专题05 图形的性质（九大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题05 图形的性质 题型1 平行的判定及性质 1．（2024·浙江金华·二模）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，点A表示另一处观测台，若，那么起火点M在观测台A的（　　） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏西 2．（2024·浙江杭州·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A． B． C． D． 3．（2024·浙江金华·二模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中点A落在直线m上，直线n分别交边于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江台州·二模）如图，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江台州·二模）如图， 一束光线从点D 出发，经过平面镜反射后，沿着与平行的射线射出，此时，若，则 ． 6．（2024·浙江杭州·二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 题型2 三角形中角度的计算 7．（2024·浙江杭州·二模）已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江绍兴·二模）将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，，，若两条斜边，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 10．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ． 题型3 三角形的性质 11．（2024·浙江台州·二模）如图，中，垂直平分，为 中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 12．（2024·浙江台州·二模）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（   ）m A．12 B．14 C．16 D．24 13．（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（2024·浙江·二模）如图，中， ，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）    A． B．1 C．2 D． 15．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在四边形中，，，分别是对角线，的中点，连结，，．则下列判断不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是 ． 题型4 三角形的全等 17．（2024·浙江金华·二模）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是　　 A． B．平分 C．为的中点 D． 18．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·浙江·二模）如图，正方形和正方形的点、、在同一条直线上，点为的中点，连结、、，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长．（    ） A． B． C． D． 20．（2024·浙江湖州·二模）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长，交于点，若，正方形和正方形的面积分别记为，则的值为 ；的值为 ．    21．（2024·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，若，则的长为 ．    题型5 平行四边形的性质 22．（2024·浙江杭州·二模）如图，是对角线上一点，满足，连接并延长交于点，则（　　） A． B． C． D． 23．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，是上一点，连结，，若点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江金华·二模）如图，在 中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与 的某边平行时， ． 25．（2024·浙江杭州·二模）如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则 ． 题型6 矩形 菱形 正方形性质 26．（2024·浙江杭州·二模）如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（   ） A． B．3 C． D． 27．（2024·浙江台州·二模）如图，正方形被分割成面积相等的四个矩形，已知，则正方形面 积 为 （   ） A．36 B．48 C．64 D．81 28．（2024·浙江绍兴·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，是边的中点，连接，若，菱形的面积96，则的值是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·浙江温州·二模）将一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③三块，再拼成不重叠、无缝隙的直角三角形（如图2，．若 ，则的长分别为 和 ． 题型7 勾股定理 30．（2024·浙江金华·二模）如图，中，已知．现以为一边向外侧作等边三角形，分别取的中点记为，连接．则的长为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·浙江金华·二模）如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（    ） A．12 B．10 C． D．5 32．（2024·浙江台州·二模）如图，直线 直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 33．（2024·浙江金华·二模）如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得. 则边上的高长度为 . 题型8 三角形综合解答题 34．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，点D 、E 分别是线段的中点，过点A 作交的延长线于点 F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 35．（2024·浙江台州·二模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 36．（2024·浙江温州·二模）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 37．（2024·浙江·二模）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 38．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 39．（2024·浙江温州·二模）如图，E为边延长线上一点，，交于点F． (1)求证： ． (2)若平分，，求的长． 40．（2024·浙江杭州·二模）如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 41．（2024·浙江杭州·二模）如图，，点E在边上，以为斜边，在上方作，使，延长与交于点G．    (1)当时，若，求线段的长． (2)求证：点F为线段的中点． 42．（2024·浙江温州·二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，且，． (1)求证：． (2)延长交于点G，当，时，求的值． 题型9 四边形综合解答题 43．（2024·浙江杭州·二模）在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求的长． (2)作的平分线与相交与点G，连接，求的长． 44．