精品解析：重庆市巴蜀中学校2024届高三下学期模拟预测数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，根据子集关系列式运算得解. 【详解】由，解得，所以集合， 又，所以. 故选：C. 2. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】向量，，解得， 所以“ ”是 “”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知等差数列的前15项之和为60，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式求得，再结合等差数列的性质求解. 【详解】，， 所以. 故选：C. 4. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】按照原则可知，，解得， 所以的最大值为4. 故选：B. 5. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解. 【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况. 故选：B 6. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可． 【详解】设直线l与曲线的切点为， 由，则， 则，，即切点为， 所以直线l为，又直线l与圆都相切， 则有，解得或. 故选：D. 7. 在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由二面角的定义可得，从而，设，由三角形的面积相等和基本不等式得到，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得， ∴即为二面角的平面角， ∴，，所以， 设，则， 在三角形中，， 又，所以， 所以，时等号成立， 所以三角形的面积为， 故截面PEF面积的最小值为. 故选：B. 8. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形一边中线等于这一边的一半，则这是一个直角三角形，可得是直角，再利用双曲线的定义，及已知的两焦半径关系，结合勾股定理，可得长度关系，即可求得离心率. 【详解】 设双曲线右焦点为，连接， 由题意可知关于原点对称，所以， 所以是直角，由，可设，则，即 由双曲线的定义可知：，， 则，， 由是直角得：， 则，解得：， 又由是直角得：， 则，解得：，所以离心率 故选：B. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知方程的两个复数根分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项. 【详解】方程可转化为，解得或， 不妨设，， 对于A，显然，故A正确； 对于B，，故B 错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知随机事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互相独立，则 B. 若，则与互相独立 C. 若与互斥，则 D. 若，则与互斥 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据条件结合概率的加法公式运算判断；对B，由相互独立事件的定义可判断；对C，由与互斥，所以，结合全概率公式可得解；对D，当，相互独立时，由条件概率公式可得成立，但与不一定互斥，. 【详解】对于A，若与相互独立，则， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以与相互独立，故B正确； 对于C，因为与互斥，所以，又， 所以，故C正确； 对于D，当，相互独立时，与也相互独立，则，， 满足条件成立，但与不一定互斥，故D错误. 故选：BC. 11. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标__________次. 【答案】8或9 【解析】 【分析】根据题意，击中目标的次数，设最大，列式运算得解. 【详解】设击中目标的次数为，由题可知，击中目标的次数， 则， 令，即， 化简得，解得，又， 所以最有可能击中目标8或9次. 故答案为：8或9. 13. 已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由的一个对称中心为，可得，，再由在上单调递增，得，，由上两式可得答案. 【详解】因为的一个对称中心为，所以，， 即，，①； 又，则，在上单调递增， 所以，， 即，解得，，②； 又，结合①②可得，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______. 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】先根据抛物线得性质，求直线与轴所成得角，再利用焦半径公式，可求及点坐标，进一步可得直线即直线的斜率. 【详解】如图： 延长交抛物线E于点D，连接，过点A作轴于点H. 设直线：，代入得：， 设，，则，， 所以. 所以直线与关于x轴对称． 又因为为的角平分线，所以， 所以， 由抛物线定义可知：， 所以，则，. 又因为，所以或． 又因为，所以直线l的斜率或， 所以直线l的斜率为. 故答案为4；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是推导直线，关于轴对称，求得，利用焦半径公式求解即可. 四､解答题（共77分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知在正三棱柱中，为边的中点. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的大小. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接，则， 又因为为正三棱柱，所以平面平面， 又平面平面，所以平面，又平面， ，又，， 所以，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，先证明，，证明平面，得证； （2）根据题意易知平面，且，利用三棱锥体积公式求解； （3）过点作于点，易得即为二面角的平面角，求出，得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， 由（1）知平面，所以平面， 又为边的中点，所以， 因为，所以，所以， 又， 所以. 【小问3详解】 过点作于点，连接， 因为平面，且， 所以即为二面角的平面角， 又，且， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 16. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单位：只）： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 服用 合计 75 200 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论； （3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列及期望. 附表及公式：. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 90 服用 75 35 110 合计 125 75 200 （2）在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，理由如下：由于，所以表示有小于的可能性证明这两个事件无关， （3）的分布列如下： 0 1 2 3 4 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据完成列联表即可； （2）由公式计算，然后根据临界值表进行判断； （3）由题意可得的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得的分布列与期望． 【小问1详解】 解：根据题意可得如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 90 服用 75 35 110 合计 125 75 200 【小问2详解】 由列联表可得， 在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效. 解释：由于，所以表示有小于的可能性证明这两个事件无关， 也就是在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效. 【小问3详解】 根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物， 所以的值可能为0，1，2，3，4，则，， ，，， 的分布列如下： 0 1 2 3 4 则． 17. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案； （2）由正弦定理得，，代入三角形面积公式化简得，结合角的范围求出答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 所以， 即， 化简得：，即， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值； （ii）直线过线段的中点． 【答案】（1） （2） （i）①当直线的斜率为0时，则不妨设，， 所以为定值. ②当直线的斜率不为0时，设直线，，， 联立直线与椭圆的方程，消去整理得， 则，，，所以， 所以 . 综上，为定值. （ii）设线段的中点为，易得， 可得直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 所以， 由（i）知，，所以， 又直线的方程为，所以点在直线上， 即直线过线段的中点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）当直线斜率为0时，.当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. （ii）设线段的中点为，求出直线的方程，直线的方程，结合，可得，可证点在直线上. 【小问1详解】 由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点睛：本题第二问证明为定值，解题的关键是设直线与椭圆的方程，解得，代入的式子化简得解. 19. （1）证明：当时，； （2）已知正项数列满足. （i）证明：数列为递增数列； （ii）证明：若，则对任意正整数，都有. 【答案】（1）令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 再令，则，， 令，则，由上面知， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，所以， 即. 综上，当时，成立. （2）（i）因为，所以， 所以，由（1）知，当时，， 所以， 所以数列为递增数列. （ii）要证，即证，即， 由（1）知：当时，， 所以，即有， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以，归纳易得数列为减函数， 又数列为递增数列， 所以， 所以 ， 又因为， 所以， 所以， 即成立. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数证明，同理构造函数，利用导数得证； （2）（i）由条件，变形得，结合（1）可证，得证；（ii）用分析法将所证明问题转化为，由条件可得，进一步可得，裂项相消可得，结合，放缩可证. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 【点睛】关键点睛：本题第二问，（ii）解题的关键是结合条件得到数列为减函数，所以，累加得到，利用放缩裂项相消证得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列的前15项之和为60，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 6. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 7. 在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知方程的两个复数根分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互相独立，则 B. 若，则与互相独立 C. 若与互斥，则 D. 若，则与互斥 11. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标__________次. 13. 已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为__________. 14. 已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______. 四､解答题（共77分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知在正三棱柱中，为边的中点. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的大小. 16. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单位：只）： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 服用 合计 75 200 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论； （3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列及期望. 附表及公式：. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 17. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值； （ii）直线过线段的中点． 19. （1）证明：当时，； （2）已知正项数列满足. （i）证明：数列为递增数列； （ii）证明：若，则对任意正整数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $