专题03一元一次不等式组的应用（思维导图+2重点+6题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题03 一元一次不等式组的应用 知识点1：由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点2：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 题型归纳 【题型1 排队等候时间问题】 满分技法 排队等候时间问题的解题步骤： 第1步:认真审题,找出题中的已知量和未知量，以及它们之间的关系； 第2步:列表表示出所有的排队顺序、每个个体等候时间及等候时间总和； 第3步:结合表格得出实际问题的答案,并写出. 1．春运期间，在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站等的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放个检票口；根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答． 【解答】解：设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放个检票口， 由题意得：， 由①②得：， ， ，即， ， ， 又取最小值的整数， ，即至少要同时开放4个检票口． 故选：． 【点评】此题属于应用类问题，涉及了不定方程及一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式． 2．春运开始，婺源长途汽车站以服务乘客为宗旨，随时根据乘客流量，调整检票口的数量，尽量使乘客不在车站滞留．2月9日，车站开始检票时，有名乘客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有乘客继续前来排队检票进站．设乘客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候检票的乘客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的乘客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，以使后来到站的乘客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 【分析】设旅客增加速度为人分；检票的速度为人分，至少要同时开放个检票口，根据题意的等量关系可列出方程，，从而可解出中的的范围，也就得出了答案． 【解答】解：设旅客增加速度为人分；检票的速度为人分，至少要同时开放个检票口，依题意有 ，， 如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，则可得， 解得：． 答：如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，以使后来到站的乘客能随到随检，至少要同时开放4个检票口． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，难度较大，涉及的未知数比较多，但需要解出的只有一个，这就要求我们大胆的假设，这样有助于解题，并不是每个未知数都需要解出． 3．在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能够随到随检，问需要同时开放几个检票口？ 【分析】先设一个窗口每分检出的人是，每分来的人是，至少要开放个窗口；根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答． 【解答】解：设一个窗口每分检出的人是，每分来的人是，至少要开放个窗口； ①， ②， ， 由①②得：， ， ，即， ， 在不等式两边都除以得：． 答：至少要同时开放3个检票口． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式：30分的工作量分增加的人数；分的工作量分增加的人数；开放窗口数检票速度分增加的人数．要设出未知数，难点是消去无关量． 【题型2 根据实际问题列一元一次不等式(组)】 满分技法 列一元一次不等式(组)解决实际问题，其关键是寻找题目中的不等关系.不等关系可分为两类:一是题目中的关键词语,如“大于”“小于”“至多”“至少”“超过”“不超过”等，直接根据关键词语表示不等关系;二是没有明显的关键词语，要在充分理解题意的基础上，提炼出具有不等关系意义的量,列出不等式. 4．（2023春•萧县校级月考）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设购买甲商品件，则购买乙商品件，根据“购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元”，即可得出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【解答】解：设购买甲商品件，则购买乙商品件， 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【题型3 盈亏问题】 满分技法 仔细阅读题目，理解问题的背景和具体情境。明确题目中涉及的各个元素，如分配的对象、分配的方式、分配的数量等. 5．（2023春•天长市校级月考）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为，则列式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组． 【解答】解：根据小朋友的人数为，根据题意可得： ， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键． 6．（2023春•定远县校级期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生　　 A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 【答案】 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可． 【解答】解：假设共有学生人，根据题意得出：， 解得：． 因为是正整数，所以符合条件的的值是11或12． 观察选项，选项符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 7．（2023春•金寨县期中）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【答案】有26本书，6个学生． 【分析】设有个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到2本”列不等式． 【解答】解：设有个学生，那么共有本书，则： ， 解得， 所以，共有本． 答：有26本书，6个学生． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 【题型4 采购方案问题】 满分技法 采购方案不等式解题技巧主要涉及根据采购条件设置不等式，然后通过求解这些不等式来找到满足条件的采购方案。具体步骤如下： （1） 理解问题背景，理解采购的具体要求和限制条件，确定需要采购的商品种类、数量、单价以及总预算等关键信息； （2） 根据题目要求，设立一个或多个不等式来表示采购的限制条件。 （3） 求解不等式，在求解过程中要特别注意不等号的方向，避免出错。 （4） 验证解的正确性，既要验证不等式计算的正确性，还要验证得到的解是否满足题目的所有条件和实际要求。 注意：在实际问题中，可能还需要考虑其他因素，如商品的可用性、运输成本等，这些因素也会影响到最终的采购方案。 8．（2023春•宣城期末）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买，两种笔记本作为奖品，种笔记本每本8元，种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有　　 A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 【答案】 【分析】当购买6本种笔记本时，分购买4本种笔记本、购买5本种笔记本及购买6本种笔记本及购买7本种笔记本四种情况考虑，根据“种笔记本至少购买4本，且总价不超过100元”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出购买方案的数量． 【解答】解：设购买本种笔记本． 当购买4本种笔记本时，， 解得：， 又为正整数， 可以为4，5，6，7， 当购买4本种笔记本时，有4种购买方案； 当购买5本种笔记本时，， 解得：， 又为正整数， 可以为4，5，6， 购买5本种笔记本时，有3种购买方案； 当购买6本种笔记本时，， 解得：， 又为正整数， 可以为4，5， 当购买6本种笔记本时，有2种购买方案； 当购买7本种笔记本时，， 不等式组无解，即不存在该种情况． 上所述，购买方案共有（种． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 9．（2024春•庐阳区校级期中）今年3月份新能源汽车迎来一次降价潮，某店经销的某品牌款汽车、款汽车都进行了相应的降价，若按此价格月售20台款汽车和10台款汽车，销售额为230万元；月售10台款汽车和20台款汽车，销售额为220万元． （1）求今年3月份款汽车和款汽车每辆的售价各是多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的、款汽车，已知款汽车每辆进价为6.5万元，款汽车每辆进价为5万元，公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进款汽车的数量不少于购进款汽车的数量，有哪几种进货方案？并求出最大利润． （3）按照（2）中两种汽车进价不变，为打开款汽车的销路，公司决定对款汽车进行打九八折出售，并给出每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元的利好政策，要使（2）中所有的方案获利相同，的值应是 　0.36　万元．（不必提供求解过程，直接给出值即可） 【答案】（1）今年3月份款汽车的售价是8万元辆，款汽车的售价是7万元辆； （2）该汽车销售公司共有3种进货方案， 方案1：购进8辆款汽车，7辆款汽车； 方案2：购进9辆款汽车，6辆款汽车； 方案3：购进10辆款汽车，5辆款汽车， 最大利润为26万元； （3）0.36． 【分析】（1）设今年3月份款汽车的售价是万元辆，款汽车的售价是万元辆，根据“月售20台款汽车和10台款汽车，销售额为230万元；月售10台款汽车和20台款汽车，销售额为220万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该汽车销售公司购进辆款汽车，则购进辆款汽车，根据“公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进款汽车的数量不少于购进款汽车的数量”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，可得出各进货方案，求出各方案的利润，比较后即可得出结论； （3）由（2）中所有的方案获利相同，可得出，两款汽车每台的销售利润相同，进而可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设今年3月份款汽车的售价是万元辆，款汽车的售价是万元辆， 根据题意得：， 解得：． 答：今年3月份款汽车的售价是8万元辆，款汽车的售价是7万元辆； （2）设该汽车销售公司购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为8，9，10， 该汽车销售公司共有3种进货方案， 方案1：购进8辆款汽车，7辆款汽车，销售利润为（万元）； 方案2：购进9辆款汽车，6辆款汽车，销售利润为（万元）； 方案3：购进10辆款汽车，5辆款汽车，销售利润为（万元）． ， 最大利润为26万元； （3）（2）中所有的方案获利相同， ，两款汽车每台的销售利润相同， ， 解得：， 的值应是0.36万元． 故答案为：0.36． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 10．（2023春•霍邱县期中）利用方程（组或不等式（组解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元． （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ （2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由． 【答案】（1）购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元； （2）3种，选择购买《论语》38本，《孟子》12本，理由见解析过程． 【分析】（1）设购买《论语》的单价是元，则购买《孟子》的单价是元，根据等量关系式列出方程，，然后解方程组； （2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本，按照题意列出不等式，然后解不等式，不少于38本，确定的取值范围，根据为正整数，确定的值，算出各方案的值，比较大小，确定学校应选择的方案． 【解答】解：（1）设购买《论语》的单价是元，则购买《孟子》的单价是元，依题意得： ， 解得：， 答：购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元； （2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本，依题意得： ， 解得：． ， ． 又为正整数， 可以为38，39，40， 共有3种购买方案， 方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本， 所需总费用为（元； 方案2：购买《论语》39本，《孟子》11本， 所需总费用为（元； 方案3：购买《论语》40本，《孟子》10本， 所需总费用为（元． ， 学校应选择方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据等量关系式列出方程和不等式是解本题的关键． 11．（2024春•埇桥区校级期中）学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备用不超过2580元购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，其中乒乓球拍的数量不少于20副，求有哪几种购买方案？ 【答案】（1）乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元； （2）共有3种购买方案， 方案1：购买20副乒乓球拍，30副羽毛球拍； 方案2：购买21副乒乓球拍，29副羽毛球拍； 方案3：购买22副乒乓球拍，28副羽毛球拍． 【分析】（1）设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元，根据“购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍，根据“购买乒乓球拍和羽毛球拍的总价不超过2580元，且购买乒乓球拍的数量不少于20副”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元； （2）设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为20，21，22， 共有3种购买方案， 方案1：购买20副乒乓球拍，30副羽毛球拍； 方案2：购买21副乒乓球拍，29副羽毛球拍； 方案3：购买22副乒乓球拍，28副羽毛球拍． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 12．（2024春•瑶海区校级期中）“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少； （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 【答案】（1）每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； （2）共有3种购买方案，最低总费用是12600元． 【分析】（1）设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元，根据“每套甲种的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据“总费用不超过12640元，且购进乙种的数量不超过甲种数量的4倍”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有3种购买方案，再求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； （2）设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为30，31，32， 共有3种购买方案， 方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”，所需费用为（元； 方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”，所需费用为（元； 方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”，所需费用为（元． ， 最低总费用是12600元． 答：共有3种购买方案，最低总费用是12600元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 13．（2024春•长丰县期中）某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买，两种型号的垃圾处理设备，已知1台型设备和3台型设备的日处理能力为44吨；3台型设备和1台型设备的日处理能力为60吨． （1）分别求1台型设备、1台型设备的日处理能力． （2）根据实际情况，该乡镇需购买，两种型号的垃圾处理设备共8台，要求型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知型设备每台7万元，型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案． 【答案】（1）1台型设备的日处理能力为17吨，1台型设备的日处理能力为9吨； （2）最省钱的购买方案为：购买4台型设备，4台型设备． 【分析】（1）设1台型设备的日处理能力为吨，1台型设备的日处理能力为吨，根据“1台型设备和3台型设备的日处理能力为44吨；3台型设备和1台型设备的日处理能力为60吨”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该乡镇需购买台型设备，则购买台型设备，根据“购买型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设1台型设备的日处理能力为吨，1台型设备的日处理能力为吨， 根据题意得：， 解得：． 答：1台型设备的日处理能力为17吨，1台型设备的日处理能力为9吨； （2）设该乡镇需购买台型设备，则购买台型设备， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为4，5， 共有2种购买方案， 方案1：购买4台型设备，4台型设备，所需费用为（万元）； 方案2：购买5台型设备，3台型设备，所需费用为（万元）． ， 最省钱的购买方案为：购买4台型设备，4台型设备． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 14．（2024春•瑶海区期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？ 【答案】（1）乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元； （2）学校共有3种购买方案． 【分析】（1）设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元，根据“购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍，根据“购买乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，且购买费用不超过2535”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出学校共有3种购买方案． 【解答】解：（1）设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元； （2）设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为17，18，19， 学校共有3种购买方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 15．（2023春•黄山期末）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元台） 年载客量（万人年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． （1）求，的值； （2）计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 【答案】（1）的值为100，的值为150； （2）总费用最少的购买方案为：购买型公交车8辆，型公交车2辆，理由见解答． 【分析】（1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”，列出一元一次不等式组，解之得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，再利用总价单价数量，可求出各购买方案所需总费用，比较即可． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：， 答：的值为100，的值为150． （2）总费用最少的购买方案为：购买型公交车8辆，型公交车2辆，理由如下： 设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得：， 解得：． 又为整数， 可以为6，7，8． 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）． 答：总费用最少的购买方案为：购买型公交车8辆，型公交车2辆． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 16．（2022春•埇桥区期中）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元件） 14 35 售价（元件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】（1）购进甲种用品100件，乙种用品80件； （2）共有3种购货方案， 方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件； 方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件； 方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件； 获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件． 【分析】（1）设购进甲种用品件，乙种用品件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种用品件，则购进乙种用品件，根据“投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润销售每件的利润销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设购进甲种用品件，乙种用品件， 依题意得：， 解得：． 答：购进甲种用品100件，乙种用品80件． （2）设购进甲种用品件，则购进乙种用品件， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以取61，62，63， 共有3种购货方案， 方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件； 方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件； 方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件． 方案1可获得的利润为（元； 方案2可获得的利润为（元； 方案3可获得的利润为（元． ， 获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 17．（2023春•定远县校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市何时获得的利润最大？ 【答案】（1）的值为10，的值为14； （2）方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜； （3）方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜获利最大． 【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出，的值； （2）由该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克及购进甲种蔬菜的数量，即可得出每天购进乙种蔬菜千克，利用总价单价数量，结合总价不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； （3）分别计算（2）中每种方案的获利，即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：． 答：的值为10，的值为14． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，购进甲种蔬菜千克正整数）， 每天购进乙种蔬菜千克． 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为58，59，60， 共有3种购买方案， 方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜； 方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜； 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． （3）方案1获利：元； 方案2获利：元； 方案3获利：． ， 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜获利最大． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 18．（2023春•南陵县期末）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜1个，共需资金600元；若购买甲种书柜1个，乙种书柜2个，共需资金660元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 【分析】（1）设甲种书柜每个的价格为元，乙种书柜每个的价格为元，根据“若购买甲种书柜2个、乙种书柜1个，共需资金600元；若购买甲种书柜1个，乙种书柜2个，共需资金660元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量且学校至多能够提供资金4320元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设甲种书柜每个的价格为元，乙种书柜每个的价格为元， 依题意，得：， 解得：． 答：设甲种书柜每个的价格为180元，乙种书柜每个的价格为240元． （2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个， 依题意，得：， 解得：． 为整数， 可以取的值为：8，9，10． 学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 19．（2023春•长丰县期末）2023年4月23日是第28个“世界读书日”，长丰县图书馆举行了“阅来悦好书香长丰”阅读服务活动．为满足全县人民的读书需求，假设县图书馆计划采购社科图书和儿童读物两类图书．经了解，20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元（注：所采购的社科图书价格都一样，所采购的儿童读物价格都一样）． （1）求每本社科图书和儿童读物各多少元． （2）若县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，其中儿童读物要比社科图书多20本，且总费用不超过2000元，请列出所有符合条件的购书方案． 【答案】（1）每本社科图书40元，每本儿童读物20元； （2）县图书馆共有2种购书方案， 方案1：购进25本社科图书，45本儿童读物； 方案2：购进26本社科图书，46本儿童读物． 【分析】（1）设每本社科图书元，每本儿童读物元，根据“20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进本社科图书，则购进本儿童读物，根据“县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，且总费用不超过2000元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购书方案． 【解答】解：（1）设每本社科图书元，每本儿童读物元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本社科图书40元，每本儿童读物20元； （2）设购进本社科图书，则购进本儿童读物， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为25，26， 县图书馆共有2种购书方案， 方案1：购进25本社科图书，45本儿童读物； 方案2：购进26本社科图书，46本儿童读物． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【题型5 程序框图问题】 满分技法 首先要正确理解程序表达的逻辑语言，然后列出符合程序逻辑语言的不等式，最后解不等式（组），并检验其结果的正确性. 20．（2024春•霍邱县月考）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【分析】根据“若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答． 【解答】解：结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止， 由，得； 由，得， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键． 【题型6 租车方案问题】 满分技法 租车方案解题技巧： 1. 理解问题背景：（1）仔细阅读题目，明确问题的背景和条件（2）理解需要优化的目标（如最小化租金、最大化舒适度等）。 2. 列出不等式：根据问题的条件，列出与租车方案相关的不等式。注意不等式要能够准确反映问题的约束条件。 3. 解不等式（组）：运用不等式的解法，求出不等式（组）的解集。注意解集可能包括多个解，需要结合实际情况进行筛选。 4. 检验解的正确性：将求得的解代入原问题中，检验其是否满足所有条件。 21．（2024春•蚌山区月考）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨． （1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？ （2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？ 【分析】（1）设租用甲种货车辆，表示出租用乙种货车为辆，然后根据装运的蔬菜和水果数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据是正整数设计租车方案； （2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值； 方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解． 【解答】解：（1）设租用甲种货车辆，租用乙种货车为辆， 根据题意得， 由①得， 由②得， ， 为正整数， 或6或7， 因此，有3种租车方案： 方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆； 方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆； 方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆； （2）方法一：由（1）知，租用甲种货车辆，租用乙种货车为辆，设两种货车燃油总费用为元， 由题意得， ， ， 随值增大而增大，当时，有最小值， 元； 方法二： 当时，辆， 元； 当时，辆， 元； 当时，辆， 元． 答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是21200元． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键． 22．（2024春•大观区校级月考）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 35 30 租金（元辆） 400 340 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 　8　辆； （3）在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【答案】（1）老师有16人，学生有234人； （2）8； （3）有三种不同的租车方案；最节省费用的租车方案是：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆，理由见解析． 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租车总辆数为，首先要保证每辆车上老师数量不少于2人，则，再也要保证车辆最少时，能坐下所有人，则，据此列出不等式组求解即可； （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，根据总费用不超过3000元，以及所有人都要坐下列出不等式组求解即可． 【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）设租车总辆数为， 由题意得，， 解得， 为整数， ， 租车总辆数为8辆． 故答案为：8． （3）解：设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ，3，4， 共有3种租车方案． 方案一：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆，租车费用为2840元； 方案二：租用甲型客车3辆，乙型客车5辆，租车费用为2900元； 方案三：租用甲型客车4辆，乙型客车4辆，租车费用为2960元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，关键是根据题意周到等量关系式． 过关检测 1．（2024春•蜀山区校级期中）已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知，两边同时减去2得，则不符合题意； 已知，两边同时加上1得，则不符合题意； 已知，两边同时除以3得，则符合题意； 已知，两边同时乘以得，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查不等式性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2024春•瑶海区校级期中）已知三个实数，，满足，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】依据题意，由得，，结合，可得，再将代入可以得解． 【解答】解：， ，， ， ． ． ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题时要熟练掌握并理解． 3．（2024春•蜀山区校级期中）如图表示的是关于的不等式的解集，则的值是　　 A．0 B． C． D．3 【答案】 【分析】解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【解答】解：， ， 则， 由数轴知， ， 解得， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4．（2024春•蜀山区校级期中）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于　　元才能避免亏本． A．4.5 B．4.8 C．5 D．6 【答案】 【分析】首先设超市售价定为元，由题意得：定价进价4元，然后列出不等式，再解即可． 【解答】解：设超市售价定为元，由题意得： ， 解得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，设出未知数，列出不等式． 5．（2024春•大观区校级期中）已知不等式组的解集为，则的值为 　1　 【答案】1． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，，即可求出，的值，最后再代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集为， ，， ，， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了根据不等式组的解集求参数，解答本题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 6．（2023春•大观区校级期末）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数所满足的条件，求解即可． 【解答】解：， 由①得：， 由②得：， 原不等式组恰有3个整数解， ，解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键． 7．（2023春•芜湖期末）将若干只鸡放入若干个笼内，若每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满，那么最多有 　41　只鸡． 【答案】41． 【分析】设有个笼子，则共有只鸡，根据“若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再将其中的最大值代入中，即可得出结论． 【解答】解：设有个笼子，则共有只鸡， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为10，此时， 即最多有41只鸡． 故答案为：41． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 8．（2023春•凤台县期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题： （1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 　3（答案不唯一）　； （2）如果要使开始输入的的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为 　　． 【分析】（1）根据输入的数值经过一次运行就能输出结果，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其内的任意一值，即可得出结论； （2）根据输入的数值经过两次运行才能输出结果，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其内的所有整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：， 的值可以为3． 故答案为：3（答案不唯一）； （2）根据题意得：， 解得：， 为整数， 或2， 的整数值为1或2． 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（组是解题的关键． 9．（2022春•田家庵区期末）肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买2只普通医用口罩和3只口罩的费用是22元；购买5只普通医用口罩和2只口罩的费用也是22元． （1）求该超市普通医用口罩和口罩的单价； （2）若准备在该超市购买两种口罩共50只，且口罩不少于总数的，试通过计算说明，在预算不超过190元的情况下有哪些购买方案． 【分析】（1）设普通医用口罩的单价为元，口罩单价为元，根据题意列方程组解答即可； （2）设购买普通医用口罩个，则购买口罩个，根据口罩不少于总数的；预算不超过190元；列出不等式组解答即可． 【解答】解：（1）设普通医用口罩的单价为元，口罩单价为元，依题意有 ， 解得． 故普通医用口罩的单价为2元，口罩单价为6元； （2）设购买普通医用口罩个，则购买口罩个，依题意有 ， 解得． 购买方案：①购买普通医用口罩28个，购买口罩22个；②购买普通医用口罩29个，购买口罩21个；③购买普通医用口罩30个，购买口罩20个． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出等量关系和不等式关系式即可求解． 10．（2023春•谯城区校级期末）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元． （1）问型，型新能源汽车的单价分别是多少万元？ （2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，费用不超过365万元，且型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元； （2）费用最省的方案为购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为355万元． 【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，根据“购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，根据“购进型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，且购买费用不超过365万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各进货方案，再利于总价单价数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元， 依题意得：， 解得：． 答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元． （2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆， 依题意得：， 解得：． 又为整数， 可以取7，8，9， 共有3个进货方案， 方案1：购进7辆型新能源汽车，13辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； 方案2：购进8辆型新能源汽车，12辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； 方案3：购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）． ， 费用最省的方案为购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为355万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 11．（2023春•定远县期中）为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生． 【答案】49名． 【分析】设准备分成个小组，则班里共有个学生，根据题意列不等式组，求解得到，再根据为正整数和班级学生数为奇数进行讨论，即可得到答案． 【解答】解：设准备分成个小组，则班里共有个学生， 根据题意，得， 解得：， 为正整数， 或， 当时，（名， 当时，名）， 班级学生数为奇数， 班里共在49名学生． 【点评】本题主要考查了不等式组的实际应用，理解题意，正确列不等式组是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式组的应用 知识点1：由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点2：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 题型归纳 【题型1 排队等候时间问题】 满分技法 排队等候时间问题的解题步骤： 第1步:认真审题,找出题中的已知量和未知量，以及它们之间的关系； 第2步:列表表示出所有的排队顺序、每个个体等候时间及等候时间总和； 第3步:结合表格得出实际问题的答案,并写出. 1．春运期间，在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站等的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2． 春运开始，婺源长途汽车站以服务乘客为宗旨，随时根据乘客流量，调整检票口的数量，尽量使乘客不在车站滞留．2月9日，车站开始检票时，有名乘客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有乘客继续前来排队检票进站．设乘客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候检票的乘客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的乘客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，以使后来到站的乘客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 3．在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能够随到随检，问需要同时开放几个检票口？ 【题型2 根据实际问题列一元一次不等式(组)】 满分技法 列一元一次不等式(组)解决实际问题，其关键是寻找题目中的不等关系.不等关系可分为两类:一是题目中的关键词语,如“大于”“小于”“至多”“至少”“超过”“不超过”等，直接根据关键词语表示不等关系;二是没有明显的关键词语，要在充分理解题意的基础上，提炼出具有不等关系意义的量,列出不等式. 4．（2023春•萧县校级月考）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得　　 A． B． C． D． 【题型3 盈亏问题】 满分技法 仔细阅读题目，理解问题的背景和具体情境。明确题目中涉及的各个元素，如分配的对象、分配的方式、分配的数量等. 5．（2023春•天长市校级月考）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为，则列式正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023春•定远县校级期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生　　 A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 7．（2023春•金寨县期中）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【题型4 采购方案问题】 满分技法 采购方案不等式解题技巧主要涉及根据采购条件设置不等式，然后通过求解这些不等式来找到满足条件的采购方案。具体步骤如下： （1） 理解问题背景，理解采购的具体要求和限制条件，确定需要采购的商品种类、数量、单价以及总预算等关键信息； （2） 根据题目要求，设立一个或多个不等式来表示采购的限制条件。 （3） 求解不等式，在求解过程中要特别注意不等号的方向，避免出错。 （4） 验证解的正确性，既要验证不等式计算的正确性，还要验证得到的解是否满足题目的所有条件和实际要求。 注意：在实际问题中，可能还需要考虑其他因素，如商品的可用性、运输成本等，这些因素也会影响到最终的采购方案。 8．（2023春•宣城期末）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买，两种笔记本作为奖品，种笔记本每本8元，种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有　　 A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 9．（2024春•庐阳区校级期中）今年3月份新能源汽车迎来一次降价潮，某店经销的某品牌款汽车、款汽车都进行了相应的降价，若按此价格月售20台款汽车和10台款汽车，销售额为230万元；月售10台款汽车和20台款汽车，销售额为220万元． （1）求今年3月份款汽车和款汽车每辆的售价各是多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的、款汽车，已知款汽车每辆进价为6.5万元，款汽车每辆进价为5万元，公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进款汽车的数量不少于购进款汽车的数量，有哪几种进货方案？