专题11 解答基础题型：平面向量的基本运算-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题11 解答基础题型：复数与向量的基本运算 题型一 复数的计算 1．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知复数，为虚数单位. (1)求； (2)若是关于的方程一个根，求p，q的值. 2．（22-23高一下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个根，其中. (1)求a的值； (2)设在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度. 3．（21-22高一下·浙江宁波·期末）复数满足为纯虚数； (1)求复数； (2)求. 4．（21-22高一下·浙江台州·期末）设为虚数单位，，复数.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答. ①；②；③在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上. (1)求实数的值； (2)若是纯虚数，求实数的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 题型二 向量的基本运算 1．（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量满足与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 3．（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知向量、满足：，，. (1)求； (2)若向量与共线，求实数的值. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. 5．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知，是非零向量，①；②；③. (1)从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.） (2)在①②的条件下，，求实数. 6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 7．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知是夹角为的单位向量，. (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，且，求的最小值. 8．（22-23高一下·浙江杭州·期末）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记.已知分别为向是的@未来坐标.    (1)证明：； (2)若向量的“@未来坐标”分别为，，求向量的夹角的余弦值. 9．（22-23高一下·浙江温州·期末）在菱形ABCD中，，，记，. (1)用，表示； (2)若，求的值. 10．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）记、、为平面单位向量，且. (1)求； (2)若，求. 11．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知向量，若， (1)求与的夹角θ； (2)求； (3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？ 12．（21-22高一上·浙江宁波·期末）已知， (1)求的值； (2)求与的夹角. 13．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知向量满足． (1)若，求||的值； (2)若，求的值． 14．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知与的夹角为. (1)求； (2)求在上的投影向量的模长. 15．（21-22高一下·浙江金华·期末）如图，已知的外接圆的半径为4，. (1)求中边的长; (2)求. 16．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求的值； (2)设在上的投影向量为，求实数的值． 17．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知向量满足，，且. (1)求； (2)设向量，记，求的值. 18．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图， 在正六边形中，，为上一点， 且 交于点 (1)当 时， 试用表示； (2)求的取值范围． 19．（21-22高一下·浙江温州·期末）已知、是非零向量， ， 且 、． (1)求与的夹角； (2)求． 20．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 解答基础题型：复数与向量的基本运算 题型一 复数的计算 1．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知复数，为虚数单位. (1)求； (2)若是关于的方程一个根，求p，q的值. 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解； （2）利用复数的四则运算法则以及复数相等的条件求解. 【详解】（1）. （2），即， ，解得，. 2．（22-23高一下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个根，其中. (1)求a的值； (2)设在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意可得复数互为共轭复数，再利用韦达定理即可求出； （2）根据复数的几何意义求出两点的坐标，进而可得答案. 【详解】（1）因为关于x的一元二次方程有两个复数根， 所以复数互为共轭复数， 则， 所以，解得； （2）因为在复平面内所对应的点分别为A，B， 所以， 所以线段AB的长度为. 3．（21-22高一下·浙江宁波·期末）复数满足为纯虚数； (1)求复数； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由复数的乘法运算，纯虚数的概念，复数的模长公式求解即可； （2）有复数的除法与乘方运算求解即可 【详解】（1）因为， 所以， 则由题意可得：，解得， 所以； （2） 4．（21-22高一下·浙江台州·期末）设为虚数单位，，复数.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答. ①；②；③在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上. (1)求实数的值； (2)若是纯虚数，求实数的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）若选①，先求出，然后令其虚部为0即可求得答案；若选②，先求出，然后根据复数相等求得答案；若选③，令实部和虚部相等即可求得答案； （2）先算出，然后令实部为0且虚部不为0即可求得答案. 【详解】（1）若选①：由，得，解得. 若选②：由，解得. 若选③：由得. （2），由，解得. 题型二 向量的基本运算 1．（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量满足与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为与的夹角为， 所以， 所以 . （2）因为， 所以 ， 化为，解得. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 3．（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知向量、满足：，，. (1)求； (2)若向量与共线，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由平面向量数量积的运算性质求出的值，可求出向量、的夹角，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）由（1）可知，向量、不共线，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】（1）解：设向量、的夹角为，由可得， 因为，，则，可得， 所以，，又因为，则， 故. （2）解：由（1）可知，、不共线， 因为与共线，所以存在实数，使得， 即，所以，，解得. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. 【答案】(1)6；(2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）∵，，∴； （2）∵， ∴. 5．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知，是非零向量，①；②；③. (1)从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.） (2)在①②的条件下，，求实数. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）选择①②，选择①③，选择②③，利用平面向量数量积的定义、运算律推理作答. （2）利用垂直关系的向量表示，平面向量数量积的定义、运算律求解作答. 【详解】（1）选①②：若，，则 ，所以③成立. 选①③：由，得，而，则， 即，又，所以，②成立. 选②③：由，得，而，则， 整理得，而，所以，①成立. （2）由，得，， 而，，因此，又， 所以. 6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据数量积的运算律及向量的夹角公式求解即可； （2）根据向量模长的公式及数量积的运算律得，然后利用一元二次函数求解最值. 【详解】（1）由，，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为，， 所以， 所以的最小值为，此时. 7．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知是夹角为的单位向量，. (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由向量垂直的性质列方程，结合数量积的运算性质化简方程可求的值； （2）由数量积的运算律和模的性质求，再求，由此可求的最小值. 【详解】（1）因为是夹角为的单位向量，所以， 所以 （2）因为， 所以， ， ，又， ， ， 当时，取最小值，. 8．（22-23高一下·浙江杭州·期末）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记.已知分别为向是的@未来坐标.    (1)证明：； (2)若向量的“@未来坐标”分别为，，求向量的夹角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）因为，则计算即可证明； （2）由题意可得，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 （2）， ， ， ， 所以. 9．（22-23高一下·浙江温州·期末）在菱形ABCD中，，，记，. (1)用，表示； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由向量的加法和数乘运算求解即可； （2）根据数量积运算求出的值. 【详解】（1）因为，，所以点在线段上，并靠近点的等分点， 点在线段上，并靠近点的等分点. .    （2）设菱形ABCD的边长为. 因为，所以. 即，，解得. 10．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）记、、为平面单位向量，且. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值； （2）由平面向量数量积的运算性质可得出的值. 【详解】（1）解：由已知，且， 所以，，则， 所以，， 因为，所以，. （2）解：由已知可得，且， 所以，. 11．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知向量，若， (1)求与的夹角θ； (2)求； (3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可； （2）根据结合数量积的运算律计算即可； （3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 又因，所以； （2）解：； （3）解：当向量与向量互相垂直时， ， 即， 即，解得. 12．（21-22高一上·浙江宁波·期末）已知， (1)求的值； (2)求与的夹角. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果， （2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可 【详解】（1）因为，， 所以，，得， 所以 （2）因为， ， 所以， 因为， 所以， 即与的夹角为 13．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知向量满足． (1)若，求||的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4；(2) 【分析】（1）将两边平方化简求解即可； （2）将两边平方化简得到，根据求解即可 【详解】（1）∵  ∴，∴，即 （2），∴，即 ． 14．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知与的夹角为. (1)求； (2)求在上的投影向量的模长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由平面向量数量积的定义即可求得答案； （2）先求出在上投影，进而求出投影向量的模长. 【详解】（1）. （2）因为，所以在上的投影向量的模长为. 15．（21-22高一下·浙江金华·期末）如图，已知的外接圆的半径为4，. (1)求中边的长; (2)求. 【答案】(1)2；(2)-18 【分析】（1）先判断出，即可求出 ； （2）转化条件为，由数量积的运算律及定义即可得解. 【详解】（1）因为，所以. 所以，且. （2）由（1）， 所以 . 16．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求的值； (2)设在上的投影向量为，求实数的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量计算的相关公式解方程； （2）根据向量的投影的概念及公式直接计算. 【详解】（1）由，即， 解得； （2）在上的投影向量为， 故. 17．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知向量满足，，且. (1)求； (2)设向量，记，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先由数量积的定义求出，再由结合数量积的运算律即可求解； （2）先求出，再由向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）由题知， 所以； （2）因为； ，同理可求得； 所以. 18．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图， 在正六边形中，，为上一点， 且 交于点 (1)当 时， 试用表示； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据正六边形的性质和平面向量的线性运算结合图形可得； （2）记，，借助F、G、H共线可得和之间的关系，然后根据平面向量的线性运算表示出所求，利用对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由正六边形性质可知，， 因为，所以 所以 （2）记， 则，…① 将代入①整理得 因为F、G、H共线，所以，即 又 ， 所以 将代入上式整理可得 令，则 由对勾函数可知，当在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值6；当时，取得最小值4. 所以的取值范围为. 19．（21-22高一下·浙江温州·期末）已知、是非零向量， ， 且 、． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； （2）根据及数量积的运算律计算可得； 【详解】（1）解：因为，所以，即，即， 所以，因为，所以； （2）解： . 20．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据给定条件，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. （2）令，，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. 【详解】（1）依题意，，，， 而是边的中点，，则， 因此，又，， 所以. （2）由（1）知：令，，则， ， 则有， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$