2023-2024学年人教版八年级数学下册期末培优专题复习专题十六 一次函数图像性质

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题十六 一次函数图像性质 （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一、知识点精讲 知识点1一次函数定义 定义.一般地，如果y=kx+b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数。 名师点拨 1.结构特征： ①k≠0； ②x的次数是1； ③常数项b可以是任意实数。 2.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特殊形式。即正比例函数是特殊的一次函数。但一次函数不一定是正比例函数。 知识点2 一次函数图像的性质 1.正比例函数的图象： 正比例函数y=kx(常数k≠0)的图象是一条经过原点(0，0)与点(1，k)的直线。 2.一次函数的图象：y=kx+b(k，b是常数，k≠0) （1）所有一次函数的图象都是一条直线； （2）与y轴交于点(0，b)；与x轴交于点(，0)的直线。 （3）作图： ①画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可； 一般取(0，b)，(，0)两点； ②当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，过原点； 3.正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质： （1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 4.一次函数的性质：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性质： （1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大； （2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大； （3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小； （4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 名师点拨 对于一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)，k的正负决定图像的变化趋势和所经过的象限，b决定了图像与坐标轴的交点位置。 知识点3 一次函数的平移 （1）上下平移：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b） ①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n； ②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n； （2）左右平移：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b） ①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b； ②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b； 名师点拨 左右平移自变量，上下平移常数项。 知识点4 一次函数的解析式确定 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx(k≠0)中的常数k； （2）确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b(k≠0)中的常数k和b； 名师点拨 运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1） 设：设出一次函数解析式为y=kx+b； （2） 代入：将条件代入解析式得关于k、b的方程组， （3） 解：解方程组，求得k、b的值， （4） 回代：将k、b的值代回一次函数解析式y=kx+b中，从而确定一次函数解析式。 2、 易错点点拨 易错点1 一次函数定义 例1-1．如果y=（m-2）+2是一次函数，那么m的值是（　　） A. 2 B. -2 C. ±2 D. ± 易错点拨 一次函数是自变量的一次整式表示的函数 变式训练1 1．下列函数中，一定是一次函数的是（　　） A. y=-8x B. y=+3 C. y=5x2+6 D. y=-kx+1 2．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE=BF=x.若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1-S2与x的函数关系为（　　） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 3．如图1和图2，分别是一个纸杯和n个纸杯叠放在一起的示意图，如图1，杯子底部到杯沿底边高为h,杯子沿高为a,如图2，n个杯子叠在一起的总高度为H，此情景中变量之间的函数关系为（　　） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 易错点2 一次函数图像 例2-1．已知y-m与x-1成正比例，且当x=-2时，y=3．若y关于x的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 对于一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)，k的正负决定图像的变化趋势和所经过的象限，b决定了图像与坐标轴的交点位置。 变式训练2 1．已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx-k的图象大致是（　　） A. B. C. D. 2．一次函数y=kx+b的部分自变量与相应的函数值如表： x m 2-m y n p 若满足m＜1，n+p=b2+4b+3，则n与p的大小关系为（　　） A. n＜p B. n≤p C. n＞p D. n≥p 3．已知点（x1，2），（x2，-4）都在直线y=-x+3上，则x1与x2的大小关系是（　　） A. x1＞x2 B. x1=x2 C. x1＜x2 D. 不能比较 4．点M（3，y1），N（5，y2）在一次函数y=（m+2）x-3的图象上，若y1＞y2，则m的取值范围是 _____． 易错点3 一次函数的平移 例3-1．在平面直角坐标系中，直线y=-x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（　　） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 易错点拨 左加右减，上加下减，左右平移自变量，上下平移常数项 变式训练3 1．将直线y=2x-1向上平移3个单位长度后，得到直线y=kx+b,下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 直线经过一、二、四象限 B. 直线与y轴交于点（0，2） C. 直线经过点（-1，-3） D. 函数y随x的增大而减小 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y=x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 _____． 3．已知一次函数y=x+2，将该函数图象向下平移m个单位长度得到直线l,且直线l经过点C（2，-3），求直线l所对应的函数表达式． 4．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（-3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=-6时，求对应的函数值y. 易错点4、一次函数的解析式 例4-1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l过P（0，9）和B（4，1）两点． （1）求直线l所对应的函数表达式． （2）已知A是直线l上的一点，且A的横坐标为2，若C是x轴上一点，连接AC，BC，满足S△ABC=11，求点C的坐标． 易错点拨 求一次函数解析式的步骤： （1） 设：设出一次函数解析式为y=kx+b； （2） 代入：将条件代入解析式得关于k、b的方程组， （3） 解：解方程组，求得k、b的值， （4） 回代：将k、b的值代回一次函数解析式y=kx+b中，从而确定一次函数解析式。 变式训练4 1．已知一次函数的图象过（2，5）和（-2，-7）两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点（a,6）在这个函数图象上，求a. 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=3x的图象交于点C（1，m）． （1）求点C的坐标； （2）求一次函数y=kx+b的表达式； （3）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为3，请直接写出点P的坐标． 3．如图，直线l1：y=x+6与直线l2：y=kx+b相交于点A，直线l1与y轴相交于点B，直线l2与y轴负半轴相交于点C，OB=2OC，点A的纵坐标为3． （1）求直线l2的解析式； （2）若D是直线l1上一点，且点D的横坐标为1，求△ACD的面积． 4．在平面直角坐标系中, 直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，其中 A（12，0）， 直线与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点，且 OA = 3OC，两条直线交于点E． （1）求直线 AB 与直线 CD 的解析式； （2）连接 AD，求ΔADE 的面积． 三、专题检测卷 一、选择题(共10题；共30.0分) 1．(3分)下列函数中，不是一次函数的是（　　） A. y=3x B. y=2- C. y=x- D. y=-3 2．(3分)在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（4，b），B（a,3）两点，则a,b一定满足的关系式为（　　） A. a-b=1 B. a+b=7 C. ab=12 D. 3．(3分)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数表达式为（　　） A. B. C. D. y=x-3 4．(3分)在同一直角坐标系内作一次函数y1=ax+b和y2=-bx+a图象，可能是（　　） A. B. C. D. 5．(3分)一次函数y=2x-3的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．(3分)一次函数y=（k-3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. k＞0 B. k＜0 C. k＞3 D. k＜3 7．(3分)在平面直角坐标系中，直线y=-x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（　　） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 8．(3分)如图，若点P（-2，4）关于y轴的对称点在一次函数y=x+b的图象上，则b的值（　　） A. -2 B. 2 C. -6 D. 6 9．(3分)已知两个一次函数y1=mx+n,y2=nx+m,它们在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10．(3分)一次函数y=kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（　　） A. y=x+3 B. y=2x-3 C. y=3x-3 D. y=4x-4 二、填空题(共5题；共15.0分) 11．(3分)一个一次函数的图象与直线y=2x+1平行，且经过点（2，-1），则这个一次函数的表达式为_____． 12．(3分)已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是_____． 13．(3分)已知直线y=-2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，-3），则m的值为 _____． 14．(3分)一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k+b=_____． 15．(3分)在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过     秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分． 三、解答题(共8题；共75.0分) 16．(8分)已知正比例函数y=kx. （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？ （2）点（1，-2）在它的图象上，求它的表达式． 17．(10分)已知正比例函数y=kx,当x=-2时，y=6． （1）求比例系数k的值； （2）在直角坐标系中画出函数y=kx的图象； （3）计算x=-3时，y的值； （4）计算y=-3时，x的值． 18．(6分)在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标． 19．(9分)在学习了一次函数图象后，我们可以从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数y=|x-2|的图象： ①列表：完成下列表格． x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … … ②画出函数y=|x-2|的图象． （2）结合所画函数图象，写出y=|x-2|两条不同类型的性质． （3）直接写出函数y=|x-2|的图象是由函数y=x-2的图象怎样变化得到的？ 20．(12分)当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整． （1）如图1，将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 _____个单位长度； （2）将一次函数y=-2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 _____（填“左”或“右”）平移了 _____个单位长度； （3）综上，对于一次函数y=kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 _____（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 _____（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m,n,k满足等式_____． 21．(9分)【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y=k（x-1）． 【理解运用】 （1）已知点A的“友好线”可记为y=kx-3k+，则点A的坐标为 _____； （2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点M在点Q的“友好线”y=k（x+2）-1上，点N在直线y=-x+2上，若M（a,m），N（a,n），且当-3≤a≤3时，m≤n,请直接确定k的取值范围． 22．(10分)将一次函数y=-3x-1的图象向上平移5个单位． （1）求平移后的一次函数表达式； （2）若点P（m-1，n1）和点Q（m+1，n2）都在平移后的一次函数图象上，求n1-n2的值． 23．(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D． （1）求直线CD的解析式； （2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题十六 一次函数图像性质（解析版） （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一、知识点精讲 知识点1一次函数定义 定义.一般地，如果y=kx+b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数。 名师点拨 1.结构特征： ①k≠0； ②x的次数是1； ③常数项b可以是任意实数。 2.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特殊形式。即正比例函数是特殊的一次函数。但一次函数不一定是正比例函数。 知识点2 一次函数图像的性质 1.正比例函数的图象： 正比例函数y=kx(常数k≠0)的图象是一条经过原点(0，0)与点(1，k)的直线。 2.一次函数的图象：y=kx+b(k，b是常数，k≠0) （1）所有一次函数的图象都是一条直线； （2）与y轴交于点(0，b)；与x轴交于点(，0)的直线。 （3）作图： ①画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可； 一般取(0，b)，(，0)两点； ②当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，过原点； 3.正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质： （1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 4.一次函数的性质：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性质： （1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大； （2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大； （3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小； （4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 名师点拨 对于一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)，k的正负决定图像的变化趋势和所经过的象限，b决定了图像与坐标轴的交点位置。 知识点3 一次函数的平移 （1）上下平移：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b） ①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n； ②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n； （2）左右平移：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b） ①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b； ②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b； 名师点拨 左右平移自变量，上下平移常数项。 知识点4 一次函数的解析式确定 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx(k≠0)中的常数k； （2）确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b(k≠0)中的常数k和b； 名师点拨 运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1） 设：设出一次函数解析式为y=kx+b； （2） 代入：将条件代入解析式得关于k、b的方程组， （3） 解：解方程组，求得k、b的值， （4） 回代：将k、b的值代回一次函数解析式y=kx+b中，从而确定一次函数解析式。 2、 易错点点拨 易错点1 一次函数定义 例1-1．如果y=（m-2）+2是一次函数，那么m的值是（　　） A. 2 B. -2 C. ±2 D. ± 易错点拨 一次函数是自变量的一次整式表示的函数 【答案】B 【解析】根据一次函数的定义可知：m2-3=1，m-2≠0，从而可求得m的值． 解：∵y=（m-2）+2是一次函数， ∴m2-3=1，m-2≠0， 解得m=-2． 故选：B． 变式训练1 1．下列函数中，一定是一次函数的是（　　） A. y=-8x B. y=+3 C. y=5x2+6 D. y=-kx+1 【答案】A 【解析】根据一次函数的定义，逐一分析四个选项，此题得解． 解：A、∵-8≠0， ∴y=-8x是一次函数，A符合题意； B、∵自变量x的次数为-1， ∴y=+3不是一次函数，B不符合题意； C、∵自变量x的次数为2， ∴y=5x2+6不是一次函数，C不符合题意； D、当k=0时，函数y=1为常数函数，不是一次函数，D不符合题意． 故选：A． 2．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE=BF=x.若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1-S2与x的函数关系为（　　） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 【答案】B 【解析】连接DF，根据AB=3，AE=BF=x,得BC=CD=3，FC=3-x,设△ADG的面积为m,所以S1=S△ADF-S△ADG+S△CDF=9-m-x,S2=S△ADE-S△ADG=x-m,S1-S2=-3x+9，即可得S1-S2与x的函数关系为一次函数关系． 解：如图，连接DF， ∵AB=3，AE=BF=x, ∴BC=CD=3，FC=3-x, 设△ADG的面积为m, ∴S1=S△ADF-S△ADG+S△CDF=×3×3-m+×3（3-x）=4.5-m+4.5-x=9-m-x, S2=S△ADE-S△ADG=×3×x-m=x-m, ∴S1-S2=9-m-x-x+m=-3x+9， ∴S1-S2与x的函数关系为一次函数关系． 故选：B． 3．如图1和图2，分别是一个纸杯和n个纸杯叠放在一起的示意图，如图1，杯子底部到杯沿底边高为h,杯子沿高为a,如图2，n个杯子叠在一起的总高度为H，此情景中变量之间的函数关系为（　　） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 【答案】B 【解析】根据题意列出解析式，h,a是常量，n,H是变量，直接判断即可． 解：由题可知，H=h+an, 因为h,a是常量，n,H是变量， 因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数． 故选：B． 易错点2 一次函数图像 例2-1．已知y-m与x-1成正比例，且当x=-2时，y=3．若y关于x的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 对于一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)，k的正负决定图像的变化趋势和所经过的象限，b决定了图像与坐标轴的交点位置。 【答案】C 【解析】根据y-m与x-1成正比例，可得y-m=k（x-1），代入x=-2时，y=3得到m和k的关系，进而利用函数图象经过二、三、四象限确定m的范围即可． 解：∵y-m与x-1成正比例， ∴y-m=k（x-1）（k≠0）， ∴y=kx-k+m, 当x=-2时，y=3， ∴-2k-k+m=3， ∴k=m-1， ∵函数图象经过二、三、四象限， ∴， 即， 解得m＜-． 故选：C． 变式训练2 1．已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx-k的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据正比例函数的增减性可知k＜0，进一步可知一次函数y=kx-k的图象经过的象限，即可确定． 解：正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴-k＞0， ∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 2．一次函数y=kx+b的部分自变量与相应的函数值如表： x m 2-m y n p 若满足m＜1，n+p=b2+4b+3，则n与p的大小关系为（　　） A. n＜p B. n≤p C. n＞p D. n≥p 【答案】A 【解析】将x=m,y=n,x=2-m,y=p代入解析式，求出n+p的值，再由n+p=b2+4b+3可得k＞0，进而求解． 解：将x=m,y=n,x=2-m,y=p代入y=kx+b得， ∴n+p=km+b+（2-m）k+b=2k+2b, ∴2k+2b=b2+4b+3， ∴2k=b2+2b+3=（b+1）2+2， ∴k＞0， ∴y随x增大而增大， ∵m＜1， ∴2-m＞m, ∴p＞n, 故选：A． 3．已知点（x1，2），（x2，-4）都在直线y=-x+3上，则x1与x2的大小关系是（　　） A. x1＞x2 B. x1=x2 C. x1＜x2 D. 不能比较 【答案】C 【解析】由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＞-4，即可得出x1＜x2． 解：∵k=-1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（x1，2），（x2，-4）都在直线y=-x+3上，且2＞-4， ∴x1＜x2． 故选：C． 4．点M（3，y1），N（5，y2）在一次函数y=（m+2）x-3的图象上，若y1＞y2，则m的取值范围是 _____． 【答案】m＜-2 【解析】由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出m+2＜0，解之即可得出m的取值范围． 解：∵点M（3，y1），N（5，y2）在一次函数y=（m+2）x-3的图象上，且y1＞y2， 即y随x的增大而减小， ∴m+2＜0， 解得：m＜-2， ∴m的取值范围是m＜-2． 故答案为：m＜-2． 易错点3 一次函数的平移 例3-1．在平面直角坐标系中，直线y=-x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（　　） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 易错点拨 左加右减，上加下减，左右平移自变量，上下平移常数项 【答案】B 【解析】根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、A′的坐标，由题意可知m-6+m=0，解得m=3． 解：∵直线y=-x+m（m为常数）与x轴交于点A， ∴A（m,0）， 将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到y=-（x+6）+m=-x-6+m, ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′， ∴A′（m-6，0）， ∵点A′与A关于原点O对称， ∴m-6+m=0， 解得m=3， 故选：B． 变式训练3 1．将直线y=2x-1向上平移3个单位长度后，得到直线y=kx+b,下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 直线经过一、二、四象限 B. 直线与y轴交于点（0，2） C. 直线经过点（-1，-3） D. 函数y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 解：将直线y=2x-1向上平移3个单位长度后得到直线y=2x-1+3，即y=2x+2， A、直线y=2x+2经过第一、二、三象限，故不符合题意； B、直线与y轴交于点（0，2），故符合题意； C、直线不经过点（-1，-3），故不符合题意； D、函数y随x的增大而增大，故不符合题意． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y=x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 _____． 【答案】（5，6） 【解析】根据平移的性质知BF=AD．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点F的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段BF的长度，即AD的长度． 解：∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF， ∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4． 又∵点B的对应点F是直线y=x上的一点， ∴4=x,解得x=7． ∴点F的坐标是（7，4）， ∴BF=5． ∴根据平移的性质知AD=BF=5， ∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）． 故答案为：（5，6）． 3．已知一次函数y=x+2，将该函数图象向下平移m个单位长度得到直线l,且直线l经过点C（2，-3），求直线l所对应的函数表达式． 【解析】根据“上加下减”的原则求得直线l为y=x+2-m,代入点C（2，-3）即可求得m的值，从而求得直线l所对应的函数表达式． 解：将直线y=x+2向下平移m个单位长度得到直线l,则直线l对应的函数表达式为y=x+2-m, ∵直线l经过点C（2，-3）， ∴-3=2+2-m, ∴m=7， ∴直线l所对应的函数表达式为y=x-5． 4．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（-3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=-6时，求对应的函数值y. 【解析】（1）设正比例函数解析式为y=kx,把点的坐标代入计算即可得解； （2）把x=-6代入解析式解答即可． 解：（1）设正比例函数解析式为y=kx, ∵图象经过点（-3，6）， ∴-3k=6， 解得k=-2， 所以，此函数的关系式是y=-2x； （2）把x=-6代入解析式可得：y=12． 易错点4、一次函数的解析式 例4-1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l过P（0，9）和B（4，1）两点． （1）求直线l所对应的函数表达式． （2）已知A是直线l上的一点，且A的横坐标为2，若C是x轴上一点，连接AC，BC，满足S△ABC=11，求点C的坐标． 易错点拨 求一次函数解析式的步骤： （1） 设：设出一次函数解析式为y=kx+b； （2） 代入：将条件代入解析式得关于k、b的方程组， （3） 解：解方程组，求得k、b的值， （4） 回代：将k、b的值代回一次函数解析式y=kx+b中，从而确定一次函数解析式。 【解析】（1）利用待定系数法求直线l的解析式； （2）先利用直线l的解析式确定点A和点D的坐标，设C（t,0），根据三角形面积公式，利用S△ACD-S△BCD=S△ABC得到×|t-|×5-×|t-|×1=11，然后解方程求出t,从而得到C点坐标． 解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b, 把P（0，9）、B（4，1）分别代入得， 解得， ∴直线l的解析式为y=-2x+9； （2）当x=2时，y=-2x+9=5， ∴点A的坐标为（2，5）， 当y=0时，-2x+9=0， 解得x=， ∴点D的坐标为（，0）， 设C（t,0）， ∵S△ACD-S△BCD=S△ABC， ∴×|t-|×5-×|t-|×1=11， 解得t=-1或t=10， ∴C点坐标为（-1，0）或（10，0）． 变式训练4 1．已知一次函数的图象过（2，5）和（-2，-7）两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点（a,6）在这个函数图象上，求a. 【解析】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b,然后把两个已知点的坐标代入得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（a,6）代入（1）中的解析式可求出a的值． 解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b, 把（2，5）和（-2，-7）代入得， 解得． 所以此一次函数的解析式为y=3x-1； （2）把（a,6）代y=3x-1得3a-1=6， 所以． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=3x的图象交于点C（1，m）． （1）求点C的坐标； （2）求一次函数y=kx+b的表达式； （3）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为3，请直接写出点P的坐标． 【解析】（1）把点C（1，m）代入y=3x,求出点C的坐标即可， （2）利用用待定系数法求解即可； （3）由y=x+2可求得B的坐标，即可利用三角形面积得到BP•1=3，解得BP=6，进而即可求得P的坐标． 解：（1）∵点C（1，m）在y=3x的图象上， ∴m=3×1=3， ∴点C坐标为（1，3）． （2）∵一次函数y=kx+b的图象过点A（-2，0）、点C（1，3）， ∴ 解得：， ∴一次函数的表达式为：y=x+2． （3）令x=0，则y=x+2=2， ∴B（0，2）， ∵△BPC的面积为3， ∴S△BPC=BP•xC=3，即BP•1=3， ∴BP=6， ∴点P的坐标为（0，8）或（0，-4）． 3．如图，直线l1：y=x+6与直线l2：y=kx+b相交于点A，直线l1与y轴相交于点B，直线l2与y轴负半轴相交于点C，OB=2OC，点A的纵坐标为3． （1）求直线l2的解析式； （2）若D是直线l1上一点，且点D的横坐标为1，求△ACD的面积． 【解析】（1）根据y轴上点的坐标特征可求B点坐标，再根据OB=2OC，可求C点坐标，根据点A的纵坐标为3，可求A点坐标，根据待定系数法可求直线l2的解析式； （2）根据点D的横坐标为1，可求D点坐标，再用长方形面积减去3个小三角形面积即可求解． 解：（1）∵当x=0时，y=0+6=6， ∴B（0，6）， ∵OB=2OC， ∴C（0，-3）， ∵点A的纵坐标为3， ∴3=x+6，解得x=-3， ∴A（-3，3）， 则， 解得， 故直线l2的解析式为y=-2x-3； （2）在y=x+6中，令x=1，则y=1+6=7， ∴D（1，7）， ∴△ACD的面积=． 4．在平面直角坐标系中, 直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，其中 A（12，0）， 直线与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点，且 OA = 3OC，两条直线交于点E． （1）求直线 AB 与直线 CD 的解析式； （2）连接 AD，求ΔADE 的面积． 【答案】（1）直线AB的解析式为；直线CD解析式为或 （2）216 【解析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；根据OA = 3OC，得到OC=4，则点C的坐标为（4，0）或（-4，0），再用待定系数法求解即可； （2）分当直线CD的解析式为和当直线CD的解析式为时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点A（12，0）代入到直线AB的解析式中得：， ∴， ∴直线AB的解析式为； ∵直线与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点，且 OA = 3OC， ∴OC=4， ∴点C的坐标为（4，0）或（-4，0）， 同理把点C坐标代入到直线CD解析式可得直线CD解析式为或； 【小问2详解】 解：当直线CD的解析式为， 联立， 解得， ∴点E的坐标为（0，-9）， ∵点D是直线与y轴的交点， ∴点D的坐标为（0，-9）即此时点D与E重合，不能构成△ADE，不符合题意； 当直线CD的解析式为时， 联立， 解得， ∴点E的坐标为（-12，-18）， ∵点D是直线与y轴的交点，点B是直线与y轴的交点， ∴点B的坐标为（0，-9），点D的坐标为（0，9）， ∴BD=18， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的图形面积，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． 三、专题检测卷 一、选择题(共10题；共30.0分) 1．(3分)下列函数中，不是一次函数的是（　　） A. y=3x B. y=2- C. y=x- D. y=-3 【答案】D 【解析】首先根据一次函数的定义找出四个选项中的一次函数，从而利于排除法得出符合题意的选项． 解：A、是正比例函数，也是一次函数，故选项错误； B、是一次函数，故选项错误； C、是一次函数，故选项错误； D、自变量次数不为1，不是一次函数，故选项正确． 故选：D． 2．(3分)在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（4，b），B（a,3）两点，则a,b一定满足的关系式为（　　） A. a-b=1 B. a+b=7 C. ab=12 D. 【答案】C 【解析】设正比例函数的解析式为y=kx,将点代入即可求解． 解：设正比例函数的解析式为y=kx, 将A（4，b），B（a,3）代入， 得， ∴， ∴ab=12． 故选：C． 3．(3分)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数表达式为（　　） A. B. C. D. y=x-3 【答案】D 【解析】如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC=AB+BC，利用直线AB的解析式求出B（0，-4），A（3，0），则AB=5，则利用AO+OC=AB+BC可求出OC=3，所以C（0，-3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可． 解：如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC=AB+BC， 当x=0时，y=x-4=-4，则B（0，-4）， ∴OB=4， 当y=0时，x-4=0，解得x=3，则A（3，0）， ∴OA=3， ∴AB==5， ∵AO+OC=AB+BC， ∴3+OC=5+4-OC，解得OC=3， ∴C（0，-3）， 设直线AC的解析式为y=kx+b, 把A（3，0），C（0，-3）代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为y=x-3． 故选：D． 4．(3分)在同一直角坐标系内作一次函数y1=ax+b和y2=-bx+a图象，可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先由一次函数y1=ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2=-bx+a的图象相比较看是否一致． 解：A、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴-b＜0， ∴一次函数y2=-bx+a图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意； B、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴-b＜0， ∴一次函数y2=-bx+a图象应该经过二、三、四象限，故不符合题意； C、∵一次函数y1=ax+b的图象经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴-b＞0； ∴一次函数y2=-bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； D、∵一次函数y1=ax+b的图象经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴一次函数y2=-bx+a图象应该经过一、三、四象限，与函数图象一致，符合题意； 故选：D． 5．(3分)一次函数y=2x-3的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】根据一次函数的性质，当k＞0时，图象经过第一、三象限解答． 解：∵k=2＞0， ∴函数经过第一、三象限， ∵b=-3＜0， ∴函数与y轴负半轴相交， ∴图象不经过第二象限． 故选：B． 6．(3分)一次函数y=（k-3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. k＞0 B. k＜0 C. k＞3 D. k＜3 【答案】D 【解析】根据一次函数y=（k-3）x+2的函数值y随x增大而减小得到k-3＜0，从而求出k的取值范围． 解：∵一次函数y=（k-3）x+2的函数值y随x增大而减小， ∴k-3＜0， ∴k＜3， 故选：D． 7．(3分)在平面直角坐标系中，直线y=-x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（　　） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 【答案】B 【解析】根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、A′的坐标，由题意可知m-6+m=0，解得m=3． 解：∵直线y=-x+m（m为常数）与x轴交于点A， ∴A（m,0）， 将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到y=-（x+6）+m=-x-6+m, ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′， ∴A′（m-6，0）， ∵点A′与A关于原点O对称， ∴m-6+m=0， 解得m=3， 故选：B． 8．(3分)如图，若点P（-2，4）关于y轴的对称点在一次函数y=x+b的图象上，则b的值（　　） A. -2 B. 2 C. -6 D. 6 【答案】B 【解析】先得出关于y轴对称的点P的坐标，然后代入运用待定系数法运算即可． 解：由题意得：P′的坐标为（2，4）， 代入得：2+b=4， 解得：b=2． 故选：B． 9．(3分)已知两个一次函数y1=mx+n,y2=nx+m,它们在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分成四种情况分别进行讨论：①当m＞0，n＞0时；②当m＞0，n＜0时；③当m＜0，n＜0时；④当m＜0，n＞0时． 解：当m＞0，n＞0时，y1=mx+n的图象在第一、二、三象限，y2=nx+m的图象在第一、二、三象限， 当m＞0，n＜0时，y1=mx+n的图象在第一、三、四象限，y2=nx+m的图象在第一、二、四象限，C选项符合； 当m＜0，n＜0时，y1=mx+n的图象在第二、三、四象限，y2=nx+m的图象在第三、二、四象限； 当m＜0，n＞0时，y1=mx+n的图象在第一、二、四象限，y2=nx+m的图象在第一、三、四象限； 故选：C． 10．(3分)一次函数y=kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（　　） A. y=x+3 B. y=2x-3 C. y=3x-3 D. y=4x-4 【答案】C 【解析】根据题意得出一次函数y=kx+b的图象也经过点（3，6），进而根据待定系数法即可求得． 解；由题意可知一次函数y=kx+b的图象也经过点（3，6）， ∴， 解得 ∴此函数表达式是y=3x-3， 故选：C． 二、填空题(共5题；共15.0分) 11．(3分)一个一次函数的图象与直线y=2x+1平行，且经过点（2，-1），则这个一次函数的表达式为_____． 【答案】y=2x-5 【解析】根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点（2，-1）的坐标代入解析式求解即可． 解：∵一次函数的图象与直线y=2x+1平行， ∴设一次函数的解析式为y=2x+b, ∵一次函数经过点（2，-1）， ∴2×2+b=-1， 解得b=-5， 所以这个一次的表达式是y=2x-5． 故答案为：y=2x-5． 12．(3分)已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是_____． 【答案】（0，）或（0，-12） 【解析】分两种情况讨论，①当B'在x轴负半轴上时，过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n,DA=OA=4，则DB=5-4=1，BC=3-n,在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．②当B'在x轴正半轴上时，设OC=x,在Rt△OCB'中，利用勾股定理可求出x的值． 解：①若B'在x轴左半轴，过C作CD⊥AB于D，如图， 对于直线y=-x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4， ∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3， ∴AB=5， 又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上， ∴AC平分∠OAB， ∴CD=CO=n,则BC=3-n, ∴DA=OA=4， ∴DB=5-4=1， 在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2， ∴n2+12=（3-n）2，解得n=， ∴点C的坐标为（0，）． ②若B'在x轴右半轴，如图， 则AB'=AB=5， 设OC=x,则CB'=CB=x+3，OB'=OA+AB'=4+5=9， 在Rt△OCB'中，OB'2+OC2=CB'2，即92+x2=（x+3）2， 解得：x=12，即可得此时点C的坐标为（0，-12）． 故答案为：（0，）或（0，-12）． 13．(3分)已知直线y=-2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，-3），则m的值为 _____． 【答案】2 【解析】根据“上加下减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点（1，-3）代入求得m的值即可． 解：将直线y=-2x+1向下平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y=-2x+1-m. 将点（1，-3）代入，得-2+1-m=-3． 解得m=2． 故答案为：2． 14．(3分)一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k+b=_____． 【答案】3或6 【解析】分k＞0和k＜0两种情况，结合一次函数的增减性，可得到关于k、b的方程组，求解即可． 解：当k＞0时，此函数是增函数， ∵当1≤x≤4时，3≤y≤6， ∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6， ∴， 解得； 当k＜0时，此函数是减函数， ∵当1≤x≤4时，3≤y≤6， ∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3， ∴， 解得：， ∴k+b=3或6． 故答案为：3或6． 15．(3分)在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过     秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分． 【答案】4或8##或 【解析】求得的面积，然后设直线平移后的解析式为，交于，交于，分两种情况讨论，关键是利用梯形的面积公式即可求得的值，进而可得答案． 解：四边形是平行四边形，，点， ， 设直线平移后的解析式为，交于，交于， 把代入得，，解得， ，， 把代入得，，解得， ，， 若四边形的面积是四边形的面积的时，则， ， 解得； 此时直线要向下平移8个单位； 时间为4秒； 若四边形的面积是四边形的面积的时，则， ， 解得， 此时直线要向下平移16个单位； 时间为8秒， 故答案为：4或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，分类讨论是解题的关键． 三、解答题(共8题；共75.0分) 16．(8分)已知正比例函数y=kx. （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？ （2）点（1，-2）在它的图象上，求它的表达式． 【解析】（1）根据正比例函数图象的性质，得k＜0； （2）只需把点的坐标代入即可计算． 解：（1）∵函数图象经过第二、四象限， ∴k＜0； （2）当x=1，y=-2时，则k=-2， 即：y=-2x. 17．(10分)已知正比例函数y=kx,当x=-2时，y=6． （1）求比例系数k的值； （2）在直角坐标系中画出函数y=kx的图象； （3）计算x=-3时，y的值； （4）计算y=-3时，x的值． 【解析】（1）直接把x=-2，y=6代入正比例函数y=kx,求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把x=-3代入正比例函数的解析式求出y的值即可； （4）把y=-3代入正比例函数的解析式求出x的值即可． 解：（1）∵正比例函数y=kx,当x=-2时，y=6， ∴6=-2k,解得k=-3； （2）∵由（1）知，k=-3， ∴正比例函数y=kx的解析式为y=-3x, ∴x=0时，y=0；x=1时，y=-3． 其图象如图所示； （3）∵由（2）知，正比例函数的解析式为y=-3x, ∴当x=-3时，y=9； （4）∵由（2）知，正比例函数的解析式为y=-3x, ∴当y=-3时，x=1． 18．(6分)在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标． 【解析】根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解． 解：如图所示 ①在直线y=x上作OP=OA，可得符合条件的P1、P2点， P1坐标为（-，-），P2（，）， ②以A为圆心，1为半径作弧交直线y=x于点P3，点P3符合条件，P3坐标为（，）， ③线段OA的垂直平分线交直线y=x于点P4，点P4符合条件，P4点坐标为（，）． 故答案为：P1（-，-），P2（，），P3（，），P4（，）． 19．(9分)在学习了一次函数图象后，我们可以从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数y=|x-2|的图象： ①列表：完成下列表格． x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … … ②画出函数y=|x-2|的图象． （2）结合所画函数图象，写出y=|x-2|两条不同类型的性质． （3）直接写出函数y=|x-2|的图象是由函数y=x-2的图象怎样变化得到的？ 【解析】（1）把x的值代入解析式计算即可； （2）根据图象所反映的特点写出即可； （3）根据函数图象即可得到结论． 解：（1）①填表如下： x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … 3 2 1 0 1 2 3 … ②如图所示： （2）①当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小； ②函数有最小值，最小值为0； （3）函数y=|x-2|的图象是由函数y=x-2的图象沿x轴向上翻折得到的． 20．(12分)当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整． （1）如图1，将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 _____个单位长度； （2）将一次函数y=-2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 _____（填“左”或“右”）平移了 _____个单位长度； （3）综上，对于一次函数y=kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 _____（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 _____（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m,n,k满足等式_____． 【答案】(1)1;(2)左;(3);(4)右;(5)左;(6)m=n|k|（或：当k＞0时，m=nk,当k＜0时，m=-nk）; 【解析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论； （3）根据（1）（2）题得出结论即可． 解：（1）∵将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度得到y=x+2-1=（x-1）+2， ∴相当于将它向右平移了1个单位长度， 故答案为：1； （2）将一次函数y=-2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y=-2x+4-1=-2（x+）+4， ∴相当于将它向左平移了个单位长度； 故答案为：左；； （3）综上，对于一次函数y=kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m,n,k满足等式m=n|k|． 故答案为：右；左；m=n|k|（或：当k＞0时，m=nk,当k＜0时，m=-nk）． 21．(9分)【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y=k（x-1）． 【理解运用】 （1）已知点A的“友好线”可记为y=kx-3k+，则点A的坐标为 _____； （2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点M在点Q的“友好线”y=k（x+2）-1上，点N在直线y=-x+2上，若M（a,m），N（a,n），且当-3≤a≤3时，m≤n,请直接确定k的取值范围． 【答案】（3，） 【解析】（1）由y=kx-3k+=k（x-3）+经过定点（3，）求解． （2）将（1，1）代入y=k（x-3）+2求解． （3）先将x=-3与x=3代入y=-x+2求出点坐标，再将所求点坐标代入y=k（x+2）-1求出k,结合图象求出取值范围． 解：（1）∵y=kx-3k+=k（x-3）+， ∴点A坐标为（3，）． 故答案为：（3，）． （2）由题意可得点B所在直线解析式为y=k（x-3）+2， 将（1，1）代入y=k（x-3）+2得1=-2k+2， 解得k=， ∴该“友好线”的解析式为y=（x-3）+2． （3）由题意得当-3≤x≤3时，直线y=k（x+2）-1在直线y=-x+2下方， 把x=-3代入y=-x+2得y=3，把x=3代入y=-x+2得y=1， ∴直线y=-x+2经过点（-3，3），（3，1）， 把（-3，3）代入y=k（x+2）-1得-4=k, 把（3，1）代入y=k（x+2）-1得5k-1=1， 解得k=， ∵y=k（x+2）-1经过定点（-2，-1），k=-4时，如图， k=时，如图， ∴-4≤k≤时满足题意． 22．(10分)将一次函数y=-3x-1的图象向上平移5个单位． （1）求平移后的一次函数表达式； （2）若点P（m-1，n1）和点Q（m+1，n2）都在平移后的一次函数图象上，求n1-n2的值． 【解析】（1）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可； （2）把点P（m-1，n1）和点Q（m+1，n2）代入y=-3x+4，解方程组即可得到结论． 解：（1）一次函数y=-3x-1的图象沿着y轴向上平移5个单位所得函数解析式为：y=-3x-1+5，即y=-3x+4． （2）∵点P（m-1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上， ∴， 解得：n1-n2=6． 23．(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D． （1）求直线CD的解析式； （2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围． 【解析】（1）先把A（5，m）代入y=-x+3得A（5，-2），再利用点的平移规律得到C（3，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y=2x+b,然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式； （2）先确定B（0，3），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=2x+3，然后求出直线y=2x+3与x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围． 解：（1）把A（5，m）代入y=-x+3得m=-5+3=-2，则A（5，-2）， ∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C， ∴C（3，2）， ∵过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D， ∴CD的解析式可设为y=2x+b, 把C（3，2）代入得6+b=2，解得b=-4， ∴直线CD的解析式为y=2x-4； （2）当x=0时，y=-x+3=3，则B（0，3）， 当y=0时，2x-4=0，解得x=2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）； 易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=2x+3， 当y=0时，2x+3=0，解得x=-，则直线y=2x+3与x轴的交点坐标为（-，0）， ∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为-≤x≤2． 学科网（北京）股份有限公司 $$