专题06 平行四边形的判定及综合（专题测试）-2023-2024学年浙教版数学八年级下册期末专题突破

专题06 平行四边形的判定及综合 专题测试 一、选择题 1．（2023春•淮阳区期末）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D 2．（2023秋•莱州市期末）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2022秋•卫辉市期末）用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（　　） A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0 C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0 4．（2023秋•泰山区期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AB∥CD C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD 5．（2023秋•招远市期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 6．（2023秋•招远市期末）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 7．（2023春•太康县期末）现有一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M．N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 8．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：A（﹣1，2）、B（3，1）、C（1，﹣2）．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　） A．（1，5） B．（﹣3，﹣1） C．（5，﹣3） D．（6，﹣4） 9．（2023春•鄞州区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　） A．3 B． C． D． 10．（2023春•通川区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题 11．（2023秋•洛阳期末）用反证法证明命题“已知△ABC中，CA＝CB；求证：∠A＜90°．”第一步应先假设 　　． 12．（2022秋•西丰县期末）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，若∠B＝65°，则∠D的大小是 　　． 13．（2023秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 14．（2023春•舞钢市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 　　． 15．（2023秋•洛阳期末）在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　　． 16．（2023春•漳州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，DE⊥BC，交AB于点O，BE∥AD，连接AE．以下结论：①四边形ACDE是平行四边形；②OE＝OD；③S四边形ACBE＝3S△ACD．其中正确的结论是 　　．（写出所有正确结论的序号） 三．解答题 17．（2023春•仓山区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在DA、BC延长线上，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形． 18．（2023春•洪山区期末）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 19．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E、F分别是AC、BC的中点，D是EF的中点． （1）求证：4CD＝AB； （2）求证：CD⊥BD． 20．（2023春•和平区期末）在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 　　． 21．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长． 22．（2023春•高唐县期末）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取AO，CO的中点E，F 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 　　，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； （2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积． 23．（2023秋•船营区校级期末）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF． （1）若∠BAE＝65°，∠DCE＝25°，求∠DEC的度数； （2）求证：四边形AFHD为平行四边形； （3）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，直接写出OH的长度． 24．（2023春•青羊区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）点E为BC边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，连接AF． ①求证：AF＝AB+CF； ②若AF⊥CD，CF＝3，DF＝4，求AE与CE的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平行四边形的判定及综合 专题测试 一、选择题 1．（2023春•淮阳区期末）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D 【思路点拨】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【解析】解：A．∵∠D＝∠5， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故A选项不符合题意； B．∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故B选项不符合题意； C．∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形， 故C选项符合题意； D．∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠D+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 2．（2023秋•莱州市期末）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据三角形中位线定理求出AD，再根据三角形的中线的概念解答即可． 【解析】解：∵E，F分别是AC，DC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴AD＝2EF＝2×3＝6， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 3．（2022秋•卫辉市期末）用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（　　） A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0 C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0 【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【解析】解：“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0”第一步应假设：a，b都小于0． 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．（2023秋•泰山区期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AB∥CD C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD 【思路点拨】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解析】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、AB＝CD，OA＝OC， ∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形； D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 5．（2023秋•招远市期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【思路点拨】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【解析】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型． 6．（2023秋•招远市期末）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 【思路点拨】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【解析】解：连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可； A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意； B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意； C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意； D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 7．（2023春•太康县期末）现有一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M．N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【思路点拨】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可． 【解析】解：甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴BM＝DN， ∴CM＝AN，CM∥AN， ∴ANCM是平行四边形； 乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD， ∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN， ∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN， ∴AB＝BM，CD＝DN， ∴BM＝DN， ∴AN＝CM，AN∥CM， ∴ANCM是平行四边形； 故选：C． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键． 8．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：A（﹣1，2）、B（3，1）、C（1，﹣2）．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　） A．（1，5） B．（﹣3，﹣1） C．（5，﹣3） D．（6，﹣4） 【思路点拨】在平面直角坐标系中，找出使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标，即可求解． 【解析】解：如图，当点D坐标为（﹣3，﹣1）或（5，﹣3）或（1，5）时，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合解决问题是解题的关键． 9．（2023春•鄞州区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　） A．3 B． C． D． 【思路点拨】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【解析】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG， ∵E、F分别是边AD、CB的中点， ∴EG∥BD且EG＝BD＝×6＝3， FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3， ∵AC⊥BD， ∴EG⊥FG， ∴EF＝＝＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用是解题的关键． 10．（2023春•通川区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可． 【解析】解：∵DE＝BF， ∴DF＝BE， 在Rt△DCF和Rt△BAE中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）， ∴FC＝EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴AE∥FC， ∵FC＝EA， ∴四边形CFAE是平行四边形， ∴EO＝FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE， ∴∠CDF＝∠ABE， ∴CD∥AB， ∵CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确； 由以上可得出：△CDF≌△ABE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△BAF，△BCD≌△△DAB， △CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等．故④错误． 故正确的有3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题关键． 二．填空题 11．（2023秋•洛阳期末）用反证法证明命题“已知△ABC中，CA＝CB；求证：∠A＜90°．”第一步应先假设 　∠A≥90°　． 【思路点拨】根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【解析】解：第一步应先假设∠A≥90°； 故答案为：∠A≥90°． 【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 12．（2022秋•西丰县期末）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，若∠B＝65°，则∠D的大小是 　65°　． 【思路点拨】根据两边分别相等证明平行四边形，可得结论． 【解析】解：由题意可知：AB＝CD．BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴∠D＝∠B＝65°． 故答案为：65°． 【点睛】考查平行四边形的判定和性质的应用，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（2023秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　8　． 【思路点拨】由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． 【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD． 14．（2023春•舞钢市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 　　． 【思路点拨】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可． 【解析】解：如图，连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DE＝CM． 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小． 由勾股定理得：AB＝＝＝13． ∵S△ABC＝•AB•CM＝•AC•BC， ∴CM＝． ∴DE＝CM＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半． 15．（2023秋•洛阳期末）在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　8或12　． 【思路点拨】延长AD交BC延长线于F，由角平分线定义得到∠ABD＝∠FBD，由垂直的定义得到∠ADB＝∠FDB＝90°，由三角形内角和定理得到∠BAD＝∠BFD，推出BF＝BA＝10，由等腰三角形的性质推出D是AF中点，而E是AC的中点，因此DE是△ACF的中位线，得到CF＝2DE＝2，即可求出BC＝BF﹣CF＝10﹣2＝8或BC＝BF+CF＝12． 【解析】解：如图，延长AD交BC延长线于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠ADB＝∠FDB＝90°， ∴∠BAD＝∠BFD， ∴BF＝BA＝10， ∵BD⊥AF， ∴D是AF中点， ∵E是AC的中点， ∴DE是△ACF的中位线， ∴CF＝2DE＝2×1＝2， ∴BC＝BF﹣CF＝10﹣2＝8． 如图， 同样求得CF＝2，DF＝AB＝10， ∴BC＝BF+FC＝12． 故答案为：8或12． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，关键是判定△BAF是等腰三角形，推出DE是△ACF的中位线． 16．（2023春•漳州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，DE⊥BC，交AB于点O，BE∥AD，连接AE．以下结论：①四边形ACDE是平行四边形；②OE＝OD；③S四边形ACBE＝3S△ACD．其中正确的结论是 　①②③　．（写出所有正确结论的序号） 【思路点拨】证明△BDE≌△DCA（ASA），得DE＝AC，再根据平行四边形的判定和性质进行证明即可． 【解析】解：∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥BC，∠C＝90°， ∴∠BDE＝∠C＝90°， ∵BE∥AD， ∴∠EBD＝∠ADC， ∴△BDE≌△DCA（ASA）， ∴DE＝AC， ∵∠BDE＝∠C＝90°， ∴DE∥AC， ∴四边形ACDE是平行四边形，故①正确； ∵△BDE≌△DCA， ∴BE＝AD， ∵BE∥AD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∴OE＝OD，故②正确； ∵四边形ACBE的面积＝四边形BDAE的面积+△ACD的面积 ＝BD•DE+DC•AC ＝BD•DE+BD•DE ＝BD•DE ＝3×DC•AC ＝3S△ACD， ∴S四边形ACBE＝3S△ACD，故③正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中点的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 三．解答题 17．（2023春•仓山区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在DA、BC延长线上，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形． 【思路点拨】只要证明ED＝BF，ED∥BF即可． 【解析】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AE＝CF，AD＝BC， ∴AD+AE＝BC+CF， ∴ED＝BF， ∵ED＝BF，ED∥BF， ∴四边形EBFD为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断方法． 18．