精品解析：2024年辽宁省丹东市凤城市九年级中考二模数学试题

2023——2024学年度毕业考试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（ ） A. 繁 B. 荣 C. 昌 D. 盛 3. 河南许昌胖东来2024年春节假期4天接待游客144万人次，总游客量超越了河南所有景区跃居榜首，有望成为一个级景区，144万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ） A. B. C. D. 5. 年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，．连接，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接交于点H，则的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） （请用0.5mm黑色水性笔将答案写在答题卡对应的位置上） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量x的取值范围是___________ 12. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________． 13. 不等式组的所有整数解的乘积是___________． 14. 阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与分别相切．问题：过点B做圆的切线，切点为E，交于点F，若，且，则的半径为______． 15. 如图所示、四边形为正方形，，点E为边中点，点F在边上，连接，将图形沿翻折，点A对应点为点，当时，则的长是__________． 三、解答题（木颗小道75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简：，再从，，1，2选择中一个合适的数作为的值代入求值． 17. 为丰富学生的课余生活，促进学生全面发展．某学校积极开展课后服务，提供多样化的社团活动供学生选择，其中包含：A．文学社科类；B．体育健康类；C．乐舞美学类；D．科技创新类．该校为了解学生对以上各类课后服务的兴趣，随机对部分学生进行了问卷调查，并将结果绘制成以下两幅统计图．请根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“B”所对应的圆心角等于__________度； （3）科技创新社团组织了一次知识帮赛，前20名同学的成绩统计如下： 分数 98 97 96 95 94 93 人数 2 5 4 3 4 2 这20名同学的成绩数据中，中位数是_________分，众数是____________分； （4）若学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择A类课后服务的学生有多少人？ 18. 今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）． （1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ （2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？ 19. 阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ （1）任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ （2）应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 21. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求阴影部分的面积． 22. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 23. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023——2024学年度毕业考试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（ ） A. 繁 B. 荣 C. 昌 D. 盛 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方形的展开图是解题的关键．根据正方形的展开图找到对立面即可得到答案． 【详解】解：正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是“盛”， 故选：D． 3. 河南许昌胖东来2024年春节假期4天接待游客144万人次，总游客量超越了河南所有景区跃居榜首，有望成为一个级景区，144万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：144万用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】解：甲、乙位于直线的两侧， 根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求； 故选：A． 【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接． 5. 年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 6. 如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，即可判断． 【详解】解：显然中，，即是直角三角形，又，，因此． A、三角形是钝角三角形，故本选项不符合题意； B、直角三角形的两直角边的比是，故本选项不符合题意； C、直角三角形的两直角边的比是，故本选项符合题意． D、如图，，，，，因此不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物） 地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物） 化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物） 生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学） 共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种， 恰好选择化学和生物的概率为． 故选：B． 8. 苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和以及三角形的内角和．掌握边形的内角和为是解题的关键．根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据等腰三角形的性质求的度数，同理可得的度数，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ． 同理可得， ． 故选B． 9. 如图，在矩形中，，．连接，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接交于点H，则的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 如图，过H点作于M， 由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴． ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明是解本题的关键． 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵图象的开口向下， ∴， ∵图象与y轴的交点为， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴①符合题意， ∵抛物线的对称轴为， ∴M关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随着x的增大而增大， 又∵， ∴， ∴②符合题意， 由题意得：， ∵当时，较小的一个根为， ∴， 解得：， ∴③不合题意， 当时，抛物线的解析式为， ∴， 取，得， 解得，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴④符合题意， ∴符合题意的有①②④， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） （请用0.5mm黑色水性笔将答案写在答题卡对应的位置上） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量x的取值范围是___________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂底数不为0，列式计算即可得解． 【详解】解：依题意有且且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________． 【答案】a≤且a≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可． 【详解】由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0， 解得a≤， 又a-1≠0， ∴a≤且a≠1. 故答案为a≤且a≠1. 【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键． 13. 不等式组的所有整数解的乘积是___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解，分别求出两个不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解再相乘即可． 【详解】解： 解不等式①得， ， 解不等式②得， ， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为0，1 ∴所有整数解的乘积为0， 故答案为：0 14. 阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与分别相切．问题：过点B做圆的切线，切点为E，交于点F，若，且，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，正方形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键．设为与的切点，为与的切点，连接，，，根据圆的切线性质，和切线长定理得，，，，，由，得到，设半径为，则，，在中，利用，即可求解． 【详解】解：设为与的切点，为与的切点，连接，，， 是切线，、、是切点， ，，，，， 正方形中，，又， ， ， ， ，，，， 四边形为正方形， 设半径为，则，， 在中，， 解得． 故答案为：． 15. 如图所示、四边形为正方形，，点E为边中点，点F在边上，连接，将图形沿翻折，点A对应点为点，当时，则的长是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠、正方形的性质以及正切的定义．分情况讨论当在上方时，当在上方时，过作于点M，交于点Q，分别过作于点N，于点P，利用角度互余关系分别得到，然后利用正切的定义分别求出、、，从而求出则可求，当在下方时，同理计算即可． 【详解】解：如图，当在上方时，过作于点M，交于点Q，分别过作于点N，于点P， ∵， ∴， ∴ ∵，点E为边中点， ∴， 在中， ， ∴设， 则， 则，， 由 则有，由， 同理，可求得， ∴， 由辅助线可知， ， ∵， ， ∴， ∴， 同理，可求得， ∴ 如图，当在下方时，过作于点M，交延长线于点Q，分别过作于点N，于点P， 由辅助线可知， 在中，， ， 则同理可得， 同理，由两角关系可求得，， 在中， 同理可求得， ∴， 在中， ， 同理可求得， 则 故答案为：或 三、解答题（木颗小道75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简：，再从，，1，2选择中一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）6；（2），1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数运算，零指数幂，负整数指数幂，一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先进行分式的混合运算，然后选择合适的数，代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ， 要使有意义，需满足且， 解得：不等于， 当时，原式． 17. 为丰富学生的课余生活，促进学生全面发展．某学校积极开展课后服务，提供多样化的社团活动供学生选择，其中包含：A．文学社科类；B．体育健康类；C．乐舞美学类；D．科技创新类．该校为了解学生对以上各类课后服务的兴趣，随机对部分学生进行了问卷调查，并将结果绘制成以下两幅统计图．请根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“B”所对应的圆心角等于__________度； （3）科技创新社团组织了一次知识帮赛，前20名同学的成绩统计如下： 分数 98 97 96 95 94 93 人数 2 5 4 3 4 2 这20名同学的成绩数据中，中位数是_________分，众数是____________分； （4）若学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择A类课后服务的学生有多少人？ 【答案】（1）200，图见解析； （2）108 （3）96，97 （4）1260 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数的概念，样本估计总体，熟练掌握相关概念以及数据分析能力是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，可知D类学生有50人，占比，由此求得调查总人数，进而求得B类学生人数，补全条形统计图即可； （2）求出B类学生占比，用占比乘以即求得扇形“B”所对应的圆心角； （3）根据中位数和众数的概念求解即可； （4）求出A类学生占比，用总人数乘以A类学生占比，即可估计选A类课后服务的学生的总人数． 【小问1详解】 解：根据条形统计图和扇形统计图，可知D类学生有50人，占比， 本次调查的学生共有（人） B类学生有（人） 补全条形统计图如图所示， 【小问2详解】 解：B类学生占比为， 扇形“B”所对应的圆心角等于． 【小问3详解】 解： 第10，11名同学的成绩为96，96， 中位数是， 在这些成绩中97出现了5次，次数最多， 众数是97． 【小问4详解】 解： A类学生占比为， 若学校共有3600名学生，根据调查数据估计选择A类课后服务的学生有： （人） 答：若学校共有3600名学生，根据调查数据估计选择A类课后服务的学生有1260人． 18. 今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）． （1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ （2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？ 【答案】（1）鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 （2）该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套 【解析】 【分析】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）设购买鲁迅文集a套，根据题意，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； 【小问2详解】 解：设购买鲁迅文集a套， 由题意得：， 解得：， ∵且a为正整数， ∴或， 则该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套． 【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式． 19. 阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ （1）任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ （2）应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 【答案】（1）三角形的中位线定理，相似三角形的性质 （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质， （1）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解即可； （2）①首先根据重心的性质得到，然后求解即可； ②首先得到点O是的重心，求出，利用重心的性质求解即可． 【小问1详解】 依据1：三角形的中位线定理； 依据2：相似三角形的性质； 【小问2详解】 ①∵G是的重心， ∴， ∵， ∴ ∴； ②∵中线、相交于点O， ∴点O是的重心， ∴， ∴ 故． 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 【答案】（1）点到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 21. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可； （2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案； 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点O， ∴是的切线． 【小问2详解】 连接，过O作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键． 22. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 【答案】探索： 应用：（1） （2） 拓展:（3） 【解析】 【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案； 应用：（1）延长交轴于点，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案； 拓展：取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案. 【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点， 令得 ， ∴ ，即 ， 令 ，得， 解得：， ∴，即 ， ∵ 轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 应用：（1）如图， 延长交轴于点，则， ， ，， ， ， ， 把 代入得:， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知, 设直线的解析式为则 ， 解得：， ， 如图，设 ，则， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ∴当 时，取得最大值 ， 答：的最大值为 【拓展】如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大， ， ， 在 中, ， ， ， 又， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 答：最高应为 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键. 23. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 【答案】（1）①证明见解析；②67.5 （2） （3）或或2 【解析】 【分析】（1）①正方形的性质结合即可得证；②连接，先证明垂直平分，进而得到，利用等边对等角进行求解即可； （2）取的中点，连接，三角形的中位线，得到，设，证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点为直角顶点和点为直角顶点，两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验：是原方程的解， ∴； 【小问3详解】 ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点为直角顶点时，如图： 设， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：或； 经检验或是原方程的解， ∴或； 当点为直角顶点时，如图：过点作， 则：，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上： 或或． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $