21.2.1配方法（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章 一元二次方程 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 21.2.1.2 配方法 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 印度古算术中有这样一首诗： 一群猴子分两队， 高高兴兴在游戏， 八分之一再平方， 蹦蹦跳跳树林里； 其余十二叽喳喳， 伶俐活泼又调皮。 告我总数有多少， 两队猴子在一起？ 大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 平方根的定义 完全平方式 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 分析：把 看成整体， 再利用平方根定义，两边开平方，得出方程的解. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 解方程： x2+8x-9=0 移项得： x2+8x=9 配方得：x2+8x+16=9+16 写成完全平方式： （x+4）2=25 开方得：x+4= +5 ∴ x+4=5 x+4=-5 x1=1 x2=-9 二次项和一次项在等号左边， 常数项移到等号右边. 两边同时加上一次项系数一半的平方. 注意：正数的平方根有两个. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 填空： (1)x2＋8x＋ =(x＋ )2 (2)x2－4x＋ =(x－ )2 (3)x2－6x＋ =(x－ )2 a2+2ab+b2=（a+b）2 4² 4 2² 2 3² 3 BY YUSHEN BY YUSHEN 配方法 新知探究 像上面这样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 基本思路 把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解． 把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点： 常数项等于一次项系数一半的平方. 关键方法 x2 + px + ( )2 = ( x + )2. BY YUSHEN BY YUSHEN 配方法步骤 新知探究 1、将方程变为一般形式． 2、移项，把常数项移到等号的右边． （变号） 3、配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方． （等式的性质） 4、写成完全平方的形式． 5、利用直接开平方法进行开方求得两根． BY YUSHEN BY YUSHEN 配方法总结 新知探究 ①当 p > 0 时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根 ②当 p = 0 时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 x1 = x2 = -n. ③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + n)2 = p. （Ⅱ） BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 解方程： x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40 方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得 x2-6x+32=40+32 即 （x-3）2=49 开平方，得 x-3 =±7 即 x-3=7或x-3=-7 所以 x1=10,x2=-4 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解方程3x2+8x-3=0 解：方程两边都除以3，得 移项，得 配方，得 所以 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10m的高度？ 解：根据题意得 15t-5t2=10 方程两边都除以-5，得 t2-3t=-2 配方，得 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 ∴原方程没实数解 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 解： 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 情景解答 一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？ 解：设总共有x只猴子，根据题意得 答:一共有猴子48只或者16只. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等，求 x 的值. 解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4. 整理，得 x2 − 2x = 3. 配方，得 (x − 1)2 = 4. 解得 x1 = −1，x2 = 3. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 − x2 − x −1 的值总是负数，并求出它的最大值. 解：− x2 − x −1 = −( x2 + x + ) + −1 ∴ − x2 − x −1 的值总是负数. 当 时，− x2 − x −1有最大值 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 配方法 定义 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 步骤 应用 求代数式的最值或字母值 一移常数项，并将二次项系数化为 1； 二配完全平方式 [配上 ]； 三写成 (x + n)2 = p； 四直接开平方法解方程. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(　　) A.(x＋4)2＝17 B.(x＋4)2＝15 C.(x－4)2＝17 D.(x－4)2＝15 2.将方程x2－2x＝2配方成(x＋a)2＝k的形式，则方程的两边需加上_____. 3.在横线上填上适当的数，使等式成立. (1)x2＋ x＋81＝(x＋______)2； (2))4x2＋4x＋____＝(2x＋____)2. c 1 18 9 1 1 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.解方程 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.解方程 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.解方程 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.用配方法求最值. (1) 2x2 − 4x + 5 的最小值； (2) −3x2 + 6x − 7 的最大值. 解：(1)原式 = 2(x −1)2 + 3 当 x = 1 时，有最小值 3. (2)原式= −3(x − 1)2 －4 当 x = 1 时，有最大值− 4. BY YUSHEN BY YUSHEN $$