精品解析：安徽省六安市六安第一中学2024届高考模拟预测数学试题(四)

六安一中2024届高三年级质量检测卷 数学试卷（四） 命题人：程学权 审题人：吴红云 卫根柱 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 2. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求得，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】由题意得， 因为，所以， 即，解得， 所以，则，， 故在方向上的投影向量为， 故选：B． 3. 2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解. 【详解】设男生人数为，且， ，，, 则. 故选：C 4. 设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称名为假命题可得，对恒成立，令，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立， 则，对恒成立， 令，则二次函数的对称轴为直线， 要使得，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 5. 已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用在区间上的最大值，结合的单调性求得的最小值. 【详解】 . 由于，即的值域为， ， 即在处取得最小值， 而的最小正周期为，其一半为，则， 所以在上递增，且在处取得最大值， 故的最小值为. 故选：D 6. 第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设第三角形的斜边长为，面积为，根据题意分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为， 设第三角形的斜边长为，面积为， 由题意可知：，，， 则，， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以所作的所有三角形的面积和为. 故选：D. 7. 若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求，，连接，求，利用余弦定理求，然后利用余弦定理求得双曲线的离心率，接着由椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1求得，最后结合求得，，即可写出椭圆C的方程. 【详解】 由题，，又，，． ，直线MN过点， ，， ，． 在中， ． 设椭圆C的焦距为，离心率为，双曲线E的焦距为，离心率为， 在中， ， ，，． ，，，， 椭圆C的方程为. 故选：B． 【点睛】关键点睛：解决椭圆或双曲线的焦点三角形问题的关键是对椭圆或双曲线的定义及正、余弦定理的应用． 8. 正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果. 【详解】因为正四面体的棱长为， 所以， 同理可得,, 又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，, 所以， 由，则 因为，所以 当且仅当取等号， 此时， 所以 故的最小值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是异面直线，，，那么（ ） A. 当，或时， B. 当，且时， C. 当时，，或 D. 当，不平行时，m与不平行，且n与不平行 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：当，时，； 当，时，，故A正确； B：当，时，又为异面直线，所以，故B正确； C：当时，由，得或与相交； 当时，由，得或与相交，故C错误； D：当不平行时，可能或与相交，或与相交，故D错误. 故选：AB 10. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为（，2，，6），则（ ） A. x的值为0.0044 B. 这100户居民该月用电量的中位数为175 C. 用电量落在区间内的户数为75 D. 这100户居民该月的平均用电量为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A，根据中位数的计算即可求解B，根据频率即可求解C，根据平均数的计算即可判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知， ， 解得，故A正确； 对于B，因为，， 所以中位数落在区间内，设其为， 则，解得，故B错误； 对于C，用电量落在区间，内的户数为 ，故C错误； 对于D，这100户居民该月的平均用电量为 ，故D正确. 故选：AD． 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性举反例判断A，构造函数，利用导数判断单调性可得，据此判断BC，，令，由导数确定可判断D. 【详解】由，可得，又，所以，解得. 当时，，则，又，所以， 所以此时，故A错误； 令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，由知，所以，所以，故正确； 由可得，可得（时取等号），因为，所以，所以，故C正确； 因为，所以.令，则，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以1，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：判断D选项时，对式子进行变形换元后得到是解题的第一个关键，构造函数，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先将写成的形式，再利用辅助角公式、诱导公式、二倍角的正弦公式化简即可. 【详解】 故答案为：. 13. 已知直线与均与相切，点在上，则的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径，根据为切点，联立直线方程可得另一个切点，即可求解圆心为. 【详解】由于直线与平行，且均与相切， 两直线之间的距离为圆的直径，即， 又在上，所以为切点， 故过且与垂直的直线方程为， 联立， 所以与相切于点， 故圆心为与的中点，即圆心为， 故圆的方程为， 故答案为： 14. 如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同的填数方法有______种． 【答案】264 【解析】 【分析】按使用数字数的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定填A，D，E三点填法数，再讨论点B，F，C的填法数即可. 【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法： 当用四个数字时，先填A，E，D，有种填法，再从B，F，C中选一处填第四个数，如B，再填F， 若F与D同，则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有种填法， 当用三个数字时，先填A，E，D，有种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有种填法， 利用分类加法计数原理得不同填数方法为：（种）， 所以不同的填数方法共有264种. 故答案为：264. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下： 男 女 在A餐厅用餐 40 20 在B餐厅用餐 15 25 （1）以题给频率作为概率，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联? 