精品解析：湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期适应考试数学试题

衡阳市八中2024届高三适应性考试数学试卷 注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】直接联立求解方程即可得解. 【详解】由题意，中的元素满足，可解得， 故选：C. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】因为，，所以. 又，所以，即，解得． 3. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 4. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值. 【详解】由题意，解得，所以， 当时，， 所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：C. 5. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分； （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分. （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分； 综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 6. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列.斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最 完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼 成的长方形中画一个圆心角为的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线，如图所示的个正方形的边长分别为， 在长方形内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得数列的前6项，求得长方形的面积，再求出4个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：由题意可得，数列的前6项依次为：1，1，2，3，5，8， 长方形的面积为． 4个扇形的面积之和为． 所求概率． 故选：D． 7. 过原点的直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆心到直线的距离为，且的中点为，根据题意得到，结合圆的性质和弦长公式，列出方程，求得，利用斜率公式，即可求解. 【详解】由圆，即圆，圆心为， 设圆心到直线的距离为，且的中点为， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，解得， 所以直线经过圆心，所以. 故选：A. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和以及，再进行合理赋值即可. 【详解】， 设，，则， 则在上单调递增，则，则在上恒成立，则，即， 设，，则在上恒成立， 则，则在上恒成立， 令，则，则， 设，在上恒成立， 则在上单调递增，则，即在上恒成立， 令，则，则，即，故， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A；为纯虚数，可设，根据复数的四则运算可判断B；由结合数大小比较只能在实数范围内可判断C；设复数，根据复数模长定义计算可判断D. 【详解】，所以，故A正确； 由为纯虚数，可设， 所以，因为且， 所以，故B正确； 由，得， 因为与均为虚数， 所以二者之间不能比较大小，故C错误； 设复数，所以 由得， 所以集合所构成区域是以为圆心为半径的圆， 所以面积为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是双曲线 B. 是三角形的内心 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定理、投影向量的定义进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 由，可设，， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（不含右顶点），故A错误； 因为是的角平分线，且， 所以，又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 则在的角平分线上，所以也为的角平分线，为的内心，故B正确； 如图，设， 则，， 则由双曲线与内切圆的性质可得，，故C正确； 又，所以，在上的投影长为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 11. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数是减函数 C. 对于实数，当时，函数有两个零点 D. 曲线存在与直线垂直的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，用导数判断B，转化为交点问题判断C，排除法判断D即可. 【详解】定义域为， 所以为奇函数，正确； 恒成立，所以函数是增函数，故B错误； 当时，恒成立，所以在上单调递减， 在上单调递增，且， 故当时，与直线有两个交点，故函数有两个零点，C正确； ，且， 所以，故曲线不存在与直线垂直的切线，错误. 故选：AC. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________. 【答案】36 【解析】 【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故答案为：36. 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作，分别求得，，，在直角中，利用勾股定理，列出关于离心率的方程，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，作，垂足为， 因为，所以，点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 在直角中，由勾股定理可得， 整理得到，即， 因为，解得. 故答案为：. 14. 设集合为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，则的取值范围为______，当最小时，的取值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出，再分析得到，或或或或，由二次函数的对称性和连续性得到时二次函数的图象可以最靠下，即最小，求出最小值，得到的取值范围和最小时，的取值. 【详解】若空间向量，，均为非零向量，则空间向量，，共线或两两互相垂直， 此时三组向量中两两共线的有0组或3组； 若其中一个为零向量，当另外两个向量共线且不为零向量时，此时三组向量中两两共线的有3组， 若另外两个向量一定不共线， 则， 此时零向量和另外两个向量组成两组共线向量，此时两两共线的有2组， 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 则，由得是的子集， 令，其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 由二次函数的连续性和对称性，或或或时，所得的取值范围必包含； 当时二次函数的图象可以最靠下，即最小，且， 由对称性可知，当对称轴为时最小， 此时且，则， 综上，，最小时，的取值为， 故答案为：， 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式以及求和公式列式求，即可得结果； （2）由（1）可知，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，则，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 则， 所以. 16. 在中，角的对边分别为已知 （1）求角 （2）过作，交线段于D，且，求角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为变换角，最后进行三角恒等变化即可求解； （2）利用，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得. 【小问1详解】 由正弦定理得：． ∵，∴， ∴ ∴， 又，∴，又为三角形内角，∴． 【小问2详解】 因为在边上，且，所以． 因为，所以， 即， 所以． 在中，由，，可得. 17. 已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量. （1）求时的概率； （2）求随机变量X的概率分布列及数学期望. 【答案】（1）； （2） P 1 3 5 7 9 X . 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质，结合古典概型计算公式、组合的定义进行求解即可； （2）根据整数的奇偶性，结合绝对值的性质、古典概型计算公式、数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以当时，或 所以或或， 所以； （2）因为为奇数，所以A，B必然一奇一偶，所以X为奇数， 所以，， 即X所有可能的取值为， 当时，或或，所以； 由（1）知，； 当时，或，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以随机变量X的概率分布列如下表： P 1 3 5 7 9 X 随机变量X的数学期望. 18. 已知函数，a，．若在处与直线相切． （1）求a，b的值； （2）求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、的值； （2）由（1）可得的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求出区间端点的函数值，即可得解； 【小问1详解】 解：函数，， 函数在处与直线相切， ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值， 所以，又， 所以 19. 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 【答案】（1）（ⅰ）线性相关，理由如下： 设，则可得，所以线性相关； （ⅱ）线性相关，理由如下： 设，则可得 所以，不妨取，所以线性相关； （ⅲ）线性相关，理由如下： 设， 则可得 解得，不妨取，所以线性相关. （2）线性无关，理由如下： 设， 则， 因为向量线性无关，所以解得， 所以向量线性无关. （3） （ⅰ），如果某个， 则. 因为任意个都线性无关，所以都等于0， 所以这些系数要么全为零，要么全不为零. （ⅱ）因为，所以全不为零， 所以由，可得， 代入， 可得， 所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到，即可判断； （3）①如果某个，然后证明，都等于0即可；②由，可得，然后代入，根据题意证明即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2024届高三适应性考试数学试卷 注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 3. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列.斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最 完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼 成的长方形中画一个圆心角为的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线，如图所示的个正方形的边长分别为， 在长方形内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 过原点的直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 10. 已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是双曲线 B. 是三角形的内心 C. D. 在上的投影向量为 11. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数是减函数 C. 对于实数，当时，函数有两个零点 D. 曲线存在与直线垂直的切线 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________. 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为__________． 14. 设集合为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，则的取值范围为______，当最小时，的取值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 在中，角的对边分别为已知 （1）求角 （2）过作，交线段于D，且，求角. 17. 已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量. （1）求时的概率； （2）求随机变量X的概率分布列及数学期望. 18. 已知函数，a，．若在处与直线相切． （1）求a，b的值； （2）求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值． 19. 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $