专题07 圆（八大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题07 圆综合 题型1 圆中角度问题 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，圆内接于，连接，，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰三角形中，，经过A，B两点的与边切于点A，与边交于点D，为直径，连结，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·浙江·二模）如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江台州·二模）如图，是半圆O的直径，C，D是的三等分点，点P在上，点Q在上，若，则点Q在（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 6．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，已知O为AC上一点，以为半径的圆经过点A，且与，分别交于点E，D．设，，则（    ） A．若，则的度数为 B．若，则的度数为 C．若，则的度数为 D．若，则的度数为 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，四边形内接于．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江宁波·二模）如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（    ） A． B． C． D．5 9．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 题型2 垂径定理 10．（2024·浙江杭州·二模）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 11．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江台州·二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 13．（2024·浙江金华·二模）如图，在扇形中，点为圆心，点在上，过点作于点，交弦于点，且，连接． （1）设，则 ．（用的代数式表示） （2）已知的长为，若为等腰三角形，则扇形的半径长为 ． 14．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知是的弦，且，以为一边作正方形．若边与相切，切点为E，则的半径为 ．    15．（2024·浙江绍兴·二模）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 ． 16．（2024·浙江湖州·二模）如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是 m． 17．（2024·浙江杭州·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么 ． 18．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ． 19．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm． 题型3 圆内接多边形问题 20．（2024·浙江温州·二模）如图，四边形内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连结．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·浙江温州·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 22．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 题型4 圆的切线问题 23．（2024·浙江温州·二模）如图，分别切于点A，B，是直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，的切线交直径的延长线于点P，C为切点，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（2024·浙江台州·二模）如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的 度 数 为（   ） A． B． C． D． 26．（2024·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 27．（2024·浙江·二模）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．    28．（2024·浙江·二模）如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，圆心为点O，自点A作半圆的切线，则的长为 ． 29．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形的边长为3，的半径为1，若在正六边形内平移（可以与该正六边形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． 30．（2024·浙江金华·二模）如图，过外一点P作圆的切线，点B为切点，为直径，连接交于点C，若，则 ． 31．（2024·浙江温州·二模）如图，O为斜边AB上一点，以为半径的交边于点D，恰好为的切线，若，则 度． 32．（2024·浙江绍兴·二模）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于 cm． 题型5 扇形的面积 33．（2024·浙江绍兴·二模）如图，为的直径，交于点，点是的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·浙江杭州·二模）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·浙江杭州·二模）如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 36．（2024·浙江杭州·二模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 37．（2024·浙江杭州·二模）已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径 ． 38．（2024·浙江温州·二模）若扇形所对的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 ．（保留） 题型6 求弧长问题 39．（2024·浙江温州·二模）如图，是等腰三角形，，以点A为圆心，为半径画弧，交边于点D．若，则的长为 （结果保留）． 40．（2024·浙江温州·二模）如图，扇形古钱币的圆心角，，则该扇形古钱币的弧长为 （结果保留）． 41．（2024·浙江金华·二模）把直尺、圆片和两个同样大小的含角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点，．若，则的长为 ． 题型7 圆锥相关问题 42．（2024·浙江金华·二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 43．（2024·浙江宁波·二模）圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为 ． 题型8 圆综合解答题 44．（2024·浙江金华·二模）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．    (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，． ①当时，求． ②求证：． 45．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知四边形内接于，且，点E为弦的中点，连结．延长相交于点F，连结，与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：． (2)若点C是的中点，，求的值． (3)连结，探究与之间的等量关系，并证明． 46．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 47．（2024·浙江湖州·二模）如图，在平行四边形中，，，且． (1)求证：平行四边形为菱形； (2)以点为圆心，长为半径作，交于点．若，，求图中阴影部分面积．（结果保留） 48．（2024·浙江台州·二模）如图，D为上一点，点A在直径的延长线上，过点B作交的延长线于点C，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 49．（2024·浙江绍兴·二模）如图，内接于，，与直径交于点．    (1)如图1，若，．则的长为______． (2)如图2，在上取点，使，连接并延长交于点．求证：平分． (3)如图3，在（2）的条件下，已知，．求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆综合 题型1 圆中角度问题 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，圆内接于，连接，，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据“等边对等角”求出，即可得出，再根据“圆周角定理”求出，，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰三角形中，，经过A，B两点的与边切于点A，与边交于点D，为直径，连结，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形性质，圆周角定理，三角形内角和定理，根据切线的性质得到，利用等腰三角形性质和三角形内角和得到，再利用圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解： 与边切于点A， ， ，，， ， ， ， ． 故选：C． 4．（2024·浙江·二模）如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 5．（2024·浙江台州·二模）如图，是半圆O的直径，C，D是的三等分点，点P在上，点Q在上，若，则点Q在（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 先计算所对应的优弧的圆心角，再求其所对应的劣弧的圆心角，根据题意解得，据此判断点Q所在的弧． 【详解】解：连接，如图所示： ， 所对应的优弧的圆心角为， 所对应的劣弧的圆心角， 点C、D将分成相等的三段弧， ， 故点Q所在的弧是， 故选：C． 6．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，已知O为AC上一点，以为半径的圆经过点A，且与，分别交于点E，D．设，，则（    ） A．若，则的度数为 B．若，则的度数为 C．若，则的度数为 D．若，则的度数为 【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 连接，根据圆周角定理求出，求出，再根据三角形外角性质得出，求出的度数是，再逐个判断即可． 【详解】解：连接， 设的度数是x，则， O为上一点， 为的直径， ， ， ， ，， ， 解得：， 即的度数是， A．若，则的度数为，故本选项不符合题意； B．若，则的度数为，故本选项符合题意； C．若，即，则的度数为，或故本选项不符合题意； D．若，则的度数为或故本选项不符合题意； 故选：B． 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，四边形内接于．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理，垂直的定义，推出，，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2024·浙江宁波·二模）如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，易得为的直径，根据圆周角定理，推出，求出的长，圆周角定理结合角平分线的性质，推出，设半径为，在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作垂直于点，交于点，交于点，连接， ∵， ∴为线段的中垂线，， ∵内接于， ∴三点共线，， ∴为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设半径为，则：， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； ∴的半径为； 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． 9．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，含的直角三角形的性质，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦”． （1）由E是的中点，，可得，，可得，，即可得的度数； （2）由于直径，根据垂径定理，可以得到所以，又平分，所以，可以证明，所以，由（1）可得，，所以； 【详解】解：E是的中点，， ，， 在中：， ， ， 的度数为∶． 故答案为：． （2）连接如图 直径， 平分， 由（1）得， ， 故答案为：． 题型2 垂径定理 10．（2024·浙江杭州·二模）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长． 【详解】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点． ∵AB=CD=8， ∴BM=DN=4， 由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3， ∵AB，CD是互相垂直的两条弦， ∴∠DPB=90° ∵，， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP是正方形， ∴OP==， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 11．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可以得到，故选项A不符合题意； ∵是的直径， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴, 故选项C不符合题意； ∵无法证明， ∴选项D符合题意． 12．（2024·浙江台州·二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 依题得，为的中点 则三点共线， 设圆的半径为，由，则 在中，由勾股定理得 解得． 故答案为：10． 13．（2024·浙江金华·二模）如图，在扇形中，点为圆心，点在上，过点作于点，交弦于点，且，连接． （1）设，则 ．（用的代数式表示） （2）已知的长为，若为等腰三角形，则扇形的半径长为 ． 【答案】 或． 【分析】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂径定理，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）连接，交于，则，通过证得，得到，，进一步通过证得，证得，得到，求得，则； （2）由（1）可知，设，则，，分情况讨论即可 【详解】解：（1）连接，交于，则， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，设，则， ， 当， ， ， ， ， ， ， ， ． 当时，同理可得. 故答案为：或． 14．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知是的弦，且，以为一边作正方形．若边与相切，切点为E，则的半径为 ．    【答案】 【分析】连接并延长，交于F，连接，证明四边形为矩形，得出，，根据垂径定理得出，设的半径为r，则，，由勾股定理列式可求出． 【详解】解：连接并延长，交于F，连接，如图，    ∵边与相切，切点为E， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，，即 解得：， 即圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，垂径定理和勾股定理，矩形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 15．（2024·浙江绍兴·二模）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出的长，由垂径定理得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， 故答案为：． 16．（2024·浙江湖州·二模）如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是 m． 【答案】8 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，根据垂径定理、勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即石拱桥的桥顶到水面的距离为， 故答案为：8． 17．（2024·浙江杭州·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键． 连接，，根据点是的中点，证，得为直角三角形，根据已知条件求出半径，进而求得，根据，利用勾股定理求出，即可得到。 【详解】 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，，是直径， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和勾股定理．延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图，先证明为的切线，则利用切线的性质和切线长定理得到，，接着证明，利用相似比得到，则设，，所以，接下来在中利用勾股定理求得，则利用面积法可求出，然后再用勾股定理计算出，最后利用垂径得到的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图， ，， 为的切线， 为的切线， ，， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， 解得， 即， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故答案为：． 19．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm． 【答案】14 【分析】本题考查三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，垂径定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线找出圆心所在的直线是解题的关键． 【详解】过点B作于点M，取的中点Q，连接并延长交AC于点P， ∵Q是BM的中点，点E是的中点， ∴，， ∴点P、Q、E、F共线， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴四边形，也是矩形， ∴，，， ∴， ∴是的垂直平分线，即直线是直径所在的直线， 在上取圆心为O，连接， 设，则， 在Rt△APO中， ∴， 解得：， 故答案为：14． 题型3 圆内接多边形问题 20．（2024·浙江温州·二模）如图，四边形内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连结．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补成为解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得，再根据角的和差可得；再根据平行线的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，即，最后根据圆的内接四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 21．（2024·浙江温州·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出 可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4， ∴四边形是正方形，面积为， ∴，， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为． 故选C． 【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念． 22．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 【答案】 【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型4 圆的切线问题 23．（2024·浙江温州·二模）如图，分别切于点A，B，是直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图，连接，由圆周角定理可得，再根据切线的性质可，最后根据四边形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴, ∵分别切于点A，B， ∴， ∴． 故选：C． 24．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，的切线交直径的延长线于点P，C为切点，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是本题的关键． 由题意可得，根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 25．（2024·浙江台州·二模）如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的 度 数 为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，连接，利用切线的定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：连接， 切于点， ， ， ， ， ， 故选：A． 26．（2024·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、三角形内切圆的定义和性质，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、，由勾股定理得出，由三角形内切圆的性质得出平分，从而得出在的垂直平分线上，证明出、、在同一直线上，得出，推出，连接、、，设的内切圆的半径长为，根据列式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点为的内切圆的圆心， ∴平分， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， 连接、、，设的内切圆的半径长为， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 27．（2024·浙江·二模）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．    【答案】 【分析】证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键． 28．（2024·浙江·二模）如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，圆心为点O，自点A作半圆的切线，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，矩形的性质，勾股定理，中等难度，正确作出作辅助线是解题关键． 连接，证明得垂直平分，根据面积法即可解题． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形为矩形， ∴，即切圆与点， ∵、分别切圆与，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，为直径，圆心为点O， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴，则， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 29．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形的边长为3，的半径为1，若在正六边形内平移（可以与该正六边形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线定理、正多边形的性质和直角三角形的性质，当与、相切的时候，点A到上的点的距离的最大，先求出正六边形的内角，再求出，证明是直角三角形，求出，即可求得答案． 【详解】解：由题意得，当与、相切的时候，切点分别为M、N，点A到上的点的距离的最大，如下图所示，连接交于点G，连接,． 可得，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（2024·浙江金华·二模）如图，过外一点P作圆的切线，点B为切点，为直径，连接交于点C，若，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，可得，设，，可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（负根舍去）， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建方程解题是关键． 31．（2024·浙江温州·二模）如图，O为斜边AB上一点，以为半径的交边于点D，恰好为的切线，若，则 度． 【答案】31 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，利用切线的性质求出，利用三角形外角的性质求出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，，即可求解． 【详解】解：连接， ∵恰好为的切线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：31． 32．（2024·浙江绍兴·二模）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于 cm． 【答案】20 【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到，求出r即可． 【详解】解：设圆的半径为rcm， 如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D， ∵， ∴四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm， ∴OD=（r-8）cm， 在Rt△AOD中， 即， 解得：r=20， 即该圆的半径为20cm． 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径． 题型5 扇形的面积 33．（2024·浙江绍兴·二模）如图，为的直径，交于点，点是的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．连接，，交于，由圆周角定理可，，可知和均为等边三角形，继而可知，可得，再结合阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：连接，，交于， 点为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ∴和均为等边三角形 ， ， ， 则阴影部分的面积， 故选：B． 34．（2024·浙江杭州·二模）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 35．（2024·浙江杭州·二模）如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，先求出的长，再根据折扇的扇面面积是两个扇形面积的差计算即可得出答案． 【详解】解：∵折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的， ∴， ∴， ∴这把折扇扇面面积为， 故选：C． 36．（2024·浙江杭州·二模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，过点O作于点C，如图： 由题意可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查有关扇形面积的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 37．（2024·浙江杭州·二模）已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 38．（2024·浙江温州·二模）若扇形所对的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 ．（保留） 【答案】 【分析】直接利用扇形面积公式S=求出即可. 【详解】解：∵扇形所对的圆心角为120°，半径为10， ∴扇形的面积为：. 故答案是：. 【点睛】考查了扇形面积计算，解题关键是正确记忆扇形面积公式S=． 题型6 求弧长问题 39．（2024·浙江温州·二模）如图，是等腰三角形，，以点A为圆心，为半径画弧，交边于点D．若，则的长为 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定与性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质以及解直角三角形可得、，最后运用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴的长为． 故答案为：． 40．（2024·浙江温州·二模）如图，扇形古钱币的圆心角，，则该扇形古钱币的弧长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：依题意：扇形古钱币的弧长=， 故答案为：． 41．（2024·浙江金华·二模）把直尺、圆片和两个同样大小的含角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，连接，，根据切线的性质得到，，推出四边形是正方形，求得， ，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴ 故答案为：． 题型7 圆锥相关问题 42．（2024·浙江金华·二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键．由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，母线长为，根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4， 母线长为∶， ∴圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6， ∴， ∴解得：． 故选：D． 43．（2024·浙江宁波·二模）圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为 ． 【答案】15 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π． 故答案为15π． 题型8 圆综合解答题 44．（2024·浙江金华·二模）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．    (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，． ①当时，求． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①，②见解析． 【分析】（1）根据容易证明，结合，证明，再由即可证明结论， （2）①利用，可得，，由此计算即可得出；②证明，可得，结合可得，再由可得，而，进而可得，，代入计算即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接、，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴=，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵是半径，. ∴是的切线． （2）①∵，， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，，在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，涉及了切线性质和判断、圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线、利用解三角形求解线段是解题的关键． 45．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知四边形内接于，且，点E为弦的中点，连结．延长相交于点F，连结，与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：． (2)若点C是的中点，，求的值． (3)连结，探究与之间的等量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）可得，由直角三角形斜边上中线的性质及圆内接四边形性质得到，由，可得，即可求证； （2）过点B作，垂足为点P，由可得，，故，由，可得，，则，，代入数据即可求解； （3）连接并延长交于点T，连接，由三角形的中位线定理得，，可证，则，根据圆周角定理得，故． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为弦的中点， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：，， ∴，， ∴， 过点B作，垂足为点P， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接并延长交于点T，连接， ∵点O、E为中点， ∴，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，正确添加辅助线是解决本题的关键． 46．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的关键． （1）连接，则，由，可得，再根据可得，可推出，即可证明； （2）由，，可得，设半径为，在中，由勾股定理列方程，即可求解． 【详解】（1）（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） ，， 利用勾股定理求得， ， 设半径为， 在中，由勾股定理得：， 即 解得：， 的半径为． 47．（2024·浙江湖州·二模）如图，在平行四边形中，，，且． (1)求证：平行四边形为菱形； (2)以点为圆心，长为半径作，交于点．若，，求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定及性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，进而可证明，得，即可证明结论； （2）根据菱形的性质可得，结合题意可知，得，则，再根据阴影部分面积即可求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵，， ∴， 在菱形中，， ∴，则， ∴阴影部分面积． 48．（2024·浙江台州·二模）如图，D为上一点，点A在直径的延长线上，过点B作交的延长线于点C，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查了切线的判定、等边对等角、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，证明．则．又由是半径，即可证明直线是的切线； （2）设的半径为r，在中，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：由（1），得． 设的半径为r， ∴． 在中， 解得． ∴的半径为2． 49．（2024·浙江绍兴·二模）如图，内接于，，与直径交于点．    (1)如图1，若，．则的长为______． (2)如图2，在上取点，使，连接并延长交于点．求证：平分． (3)如图3，在（2）的条件下，已知，．求线段的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)线段的长为 【分析】（1）如图，连接，，可得，，即可求解； （2）如图2，，，而，可得，则，即可求解； （3）证和即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，   ， ，即：B是的中点， ∴为等腰直角三角形， ∵， ，， 在中， ， ； （2）解：， ， 而， ， ， 即：平分； （3）解：， ∴设，则， 如图，延长交的延长线于H，连接，   为直径， ， ∴， 又平分， ∴， ∵， ∴， ，， ∵， ， ∵， ， 也是等腰三角形，即：， ， 其中，，，， 代入上式解得：， 而， 由， 解得：负值已舍去， 则：，，， 由（1）知，B是的中点，为等腰直角三角形， ∴， 如图，过点A作于点M， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ，， ， ∴， ∴， 解得：， ， 答：线段的长为． 【点睛】本题属于圆的综合题，涉及了三角形相似的判定与性质知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$