点，则DH＝DE，比较DH与DF的大小． 【解析】解：设DE＝3k，则AE＝4k，AD＝5K，BE＝k＝1， ∴AB＝5，DE＝3．故①正确； S梯形DEBC＝×（1+5）×3＝9，故②正确； ∵DE＝3，EB＝1，∴DB＝． 又∵SABCD＝AB×DE＝5×3＝15， SABCD＝×BD×AC， ∴15＝××AC， AC＝3． （AC+BD）（AC﹣BD） ＝AC2﹣BD2＝（3）2﹣2＝90﹣10＝80．故③正确； 作DH⊥BC于H点． ∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD＝∠CBD， ∴DE＝DH． 又DH＜DF， ∴DE＜DF．故④错误． 所以①②③正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质及面积计算，有一定的综合性，属中等难度． 8．（2023春•思明区校级期末）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD长为（　　） A．20 B．30 C． D． 【思路点拨】根据正方形的性质得∠B＝90°，AB＝CB，由勾股定理得AB2+CB2＝2AB2＝AC2＝（20）2，则AB＝20，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝20，再利用含30度角的直角三角形求出OB，于是得到问题的答案． 【解析】解：在正方形ABCD中，∠B＝90°， ∴AB2+CB2＝AC2， ∵AB＝CB，AC＝20， ∴2AB2＝（20）2， ∴AB＝20， 在菱形ABCD中，AB＝CB＝20， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝20， 如图（1），连接BD交AC于点O， ∴AC⊥BD，∠ABO＝30°， ∴OA＝AB＝10， ∴OB＝OA＝10， ∴BD＝2OB＝20， 故选：C． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得AB＝20是解题的关键． 9．（2023秋•城阳区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 【思路点拨】连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可． 【解析】解：连接DE． 在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5． ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD， ∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE． ∴DE＝BE＝5． ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝5， ∴BC＝BE+EC＝8， ∴四边形ABED是菱形， 由勾股定理得出BD＝， ∴BO＝BD＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE是关键． 10．（2023秋•莱西市期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【思路点拨】连接OE，由菱形的性质得AC⊥BD，OD＝OB＝BD，OC＝OA＝AC，利用勾股定理可以求得DC的长为5，又因为EF⊥OC，EG⊥OD，可证四边形OFEG为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得GF＝OE，当OE⊥CD时，OE最短，再利用面积法求出OE的长即可求解FG的最小值． 【解析】解：连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，OC＝AC＝4， 由勾股定理得CD＝＝5， 又∵EF⊥OC，EG⊥OD， ∴四边形OFEG为矩形， ∴GF＝OE， 当OE⊥CD时，OE值最小， 此时，S△OCD＝OC•OD＝CD•OE， ∴OE＝＝2.4， ∴FG的最小值为2.4． 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二．填空题 11．（2023春•苍溪县期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，要使▱ABCD成为菱形，还需添加的一个条件是 　AB＝AD（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB＝AD． 【解析】解：添加AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴▱ABCD成为菱形． 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 12．（2023春•榆树市期末）如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 　4　cm2． 【思路点拨】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，即可求得AC的长，进而得到答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO， ∵BD＝2cm， ∴BO＝1cm， ∵AB＝cm， ∴AO＝＝＝2（cm）， ∴AC＝2AO＝4cm． ∴S菱形ABCD＝（cm2）． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分． 13．（2023秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　70°　． 【思路点拨】根据菱形的性质即可解答． 【解析】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠DAC＝∠1＝20°，∠ADB＝∠2， ∴∠DAB＝40°， ∵DC∥AB， ∴∠ADC＝140°， ∴∠2＝70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 14．（2023春•太康县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 　①②④　．（填写正确结论的序号） 【思路点拨】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出∠BAF＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质可得AF＝2BF，由即可AF＝CF求解． 【解析】解：如图，设AC与MN的交点为O， 根据作图可得MN⊥AC，且平分AC， ∴AO＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠OCF， 又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO， ∴△AOE≌△COF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵MN垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴四边形AECF是菱形，故①正确； ②∵FA＝FC， ∴∠ACB＝∠FAC， ∴∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得，故③不正确， ④∵四边形AECF是菱形， ∴∠FAC＝∠EAC，AF＝CF 又∵∠BAF＝∠FAC， ∴∠BAF＝∠FAC ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠FAC+∠EAC＝90°， ∴∠BAF＝30°， ∴AF＝2BF， ∴CF＝2BF．故④正确； 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 15．（2023秋•锦江区校级期末）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得过点D作∠ECM＝30°，DF⊥CM，垂足为F，若，则对角线BD的长为 　2　． 【思路点拨】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度． 【解析】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°， 又∵∠ECM＝30°， ∴∠DCF＝50°， ∵DF⊥CM， ∴∠CFD＝90°， ∴∠CDF＝40°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠HDC＝40°， 在△CDH和△CDF中， ， ∴△CDH≌△CDF（AAS）， ∴DH＝DF＝， ∴DB＝2DH＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键． 16．（2023秋•西安期末）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　．（提示：根据轴对称的性质） 【思路点拨】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值． 【解析】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC，BD互相垂直平分， ∴点B关于AC的对称点为D， ∴FD＝FB， ∴FE+FB＝FE+FD≥DE． 只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短）， △ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∵E为AB的中点， ∴DE⊥AB， ∴AE＝AD＝1，DE＝＝， ∴EF+BF的最小值为． 【点睛】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF+BF成为最小值． 三．解答题 17．（2023秋•府谷县期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，CE＝CF，连接BE，DF交于点G．求证：BE＝DF． 【思路点拨】根据菱形的性质得出BC＝DC，再根据CE＝CF证明△BCE≌△DCF即可解答． 【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF． 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 18．（2020春•大兴区期末）如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE，AF．求证：四边形AECF是菱形． 【思路点拨】证明△AED≌△CFD（AAS），得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形． 【解析】证明：∵D是AC的中点，DE⊥AC， ∴AE＝CE，AD＝CD， ∵CF∥AB， ∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED， 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴AE＝CF， ∵EF为线段AC的垂直平分线， ∴FC＝FA， ∴EC＝EA＝FC＝FA， ∴四边形AECF为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，中垂线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 19．（2023春•廊坊期末）如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD． （1）求证：∠DAC＝∠DCA； （2）求证：四边形ABCD是菱形； （3）如图2，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E连接OE，若AB＝，BD＝2，求OE的长． 【思路点拨】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA； （2）根据∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论； （3）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠DCA； （2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC， ∴CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴OB＝BD＝1， 在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1， ∴OA＝＝2， ∴OE＝OA＝2． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键． 20．（2023春•惠山区期末）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是 　②、③　（写序号），并证明． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理可证； （2）若选②AE平分∠BAC，在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF；若选③AB＝AC：根据三角形中位线定理即可证明． 【解析】（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理， ∴DE∥AC，DE＝AC＝AF． 即DE∥AF，DE＝AF， ∴四边形ADEF为平行四边形． （2）解：选②AE平分∠BAC证明①四边形ADEF为菱形， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠FAE， 又∵ADEF为平行四边形， ∴EF∥DA， ∴∠DAE＝∠AEF， ∴∠FAE＝∠AEF， ∴AF＝EF， ∴平行四边形ADEF为菱形． 选③AB＝AC证明①四边形ADEF为菱形， ∵EF∥AB，EF＝AB，DE∥AC，DE＝AC， 又∵AB＝AC， ∴EF＝DE， ∴平行四边形ADEF为菱形． 故答案为：②、③． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键． 21．（2023春•嘉鱼县期末）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠2＝∠ACB，证出∠1＝∠ACB，得AB＝CB，即可得出▱ABCD是菱形． （2）由菱形的性质得BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，再证∠CBE＝∠CEB，得CE＝BC＝5，则AC＝AE+CE＝8，然后由勾股定理求出BO＝3，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠ACB， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∴▱ABCD是菱形． （2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CBE， ∵AE＝AF＝3， ∴∠AFE＝∠AEF， 又∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝BC＝5， ∴AC＝AE+CE＝3+5＝8， ∴AO＝AC＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝＝＝3， ∴BD＝2BO＝6， 即BD的长为6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22．（2023春•沈丘县期末）如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F （1）求证：CF＝AD； （2）连接BD、DF， ①当∠ABC＝90°时，△BDF的形状是 　等腰三角形　； ②若∠ABC＝50°，当∠CFD＝　65　°时，四边形ABCD是菱形． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得到∠DAE＝∠CFE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）①根据矩形的判定定理得到▱ABCD是矩形，得到AC＝BD，等量代换即可得到结论； ②根据菱形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠CFE， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF； （2）①△BDF是等腰三角形， ∵∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵AD＝CF， ∴四边形ADFC是平行四边形， ∴DF＝AC， ∴BD＝DF， ∴△BDF是等腰三角形； ②当∠CFD＝65°时，四边形ABCD是菱形， ∵▱ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AD＝CF， ∴CD＝CF， ∵∠ABC＝50°， ∴∠DCF＝50°， ∴∠CFD＝（180°﹣50°）＝65°． 故答案为：等腰三角形，65． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 23．（2023秋•莱西市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ （3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积． 【思路点拨】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值； （2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t； （3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4t，面积＝矩形的面积﹣2个直角三角形的面积． 【解析】解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8﹣t， 解得t＝4． 答：当t＝4时，四边形ABQP是矩形； （2）设t秒后，四边形AQCP是菱形 当AQ＝CQ，即＝8﹣t时，四边形AQCP为菱形． 解得：t＝3． 答：当t＝3时，四边形AQCP是菱形； （3）当t＝3时，CQ＝5，则周长为：4CQ＝20cm， 面积为：4×8﹣2××3×4＝20（cm2）． 【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题． 24．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　30　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【思路点拨】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE； （2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AF∥CE； （2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD， 由（1）得：AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 25．（2023秋•巴彦县校级期末）如图1，已知四边形ABCD是菱形，点E，F在对角线BD上，BE＝DF． （1）求证：∠BAE＝∠DAF； （2）如图2，若AF⊥BA，点E为BF的中点，连接AC交BD于点O，连接CF并延长交AD于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段OE的倍的四条线段． 【思路点拨】（1）根据菱形的性质和等边对等角得到AB＝AD，∠ABD＝∠ADB，又由已知BE＝DF即可证明△ABE≌△ADF（SAS），结论得证； （2）利用菱形的性质和直角三角形的性质得到△AEF是等边三角形得到∠EAF＝∠AFE＝60°，进一步得到，则AE＝2OE，由勾股定理得到，则，再证明△ACD是等边三角形，CG垂直平分AD，则AD＝2AG＝2DG，得到，即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF； （2）解：∵△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵AF⊥BA， ∴△ABF是直角三角形， ∵点E为BF的中点， ∴AE＝EF＝BE， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝∠AFE＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO， ∴， ∴AE＝2OE， ∴， ∴， ∴AF＝BE＝DF， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝2∠ADF＝60°，AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC＝DC，AD＝AC＝2AO， 又∵AF＝DF， ∴CG垂直平分AD， ∴AD＝2AG＝2DG， ∴， 综上可知，图2中等于线段OE的倍的四条线段分别是AO、CO、AG、DG． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质，进行正确推理是解题的关键． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$