专题04 图形的变化（六大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题04 图形的变化 题型1 平移 旋转 轴对称 中心对称 1．（2024·浙江杭州·二模）以下四个标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江台州·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·二模）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·二模）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江台州·二模）如图，将三角形沿方向平移得到，使，与交于点，以下关于四边形和四边形周长的说法，正确的是(    ) A．周长之差可由值确定 B．周长之和可由值确定 C．周长之差可由值确定 D．周长之和可由值确定 6．（2024·浙江台州·二模）点关于轴对称的点的坐标为 ． 题型2 投影和视图 7．（2024·浙江杭州·二模）下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江台州·二模）如下图所示，是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，它的俯视图是（    ）． A． B． C． D． 9．（2024·浙江台州·二模）如图，图甲是一个正方体，从中切割出一个四棱锥（图乙），则该四棱锥（图乙）的俯视图是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江温州·二模）如图是一个古建筑中常用的榫卯构件，其左视图为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江温州·二模）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江嘉兴·二模）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是（ ）    A．俯视图与主视图相同 B．左视图与主视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 13．（2024·浙江绍兴·二模）青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·浙江湖州·二模）中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（  ） A． B． C． D． 15．（2024·浙江温州·二模）某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·浙江·二模）如图所示的是零件三通的立体图，则这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   17．（2024·浙江绍兴·二模）上虞越窑青瓷的历史文化渊源流长．如图是一只平放在水平桌面上的青花瓷碗，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 18．（2024·浙江金华·二模）在下面的四个几何体中，三视图相同的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·浙江温州·二模）某款沙发椅如图所示，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   20．（2024·浙江宁波·二模）如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是 （   ）    A．   B．   C．   D．   题型3 三角函数与解三角形 21．（2024·浙江温州·二模）图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，， 则点A，D 之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 22．（2024·浙江温州·二模）如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 23．（2024·浙江金华·二模）如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，此时与地面的夹角为，若，，则　　 A．2 B． C． D． 24．（2024·浙江温州·二模）如图是遮阳伞撑开后的示意图，它是一个轴对称图形，若，米，与地面垂直且米，则的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 25．（2024·浙江温州·二模）如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A． B． C． D． 27．（2024·浙江杭州·二模）如图，在直角三角形中，．点在边上，点分别在和边上．若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 28．（2024·浙江杭州·二模）如图，矩形，点E、F分别是，上一点，连接，令，已知，， ，则 ． 29．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，，则的值为    30．（2024·浙江温州·二模）如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度 （相关数据如图2所示）． 31．（2024·浙江杭州·二模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 题型4 三角形相似及相似性质 32．（2024·浙江杭州·二模）如图，是对角线上一点，满足，连接并延长交于点，则（　　） A． B． C． D． 33．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 34．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 35．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，记的面积为，三个正方形的面积和为，过点C作于点M，连接交于点N，设，，若，则为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点在上，交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 37．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，，于点D，，，点E是上一点，且 ，连结并延长交于点F，则的面积为 ． 38．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，，，，是边上的中线，点E在上，连结，将沿着向内部翻折得到．若，则 ．    题型5 解三角形的应用综合题 39．（2024·浙江杭州·二模）如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门为米，车门打开最大角度为．当两辆小汽车水平距离为米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．（结果精确到米，参数考据：，，） 40．（2024·浙江杭州·二模）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，） (1) ； ． (2)求匾额下端距离地面的高度． 41．（2024·浙江杭州·二模）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到） （参考数据：）    42．（2024·浙江台州·二模）图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，支撑板．当支撑板卡到最里面一档，正好垂直于地面；当支撑板卡到最外面一档，与地面的夹角，求支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了多少．（结果精确到，参考数据，，） 43．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 44．（2024·浙江嘉兴·二模）综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？ 素材1：如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角． 素材2：如图2，在路灯正前方的点D处测得，，． 根据以上素材解决问题： (1)求灯杆的长度． (2)求灯管支架的长度．（结果精确到．参考数据：） 45．（2024·浙江湖州·二模）如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？ （结果精确到0.01，参考数据：，，，） 46．（2024·浙江·二模）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．    (1)在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）． (2)如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，） 47．（2024·浙江金华·二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值． (2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 48．（2024·浙江杭州·二模）雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点，测得雷峰塔底端的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：） 49．（2024·浙江·二模）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图． 已知屋面的倾斜角为，真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米，水平横管的长度米．（参考数据： ） (1)求水平横管到水平线的距离． (2)求真空管与屋面的长度差． 题型6 三角形相似综合题 50．（2024·浙江杭州·二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分． (1)求证：； (2)当，求的值． 51．（2024·浙江杭州·二模）在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求的长． (2)作的平分线与相交与点G，连接，求的长． 52．（2024·浙江杭州·二模）在矩形中，，，点是上的一个动点，点与点关于对称，连接，延长交射线于点，延长交或于点，如图1，图2． (1)如图1，若，求； (2)如图2，当时，求的长； (3)当时，直接写出的值． 53．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，P为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，交于点H，，连结，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形的变化 题型1 平移 旋转 轴对称 中心对称 1．（2024·浙江杭州·二模）以下四个标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，故符合要求； B中不是轴对称图形，故不符合要求； C中不是轴对称图形，故不符合要求； D中不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2．（2024·浙江台州·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的概念逐项判定即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·浙江·二模）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意 故选：D． 4．（2024·浙江杭州·二模）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 5．（2024·浙江台州·二模）如图，将三角形沿方向平移得到，使，与交于点，以下关于四边形和四边形周长的说法，正确的是(    ) A．周长之差可由值确定 B．周长之和可由值确定 C．周长之差可由值确定 D．周长之和可由值确定 【答案】A 【分析】此题考查平移的性质，根据平移的性质分别表示出四边形和四边形周长，得出周长关系解答即可． 【详解】解：由平移可知，，，，， ， ，， 四边形和四边形周长之差 ， 四边形和四边形周长之和 ， 周长之差可由值确定， 故选：A． 6．（2024·浙江台州·二模）点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为 故答案为：． 题型2 投影和视图 7．（2024·浙江杭州·二模）下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．分别找出从图形的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：A．主视图是圆，故此选项符合题意； B．主视图是梯形，故此选项不合题意； C．主视图是等腰三角形，故此选项不合题意； D．主视图是矩形，故此选项不合题意； 故选：A． 8．（2024·浙江台州·二模）如下图所示，是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，它的俯视图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图的定义进行解题即可. 【详解】解: 俯视图是在物体正面从上向下观察到的图形, 故选：A. 【点睛】本题考查了视图，解题的关键是掌握三视图的定义，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键. 9．（2024·浙江台州·二模）如图，图甲是一个正方体，从中切割出一个四棱锥（图乙），则该四棱锥（图乙）的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：该四棱锥（图乙）的俯视图是一个矩形，矩形内部有一条看得见的棱， 即 故选：C． 10．（2024·浙江温州·二模）如图是一个古建筑中常用的榫卯构件，其左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查判断简单组合体的三视图，熟练掌握该知识点是解题关键．根据左视图的观察方法判断即可． 【详解】解：根据左视图是从左侧观看可确定该模型的左视图是一个矩形，中间的两条棱能看得到应画成实线，故其左视图如下图所示． 故选：B． 11．（2024·浙江温州·二模）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图可直接进行求解． 【详解】 解：由图形可知其左视图是； 故选A． 12．（2024·浙江嘉兴·二模）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是（ ）    A．俯视图与主视图相同 B．左视图与主视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】B 【详解】解：A．俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A错误； B．左视图是一个长方形，主视图是个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，所以B正确； C．左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C错误； D．俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D错误； 故选B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图． 13．（2024·浙江绍兴·二模）青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据俯视图是从上面往下看即可获得答案． 【详解】解：从上面往下看青溪龙砚是一个圆环形状， 故选：C． 14．（2024·浙江湖州·二模）中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 找到从几何体的上看所得到的图形即可． 【详解】解：这个“堑堵”的俯视图是A图， 故选：A． 15．（2024·浙江温州·二模）某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的知识，根据几何体三视图的性质分析，即可得到答案，解题的关键是熟练掌握三视图的性质，从而完成求解． 【详解】根据题意，得主视图是： 故选：． 16．（2024·浙江·二模）如图所示的是零件三通的立体图，则这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形是一个倒“T”形，即看到的图形如下：   ， 故选：B． 17．（2024·浙江绍兴·二模）上虞越窑青瓷的历史文化渊源流长．如图是一只平放在水平桌面上的青花瓷碗，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】 解：它的主视图是． 故选：C． 18．（2024·浙江金华·二模）在下面的四个几何体中，三视图相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见的几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A、球的主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意； B、圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，不符合题意； C、三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，不符合题意； D、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，不符合题意； 故选：A． 19．（2024·浙江温州·二模）某款沙发椅如图所示，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可. 【详解】 解：  的左视图是  ， 故选：B 20．（2024·浙江宁波·二模）如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是 （   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从上面看，图形有2行，第一行有2个正方形，左下方有1个正方体， 故选：B． 题型3 三角函数与解三角形 21．（2024·浙江温州·二模）图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，， 则点A，D 之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形性质，连接和，作于点，由等腰三角形性质可知，，三点共线， ，，利用解直角三角形得到，，最后利用计算求解，即可解题． 【详解】解：连接和，作于点， ，， ，，三点共线， ，， ，， ，， ． 故选：D． 22．（2024·浙江温州·二模）如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正弦函数，掌握正弦的定义成为解题的关键. 先根据正弦的定义表示出，然后根据线段的和差即可解答. 【详解】解：在中，,则，即, 同理：， ∴. 故选A. 23．（2024·浙江金华·二模）如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，此时与地面的夹角为，若，，则　　 A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意可得：，然后在中，根据锐角三角函数的定义可设 ，则 ，从而利用勾股定理可得，再利用线段的和差关系可得，，然后根据题意可得： ，从而在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， 在中，， 设 ，则 ， ， ，， ，， 由题意得： ， 在中，， ， 解得：， ，，， ， 故选：B． 24．（2024·浙江温州·二模）如图是遮阳伞撑开后的示意图，它是一个轴对称图形，若，米，与地面垂直且米，则的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，轴对称性质等知识点，先证明出，然后求出，进而可求出，理解题意，弄清直角三角形中的边角关系是解题的关键． 【详解】∵整个图形是一个轴对称图形， ∴， ∵，米， ∴， 在中， 米， ∵米， ∴（米）， 故选：C． 25．（2024·浙江温州·二模）如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和正弦定义，能够构造直角三角形是解题的关键，过点A作，交于点D，则，先由勾股定理求出的长，再利用正弦定义求解即可． 【详解】过点A作，交于点D，则， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 26．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜中线定理，中垂线定理，连接，先证明，得出，再根据，求得与的关系式，运用这些性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 27．（2024·浙江杭州·二模）如图，在直角三角形中，．点在边上，点分别在和边上．若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 设正方形的边长为，通过正方形性质推导，则，根据三角函数得，可知、，根据化简即可． 【详解】解∶设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， 又 又 ， ， ， 故选：A． 28．（2024·浙江杭州·二模）如图，矩形，点E、F分别是，上一点，连接，令，已知，， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 根据，设，则，可得，然后求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，，则的值为    【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，过点作边的垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键． 过点作边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作边的垂线，垂足为，    在中， ， ， ， ． 在中， ， ． 故答案为：． 30．（2024·浙江温州·二模）如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度 （相关数据如图2所示）． 【答案】 【分析】由题意得：，，过作于点，由勾股定理得：，易得四边形为矩形，则有，过作于点，交于点，易得四边形为矩形，证明，根据性质可得，最后由线段和差即可求解． 【详解】由题意得：，， 如图，过作于点， 则， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 过作于点，交于点， 易得四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵投射角始终不变， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质和矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 31．（2024·浙江杭州·二模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型4 三角形相似及相似性质 32．（2024·浙江杭州·二模）如图，是对角线上一点，满足，连接并延长交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 33．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，可得，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即可求的面积， 故选：B． 34．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 35．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，记的面积为，三个正方形的面积和为，过点C作于点M，连接交于点N，设，，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点P，先求出，再利用得出，进而可得出，解出，，然后得出，，从而即可得解． 【详解】设与交于点P， 在中，，在中，， ∴， ∵，， ∴    ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴（负值已舍）， ∴，即， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 36．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点在上，交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，先求出，再证明，最后根据相似比即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 37．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，，于点D，，，点E是上一点，且 ，连结并延长交于点F，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，利用等积法和勾股定理分别求得，，再证明，求得，根据列式计算即可求解． 【详解】解；作于点， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 38．（2024·浙江金华·二模）如图，在中，，，，是边上的中线，点E在上，连结，将沿着向内部翻折得到．若，则 ．    【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．延长交于点，利用等积法求得，利用正切函数求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图，    由折叠知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∵， 又， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 题型5 解三角形的应用综合题 39．（2024·浙江杭州·二模）如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门为米，车门打开最大角度为．当两辆小汽车水平距离为米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．（结果精确到米，参数考据：，，） 【答案】会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，解求出，与米比较即可判断求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：会，理由如下： 过点作，垂足为点， 在中，∵，米， 米， ∵两辆小汽车水平距离为米大于米， ∴右边小汽车在打开车门时会碰到左边小汽车． 40．（2024·浙江杭州·二模）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，） (1) ； ． (2)求匾额下端距离地面的高度． 【答案】(1)， (2)匾额悬挂高度为米 【分析】（）根据垂直的定义可得，再利用锐角三角函数即可解答； （）利用矩形的判定与性质可知，，设再利用锐角三角函数即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵米，，，， ∴， ∴， 故答案为，0.8； （2）解：过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 答：额下端距离地面的高度约为米； 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂直的定义，锐角三角函数，垂直的定义，直角三角形的判定与性质，正切，余弦，正弦，掌握锐角三角函数是解题的关键． 41．（2024·浙江杭州·二模）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到） （参考数据：）    【答案】 【分析】过点作，垂足为，在中，根据求出，过点作，垂足为，在中，根据求出，进而求解即可． 【详解】过点作，垂足为． 在中，， ∴． 过点作，垂足为．    在中，， ∴． ∵， ∴． 答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键． 42．（2024·浙江台州·二模）图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，支撑板．当支撑板卡到最里面一档，正好垂直于地面；当支撑板卡到最外面一档，与地面的夹角，求支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了多少．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了大约． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．过点作于点，根据正弦的定义求出，进而得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ， ， 答：支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了大约． 43．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 【答案】该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，，牛， ， （牛）， 答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 44．（2024·浙江嘉兴·二模）综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？ 素材1：如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角． 素材2：如图2，在路灯正前方的点D处测得，，． 根据以上素材解决问题： (1)求灯杆的长度． (2)求灯管支架的长度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． （1）在中，利用直角三角形的边角间关系得结论； （2）过点作，过点作，构造直角三角形、．设，用含的代数式表示，，先利用直角三角形的边角间关系求出，再利用直角三角形的边角间关系求出． 【详解】（1）∵在中，， ， ． （2）如图，过点C作于点E，过点B作于点E． 设． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， 所以灯管支架的长约为． 45．（2024·浙江湖州·二模）如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）． (1)求出遮阳棚前端到墙面的距离； (2)已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？ （结果精确到0.01，参考数据：，，，） 【答案】(1)遮阳棚前端M到墙面的距离为米； (2)加装的前挡板的宽度的长是米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）如图：过点M作，垂足为N，在中，利用正弦求出的长度即可； （2）如图：过点E作，垂足为H，在中，利用余弦求出的长度，在中，利用正切求出，最后利用线段的和差求出结果． 