并求出最大利润． （3）按照（2）中两种汽车进价不变，为打开款汽车的销路，公司决定对款汽车进行打九八折出售，并给出每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元的利好政策，要使（2）中所有的方案获利相同，的值应是 　 　万元．（不必提供求解过程，直接给出值即可） 10．（2023春•霍邱县期中）利用方程（组或不等式（组解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元． （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ （2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由． 11．（2024春•埇桥区校级期中）学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备用不超过2580元购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，其中乒乓球拍的数量不少于20副，求有哪几种购买方案？ 12．（2024春•瑶海区校级期中）“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少； （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 13．（2024春•长丰县期中）某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买，两种型号的垃圾处理设备，已知1台型设备和3台型设备的日处理能力为44吨；3台型设备和1台型设备的日处理能力为60吨． （1）分别求1台型设备、1台型设备的日处理能力． （2）根据实际情况，该乡镇需购买，两种型号的垃圾处理设备共8台，要求型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知型设备每台7万元，型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案． 14．（2024春•瑶海区期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？ 15．（2023春•黄山期末）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元台） 年载客量（万人年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． （1）求，的值； （2）计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 16．（2022春•埇桥区期中）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元件） 14 35 售价（元件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 17．（2023春•定远县校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市何时获得的利润最大？ 18．（2023春•南陵县期末）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜1个，共需资金600元；若购买甲种书柜1个，乙种书柜2个，共需资金660元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 19．（2023春•长丰县期末）2023年4月23日是第28个“世界读书日”，长丰县图书馆举行了“阅来悦好书香长丰”阅读服务活动．为满足全县人民的读书需求，假设县图书馆计划采购社科图书和儿童读物两类图书．经了解，20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元（注：所采购的社科图书价格都一样，所采购的儿童读物价格都一样）． （1）求每本社科图书和儿童读物各多少元． （2）若县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，其中儿童读物要比社科图书多20本，且总费用不超过2000元，请列出所有符合条件的购书方案． 【题型5 程序框图问题】 满分技法 首先要正确理解程序表达的逻辑语言，然后列出符合程序逻辑语言的不等式，最后解不等式（组），并检验其结果的正确性. 20．（2024春•霍邱县月考）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则的取值范围为 　 　． 【题型6 租车方案问题】 满分技法 租车方案解题技巧： 1. 理解问题背景：（1）仔细阅读题目，明确问题的背景和条件（2）理解需要优化的目标（如最小化租金、最大化舒适度等）。 2. 列出不等式：根据问题的条件，列出与租车方案相关的不等式。注意不等式要能够准确反映问题的约束条件。 3. 解不等式（组）：运用不等式的解法，求出不等式（组）的解集。注意解集可能包括多个解，需要结合实际情况进行筛选。 4. 检验解的正确性：将求得的解代入原问题中，检验其是否满足所有条件。 21．（2024春•蚌山区月考）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨． （1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？ （2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？ 22．（2024春•大观区校级月考）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 35 30 租金（元辆） 400 340 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 　 　 辆； （3）在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 过关检测 1．（2024春•蜀山区校级期中）已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•瑶海区校级期中）已知三个实数，，满足，，则　　 A．， B．， C．， D．， 3．（2024春•蜀山区校级期中）如图表示的是关于的不等式的解集，则的值是　　 A．0 B． C． D．3 4．（2024春•蜀山区校级期中）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于　　元才能避免亏本． A．4.5 B．4.8 C．5 D．6 5．（2024春•大观区校级期中）已知不等式组的解集为，则的值为 　 　 6．（2023春•大观区校级期末）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是 　 　． 7．（2023春•芜湖期末）将若干只鸡放入若干个笼内，若每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满，那么最多有 　 　只鸡． 8．（2023春•凤台县期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题： （1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 　 　； （2）如果要使开始输入的的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为 　 　． 10．（2023春•谯城区校级期末）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元． （1）问型，型新能源汽车的单价分别是多少万元？ （2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，费用不超过365万元，且型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 11．（2023春•定远县期中）为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生． 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