专题02 方程与不等式（九大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题02 方程与不等式 题型1 等式与不等式性质 1．（2024·浙江绍兴·二模）要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（   ） A． B．2 C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知， 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 数轴表示不等式解集 3．（2024·浙江杭州·二模）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江台州·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3 不等式方程（组）的解 5．（2024·浙江·二模）不等式组的整数解的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江温州·二模）不等式的解为 8．（2024·浙江嘉兴·二模）不等式的解集是 ． 9．（2024·浙江温州·二模）不等式组的解为 ． 题型4 一次方程（组）的应用 10．（2024·浙江湖州·二模）小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是，单色地砖数是，则列的方程组是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 12．（2024·浙江绍兴·二模）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 13．（2024·浙江·二模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·浙江温州·二模）一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗．则需种植的树苗数为 棵． 16．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日． 17．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．      题型5 分式方程的应用 18．（2024·浙江杭州·二模）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（2024·浙江台州·二模）甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做个零件，甲做个零件所用时间与乙做个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？如果设乙每小时做个零件，那么列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·浙江台州·二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 21．（2024·浙江温州·二模）某地发生地震后，受灾地区急需大量物资．某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高效率，实际每天生产帐篷比原计划多100顶．已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同．设该企业现在每天生产帐篷x顶，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·浙江温州·二模）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·浙江温州·二模）某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务.设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江台州·二模）为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的消淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天完成x 米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2024·浙江杭州·二模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 本． 题型6 一元二次方程及根的判别式 26．（2024·浙江杭州·二模）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 27．（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 28．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 29．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 30．（2024·浙江温州·二模）若一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ． 31．（2024·浙江杭州·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 题型7 解方程计算题 32．（2024·浙江杭州·二模）（1）解方程： （2）解不等式：． 33．（2024·浙江台州·二模）计算： 解方程组： 34．（2024·浙江台州·二模）解方程：． 35．（2024·浙江金华·二模）解不等式组：． 36．（2024·浙江嘉兴·二模）解方程组 题型8 解方程方法步骤综合题 37．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 38．（2024·浙江杭州·二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 39．（2024·浙江金华·二模）解不等式小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ 40．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 41．（2024·浙江金华·二模）下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请写出你认为正确的解答过程． 42．（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 43．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下： 解：由①，得，    第一步 ∴，        第二步 ∴．        第三步 由②，得，    第四步 ∴，        第五步 所以原不等式组的解为．    第六步 (1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 44．（2024·浙江金华·二模）小汪解答“解分式方程： ”的过程如下： 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 解：去分母得：…①， 去括号得：…②， 移项得：…③， 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤， 经检验，是原分式方程的解． 题型9 方程的应用综合题 45．（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 46．（2024·浙江·二模）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝文化衫各几件？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式 题型1 等式与不等式性质 1．（2024·浙江绍兴·二模）要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项再运算减法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知， 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型2 数轴表示不等式解集 3．（2024·浙江杭州·二模）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是点的坐标和解一元一次不等式组，根据坐标符号特点列出不等式和正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键． 根据第二象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，解之可得． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第二象限内， ， 解得：， 故选：C． 4．（2024·浙江台州·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式的解法和在数轴上表示解集，解不等式后，把解集表示在数轴上即可. 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化1得， 在数轴上表示为 故选：A 题型3 不等式方程（组）的解 5．（2024·浙江·二模）不等式组的整数解的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式组的解集是， 其整数解有1，2，3，4共4个， 故答案为：B． 6．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 根据图象得出，再由不等式的性质得出，再由图象确定交点为，即可求解． 【详解】解：根据图象得：， ∵， ∴， 当时，， ∴两直线的交点为， ∴当时，， 即的解集是． 故选：C． 7．（2024·浙江温州·二模）不等式的解为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解不等式．熟练掌握解不等式的方法和不等式解集的表示方法，是解决问题的关键． 首先解不等式，得，而后将解集表示在数轴上． 【详解】∵， ∴两边都除以，得， 在数轴上表示出来，如图所示， 故答案为：． 8．（2024·浙江嘉兴·二模）不等式的解集是 ． 【答案】x＞1． 【详解】移项得，2x＞3﹣1， 合并同类项得，2x＞2， 把x的系数化为1得，x＞1． 故答案为x＞1． 9．（2024·浙江温州·二模）不等式组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 题型4 一次方程（组）的应用 10．（2024·浙江湖州·二模）小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是，单色地砖数是，则列的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据数量关系及总价列出两个二元一次方程即可． 【详解】解：∵购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块 ∴ ∵买两种地砖共花去2220元 ∴． 故方程组为； 故选：B． 11．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选：C 12．（2024·浙江绍兴·二模）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可. 【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛， ∴5x+y=3， ∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛， ∴x+5y=2， ∴得到方程组， 故选：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 13．（2024·浙江·二模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得，根据“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可得，即可求解． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得 故选B 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键． 14．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 15．（2024·浙江温州·二模）一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗．则需种植的树苗数为 棵． 【答案】35 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设则需种植的树苗数为x棵，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设则需种植的树苗数为x棵， 由题意可得：， 解得： 所以需种植的树苗数为35棵． 故答案为：35． 16．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日． 【答案】780 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设主人的马的速度为x里/日，根据主人追上客人时两人行驶路程相等列方程，即可求解． 【详解】解：设主人的马的速度为x里/日， 根据题意，得， 解得， 即主人骑马的速度为780里/日． 故答案为：780． 17．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．      【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次方程的应用，设秤盘的质量为，秤砣的质量为，根据题意列出二元一次方程组，求解即可得出秤盘的质量为，秤砣的质量为，设这把杆秤的秤星对应的刻度是克，再列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组以及方程是解此题的关键． 【详解】解：设秤盘的质量为，秤砣的质量为， 由题意得：， 解得：， 秤盘的质量为，秤砣的质量为， 设这把杆秤的秤星E对应的刻度是克， 由题意得：， 解得：， 这把杆秤的秤星对应的刻度是克， 故答案为：，． 题型5 分式方程的应用 18．（2024·浙江杭州·二模）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的运用，根据题目数量关系列式求解即可，掌握分式方程的运用是解题的关键． 【详解】解：设规定日期为x天，甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天， ∴乙完成的天数是天， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 现在甲、乙两队合做2天， ∴剩下的工作量为， 剩下的由乙队单独做，恰好如期完成， ∴， 整理得，， 故选：C ． 19．（2024·浙江台州·二模）甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做个零件，甲做个零件所用时间与乙做个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？如果设乙每小时做个零件，那么列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，设乙每小时做个零件，则甲每小时做个零件，再根据甲做个零件盒乙做个零件的时间相等，列出分式方程，即可． 【详解】设乙每小时做个零件， ∴甲每小时做个零件， ∵甲做个零件所用的时间与乙做哥零件所用的时间相等， ∴， 故选：B． 20．（2024·浙江台州·二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由这批椽的数量，可得出每株椽的价钱为文，结合单价总价数量，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，且这批椽的数量为株， 每株椽的价钱为文． 根据题意得：． 故选：B． 21．（2024·浙江温州·二模）某地发生地震后，受灾地区急需大量物资．某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高效率，实际每天生产帐篷比原计划多100顶．已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同．设该企业现在每天生产帐篷x顶，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 根据题意直接列出方程选择即可． 【详解】设该企业现在每天生产帐篷x顶，则原计划每天生产顶， 根据题意有：． 故选D． 22．（2024·浙江温州·二模）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据加压后气体对气缸壁所产生的压强比加压前增加列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即， 故选：A． 23．（2024·浙江温州·二模）某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务.设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原计划每天修米，根据结果提前2天完成了任务列方程即可． 【详解】设原计划每天修米，由题意得 ． 故选D． 【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 24．（2024·浙江台州·二模）为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的消淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天完成x 米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．设原计划每天完成x米的清淤任务，则实际施工时每天完成米的清淤任务，根据实际比原计划提前10天完成任务，列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天完成x米的清淤任务，则实际施工时每天完成米的清淤任务， 根据题意，得， 故选：D． 25．（2024·浙江杭州·二模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 本． 【答案】40 【分析】设第一次购进x本书，则第二次购进本书，根据“两次进价相同”列出分式方程求解，正确理解题意列得分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次购进x本书，则第二次购进本书，则 ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 故答案为40． 题型6 一元二次方程及根的判别式 26．（2024·浙江杭州·二模）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式列得方程求解即可，正确掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键 【详解】解： 解得， 故选：B 27．（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 28．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 29．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为， ∴， ∴ ； 故选B． 30．（2024·浙江温州·二模）若一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】9． 【详解】分析：根据一元二次方程的根的判别式，满足△=b2-4ac=0，得到有关m的方程即可求出m的值． 详解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=36-4m=0， 解得：m=9， 故答案为9． 点睛：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根； （2）△=0，方程有两个相等的实数根； （3）△＜0，方程没有实数根． 31．（2024·浙江杭州·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可． 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴①③正确，②不正确； ∵ ， ∴④不正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型7 解方程计算题 32．（2024·浙江杭州·二模）（1）解方程： （2）解不等式：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用配方法求出解即可； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解集． 【详解】（1）解: 两边同时加1得 配方得（或代入求根公式） 直接开平方法得 ， （2）解: 因为， 两边同乘以6得：， 移项、合并同类项得：， 得． 33．（2024·浙江台州·二模）计算： 解方程组： 【答案】 【分析】（由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解： 由①②得，解得； 将代入①得，解得； 方程组的解为． 34．（2024·浙江台州·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法．先去分母，两边同时乘，化为整式方程后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：两边同时乘，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 35．（2024·浙江金华·二模）解不等式组：． 【答案】． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集是：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 36．（2024·浙江嘉兴·二模）解方程组 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可； 【详解】解： 由得，， 解得，， 把代入①得，， ∴方程组的解为． 题型8解方程方法步骤综合题 37．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，分式的加减运算，理解题干信息是解本题的关键． （1）根据题干信息归纳：当两个未知数的系数的和相等，右边的常数也相等时，方程组的解为右边的常数除以系数和，从而可得答案； （2）①根据规律猜想即可；②把猜想的解分别代入方程组中的每个方程进行检验即可． 【详解】（1）解：由题意可得：的解是： ； （2）解：①关于x，y的二元一次方程组的解是： ； ②把代入①的左边可得： 右边， 把代入②的左边可得： 右边， ∴是方程组的解． 38．（2024·浙江杭州·二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：原方程为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为m， 方程两边同时乘以， 得 ∵原方程无解 ∴是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． 39．（2024·浙江金华·二模）解不等式小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ 【答案】①②⑤，过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：错误步骤：①②⑤， 正确的解答过程如下： ， ， ， ， ， ∴原不等式的解集为：． 40．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 41．（2024·浙江金华·二模）下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】一，正确解答过程见解析 【分析】根据一元一次不等式的解法，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法． 【详解】解：小明的解答过程从第一步开始出现错误； 正确的解答过程为： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为：一． 42．（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 43．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下： 解：由①，得，    第一步 ∴，        第二步 ∴．        第三步 由②，得，    第四步 ∴，        第五步 所以原不等式组的解为．    第六步 (1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)四 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是： （1）根据解不等式的方法得到开始出现错误的步骤； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：小南的解答过程从第四步开始出现错误， 故答案为：四 （2）解：由①，得， ∴， ∴． 由②，得， ∴， ∴， ∴， 所以原不等式组的解为． 44．（2024·浙江金华·二模）小汪解答“解分式方程： ”的过程如下： 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 解：去分母得：…①， 去括号得：…②， 移项得：…③， 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤， 经检验，是原分式方程的解． 【答案】第①步开始错，正解见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程等知识点，根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】不正确，从第①步开始错，正确步骤如下： 原方程去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 题型9 方程的应用综合题 45．（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 【答案】大于小于等于 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找到不等关系是解题的关键．根据“放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出”列不等式组求解． 【详解】解：设一个玻璃球的体积为， 则：， 解得：， 答：一个玻璃球体积的取值范围为大于小于等于． 46．（2024·浙江·二模）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝文化衫各几件？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件 (2)学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润5500元 【分析】（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件， 依题意，得：，计算求解即可； （2）设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，由题意得，可确定的取值范围，根据和的函数关系求最大值即可． 【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件， 依题意，得：， 解得，， 答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件． （2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ， ∴， 由题意得， 解得， ∵ ， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大利润元， ∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握并正确的列等式、不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$