专题08 一次函数与反比例函数（11大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题08 一次函数与反比例函数 题型1 函数的图像 1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·浙江湖州·二模）如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（   ）    A．   B．   C．   D．   题型2 一次函数的表达式与性质 3．（2024·浙江温州·二模）若一次函数（）的图象经过点，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 4．（2024·浙江绍兴·二模）点、是一次函数的图像上的两个点，若点在如图位置，则下列可能表示的点是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是 ． 6．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 题型3 一次函数的应用 7．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 8．（2024·浙江宁波·二模）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型4 一次函数的交点问题 9．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 题型5 反比例函数的表达式 11．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 12．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线，的交点，且点的坐标为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 13．（2022·浙江衢州·二模）将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知AB＝2，反比例函数的图象恰好经过顶点C，D，轴，则k的值为 ． 14．（2024·浙江台州·二模）如图，过原点的线段的两端点和分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，若面积为，则 ．    15．（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 16．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，把向上平移m个单位长度，对应得到，若反比例函数的图象经过的重心和点，则k的值为 17．（2024·浙江绍兴·二模）如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则点的坐标是 ．    题型6 反比例函数的性质 18．（2024·浙江金华·二模）已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·浙江·二模）若点、、、分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·浙江温州·二模）已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 题型7 一次函数与反比例函数交点问题 21．（2024·浙江金华·二模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．（2024·浙江杭州·二模）某数学小组在研究了函数y1=x与y2＝性质的基础上，进一步探究函数y=y1＋y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：①函数y=y1＋y2的图象与直线y=3没有交点；②函数y=y1＋y2的图象与直线y=a只有一个交点，则a=±4；③点（a，b）在函数y=y1＋y2的图象上，则点（－a，－b）也在函数y=y1＋y2的图象上．以上结论正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 题型8 反比例函数与几何综合 23．（2024·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．    25．（2024·浙江台州·二模）如图，，两点分别位于反比例函数与)的图像上，且轴，交 轴于点，轴于点，连接交轴于点，则图中阴影部分的面积为 ． 26．（2024·浙江台州·二模）如图，点是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． 27．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过矩形的顶点，点为轴负半轴上一点，连结交轴于点，交矩形的对角线于点，函数的图象经过点，若的面积为2，的面积为4，则 ； ．    28．（2024·浙江绍兴·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，其交点的横坐标分别为3和6，则实数的值是 ． 29．（2024·浙江·二模）如图，已知反比例函数第一象限的图象经过的顶点A，且交于点C，点B在x轴的正半轴上，将沿翻折，点C的对应点D恰好落在第二象限的图象上，平行x轴，若点E在上，且是的重心，连结，已知的面积为4，则的值为 ．    30．（2024·浙江杭州·二模）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是2，则k的值为 ． 题型9 函数的应用综合解答题 31．（2024·浙江杭州·二模）小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，某种弹簧长度与所挂物体质量之间的关系如图所示： (1)请求出y与x之间的关系式． (2)小亮妈妈在水果摊贩上买了8kg水果，小亮将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到弹簧下端，测得弹簧长度为16.1cm，请你通过计算帮助小亮确定水果是否足称． 32．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. (1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 33．（2024·浙江杭州·二模）小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 34．（2024·浙江绍兴·二模）某水果店购进甲，乙两种苹果，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：千克）之间的关系如图所示． (1)求乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：千克）之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)若不计损耗等因素，甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元，求乙苹果的销售量． 35．（2024·浙江温州·二模）小乐和小嘉同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线和线段OD分别表示小乐和小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系的图象，且两人骑车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题： (1)求出小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数表达式，并直接写出图中a的值． (2)出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距多少米？ 题型10 一次函数与反比例函数交点综合解答题 36．（2024·浙江杭州·二模）设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． (1)求点，的坐标． (2)求函数，的表达式． (3)当时，直接写出的取值范围． 37．（2024·浙江台州·二模）一次函数（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求一次函数的解析式； (2)点在一次函数的图象上，将点向右平移6个单位长度得到点，若点恰好落在反比例函数的图象上，求点的坐标． 38．（2024·浙江台州·二模）如图，直线经过点，．    (1)求直线的表达式； (2)若直线的解析式为：，直接写出不等式的解集． 39．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点，D两点，直线垂直于轴分别与一次函数和反比例函数交于、，连接． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点、重合），若，求的面积； 40．（2024·浙江杭州·二模）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．    (1)求直线的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 41．（2024·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 题型11 一次函数反比例函数与几何综合解答题 42．（2024·浙江金华·二模）如图，菱形的边在轴上，点，反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将菱形向左平移，当点B落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 43．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)求点坐标； (3)在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一次函数与反比例函数 题型1 函数的图像 1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与性质，根据点，，特征逐项判断即可，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，关于原点对称， ∴选项、排除， ∵，， 则当时，则 ， ∴在第一象限内，随的增大而减小， ∴选项符合题意， 故选：． 2．（2024·浙江湖州·二模）如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，先根据题意得出函数解析式为，然后再进行判断即可． 【详解】解：∵一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为， ∴根据平衡条件可得：， 整理得：， ∴y是的正比例函数， 把代入得：， ∴图象经过点， ∴C选项的函数图象符合题意， 故选：C． 题型2 一次函数的表达式与性质 3．（2024·浙江温州·二模）若一次函数（）的图象经过点，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意得到，再结合一次函数的增减性，分，以及两种情况讨论的取值并判断，即可解题． 【详解】解：一次函数（）的图象经过点，， ，解得， 若，即时，则随的增大而增大， ， ， 故若，则 ； 若，即时，则随的增大而减小， ， ， 若，则有可能大于0，也可能小于0； 综上所述，若，则 ； 故选：A． 4．（2024·浙江绍兴·二模）点、是一次函数的图像上的两个点，若点在如图位置，则下列可能表示的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点，坐标代入一次函数，得，，则点即，在同一直线上，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ，， 设点和所求点在直线上， 则， 解得， 点和所求点在直线上， 与平行， 应为点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象，一次函数图象上的点的特征，求一次函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了非负数性质和新定义运算，待定系数法求函数解析式．由题意得，继而求得，，得点的坐标为，根据定义知点的坐标为，再利用待定系数法即可求解．解题关键是利用方程变形和非负数性质得出，． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∴点的影子点的坐标为，即点的坐标为， 将点代入一次函数得：， 解得：， 故答案为：． 6．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求得一次函数过点1的函数值，再把点代入，求得对应的m的值，再结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：把代入， 把点代入， 求得：， ∵当时，对于x的每一个值函数 的值大于一次函数的值， ∴， 故答案为：． 题型3 一次函数的应用 7．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的应用；根据题意求得线段解析式为 ，进而根据从甲站到乙站的实际票价为元，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设段解析式为，将代入得， ， 解得： ∴ 当时，，即 依题意，当行驶里程为 时，所得理论票价为元 设线段的解析式为代入 ∴ 解得： ∴线段解析式为 依题意， 解得： 故选：D． 8．（2024·浙江宁波·二模）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察图象获取信息是解题的关键．在图中画出慢车距快车出发地甲的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系图象，观察图象即可求解． 【详解】解：在图中画出慢车距快车出发地甲的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示， 则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为5次． 故选：D． 题型4 一次函数的交点问题 9．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 根据图象得出，再由不等式的性质得出，再由图象确定交点为，即可求解． 【详解】解：根据图象得：， ∵， ∴， 当时，， ∴两直线的交点为， ∴当时，， 即的解集是． 故选：C． 10．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型5 反比例函数的表达式 11．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识．过作轴于点，过作于点，则，设，则．由点，得出，证明，都是等腰直角三角形，利用勾股定理得到，，代入，整理得出．由，得出，即． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作于点，则， 设，则． 点， ， ， ， ，都是等腰直角三角形， ，， ， ， 整理得，． ， ， ， ． 故选：C． 12．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线，的交点，且点的坐标为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 故选B． 13．（2022·浙江衢州·二模）将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知AB＝2，反比例函数的图象恰好经过顶点C，D，轴，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】由题意可得： 可得 如图，过C作于 设 则 利用反比例函数的图象恰好经过顶点C，D，再求解m，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得： 如图，过C作于 设 则 反比例函数的图象恰好经过顶点C，D， 解得： 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 14．（2024·浙江台州·二模）如图，过原点的线段的两端点和分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，若面积为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，相似三角形的性质与判定；作轴，垂足为，利用两个三角形的面积得到，再根据相似三角形的性质计算出．继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，   点在的图象上， ， 面积为， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 15．（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形变化—平移，正确表示出点C和点F是解题的关键． 根据题意可知，，，设，即可表示出点C和点F的坐标，利用函数的图象经过点C和点F，代入列出关于a的方程，进行求解即可． 【详解】解：由平移可得，， 设 ∵点， ∴则中点坐标为： ∴， ∵函数的图象经过点C和点F， ∴ 解得： ∴ 故答案为：6． 16．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，把向上平移m个单位长度，对应得到，若反比例函数的图象经过的重心和点，则k的值为 【答案】 【分析】该题主要考查了反比例函数的解析式求解，一次函数的解析式求解以及交点求解，图象平移规律，三角形重心等知识点，解题的关键是求出重心坐标． 确定的重心坐标，再根据平移方式确定的重心和点坐标，再代入反比例函数解析式求出m，即可求解； 【详解】解：∵， ∴中点坐标为 ，中点坐标为 ， 设 解析式为 ，解析式为 ， 将代入得，则，即 解析式为； 将 ，代入得，解得，则解析式为； 联立和可得的重心坐标为， 把向上平移m个单位长度后，，的重心为， 将，代入得，解得：； ∴， 故答案为：． 17．（2024·浙江绍兴·二模）如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，待定系数法求反比例函数解析式，解一元二次方程．根据题意先设点，在求出反比例函数解析式，利用等腰三角形性质列式即可得到本题答案． 【详解】解：设点， ∵点， ∴将点代入中得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，令直线与轴交于点，   ， ∴， ∵点和点关于直线对称， ∴，， ∴，即， ∴轴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：或（舍）， 故答案为：． 题型6 反比例函数的性质 18．（2024·浙江金华·二模）已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．由于，反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解： 由于，当时，反比例函数的图象在第一象限，，且y随x到增大而减小． 若，则． 故选：A． 19．（2024·浙江·二模）若点、、、分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数解析式可知，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点、、、分别在反比例函数的图象上， ∴； ∴函数值最小的是； 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 20．（2024·浙江温州·二模）已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质：当时，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，在每一象限，y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．分和讨论即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴随x的增大而减小，随x的增大而增大， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴随x的增大而增大，随x的增大而减小， ∴，，，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，， 故选：D． 题型7 一次函数与反比例函数交点问题 21．（2024·浙江金华·二模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 直线一定过点，， 把代入得，，此时反比例函数过整点，，， 阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点， 的取值可能是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键． 22．（2024·浙江杭州·二模）某数学小组在研究了函数y1=x与y2＝性质的基础上，进一步探究函数y=y1＋y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：①函数y=y1＋y2的图象与直线y=3没有交点；②函数y=y1＋y2的图象与直线y=a只有一个交点，则a=±4；③点（a，b）在函数y=y1＋y2的图象上，则点（－a，－b）也在函数y=y1＋y2的图象上．以上结论正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】①先求出函数的解析式，再与直线联立，看方程组是否有解即可得；②联立函数和直线的解析式，根据只有一个交点可得相应的一元二次方程只有一个实数根，由此即可求出a的值；③根据点在函数的图象上可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】由题意得：， 联立， 整理得：， 此方程根的判别式为，方程没有实数根， 则函数的图象与直线没有交点，结论①正确； 联立， 整理得：， 函数的图象与直线只有一个交点， 关于x的一元二次方程只有一个实数根， 此方程根的判别式， 解得，则结论②正确； 点在函数的图象上， ， ， 点也在函数的图象上，则结论③正确； 综上，结论正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 题型8 反比例函数与几何综合 23．（2024·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，，则，把代入得到，进而推出，由反比例函数比例系数的几何意义可知，， 再根据进行求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E， 设，， ∴； ∵是的中点， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∴ ， 故选：C． 24．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．    【答案】 12 【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合，设，可得，，再结合三角形的面积可得的值，如图，过作轴于，设，，则由中点含义可得：，再结合面积列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴于点B，的中点为D， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， 如图，过作轴于，    设，， 则由中点含义可得：， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：， 25．（2024·浙江台州·二模）如图，，两点分别位于反比例函数与)的图像上，且轴，交 轴于点，轴于点，连接交轴于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，设点，则点的纵坐标为，，，证明，由相似三角形的性质得到，根据代入数据计算即可．掌握图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，两点分别位于反比例函数与)的图像上，且轴，轴，设点， ∴点的纵坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 26．（2024·浙江台州·二模）如图，点是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化旋转，由点坐标为，点的坐标为，得出，，根据旋转的性质得到，，进一步得到，于是得到，于是得到，即． 【详解】解：点坐标为，点的坐标为， 则，， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ，， ， ， 在此反比例函数反比例函数图象上， ， ． 故答案为：． 27．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过矩形的顶点，点为轴负半轴上一点，连结交轴于点，交矩形的对角线于点，函数的图象经过点，若的面积为2，的面积为4，则 ； ．    【答案】 12 【分析】该题主要考查了反比例函数几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是数形结合． 根据四边形是矩形，得出，从而根据反比例函数几何意义得出，再得出，证明，得出，如图，过分别作轴，轴的垂线，垂足为，则四边形是矩形，证明，从而得出，根据即可求解． 【详解】∵点在函数的图象上，四边形是矩形， ，， ； 假设边上的高为h， 则， ， ∵， ∴， ， 如图，过分别作轴，轴的垂线，垂足为，    则四边形是矩形，， ∴， ∴， ． 