精品解析：天津市第三中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

天津市第三中学2023~2024学年度第二学期 高二年级阶段性检测试卷（2024.6）数学 试卷命题人：张磊 试卷审核人：数学组全体教师 第I卷 选择题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则它的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A B. C D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，下列结论： ①； ②当时，的取值范围为； ③奇函数； ④方程仅有6个不同实数解． 其中正确的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 非选择题 （共10题，共70分） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知函数，则______． 12. 函数的单调递减区间为______． 13. 设且，则最大值为__________ 14. 已知，则的值为____________． 15. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 16. 设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是______. 三、解答题（共46分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解不等式； （2）解关于的不等式. 19. 函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 20. 已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． （1）试确定函数的解析式； （2）求实数，的值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第三中学2023~2024学年度第二学期 高二年级阶段性检测试卷（2024.6）数学 试卷命题人：张磊 试卷审核人：数学组全体教师 第I卷 选择题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出即可得出答案． 【详解】由解得，或，即， ， 故选：B． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案. 【详解】由，得，因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域和二次函数值域即可得到，再根据交集含义计算即可. 【详解】集合中，所以或，集合中， 所以， 故选：A. 4. 已知函数，则它的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过的奇偶性可以排除A和D选项，通过的正负性可以排除C选项. 【详解】首先有，的定义域是全体实数， 所以是偶函数，故可排除A和D. 然后又有，故可排除C. 故选：B. 5. 下列函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得. 【详解】对于A项，，与对应法则不同，故不是同一函数，A项错误； 对于B项，的定义域为的定义域为， 故两函数定义域不同，故与不是同一函数，B项错误； 对于C项，与的定义域相同，对应法则也相同，C项正确； 对于项，， 与的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误. 故选:C. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入特殊点并对区间上的正负进行讨论即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，当时，， 当时，，故选项C错误， 当时，，当时，， 故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意, 故选：B 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法令求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：A． 9. 已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为函数在定义域内是增函数，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C． 10. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，下列结论： ①； ②当时，的取值范围为； ③为奇函数； ④方程仅有6个不同实数解． 其中正确的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件推导出的周期、对称性，结合周期性判断①，②，根据奇函数的定义判断③，画出、的部分图象，数形结合即可判断④. 【详解】依题意，当时，， 所以当时，，当时，， 函数的定义域为，有，， 即，因此有，即， 于是有，从而得函数的周期， 对于①，，故①不正确； 对于②，当时，，有，则， 当时，，，有， ， 所以当时，的取值范围为，故②正确； 对于③，因为， 所以函数为奇函数，故③正确； 对于④，因为，所以的图象关于对称， 又，即，所以的图象关于对称， 由前述说明可知的值域为， 又当时，当时， 在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如下图所示： 方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标， 观察图象知，函数与的图象有个交点， 因此方程仅有个不同实数解，故④错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 第II卷 非选择题 （共10题，共70分） 二、填空题（每题4分，共24分） 11 已知函数，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数解析式，直接求出即可. 【详解】由题意知，． 故答案为：0 12. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数， 令，则， 则即由复合而成， 由于在上单调递减， 故要求函数的单调递减区间， 即求的单调递增区间， 而的对称轴为， 则的单调递增区间为， 则函数的单调递减区间为， 故答案为： 13. 设且，则的最大值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，则， 解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为， 则， 即的最大值为 故答案为： 14. 已知，则的值为____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以，可得 ， 即， 所以，即， 所以. 故答案为：. 15. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知恒成立，分、两种情况讨论，结合判别式即可求出. 【详解】因为的解集为， 即恒成立， 当时，即，解得，不符合题意； 当时，则’解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 16. 设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果. 【详解】作出函数的图象如图所示， 由，得或， 当时，有3个零点， 要使函数有7个零点， 则当时，，即与有4个交点， 结合图形可得，解得， 即m的取值范围为 故答案为：. 三、解答题（共46分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. （1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 19. 函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点，，待定系数法即可求解； （2）代入后参变分离可得，换元法结合二次函数知识即可求解. 【小问1详解】 由题意得，解之得， 故； 【小问2详解】 由（1）知在区间上有解， 即在区间上有解，所以， 因为， 由于得，所以当即时，有最大值为， 因此的取值范围为. 20. 已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． （1）试确定函数的解析式； （2）求实数，的值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义即可得到； （2）借助奇函数的定义计算出、即可； （3）结合函数的单调性与奇偶性即可得到. 【小问1详解】 设且，图象过点 所以，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，因为是上奇函数，所以，所以， 再由可得，所以， 当，时，， ，符合是奇函数， 所以，. 【小问3详解】 ， 增函数，所以是减函数， 因为奇函数，且， 所以， 所以恒成立， 即，又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$