（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，且DE＝AD，过点A作AF∥DE交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AB＝1，CF＝2. ①求AD的长； ②AE、FD交于点O，连接OC，求OC的长． 45．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，点E是的中点，，平分交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 46．（2024·浙江杭州·二模）在四边形中，．连结对角线交于点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，已知，，求的长． 47．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积． 48．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． (1)求证：． (2)已知，．求的长． 49．（2024·浙江杭州·二模）如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．    (1)求证：； (2)若平分，求的长． 50．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，点是中点，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 51．（2024·浙江杭州·二模）如图1，矩形是矩形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形，其中．连接，，．已知，． (1)求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，当经过点时，求的值． (3)如图3，当平分时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 图形的性质 题型1 平行的判定及性质 1．（2024·浙江金华·二模）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，点A表示另一处观测台，若，那么起火点M在观测台A的（　　） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，先由，得出，结合两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵南北方向的直线平行， ∴ ∴， ∴， ∴起火点M在观测台A的南偏西， 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 故选∶D． 3．（2024·浙江金华·二模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中点A落在直线m上，直线n分别交边于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过B作，则，利用平行线的性质可的，，即可求解． 【详解】解：过B作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2024·浙江台州·二模）如图，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，，即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ． 故选：A． 5．（2024·浙江台州·二模）如图， 一束光线从点D 出发，经过平面镜反射后，沿着与平行的射线射出，此时，若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，，求出，由平角定义求出，而，即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（2024·浙江杭州·二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    由题意得：， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型2 三角形中角度的计算 7．（2024·浙江杭州·二模）已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差运算，根据题意得，由平角的定义得，再根据平行线的性质即可得解．掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等）、角的和差运算是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是一块含有的直角三角板， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．（2024·浙江绍兴·二模）将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，，，若两条斜边，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的定义以及性质，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的定义以及性质得出，即可求出，再利用平角的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9．（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． 10．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其推论，弄清题目中角的关系是解题的关键． 先证出, 进而证出，再由可求出的度数． 【详解】解：∵, ∴, ∵是由折叠得到的, ∴, ∴, ∵, ∴, 又∵, ∴. 故答案为: ． 题型3 三角形的性质 11．（2024·浙江台州·二模）如图，中，垂直平分，为 中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，线段垂直平分线的性质．由垂直平分，得，则为的中点，故，由为 中点，得为的中位线，再结合求出即可． 【详解】解： 垂直平分， ，为的中点 ， ， ， 为的中点， ， 为 中点， 为的中位线， ， ， ， ． 故选：C． 12．（2024·浙江台州·二模）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（   ）m A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理，利用三角形中位线定理解决问题即可． 【详解】解：，， 是的中位线， ， ． ． 故选：C． 13．（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，分两种情况，由三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边即可解决问题，熟知三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】∵为等腰三角形， ∴或， 当时，满足三角形三边关系，符合题意； 当时，在中，，不构成三角形，不符合题意； ∴， 故选：C． 14．（2024·浙江·二模）如图，中， ，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）    A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出，再代入计算即可． 【详解】解：在Rt中，， 由勾股定理得： 平分， 分别为的中点， 故选A． 15．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在四边形中，，，分别是对角线，的中点，连结，，．则下列判断不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，和三角形外角的性质， 根据直角三角形斜边中线的性质可判断A选项；根据等腰三角形三线合一性质可判断B选项；根据等边对等角和三角形外角的性质可判断C选项；根据得到，即可判断D选项． 【详解】∵在四边形中，，是对角线的中点， ∴， ∴，故A选项正确； ∵是对角线的中点， ∴，故B选项正确； ∵ ∴ ∵ ∴，故C选项正确； ∵ ∴，故D选项错误． 故选：D． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得． 【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE 平分，， 点D到的距离为． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键． 题型4 三角形的全等 17．（2024·浙江金华·二模）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是　　 A． B．平分 C．为的中点 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 先由得到，加上为公共边，则根据全等三角形的判定方法可分别对各选项进行判断． 【详解】解：， ， 而， 当添加时，，则，所以，所以A选项不符合题意； 当添加平分时，，不能判断，所以B项符合题意； 当添加为的中点时，，，则，所以，所以C选项不符合题意； 当添加时，所以，所以D选项不符合题意． 故选：B． 18．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，即可判断B、C，作于，于，则，证明得出，从而得出，，即可判断A，只有当时，，即可判断D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ∴，故C正确，不符合题意， ，， ， ，故B正确，不符合题意； 如图，作于，于，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，故A正确，不符合题意； 只有当时，，故D错误，符合题意； 故选：D． 19．（2024·浙江·二模）如图，正方形和正方形的点、、在同一条直线上，点为的中点，连结、、，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是中考的热点，本题作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 连接并延长交于H，根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰直角三角形的性质解答． 【详解】解：连接并延长交于H， 四边形和四边形是正方形， 三点在同一直线上， ， ， 是直角三角形， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 是的中点，即，， ，即， 是等腰直角三角形， 所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长． 故答案为：C． 20．（2024·浙江湖州·二模）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长，交于点，若，正方形和正方形的面积分别记为，则的值为 ；的值为 ．    【答案】 13 / 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解全等三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理求线段的长的方法是解题的关键． 设，则，，由全等三角形的性质可知，，由勾股定理可知结合正方形的性质可知，，根据可求得结果，延长交于，则，得，，利用相似三角形和勾股定理求得，，，，，进而可求得的值． 【详解】解：设，则，， 由全等三角形的性质可知，， 由勾股定理可知，， 由正方形的性质可知，， 则， 延长交于，则， ∴， 则，则，， ∴，，    ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：13；． 21．（2024·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内心、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，连接、、，令交于，作于，于，设，则，，证明，得出，设，则，，再根据三角形面积公式建立方程求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、，令交于，作于，于   ，点为的内心， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型5 平行四边形的性质 22．（2024·浙江杭州·二模）如图，是对角线上一点，满足，连接并延长交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 23．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，是上一点，连结，，若点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的重心，平行四边形的性质，延长交于G，由三角形重心的性质得到是中点，，因此，而，得到，又，于是得到． 【详解】解：如图，延长交于G， 点是的重心， 是中点，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 故选：B． 24．（2024·浙江金华·二模）如图，在 中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与 的某边平行时， ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，折叠问题；分三种情况讨论，①当时，如图所示，作的角平分线交于点，②当时，如图所示，作的外角平分线，同理可得，四边形是平行四边形，③当时，为的中点，分别画出图形，即可求解． 【详解】①当时，如图所示，作的角平分线交于点， ∵作关于的对称线段， ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示，设，则 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵，即 解得： ∴ ②当时，如图所示，作的外角平分线， 同理可得，四边形是平行四边形 设，则， ∵，即 解得： ∴， ③当时，为的中点， ∴， 综上所述， 或1或6 故答案为：或或． 25．（2024·浙江杭州·二模）如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的对边平行可知，利用平行线的性质还可求出；结合折叠的性质求出的度数，再在中利用三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 根据折叠的性质可知， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 题型6 矩形 菱形 正方形性质 26．（2024·浙江杭州·二模）如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴是等边三角形， ， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ， 故选：C． 27．（2024·浙江台州·二模）如图，正方形被分割成面积相等的四个矩形，已知，则正方形面 积 为 （   ） A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的面积，矩形的面积，设正方形的边长为，根据正方形被分割成面积相等的四个矩形列出方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 正方形的面积为64， 故选：C． 28．（2024·浙江绍兴·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，是边的中点，连接，若，菱形的面积96，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，根据勾股定理即可求得的长，再根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ∴， ∵，菱形的面积为96， ∴， 解得， 则， ∵，是边的中点， ∴， ∴， 故选：D． 29．（2024·浙江温州·二模）将一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③三块，再拼成不重叠、无缝隙的直角三角形（如图2，．若 ，则的长分别为 和 ． 【答案】 5 【分析】先得出，，因为所以，解出菱形的边长为5，根据勾股定理列式，因为，所以，公式法解出，再结合等面积法解出，最后根据等腰三角形的三线合一以及勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接，过点A作，点P作， ∵四边形是菱形， ∴设 ∴， ∵一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③三块，再拼成不重叠、无缝隙的直角三角形，且， ∴， ∴是的中点， ∵ ∴， 解得， 是的中点 ∴ ∵一块菱形纸板剪成如图1所示的①②③三块，再拼成不重叠、无缝隙的直角三角形，且 ∴ ∴ 则 ∵，且 ∴ 即 ∴ ∴ 解得（负值已舍去） ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是等腰三角形 ∴ 故答案为：， 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等面积法，等腰三角形的三线合一，公式法解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型7 勾股定理 30．（2024·浙江金华·二模）如图，中，已知．现以为一边向外侧作等边三角形，分别取的中点记为，连接．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，交延长线于点，由直角三角形的性质得，，由等边三角形的性质得，，进而利用中点和勾股定理得，，最后，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵． ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵分别取的中点记为， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 31．（2024·浙江金华·二模）如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（    ） A．12 B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接，     四边形是菱形， ，，， 在中， ， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：C． 32．（2024·浙江台州·二模）如图，直线 直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ， ， ，， ， 于点， ， 故答案为：4． 33．（2024·浙江金华·二模）如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得. 则边上的高长度为 . 【答案】 【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高． 【详解】解：∵三角形的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积， 即==6， 设AC上的高为h，则S△ABC=AC•h=6， ∵AC＝=， ∴AC边上的高h==， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的面积公式、勾股定理，首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定理求得AC的长，最后根据三角形的面积公式计算． 题型8 三角形综合解答题 34．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，点D 、E 分别是线段的中点，过点A 作交的延长线于点 F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由，得，而，，即可证明结论； （2）由，点D是线段的中点，得，在直角三角形中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵E 是线段的中点， ∴ ∵ ∴； （2）由（1）得： ∴ ∵，点D是线段的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的长为 【点睛】本题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是关键． 35．（2024·浙江台州·二模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，矩形的性质． （1）由已知得，，，得，即可得． （2）由，，先求得，即可得的周长的周长． 【详解】（1）证明：矩形，折叠得到，延长恰好经过点D， ，，， ， ， ， ． （2）解： ，， ， ， 的周长的周长． 36．（2024·浙江温州·二模）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，得出，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）作于点H．根据等腰三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，，求出，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵绕点O旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，作于点H． 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴·， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 则， ∴， ∴四边形的周长为： ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 37．（2024·浙江·二模）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边： （1）只需要证明，即可证明； （2）证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ， ∵， ， ， ∵，， ， ∵， 四边形的周长为20． 38．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理． （1）利用菱形的性质结合已知条件用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2）， ， ，， ． 39．（2024·浙江温州·二模）如图，E为边延长线上一点，，交于点F． (1)求证： ． (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判断，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用平行四边形的性质可得出，，，利用证明即可； （2）利用平行线的性质、角平分线定义可得出，利用等角对等边得出，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 40．（2024·浙江杭州·二模）如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 41．（2024·浙江杭州·二模）如图，，点E在边上，以为斜边，在上方作，使，延长与交于点G．    (1)当时，若，求线段的长． (2)求证：点F为线段的中点． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得 ，由勾股定理可求的长，即可求解； （2）由“”可证，可得 ，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，    ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）如图，作，过点作，交的延长线于，在上截取，连接 ，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点，点，点，点四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为线段的中点． 42．（2024·浙江温州·二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，且，． (1)求证：． (2)延长交于点G，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、平行线分线段定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，然后根据证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到，根据平行线等分线段定理可得，再根据可得，最后代入比例式即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 题型9 四边形综合解答题 43．（2024·浙江杭州·二模）在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求的长． (2)作的平分线与相交与点G，连接，求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了正方形，相似三角形．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． （1）根据正方形对边平行证明，得到，根据，即得； （2）过点G作，，垂足分别为点H，I，根据正方形角的性质和角平分线性质证明四边形是正方形，设边长为x，证明，得到， ，解得，得到，根据勾股定理即得． 【详解】（1）∵正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图过点G作，垂足为点H，作，垂足为点I， 则， ∵四边形是正方形, ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴矩形是正方形，设边长为x， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，且DE＝AD，过点A作AF∥DE交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AB＝1，CF＝2. ①求AD的长； ②AE、FD交于点O，连接OC，求OC的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，先证明AFED是平行四边形，再由DE＝AD可证四边形AFED是菱形； （2）①由菱形的性质可得AD＝DE＝EF，利用勾股定理可求AD的长； ②由勾股定理可求DF的长，由菱形的性质可得DO＝FO，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝CD， 又∵AF∥DE， ∴四边形AFED是平行四边形， 又∵AD＝DE， ∴四边形AFED是菱形； （2）①∵四边形AFED是菱形； ∴AD＝DE＝EF， ∵DE2＝CD2+CE2， ∴DE2＝1+（2﹣DE）2， ∴DE＝， ∴AD＝； ②如图， ∵∠DCF＝90°，AB＝CD＝1，CF＝2， ∴ ∵四边形AFED是菱形， ∴DO＝FO， 又∵∠DCF＝90°， ∴CO＝DF＝． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 45．（2024·浙江温州·二模）如图，在菱形中，点E是的中点，，平分交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，平行线的性质，结合角的平分线，等量代换思想，证明即可． （2）过点A作，垂足为点H. 利用菱形的性质，勾股定理，三角形的相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴. ∴. ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点A作，垂足为点H. ∵， ∴， ∵点E是的中点，， ∴,． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．（2024·浙江杭州·二模）在四边形中，．连结对角线交于点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据平行线的性质及三角形全等判定可知，再利用三角形全等的性质即可解答； （）根据勾股定理及全等三角形的判定与性质可知，再利用平行四边形的判定与性质可知，，最后利用平行四边形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵在四边形中，， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵在四边形中，， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 47．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）先利用矩形的性质以及已知条件得到、，再根据全等三角形的性质可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先根据矩形的性质得到，即，再由勾股定理可得；再根据直角三角形的性质可得，进而求得可得，然后根据三角形中位线的性质可得、，最后根据图形即可解答． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴, ∴， ∵，， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, ∴, ∵的中点， ∴；同理可得：， ∴四边形的面积为 48．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． (1)求证：． (2)已知，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形性质和判定、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． （1）矩形的性质得到，，得到，，根据“”定理证明，再根据全等三角形性质即可解题； （2）根据矩形的性质和全等三角形性质得到，，由勾股定理易求的长，根据计算即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解： ，． 由题意知，，， ， ． 49．（2024·浙江杭州·二模）如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．    (1)求证：； (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质和角平分线定理， （1）证明，即可得到； （2）过点E作，垂足为P，根据角平分线定理得到，即可求得，在根据是等腰直角三角形即可求出的长． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，    ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 50．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，点是中点，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）由已知得，再由勾股定理得的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，点D是的中点， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 51．（2024·浙江杭州·二模）如图1，矩形是矩形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形，其中．连接，，．已知，． (1)求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，当经过点时，求的值． (3)如图3，当平分时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理求解即可； （2）由矩形的性质得出，，，由勾股定理结合旋转的性质得出，求出，即可得解； （3）过点作，解直角三角形得出，由等腰三角形的性质得出平分，，进而可得，再解直角三角形得出的长，即可得解． 【详解】（1）解：∵矩形是矩形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形， ∴，， ∴为等腰三角形， （2）解：∵，，四边形为矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵经过点， ∴， ∴． （3）解：过点作， ， 由旋转的性质可得：，，，， 在中，， 由（1）知，为等腰三角形， ∵， ∴平分，， ∵平分，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的行驶在、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$