【详解】（1）解：如图：过点M作，垂足为N， 在，米，， ， ∴米． 答：遮阳棚前端M到墙面的距离为米． （2）解：如图：过点E作，垂足为H， 在，米，， ∴米， ∵米， ∴米， 由（1）可知米， ∵米，米， 米， 在中，米， 米． 答：加装的前挡板的宽度的长是米． 46．（2024·浙江·二模）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．    (1)在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）． (2)如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的性质，经过圆心的直径最大，圆心外端的圆上点最远点，圆心内端的圆上点最近点，确定这两个点的位置，后计算即可． （2）过点D作交于点M，解直角三角形计算即可． 本题考查了圆的性质，解直角三角形，熟练掌握圆的性质，解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）∵直径， ． ∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为， ， ． （2）过点D作交于点M（如图）    ∵ ∵ ， ∵， 镜面上的点到桌面的最短距离 （即）． 47．（2024·浙江金华·二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值． (2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 【答案】(1) (2) (3)近似值：；误差：；建议：多测几次，或者选用更精密的测量工具等． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平方差公式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用两角和的正切值公式： ，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， ∴万佛塔的高度为； （3）万佛塔的高度 ， ∵万佛塔的实际高度是， ∴本次测量结果的误差， 建议：多次测量求平均值，可以减小误差． 48．（2024·浙江杭州·二模）雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点，测得雷峰塔底端的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：） 【答案】约 【分析】此题主要考查解三角形的应用，过点A作，垂足为C，先证明为等腰直角三角形，得到，再解直角三角形求出，即可求得答案． 【详解】解：过点A作，垂足为C，如下图所示， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， 故雷峰塔的高度约为． 49．（2024·浙江·二模）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图． 已知屋面的倾斜角为，真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米，水平横管的长度米．（参考数据： ） (1)求水平横管到水平线的距离． (2)求真空管与屋面的长度差． 【答案】(1)1.5米 (2)0.1米 【分析】（1）作于F，设.在Rt中，由正切函数将用含x的代数式表示出来，则可得的长度.在Rt中，根据列方程，求出x的值，即可求出的长，即水平横管到水平线的距离． （2）在Rt中，根据可求出的长度，在Rt中，根据可求出的长度，从而可求出与的长度差. 【详解】（1） 作于F，则， 设，则 在Rt中，， 则 在Rt中，， 解得，， 水平横管到水平线的距离为1.5米. （2）∵在Rt中， 在Rt中， ∴真空管与屋面的长度差为0.1米. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 题型6 三角形相似综合题 50．（2024·浙江杭州·二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分． (1)求证：； (2)当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图可知，得，由邻补角性质得，由平分，可得，即可得证； （2）由（1）可得，由相似性质得，再因为，即可求解． 【详解】（1）解：证明： ， ， ， 平分， ， ； （2） ， ， ， ， ， ， ． 51．（2024·浙江杭州·二模）在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求的长． (2)作的平分线与相交与点G，连接，求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了正方形，相似三角形．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． （1）根据正方形对边平行证明，得到，根据，即得； （2）过点G作，，垂足分别为点H，I，根据正方形角的性质和角平分线性质证明四边形是正方形，设边长为x，证明，得到， ，解得，得到，根据勾股定理即得． 【详解】（1）∵正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图过点G作，垂足为点H，作，垂足为点I， 则， ∵四边形是正方形, ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴矩形是正方形，设边长为x， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．（2024·浙江杭州·二模）在矩形中，，，点是上的一个动点，点与点关于对称，连接，延长交射线于点，延长交或于点，如图1，图2． (1)如图1，若，求； (2)如图2，当时，求的长； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据补角的定义求出的度数，再根据翻折的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可； （2）证明得出和的关系，根据折叠的性质得出，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）分两种情况：当在线段上时；当在延长线上时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ； （2）解：由折叠的性质可得：，， ， ， ， 设，， ， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ； （3）解：如图，当在线段上时，如图，作交于， ，， ，， 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ， ，为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 设，则， 为等腰直角三角形，， ， ，即， 解得：， ， ， ； 如图，当在延长线上时，作交于， ， ， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、翻折的性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． 53．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，P为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，交于点H，，连结，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质、线段垂直平分线的性质可证明，继而求解即可； （2）先由勾股定理求出，再由等腰直角三角形的性质得出，通过证明，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$