专题13 解答中档题型：概率统计综合题专题-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题13 解答中档题型：概率统计综合题 1．（22-23高一下·浙江宁波·期末）第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.      (1)求x的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的 （i）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）； （ii）中位数（结果用分数表示）. 2．（22-23高一下·浙江衢州·期末）随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按，，…，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知.    (1)求频率分布直方图中，的值； (2)估计该校学生每周零花钱的第55百分位数； (3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数. 3．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数； (2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）． 4．（21-22高一下·浙江宁波·期末）为了了解我市参加年浙江高中数学学考的考试结果情况，从中选取名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成、、、、、六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：    (1)求分数在内的频率； (2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值和分位数. 5．（21-22高一下·浙江台州·期末）以往的招生数据显示，某大学通过“三位一体”招生录取的大一新生高考总分的最低分基本上稳定在分.你的一位高三学长在历次模拟考试中得分的情况统计如下： 得分区间 次数 (1)补全下图的频率分布直方图； (2)若该同学历次模拟考试中得分的第百分位数为分，估算的值以及该同学被此大学“三位一体”录取的可能性. 6．（21-22高一下·浙江宁波·期末）核酸检测的物质是病毒的核酸.核酸检测是查找患者的呼吸道标本中是否存在外来入侵的病毒的核酸，来确定是否被新冠病毒感染.新冠病毒感染人体之后，首先会在呼吸道系统中进行繁殖，因此可以通过检测痰液，鼻咽拭子中的病毒核酸，来判断人体是否感染病毒.所以说，核酸检测阳性可以作为新型冠状病毒感染确诊的标准.为了解某核酸检测点检测人群的排队等待时间，随机调查了该检测点某天检测的100人，制成如下频率分布直方图. (1)求样本中等待时间大于15分钟的人数及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名检测者等待时间的 （i）中位数（结果用分数表示）； （ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表） 7．（21-22高一下·浙江丽水·期末）某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了100名学生的一个学期课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值以及在中的学生数； (2)根据频率分布直方图，估计该校学生一个学期课外阅读平均时间． 8．（21-22高一下·浙江金华·期末）某大学为调研学生在 两家餐厅用餐的满意度，从在 两家都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为 60 分. 整理评分数据，将分数以 10 为组距分为 6 组: ，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表: 餐厅分数的频数分布表 分数区间 频数 2 3 5 15 40 35 (1)在抽样的 100 人中，求对餐厅评分低于30分的人数; (2)如果从 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家? 说明理由. 9．（22-23高一下·浙江台州·期末）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，右图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），    (1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数； (2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？ (3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差. 10．（22-23高一下·浙江宁波·期末）为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率. 11．（22-23高一下·浙江台州·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 12．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省､市､自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年11月），已知某地区有50人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数a和中位数b的值（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)若成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲根据上表在此地区100分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取3份进行审阅，已知A同学的成绩是105分，E同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率. 13．（22-23高一下·浙江金华·期末）树人中学名师生参加了对学校教学管理满意度的评分调查，按样本量比例分配的分层随机抽样方法，抽取个师生的评分（满分分），绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于分 分到分 分到分 分及以上 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意    (1)求图中的值； (2)若师生的满意指数不低于，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断该校是否能获奖，并说明理由.（注：满意指数） (3)假设在样本中，学生、教师的人数分别为、.记所有学生的评分为、、、，其平均数为，方差为，所有教师的评分为、、、，其平均数为，方差为，总样本评分的平均数为，方差为，若，，试估计该校等级为满意的学生的最少人数. 14．（22-23高一下·浙江温州·期末）现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数； (2)用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标； (3)从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率. 15．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 16．（22-23高一下·浙江丽水·期末）杭州年第届亚运会将于年月日至月日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某大学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)试根据频率分布直方图求出这名学生中成绩低于分的人数； (2)试估计这名学生成绩的第百分位数； (3)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 17．（21-22高一下·浙江宁波·期末）某校高一年级学生利用暑假假期期间进行志愿者活动，为了解学生参加志愿活动的时间，随机抽取了200名学生进行调查，将收集到的做志愿者时间（单位：小时）数据分成组：，，，，，，时间均在内，已知上述数据的百分位数为． （1）求的值； （2）现从第二组，第四组学生中采用按比例分层抽样的方法取人，再从人中随机抽取两人，求两人来自不同组的概率． 18．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 19．（21-22高一下·浙江温州·期末）有标号为质地相同的4 个小球， 现有放回地随机抽取两次， 每次取一球． 记事件 ： 第一次取出的是1号球； 事件 ： 两次取出的球号码之和为 5 ． (1)求事件的概率； (2)试判断事件与事件是否相互独立， 并说明理由； (3)若重复这样的操作64次， 事件是否可能出现6次， 请说明理由． 20．（21-22高一下·浙江丽水·期末）甲、乙两人参加某学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． (1)求乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率； (2)两人各回答3个问题，求甲恰好回答2个正确且乙恰好回答3个正确的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛．求甲恰好回答5次被退出比赛的概率是多少？ 21．（21-22高一上·浙江·期末）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立． (1)若甲、乙、丙三人同时对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率； (2)若甲、乙两人各自对目标射击两次，求四次射击中恰有两次命中目标的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 解答中档题型：概率统计综合题 1．（22-23高一下·浙江宁波·期末）第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.      (1)求x的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的 （i）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）； （ii）中位数（结果用分数表示）. 【答案】(1)；(2)（i）（ii） 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率和为可求得的值； （2）利用频率分布直方图中的平均数，中位数的计算公式可求解即可． 【详解】（1）， 所以； （2）（i）： （ii）因为， ， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是，所以，可得. 2．（22-23高一下·浙江衢州·期末）随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按，，…，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知.    (1)求频率分布直方图中，的值； (2)估计该校学生每周零花钱的第55百分位数； (3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数. 【答案】(1)，；(2)70元；(3)2人 【分析】（1）根据频率之和为1，结合已知可得； （2）先判断第55百分位数所在区间，然后可得； （3）先求各组频率，根据频率比例即可求得抽取人数. 【详解】（1），即 又，所以，. （2）前3组的频率和为， 前4组的频率和为， ∴第55百分位数位于第4组内. ∴估计第55百分位数为元. （3），，这三组的频率分别为，，，比例为， 则从内抽取的人数分别为. 3．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数； (2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】(1)众数是20；中位数是；平均数为20.32；(2)23.86 【分析】（1）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20； 由，解得， ∵，且， ∴中位数位于之间，设中位数为， ，解得，故中位数是； 平均数为； （2）75百分位数即为上四分位数， 又∵，， ∴上四分位数位于之间，设上四分位数为， 则，解得． 4．（21-22高一下·浙江宁波·期末）为了了解我市参加年浙江高中数学学考的考试结果情况，从中选取名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成、、、、、六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：    (1)求分数在内的频率； (2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值和分位数. 【答案】(1)；(2)均值为分，分位数为分 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得分数在内的频率； （2）利用百分位数和平均数的定义可求得结果. 【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，分数在内的频率为. （2）解：本次考试成绩的均值为（分）， 分数在内的频率为， 分数在内的频率为， 设本次考试成绩的分位数为，则，则， 解得， 因此，本次考试成绩的均值为分，分位数为分. 5．（21-22高一下·浙江台州·期末）以往的招生数据显示，某大学通过“三位一体”招生录取的大一新生高考总分的最低分基本上稳定在分.你的一位高三学长在历次模拟考试中得分的情况统计如下： 得分区间 次数 (1)补全下图的频率分布直方图； (2)若该同学历次模拟考试中得分的第百分位数为分，估算的值以及该同学被此大学“三位一体”录取的可能性. 【答案】(1)见解析；(2)，该同学有的希望被该大学的“三位一体”录取 【分析】（1）由表格数据计算可得频率分布直方图的高，由此可补全频率分布直方图； （2）根据可求得，由此可确定录取的可能性. 【详解】（1）由表格数据知：得分在内的频率为，对应矩形的高为， 频率分布直方图如下图所示， （2），， ，该同学有的希望被该大学的“三位一体”录取. 6．（21-22高一下·浙江宁波·期末）核酸检测的物质是病毒的核酸.核酸检测是查找患者的呼吸道标本中是否存在外来入侵的病毒的核酸，来确定是否被新冠病毒感染.新冠病毒感染人体之后，首先会在呼吸道系统中进行繁殖，因此可以通过检测痰液，鼻咽拭子中的病毒核酸，来判断人体是否感染病毒.所以说，核酸检测阳性可以作为新型冠状病毒感染确诊的标准.为了解某核酸检测点检测人群的排队等待时间，随机调查了该检测点某天检测的100人，制成如下频率分布直方图. (1)求样本中等待时间大于15分钟的人数及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名检测者等待时间的 （i）中位数（结果用分数表示）； （ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表） 【答案】(1)人，；(2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用频数，频率，总数的关系可求得样本中等待时间大于15分钟的人数，再利用频率和为1可求得的值； （2）利用频率分布直方图中的平均数，中位数的计算公式可求解； 【详解】（1）样本中等待时间大于15分钟的人数为：人. 由，解得 （2）（i）设中位数为1，则易知 ，解得 （ii）这100名检测者等待时间的平均值为： 7．（21-22高一下·浙江丽水·期末）某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了100名学生的一个学期课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值以及在中的学生数； (2)根据频率分布直方图，估计该校学生一个学期课外阅读平均时间． 【答案】(1)；；(2)小时 【分析】（1）利用频率和为1求得，再利用频数频率总数，可求得在中的学生数； （2）利用频率分布直方图中平均数的计算公式可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知： 解得 阅读时间在之间的学生人数为 （2） 该校学生一个学期课外阅读平均时间小时． 8．（21-22高一下·浙江金华·期末）某大学为调研学生在 两家餐厅用餐的满意度，从在 两家都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为 60 分. 整理评分数据，将分数以 10 为组距分为 6 组: ，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表: 餐厅分数的频数分布表 分数区间 频数 2 3 5 15 40 35 (1)在抽样的 100 人中，求对餐厅评分低于30分的人数; (2)如果从 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家? 说明理由. 【答案】(1)20；(2)B餐厅，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图求出低于30分的频率，从而求出对A餐厅评分低于30分的人数； （2）求出对B餐厅评分低于30分的人数，根据对两家餐厅评分低于30分的人数进行比较，得到结论 【详解】（1）从频率分布直方图得到评分低于30分的频率为， 所以抽样的 100 人中，求对餐厅评分低于30分的人数为； （2）从分布表可以看出：在抽样的 100 人中，对B餐厅评分低于30分的人数为，因为评分总分为60分，故中位数为30分，显然评分低于30分的人数越少，说明餐厅的用餐满意度越好， 因为，所以选择B餐厅用餐. 9．（22-23高一下·浙江台州·期末）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，右图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），    (1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数； (2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？ (3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差. 【答案】(1)，；(2)；(3)平均分为，方差为 【分析】（1）先求出所有矩形的面积，再用1减去这个面积可得缺失部分的面积，除以10可得其高度，可求得第10名的成绩是第75百分位数，然后利用百分位数的定义可求得结果； （2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解； （3）利用平均数和方差的定义求解即可. 【详解】（1）因为已有矩形的面积和为， 所以缺失的矩形面积为， 所以高度为， 由于，所以第10名记为第75百分位数， 设第10名的成绩为，则位于第5组，且，解得， 所以成绩排名第10的选手分数为129； （2）105以下合计6个人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下的人编号为1，2），任选2个人的方法数， 列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种， 包含1，2的有9种，故概率为； （3）男子组选手的平均分 ， 男子组得分的方差 所有选手的平均得分为， 所以所有选手得分的方差. 10．（22-23高一下·浙江宁波·期末）为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，设“两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可； （2）设“不进行加赛甲就获得数独王”，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可. 【详解】（1）设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，设“两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”． . 所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为； （2）设“不进行加赛甲就获得数独王”. ， ， ， 所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为. 11．（22-23高一下·浙江台州·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 【答案】(1)，74分；(2) 【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数公式运算求解； （2）根据独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得每组的频率依次为， 则，解得， 设平均成绩的估计值为， 则（分）， 所以这100名学生的平均成绩估计值为74分. （2）每个学生成绩不低于80分的概率为0.4. 3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率； 3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率； 3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 12．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省､市､自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年11月），已知某地区有50人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数a和中位数b的值（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)若成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲根据上表在此地区100分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取3份进行审阅，已知A同学的成绩是105分，E同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图所有小长方形的面积和为1求出，可得平均数、中位数； （2）由图求出成绩在、的人数，设A，B，C，D四位同学的成绩在两位同学的成绩在，由列举法可得古典概型概率. 【详解】（1）由上表可知，，解得， 平均数 中位数， 由题意可知，，解得， 即平均数，中位数； （2）由图可知，成绩在有人， 成绩在有人， 根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份， 设A，B，C，D四位同学的成绩在两位同学的成绩在， 根据分层抽样的原则有共12个样本， 符合条件的3个样本，所以符合条件的概率为， 即两位同学的试卷都被抽到的概率为. 13．（22-23高一下·浙江金华·期末）树人中学名师生参加了对学校教学管理满意度的评分调查，按样本量比例分配的分层随机抽样方法，抽取个师生的评分（满分分），绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于分 分到分 分到分 分及以上 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意    (1)求图中的值； (2)若师生的满意指数不低于，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断该校是否能获奖，并说明理由.（注：满意指数） (3)假设在样本中，学生、教师的人数分别为、.记所有学生的评分为、、、，其平均数为，方差为，所有教师的评分为、、、，其平均数为，方差为，总样本评分的平均数为，方差为，若，，试估计该校等级为满意的学生的最少人数. 【答案】(1)；(2)该校可获评“教学管理先进单位”，理由见解析；(3)人 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值； （2）计算师生的满意指数，结合题意判断可得出结论； （3）利用平均数公式可得出，利用方差公式结合已知条件可得出，令，可得出，由结合已知条件可求得的取值范围，可出的最小值，进而可求得该校等级为满意的学生的最少人数. 【详解】（1）解：由频率和为得，解得. （2）解：由题意可得，师生的满意指数为 ， 该校可获评“教学管理先进单位”. （3）解：由可得，， 所以， ， 所以，即， 令，则，， 即，解得或， 因为且，得，所以，. 估计该校等级为满意的学生人数最少为人. 14．（22-23高一下·浙江温州·期末）现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数； (2)用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标； (3)从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率. 【答案】(1)，这200条鱼汞含量的样本平均数为；(2)；(3) 【分析】（1）由频率之和等于1得出，进而由平均数的公式求解即可； （2）求出样本中汞含量在内的频率，利用频率进行估计； （3）由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率. 【详解】（1）由，解得. 则这200条鱼汞含量的样本平均数为. （2）样本中汞含量在内的频率为. 则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标. （3）由题意可知，样本中汞含量在内的频率为. 则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为， 顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为. 则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为. 15．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 【答案】(1)，，众数为70，中位数为；(2) 【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可； （2）利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， ， 众数为70， 因为前2组的频率和为，前3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为，则 ，解得， 所以中位数为. （2）记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有： 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签，共有10种情况， 其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签，共7种， 所以中签者中男生比女生多的概率为. 16．（22-23高一下·浙江丽水·期末）杭州年第届亚运会将于年月日至月日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某大学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)试根据频率分布直方图求出这名学生中成绩低于分的人数； (2)试估计这名学生成绩的第百分位数； (3)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 【答案】(1)18人；(2)82.5；(3) 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可得解； （2）由百分位数的定义直接计算即可； （3）根据分层抽样，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图中数据可知： （2）成绩小于80的频率为，成绩在的频率为，因为， 所以这名学生成绩的第百分位数在内， 所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为. （3）因为成绩在，，的学生人数所占比例为3:2:1， 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人. 记抽取成绩在的3人为，成绩在 为. ，共15种， 抽取的2人成绩都在的是，共3种， 抽取的人成绩都在的概率为. 17．（21-22高一下·浙江宁波·期末）某校高一年级学生利用暑假假期期间进行志愿者活动，为了解学生参加志愿活动的时间，随机抽取了200名学生进行调查，将收集到的做志愿者时间（单位：小时）数据分成组：，，，，，，时间均在内，已知上述数据的百分位数为． （1）求的值； （2）现从第二组，第四组学生中采用按比例分层抽样的方法取人，再从人中随机抽取两人，求两人来自不同组的概率． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由频率分布直方图中的频率和为，以及百分位数的定义，列出方程组，解出的值； （2）根据分层抽样计算出第二组，第四组学生中抽取的人数，利用古典概型计算可得答案． 【详解】由题意：，即； 又上述数据的百分位数为，，即； 解得，； （2）第二组与第四组频率之比为 因此分层抽样的个人中，来自第二组的人，来自第四组的人 设来自第二组的人为，来自第四组的人为， 则人中任选人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，总数为个 两人来自不同组的事件有个，故所求概率为. 18．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用古典概型去求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （2）利用古典概型去求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 【详解】（1）甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务， 每个岗位至少有一名志愿者． 基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙）， （乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6个， 其中甲乙两人同时参加A岗位服务的是（甲乙，丙）只有1个， 故甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为； （2）甲乙两人不在同一岗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个， 故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为． 19．（21-22高一下·浙江温州·期末）有标号为质地相同的4 个小球， 现有放回地随机抽取两次， 每次取一球． 记事件 ： 第一次取出的是1号球； 事件 ： 两次取出的球号码之和为 5 ． (1)求事件的概率； (2)试判断事件与事件是否相互独立， 并说明理由； (3)若重复这样的操作64次， 事件是否可能出现6次， 请说明理由． 【答案】(1)；(2)相互独立，理由见解析；(3)有可能，理由见解析 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果，理由古典概型的概率公式计算可得； （2）由（1）求出，，从而得到，即可判断； （3）根据随机事件的定义判断即可； 【详解】（1）解：记为第一次取出球的标号，为第二次取出球的标号，用数对表示两次取球标号的情况， 所以有、、、、、、、、、、、、、、、共16种， 满足事件的有共种，所以； （2）解：由（1）可得，， 所以，所以事件与事件相互独立； （3）解：因为每次操作事件可能发生，也可能不发生， 所以重复这样的操作次，事件发生的次数为次中的一种， 所以事件有可能出现次； 20．（21-22高一下·浙江丽水·期末）甲、乙两人参加某学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． (1)求乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率； (2)两人各回答3个问题，求甲恰好回答2个正确且乙恰好回答3个正确的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛．求甲恰好回答5次被退出比赛的概率是多少？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案. （2）记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答2个正确为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得出答案. （3）记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得出答案. 【详解】（1）记“乙回答3个问题，至少有一个回答正确”为事件，由题意， 答：乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率． （2）记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答2个正确为事件 则甲恰好回答2个正确且乙恰好回答3个正确的概率为． 答：两人各回答3个问题，甲恰好回答2个正确且乙恰好回答3个正确的概率为． （3）记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件， 则， 答：甲恰好回答5次被退出比赛的概率是． 21．（21-22高一上·浙江·期末）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立． (1)若甲、乙、丙三人同时对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率； (2)若甲、乙两人各自对目标射击两次，求四次射击中恰有两次命中目标的概率． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C 三人同时对同一目标射击，目标被击中为事件D 可知，三人同时对同一目标射击，目标不被击中为事件 有P()=1−P() 又由已知 ∴ ∴三人同时对同一目标进行射击，目标被击中的概率为 （2）设“四次射击中恰有两次击中目标”为事件E 则 ∴四次射击中恰有两次击中目标的概率为 学科网（北京）股份有限公司 $$