（2023春•洪山区期末）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 【思路点拨】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 【解析】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键． 19．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E、F分别是AC、BC的中点，D是EF的中点． （1）求证：4CD＝AB； （2）求证：CD⊥BD． 【思路点拨】（1）根据含30°角的直角三角形的性质证明即可； （2）根据直角三角形的性质证明即可． 【解析】证明：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴2BC＝AB， ∵E、F分别是AC、BC的中点， ∴2EF＝AB， ∴EF＝BC， ∵∠ACB＝90°，D是EF的中点， ∴2CD＝EF， ∴4CD＝AB； （2）∵∠ACB＝90°，E、F分别是AC、BC的中点， ∴EF∥AB， ∵∠A＝30°， ∴∠CFE＝∠ABC＝60°， ∵∠ACB＝90°，D是EF的中点， ∴CD＝DF， ∴△CDF是等边三角形， ∴DF＝CF， ∵F是BC的中点， ∴DF＝CF＝BF， ∴△CDB是直角三角形， ∴CD⊥DB． 【点睛】此题考查三角形的中位线定理，关键是根据三角形中位线定理和直角三角形的性质解答． 20．（2023春•和平区期末）在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 　　． 【思路点拨】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分； （2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长． 【解析】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB且EF＝AB， 又AB＝2AD，即AD＝AB， ∴AD∥EF，AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； （2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝6， 由勾股定理得AC＝， 又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF， ∴， 在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝2，OA＝， ∴由勾股定理得， ∴DE＝2DO＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 21．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长． 【思路点拨】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝7，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH， 在△AGE和△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）解：连接BD交AC于点O，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BD＝14， ∴OB＝OD＝7， ∵AE＝CF，OA＝OC， ∴OE＝OF， ∵AE+CF＝EF，AE＝CF， ∴2AE＝EF＝2OE， ∴AE＝OE， 又∵点G是AB的中点， ∴EG是△ABO的中位线， ∴EG＝OB＝． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． 22．（2023春•高唐县期末）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取AO，CO的中点E，F 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 　甲和乙　，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； （2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积． 【思路点拨】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，由AO＝CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE＝CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形； 乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）由AO＝CO，AE＝CF，推导出OE＝OF，则EF＝2AE＝2OE，所以OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝24，所以S▱ABCD＝48． 【解析】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO， ∵E、F分别是AO、CO的中点， ∴AE＝AO，CF＝CO， ∴AE＝CF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD， ∴∠BEF＝∠DFE， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故答案为：甲和乙． （2）解：由（1）得△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∴AO﹣AE＝CO﹣CF， ∴OE＝OF， ∴EF＝2OE， ∵EF＝2AE， ∴2OE＝2AE， ∴OE＝AE＝CF＝OF， ∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×6＝24， ∴S▱ABCD＝2×24＝48， ∴▱ABCD的面积是48． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 23．（2023秋•船营区校级期末）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF． （1）若∠BAE＝65°，∠DCE＝25°，求∠DEC的度数； （2）求证：四边形AFHD为平行四边形； （3）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，直接写出OH的长度． 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可； （2）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （3）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE＝∠BCD＝65°，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝65°﹣25°＝40°， ∴∠DEC＝∠BCE＝40°； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD， ∵BF＝BE，CG＝CE， ∴BC是△EFG的中位线， ∴BC∥FG，BC＝FG， ∵H为FG的中点， ∴FH＝FG， ∴BC∥FH，BC＝FH， ∴AD∥FH，AD＝FH， ∴四边形AFHD是平行四边形； （3）解：如图，连接BH、EH、CH， ∵CE＝CG，FH＝HG， ∴CH＝EF，CH∥EF， ∵EB＝BF＝EF， ∴BE＝CH， ∴四边形EBHC是平行四边形， ∴OB＝OC，OE＝OH， ∵OB＝OE， ∴OE＝OH＝OB＝OC＝BC， 又∵BC＝FG＝BC＝×8＝4， ∴OH＝2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 24．（2023春•青羊区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）点E为BC边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，连接AF． ①求证：AF＝AB+CF； ②若AF⊥CD，CF＝3，DF＝4，求AE与CE的值． 【思路点拨】（1）由AB∥CD，得∠ABC+∠BCD＝180°，而∠ABC＝∠ADC，所以∠ADC+∠BCD＝180°，则AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形； （2）①延长AE、DC交于点G，由AB∥CD，得∠BAE＝∠G，而BE＝CE，∠AEB＝∠GEC，所以△ABE≌△GCE，则AE＝GE，AB＝GC，所以AB+CF＝GC+CF＝GF，由EF垂直平分AG得AF＝GF，所以AF＝AB+CF； ②由CF＝3，DF＝4，得AB＝CD＝CF+DF＝7，所以AF＝AB+CF＝10，因为BC＝AD＝＝2，所以CE＝BC＝，再证明∠FAE＝∠AFE＝45°，则AE＝FE，因为AF＝＝AE，所以AE＝AF＝5． 【解析】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）①证明：延长AE、DC交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠G， ∵点E为BC边的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△GCE中， ， ∴△ABE≌△GCE（AAS）， ∴AE＝GE，AB＝GC， ∴AB+CF＝GC+CF＝GF， ∵EF⊥AE，AE＝GE， ∴AF＝GF， ∴AF＝AB+CF． ②解：∵CF＝3，DF＝4， ∴AB＝CD＝CF+DF＝3+4＝7， ∴AF＝AB+CF＝7+3＝10， ∵AF⊥CD， ∴∠AFD＝90°， ∴BC＝AD＝＝＝2， ∴CE＝BC＝×2＝， ∵AF＝GF，EF⊥AG，∠AFG＝90°， ∴∠AFE＝∠GFE＝∠AFG＝45°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FAE＝∠AFE＝45°， ∴AE＝FE， ∵AF＝＝＝AE， ∴AE＝AF＝10×＝5， ∴AE的长是5，CE的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$