故答案为：12，． 28．（2024·浙江绍兴·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，其交点的横坐标分别为3和6，则实数的值是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，用含的代数式表示点，的坐标是解题关键．首先结合题意可知，，将其代入一次函数解析式，然后求解即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数上，且两点的横坐标分别为3和6， ∴可知，， 将点，代入一次函数， 可得，解得， ∴实数的值是18． 故答案为：18． 29．（2024·浙江·二模）如图，已知反比例函数第一象限的图象经过的顶点A，且交于点C，点B在x轴的正半轴上，将沿翻折，点C的对应点D恰好落在第二象限的图象上，平行x轴，若点E在上，且是的重心，连结，已知的面积为4，则的值为 ．    【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数中的几何意义，由点E在上，且是的重心，的面积为4，可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点E在上，且是的重心，的面积为4， ∴，，， ∴， 由对折可得：， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 30．（2024·浙江杭州·二模）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质以及相似三角形的性质和判定的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将的面积与点的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法． 先设，得出 ，再根据的面积是6，得出2，最后根据，得出，即 ，求得的值即可． 【详解】解：设，则， ∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵的面积是2， ∴，即， ∵， ， ∴， 即， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型9 函数的应用综合解答题 31．（2024·浙江杭州·二模）小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，某种弹簧长度与所挂物体质量之间的关系如图所示： (1)请求出y与x之间的关系式． (2)小亮妈妈在水果摊贩上买了8kg水果，小亮将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到弹簧下端，测得弹簧长度为16.1cm，请你通过计算帮助小亮确定水果是否足称． 【答案】(1) (2)水果足称 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中求得的与之间的关系式，求出对应的值并与相比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的关系式为． （2）解：当时，得， 解得， ， 水果足称． 32．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. (1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求函数关系式，根据函数关系图，以及路程与速度、时间之间的关系，确定v与t的函数关系为反比例函数是解题的关键． （1）根据路程，甲、乙两地距离为定值，可知v与t的函数关系为反比例函数，再用待定系数法即可求解； （2）分别求出在10时40分和11时到达，两个时间段对应的速度，即可求出平均速度的范围； 【详解】（1） 路程，甲、乙两地距离为定值， v与t的函数关系为反比例函数， 设v与t的函数关系式为，将代入解析式， 得：，解得：， v与t的函数关系式为， ； （2）若当天10时40分到达乙地，则所用时间， ， 若当天11时到达乙地，则， ， 客车平均速度的范围为 ． 33．（2024·浙江杭州·二模）小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数关系的表示，根据函数表达式求函数值的取值方法，掌握函数表达式的运用是解题的管家． （1）根据行程问题中的数量关系即可求解； （2）把题意，，代入（1）中的解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：由题意得：， 因为， 所以．（其他方法合理亦可） 34．（2024·浙江绍兴·二模）某水果店购进甲，乙两种苹果，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：千克）之间的关系如图所示． (1)求乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：千克）之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)若不计损耗等因素，甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元，求乙苹果的销售量． 【答案】(1) (2)20千克或40千克 【分析】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求得甲种苹果销售额与销售量的函数解析式，再根据“甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元” 建立方程求解即可． 【详解】（1）设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：， ∴； 当时，函数图象过，， 设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：， ∴； 综上所述：乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为； （2）解：设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：，函数图象过，， ∴，解得：， ∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：； 设乙苹果千克，则甲苹果为千克， 情况一：当时， 可列方程：， 求得， 情况二：当时， 可列方程：， 求得， 综上所述，乙苹果的销售量为20千克或40千克． 35．（2024·浙江温州·二模）小乐和小嘉同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线和线段OD分别表示小乐和小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系的图象，且两人骑车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题： (1)求出小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数表达式，并直接写出图中a的值． (2)出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距多少米？ 【答案】(1)，12 (2)900 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解图象是解题关键． （1）用待定系数法求函数解析式；求出小乐的速度，再求的值； （2）用小嘉的路程减去小乐的路程即可得出结论． 【详解】（1）设小嘉离学校的距离（米与时间（分钟）的函数表达式为， 把代入解析式得：， 解得， 小嘉离学校的距离（米与时间（分钟）的函数表达式为； 由图象知，小乐的速度为（米分）， 小乐重新出发到到达体育馆所用时间为（分钟）， ； （2）（米）， 答：出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距900米． 题型10 一次函数与反比例函数交点综合解答题 36．（2024·浙江杭州·二模）设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． (1)求点，的坐标． (2)求函数，的表达式． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，以及待定系数法求函数解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，算出n的值，即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）作出图象，根据图象直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：点，点在反比例函数的图形上， ∴， 解得：， ∴点，点； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 将点，点代入中，可得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当时，x的取值范围为或． 37．（2024·浙江台州·二模）一次函数（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求一次函数的解析式； (2)点在一次函数的图象上，将点向右平移6个单位长度得到点，若点恰好落在反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题、坐标平移问题及解一元二次方程，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点与点代入求出、坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）设点，根据平移的性质得出，根据反比例函数图像上点的坐标特征求出值即可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数的解析式为． （2）设点， ∵点向右平移6个单位长度得到点， ∴点的坐标为， 把代入得：． 解得：，， ∴点的坐标为或． 38．（2024·浙江台州·二模）如图，直线经过点，．    (1)求直线的表达式； (2)若直线的解析式为：，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和不等式与函数的关系是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据不等式与函数的关系求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：由图象得：当时，． 39．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点，D两点，直线垂直于轴分别与一次函数和反比例函数交于、，连接． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点、重合），若，求的面积； 【答案】(1) (2)3 【分析】本题本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、三角形面积公式、求中点坐标等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再代入反比例函数解析式计算即可得解； （2）设、的横坐标为，由于在直线上，在双曲线上，可得，，过作于点，由于，点为中点，利用中点坐标公式求得坐标，纵坐标与点纵坐标相等，解出，求出，即可求出的面积； 【详解】（1） 点在直线上，代入得， ， 点． 将代入得，， 解得． （2）由（1）可得直线解析式为，双曲线解析式为，， 设、的横坐标为，由于在直线上，在双曲线上， ，， ，， 过作于点，如图， ， 点为中点， 点纵坐标为，与点纵坐标相等， ， 解得，， 直线，与坐标轴交点为，，点在线段上（不与端点、重合） ． 可得，，， ． 40．（2024·浙江杭州·二模）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．    (1)求直线的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)当或时，；当时， (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， ∴， ∴ 将点代入 ∴， 将，代入，得 解得：， ∴ （2）∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，， （3）根据图象可知，，，当时， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 41．（2024·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式； （2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点， ∴点坐标满足一次函数解析式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵轴， ∴，轴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段． 题型11 一次函数反比例函数与几何综合解答题 42．（2024·浙江金华·二模）如图，菱形的边在轴上，点，反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将菱形向左平移，当点B落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】（1）延长交轴于点，交反比例函数于点，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质得出的长，进而得出点坐标，利用中点坐标公式得出点坐标，代入反比例函数解析式求出的值即可； （2）根据点，，得出点坐标，再求出点的坐标，求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，交反比例函数于点，   菱形的边在轴上，点， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴， ，即， 反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：如图：   点，，， ， 反比例函数的解析式为， ， 解得， ， ， 当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离是6． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 43．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)求点坐标； (3)在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，将，代入之中求出，即可得直线的解析式； （2）过点作轴于，先证和全等得，，进而证和全等得，由此可得，由此可得点的坐标； （3）先求出直线的解析式为，可设点，再设点，根据点、、、构成的四边形是平行四边形，因此有以下两种情况： ①当为平行四边形的一边时，又有两种情况：（ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，则点是和的中点，对于，，则点，对于，，则，由此得方程解出求解，据此解出可得点的坐标；（ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，则点是和的中点；②当为平行四边形的对角线时，连接交于，则点是和的中点．同理分别列方程求出的值得出的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 将，代入，得：，解得：， 直线的表达式为：； （2）过点作轴于，如图1所示： ，，点是与轴的交点，且横坐标为3， ，，， 轴于， ， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）设直线的解析式为：， 将，代入，得：，解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上， 设点， 点在轴上， 设点， 点、、、构成的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的一边时，又有两种情况： （ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，如图2所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则 ， 由，解得， 将代入，得：， 点； （ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，如图3所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则， ， 由，解得：， 将代入，得， 点； ②当为平行四边形的对角线时，连接交于，如图4所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则， ， 由，解得：， 将代入，得：， 点． 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$