专题07 矩形的性质与判定（专题测试）-2023-2024学年浙教版数学八年级下册期末专题突破

专题07 矩形的性质与判定 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•兴宁市期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 2．（2023秋•清远期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 3．（2023秋•大埔县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（　　） A．6cm B． C．12cm D． 4．（2023秋•贵阳期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D． 5．（2023秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 6．（2023春•博罗县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．8 7．（2024春•克拉玛依期末）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　） A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 8．（2023秋•淮阳区期末）在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 9．（2023秋•惠来县期末）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论：①S1+S2＝S3+S4，②S2+S4＝S1+S3，③若S3＝2S1，则S4＝2S2，④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上，其中正确的结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 10．（2023秋•达州期末）如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长，交CD于点F，连结DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②BH＝HF；③AO⊥DE；④BC﹣CF＝2HE；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．（2023秋•章丘区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若AO＝5，则BD＝　　． 12．（2023秋•槐荫区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝　　． 13．（2023秋•辽中区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　． 14．（2023春•贵溪市期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC，能说明平行四边形ABCD是矩形的有 　　（填写序号）． 15．（2022春•成都期末）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　　时，四边形ACBD为矩形． 16．（2023秋•未央区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，点F在边BC上，且BF＝DE，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 　　． 三．解答题 17．（2023秋•兰州期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 18．（2023秋•紫金县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 19．（2023春•南开区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD于点D，∠AOD＝60°．点M，点N分别是OA，OC的中点，连接DM，MB，BN，ND． （1）求证：四边形MBND为矩形； （2）若DM＝1，求平行四边形ABCD的周长． 20．（2023春•新余期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝4，EC＝3，∠BAE＝30°，求OF的长度． 21．（2023春•东城区期末）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BO＝AC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 22．（2023春•铁西区期末）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠OBC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形OBEC的面积． （3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，则a＝　　．（直接写出答案） 23．（2023春•通州区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）连结DE、CF，如果BF＝2AB，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 24．（2023秋•城阳区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个点，AE＝FC． （1）判断四边形EGFH的形状，并说明理由； （2）若四边形EGFH为矩形，求AE的长度． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 矩形的性质与判定 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•兴宁市期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 【思路点拨】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【解析】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等； 故选项B、C、D不符合题意，A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟记矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键． 2．（2023秋•清远期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 【思路点拨】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【解析】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选：C． 【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 3．（2023秋•大埔县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（　　） A．6cm B． C．12cm D． 【思路点拨】由矩形的性质得出OA＝OD＝OC，由已知条件得出OE＝CE，∠DEA＝90°，由线段垂直平分线的性质得出OD＝CD，得出△OCD为等边三角形，即可求出BD的长． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝6cm， ∴OA＝OD＝OC， ∵DE⊥AC，AE＝3CE， ∴OE＝CE，∠DEA＝90°， ∴OD＝CD， ∴OC＝OD＝CD＝6cm， ∴BD＝2OD＝12cm， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键． 4．（2023秋•贵阳期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D． 【思路点拨】由矩形的性质可求∠BAD＝90°，OB＝OD，由面积的数量关系可求解． 【解析】解：连接BE， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD，S△BOE＝OB•OE＝OD•OE＝S△DOE＝， ∴S△BDE＝S△BOE+S△DOE＝15， ∵AB⊥DE，AB＝5， ∴×5DE＝S△BDE＝15， ∴DE＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 5．（2023秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【思路点拨】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 6．（2023春•博罗县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．8 【思路点拨】先证明OD＝OA，AC＝BD，于是可证明▱ABCD是矩形，△AOD为等边三角形，最后在△DAB中，依据特殊锐角三角函数值可求得AB的长． 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OD，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形， 又∵∠AOD＝60°， ∴△AOD为等边三角形． ∴∠ADB＝60°． ∴＝． ∴AB＝AD＝4． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质，求得∠ADB＝60°是解题的关键． 7．（2024春•克拉玛依期末）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　） A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 【思路点拨】由平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，再证OM＝ON，则四边形AMCN是平行四边形，然后证MN＝AC，即可得出结论． 【解析】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN， 即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵OM＝AC， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 8．（2023秋•淮阳区期末）在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 【思路点拨】作EF⊥AC于点F，由∠B＝90°，AB＝5，CB＝12，根据勾股定理求得AC＝13，由角平分线的性质得FE＝BE，再证明Rt△AFE≌Rt△ABE，得AF＝AB＝5，则CF＝8，再由勾股定理得BE2+82＝（12﹣BE）2，即可求得BE＝． 【解析】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12， ∴∠B＝90°， ∴EB⊥AB，AC＝＝＝13， ∵AE平分∠BAC， ∴FE＝BE， 在Rt△AFE和Rt△ABE中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）， ∴AF＝AB＝5， ∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE， ∴BE2+82＝（12﹣BE）2， ∴BE＝， 故选：A． 【点评】此题重点考查矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（2023秋•惠来县期末）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论：①S1+S2＝S3+S4，②S2+S4＝S1+S3，③若S3＝2S1，则S4＝2S2，④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上，其中正确的结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【思路点拨】根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3＝矩形ABCD面积，以及，，即可得出P点一定在AC上． 【解析】解：如图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E， ∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S1+S3＝矩形ABCD面积； 同理可得出S2+S4＝矩形ABCD面积； ∴S2+S4＝S1+S3（故②正确）； 当点P在矩形的两条对角线的交点时，S1+S2＝S3+S4．但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．（故①不一定正确）； 若S3＝2S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；（故③错误）； 若S1＝S2，×PF×AD＝PE×AB， ∴△APD与△PBA高度之比为：， ∵∠DAE＝∠PEA＝∠PFA＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似， ∴， ∴P点在矩形的对角线上．（故④选项正确） 故选：D． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出是解题关键． 10．（2023秋•达州期末）如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长，交CD于点F，连结DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②BH＝HF；③AO⊥DE；④BC﹣CF＝2HE；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】由矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD，因为∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，所以∠BEA＝∠BAE＝45°，则EB＝AB，则AE＝AB，则AD＝AE，可求得∠AED＝∠ADE＝67.5°，而∠ADE＝∠CED，所以∠AED＝∠CED，可判断①正确；由DH⊥AE，得∠AHD＝∠DHE＝90°，则∠DAH＝∠ADH＝45°，所以AH＝DH，可求得AD＝AH，则AB＝AH，所以∠OHE＝∠AHB＝∠ABH＝67.5°，则∠OHE＝∠OEH，所以OE＝OH，再证明OD＝OH，则OE＝OD，再证△EBH≌△DHF（ASA）可判断②正确；再证明△EBH≌△DHF，得BH＝HF，HE＝DF，可判断③正确；由AE＝BC，AH＝AB＝EB，推导出HE＝CE＝DF，而EB＝AB＝CD，则BC﹣CF＝BE+CE﹣（CD﹣DF）＝CD+HE﹣（CD﹣HE）＝2HE，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°， ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， ∴EB＝AB， ∴AE＝＝＝AB， ∵AD＝AB， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE＝×（180°﹣45°）＝67.5°， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠AED＝∠CED， 故①正确； ∵DH⊥AE，垂足为H， ∴∠AHD＝∠DHE＝90°， ∴∠DAH＝∠ADH＝45°， ∴AH＝DH， ∴AD＝＝＝AH， ∴AB＝AH， ∴∠OHE＝∠AHB＝∠ABH＝×（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠OHE＝∠OEH， ∴OE＝OH， ∵∠OHD+∠OHE＝90°，∠ODH+∠OEH＝90°， ∴∠OHD＝∠ODH， ∴OD＝OH， ∴OE＝OD， ∵EB＝AB，DH＝AH＝AB， ∴EB＝DH， ∵∠HDF＝90°﹣∠ADH＝45°， ∴∠BEH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DHF＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠BEH＝∠DHF， 在△EBH和△DHF中， ， ∴△EBH≌△DHF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF， 故②正确； ∵AD＝AE，OE＝OD，OA＝OA， ∴△AOE≌△AOD（SSS）， ∴∠AOE＝∠AOD＝90°， ∴OA⊥DE， 故③正确； ∵AE＝BC，AH＝AB＝EB， ∴AE﹣AH＝BC﹣EB， ∴HE＝CE＝DF， ∵EB＝AB＝CD， ∴BC﹣CF＝BE+CE﹣（CD﹣DF）＝CD+HE﹣（CD﹣HE）＝2HE， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AD＝AE及△EBH≌△DHF是解题的关键． 二．填空题 11．（2023秋•章丘区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若AO＝5，则BD＝　10　． 【思路点拨】根据矩形的对角线相等即可得出结果． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC，AO＝OC， ∵AO＝5， ∴AC＝10， ∴BD＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了矩形的性质；熟记矩形的对角线相等是解决问题的关键． 12．（2023秋•槐荫区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝　3　． 【思路点拨】由直角三角形的性质可求BF＝5，由勾股定理可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAC＝90°， ∵CE＝10，F为CE的中点， ∴BF＝CE＝5， ∴BF＝BG＝5， ∴AG＝＝＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 13．（2023秋•辽中区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　． 【思路点拨】先根据勾股定理求出AE＝，再结合矩形的性质证明△ABE≌△FCB得出AE＝BF即可解答． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBC， ∵BE＝BC．AB＝2， ∴AE＝． ∵CF⊥BE， ∴∠BFC＝90°， 在△ABE和△FCB中， ， ∴△ABE≌△FCB（AAS）， ∴BF＝AE＝． 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 14．（2023春•贵溪市期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC，能说明平行四边形ABCD是矩形的有 　①④　（填写序号）． 【思路点拨】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可． 【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠2，故③不能说明平行四边形ABCD是矩形； ④∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； 故答案为：①④． 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键． 15．（2022春•成都期末）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　O是AB的中点　时，四边形ACBD为矩形． 【思路点拨】证∠OCB＝∠OBC，则OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB＝CD，即可得出结论． 【解析】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下： ∵CD∥MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OB＝OC＝OD， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 故答案为：O是AB的中点． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 16．（2023秋•未央区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，点F在边BC上，且BF＝DE，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 　8　． 【思路点拨】先连接BE，将CE+DF转化为AF+DF，再利用将军饮马解决问题即可． 【解析】解：连接AF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABF＝∠CDE＝90°， ∵BF＝DE， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴AF＝CE， ∴CE+DF＝AF+DF， 作点A关于B点的对称点A'，连接A'D， A'D即为CE+DF的最小值， ∵AB＝4，AD＝8， ∴AA'＝8， ∴A′D＝＝＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将CE+DF转化为AF+DF是解题的关键． 三．解答题 17．（2023秋•兰州期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 【思路点拨】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证ED＝BF，则四边形BFDE是平行四边形，然后证∠DFB＝90°，即可得出结论． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF， ∴ED＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 18．（2023秋•紫金县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得CB∥AD，CB＝AD，而BE＝DF，可推导出CE＝AF，则四边形AECF是平行四边形，即可由AC＝EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”证明四边形AECF是矩形； （2）由矩形的性质得∠AEC＝90°，而AC＝4，EC＝4，则AE＝＝8，再由AB＝AD，BC＝AD，证明AB＝BC，由∠AEB＝90°，得AB2＝BE2+AE2，则BC2＝（BC﹣4）2+82，求得BC＝10，即可求得S四边形ABCD＝BC•AE＝10×8＝80． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，CB＝AD， ∵BE＝DF， ∴CB﹣BE＝AD﹣DF， ∴CE＝AF， ∵CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． （2）解：∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝90°， ∵AC＝4，EC＝4， ∴AE＝＝＝8， ∵AB＝AD，BC＝AD， ∴AB＝BC， ∵∠AEB＝90°， ∴AB2＝BE2+AE2， ∴BC2＝（BC﹣4）2+82， 解得BC＝10， ∴S四边形ABCD＝BC•AE＝10×8＝80， ∴四边形ABCD的面积为80． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出CE＝AF是解题的关键． 19．（2023春•南开区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD于点D，∠AOD＝60°．点M，点N分别是OA，OC的中点，连接DM，MB，BN，ND． （1）求证：四边形MBND为矩形； （2）若DM＝1，求平行四边形ABCD的周长． 【思路点拨】（1）根据平行四边的性质得到DO＝BO，AO＝CO，得到OM＝ON，根据直角三角形的性质得到OD＝OM，求得BD＝MN，根据矩形的判定定理得到四边形MBND为矩形； （2）根据直角三角形的性质得到AO＝2DM＝2，根据勾股定理和平行四边形的周长公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO＝BO，AO＝CO， ∵点M，点N分别是OA，OC的中点， ∴， ∴OM＝ON， ∴四边形DMBN是平行四边形， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠ADB＝90°， ∵∠AOD＝60°， ∴∠DAO＝30°， ∴， ∴OD＝OM， ∴BD＝MN， ∴四边形MBND为矩形； （2）解：∵AM＝OM，∠ADO＝90°， ∴AO＝2DM＝2， ∴， ∴＝， ∵BD＝2OD＝2， ∴＝， ∴平行四边形ABCD的周长＝2×（）＝2． 【点评】本题考查了平行四边形 的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的想在，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 20．（2023春•新余期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝4，EC＝3，∠BAE＝30°，求OF的长度． 【思路点拨】（1）由在平行四边形性质得到AB∥DC且AB＝DC，由平行线的性质得到∠ABE＝∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，可得AE∥DF，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到EF＝AD＝6，进而求得BE＝CF＝2，BF＝8，由∠ABE＝60°可求得AB＝2BE＝4，由勾股定理可求得DF＝AE＝2，BD＝2，由平行四边形性质得OB＝OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝4， ∵EC＝3， ∴BE＝CF＝1， ∴BF＝5， Rt△ABE中，∠BAE＝30°， ∴AB＝2BE＝2， ∴DF＝AE＝＝， ∴BD＝＝＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OF＝BD＝． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 21．（2023春•东城区期末）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BO＝AC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 【思路点拨】方法一：延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD，根据三角形中线的定义可得AO＝CO，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得AC＝BD，从而可得BO＝AC，即可解答； 方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO∥AB，从而可得∠ODC＝∠ABC＝90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB＝OC，从而可得BO＝AC，即可解答． 【解析】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD， ∵BO是斜边AC的中线， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵BO＝DO＝BD， ∴BO＝AC； 方法二：如图，取BC的中点D，连接OD， ∵点O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， ∴OD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AO＝CO＝AC， ∴BO＝AC． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 22．（2023春•铁西区期末）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠OBC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形OBEC的面积． （3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，则a＝　　．（直接写出答案） 【思路点拨】（1）由∠BOC+2∠DBC＝180°，∠BOC+∠DBC+∠ACB＝180°，可得∠OBC＝∠OCB，则OB＝OC，四边形ABCD是平行四边形，由OA＝OC，OB＝OD，可得AC＝BD，进而可证四边形ABCD是矩形； （2）由题意知△OAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝30°，则AC＝2AB＝4，，由BE∥AC，可得S四边形OBEC＝S△ABC＝AB•BC，计算求解即可； （3）如图，FM⊥AC于M，FN⊥BD于N，作DH与BD关于AD对称，过F作FN′⊥DH于N′，过O作OG⊥DH于G，由∠FAM+∠AFM＝90°，∠FDN+∠DFN＝90°，∠FAM＝∠FDN，可得∠AFM＝∠DFN，由∠AFM+∠MFN+∠DFN＝180°，可得∠DFN+∠MFN+∠DFN′＝180°，即M、F、N′三点共线，MF+NF＝MF+N′F＝MN′＝a，四边形MOGN′是矩形，∠ODG＝2∠ADB＝60°，OD＝OA＝2，∠DOG＝30°，，由勾股定理得，，进而可求a的值． 【解析】（1）证明：∵∠BOC+2∠DBC＝180°，∠BOC+∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，∠AOB＝60°，AB＝2， ∴△OAB是边长为2的等边三角形， ∴∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝4，， ∵BE∥AC， ∴S四边形OBEC＝S△ABC＝AB•BC＝×2×＝2； ∴四边形OBEC的面积为； （3）解：如图，FM⊥AC于M，FN⊥BD于N，作DH与BD关于AD对称，过F作FN′⊥DH于N′，过O作OG⊥DH于G， ∴∠HDA＝∠BDA，∠DFN′＝∠DFN，FN′＝FN， ∵∠FAM+∠AFM＝90°，∠FDN+∠DFN＝90°，∠FAM＝∠FDN， ∴∠AFM＝∠DFN， ∵∠AFM+∠MFN+∠DFN＝180°， ∴∠DFN+∠MFN+∠DFN′＝180°， ∴M、F、N′三点共线， ∴MF+NF＝MF+N′F＝MN′＝a，四边形MOGN′是矩形， ∵∠AOB＝60°，AB＝2， ∴∠ODG＝2∠ADB＝60°，OD＝OA＝2， ∴∠DOG＝30°， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，平行线间距离相等，勾股定理，轴对称的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23．（2023春•通州区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）连结DE、CF，如果BF＝2AB，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 【思路点拨】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF即可； （2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵BE＝EF， ∴OE是△BDF的中位线， ∴OE∥DF， 即DF∥AC； （2）证明：如图所示：连接DE， 由（1）得：DF∥AC， ∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE， ∵G是CD的中点， ∴DG＝CG， 在△DFG和△CEG中， ， ∴△DFG≌△CEG（AAS）， ∴FG＝EG， ∴四边形CFDE是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵2AB＝BF， ∴2CD＝BF， 又∵EF＝BE， ∴CD＝EF， ∴平行四边形CFDE是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2023秋•城阳区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个点，AE＝FC． （1）判断四边形EGFH的形状，并说明理由； （2）若四边形EGFH为矩形，求AE的长度． 【思路点拨】（1）证△AEG≌△CFH（SAS），得GE＝HF，同理GF＝HE，再由平行四边形的判定即可得出结论； （3）连接GH交AC于点O，由勾股定理得AC＝5，再证四边形BCHG是平行四边形，得GH＝BC＝4，进而由矩形的性质得EF＝GH＝4，OE＝OF＝2，然后分两种情况，①点E在OA上，点F在OC上时，②点E在OC上，点F在OA上时，分别求出AE的长度即可． 【解析】解：（1）四边形EGFH是平行四边形．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵G、H分别是AB、DC的中点， ∴AG＝BG＝AB，CH＝DH＝CD， ∴AG＝CH， 在△AEG与△CFH中， ， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴GE＝HF， 同理：GF＝HE， ∴四边形EGFH是平行四边形； （3）连接GH交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝90°，OA＝OC， ∴AC＝＝＝5， ∴OA＝OC＝AC＝， ∵G，H分别是AB，DC的中点， ∴BG＝CH， ∴四边形BCHG是平行四边形， ∴GH＝BC＝4， ∵四边形EGFH是矩形， ∴EF＝GH＝4，OE＝OF＝EF＝2， 分两种情况： ①点E在OA上，点F在OC上时，如图1， AE＝OA﹣OE＝﹣2＝； ②点E在OC上，点F在OA上时，如图2， AE＝OA+OE＝+2＝； 综上所述，若四边形EGFH为矩形，AE的长度为或． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$