附：． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）依据的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联 【解析】 【分析】（1）分别求解,，利用全概率公式可求得所求事件的概率； （2）完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答. 【小问1详解】 由表中数据可得，选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为， 设事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙选择同一种套餐， 事件A: 甲、乙两名同学选择同一套餐用餐, , 则； 故甲乙两人选择同一家餐厅的概率为 【小问2详解】 根据数据可得方案一的列联表： 男 女 合计 在A餐厅用餐 40 20 60 在B餐厅用餐 15 25 40 合计 55 45 100 零假设为：认为性别与选择餐厅之间无关， 根据列联表中的数据，经计算得到， 依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005． 16. 如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形， 因为为中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标系，利用空间距离的向量求法，即可求得答案; 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，，所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为； 17. 记的内角的对边分别为.已知，点在边上，且. （1）求证：； （2）若，求. 【答案】（1）证明：设的外接圆半径为，由正弦定理得， 因为，，所以， 即， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角结合条件整理即可； （2）在中和中求出，列方程求出关系，然后利用余弦定理计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，如图，在中，①， 在中， ②. 由①②得， 整理得， 因为， 所以，解得或. 当，时，（舍去）； 当，时，. 所以. 18. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当时，恒成立，求a的取值范围． （3）证明：． 【答案】（1）证明：当时，函数定义域为，则， 令，则在上恒成立，则在上单调递增， 则，即在上恒成立，在上单调递增， 而，， 所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点． （2）； （3）证明：由（2）可知，当时，有，则， 因此， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用导数探讨函数的单调性，再利用零点存在性定理推理即得. （2）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值即得. （3）利用（2）的结论得，再赋值并借助不等式性质，等比数列前n项和公式推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，等价于， 令，求导得，令， 则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，于是当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此， 所以a的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 19. 已知抛物线C：（）的准线与圆O：相切． （1）求C的方程； （2）设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆． ①若，求点P的横坐标； ②求面积的最小值． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线C的准线为，进而可得和抛物线方程； （2）设，根据直线与圆O相切分析可知是方程的两根，利用韦达定理可得.①令，运算求解即可；②根据题意可得，换元结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为圆O：的圆心为，半径， 由题意可知：抛物线C的准线为，可得， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 设， 可知直线，即， 因为直线与圆O相切， 则，整理得， 且，化简可得：， 同理可得：， 同构可知：是关于x的方程的两根， 则， 可得， 注意到点在抛物线C：上，则， 则. ①若，整理得， 解得或（舍去），即点P的横坐标为3； ②因为点到准线的距离， 则面积， 设，则， 可得， 且，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2024届高三年级质量检测卷 数学试卷（四） 命题人：程学权 审题人：吴红云 卫根柱 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ） A. B. C. D. 7. 若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 50 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是异面直线，，，那么（ ） A. 当，或时， B. 当，且时， C. 当时，，或 D. 当，不平行时，m与不平行，且n与不平行 10. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为（，2，，6），则（ ） A. x的值为0.0044 B. 这100户居民该月用电量的中位数为175 C. 用电量落在区间内的户数为75 D. 这100户居民该月的平均用电量为 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 13. 已知直线与均与相切，点在上，则的方程为___________. 14. 如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同的填数方法有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下： 男 女 在A餐厅用餐 40 20 在B餐厅用餐 15 25 （1）以题给频率作为概率，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联? 附：． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 17. 记的内角的对边分别为.已知，点在边上，且. （1）求证：； （2）若，求. 18. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当时，恒成立，求a的取值范围． （3）证明：． 19. 已知抛物线C：（）的准线与圆O：相切． （1）求C的方程； （2）设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆． ①若，求点P的横坐标； ②求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $