精品解析：重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期第二阶段性学业质量联合调研抽测（5月）数学试题

2023-2024学年（下）第二阶段性学业质量联合调研抽测 高一数学试题 （分数：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，若是的真子集，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合是集合的真子集，求得实数的取值范围. 【详解】由于，，且是的真子集，所以. 故选A. 【点睛】本小题主要考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 2. 已知不等式的解集是，则实数a等于（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集可得，即可求实数a. 【详解】由题设，有，可得. 故选：A. 3. 把函数的图象向左平移个单位就得到了一个奇函数的图象,则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换得到，求出平移后的函数解析式，利用奇函数性质列出方程，求出，确定的最小值. 【详解】利用三角恒等变换得到， 将函数的图象向左平移个单位得到的函数为 ∵将函数的图象向左平移个单位得到了一个奇函数的图象 ∴，即 ∵ ∴当时，取得最小值为 故选：C 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】解：因为，，， 所以， 故选：C． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，再利用，即可求得答案. 【详解】因为，所以，解得， 又，所以. 故选:A. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】令，得出，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，数形结合可得出结果. 【详解】令，得出， 则函数的零点个数为直线与函数的图象的交点个数， 在同一直角坐标系作出函数与函数的图象如下图所示： 由图象可知，函数与函数的图象有且只有一个交点. 因此，函数的零点个数为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 7. 已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件①可知函数在上单调递减，再根据偶函数性质即可得出函数的单调性，结合条件②并对进行分类讨论即可解出不等式. 【详解】由对任意的，且，都有成立可得， 函数在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，根据偶函数性质可知， 在上单调递增，且； 由不等式可知， 当时，，根据在上单调递减可得； 当时，，根据在上单调递增可得； 综上可知，不等式解集为. 故选：A 8. 已知函数，，，下列四个结论： ① ② ③ ④直线是图象的一条对称轴 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件知关于轴对称，关于中心对称，可得求、，写出解析式并判断各项的正误即可. 【详解】由题设，知：关于轴对称，关于中心对称， ∴，，即，， ∴，又，即， 当时，有，此时，则， ∴，而，故不是图象的一条对称轴. 故选：B. 点睛】结论点睛： （1）有关于中心对称. （2）有关于轴对称. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分. 9. 若a、b、，，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质对选项逐一判断， 【详解】对于A，，则，故A正确， 对于B，若，则，故B错误， 对于C，若，则，故C错误， 对于D，由，，故，故D正确， 故选：AD 10. 集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数， 选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数. 故选：AC. 11. 已知函数的图象关于直线对称，且对，有.当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据关于直线对称得到关于直线对称，即，结合，推导出，A正确；B选项，由得到B错误；C选项，由函数周期求出，先计算出，再结合求出答案；D选项，由A选项可推出函数为偶函数. 【详解】A选项，函数的图象关于直线对称， 故关于直线对称，故，即， 又，所以，则， 两式相减得，，即，故A正确； B选项，时，， 故， 故的最大值不是，故B错误； C选项，由A选项可知，， 又，故， 因为时，，所以， 故，故C正确； D选项，由A选项可知，， 则， 又的定义域为，即为偶函数，故D正确.. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果函数图象如图所示，那么此函数的减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象可得出函数的单调减区间. 【详解】解：由函数的图象得此函数的减区间为：， 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（7，5），OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，则点Q的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的表达式，设出点Q的坐标，根据OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，结合两角和的正弦、余弦公式可以求出点Q的坐标. 【详解】，其中， 设点Q的坐标为，，由意可知： ， ， 故点Q的坐标为. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，考查了两角和的正弦公式、余弦公式，考查了数学运算能力. 14. 若正数，满足，，则=________ 【答案】 【解析】 【分析】对两式取对数，根据变化后两式的共同特点构造新函数，再利用函数的单调性和对数的运算法则进行求解. 【详解】因为， 所以， 即 ① 因为， 所以， 则， 即 ② 观察①②两式，构造函数， 因为在上单调递增， 所以 ③ 由①、③，得：， 即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若，求在上的最小值，并判断方程的实数根个数． 【答案】（1）答案见解析 （2），有1个实数根 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，分和两种情况，利用导数考察单调性即可； （2）分类讨论的范围，根据函数单调性求得的解析式，构造函数，分段考察函数零点的个数即可求解. 【小问1详解】 若，则． 当时，， 则， 所以当时，，单调递减， 当和时，，单调递增． 当时，， 则， 所以在上单调递减． 综上，在和上单调递减， 在和上单调递增． 【小问2详解】 由得， 若，则当时， ． 若，则当时， ， ， 所以在上单调递增， 所以当时，． 若，则当时， ， ， 当时，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，，在上单调递增， 所以． 综上，． 令函数，， 则方程的实根个数就是函数的零点个数， 当时，单调递增， 又，，所以在上有1个零点． 当时，没有零点． 当时，， ， 在上单调递增， 又， 所以在上没有零点． 当时，， ，在上单调递增， 又，所以在上没有零点． 综上，方程只有1个实数根． 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 16. 已知实数，满足. （1）求证：； （2）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明； （2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由得， 当且仅当时等号成立， 所以； 【小问2详解】 由已知，则， 则 ， 当且仅当，即一个为，一个为时等号成立. 所以的最小值. 17. 医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． （1）求k的值； （2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） （3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）； （3）可以. 【解析】 【分析】（1）把，代入计算即得. （2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得. （3）求出A药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A药的含量随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意，，解得，所以k的值为. 【小问2详解】 血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为． 由，得，两边取对数得：， 解得， 所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持. 【小问3详解】 设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即， 记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间， 则 ， 由，得，即，两边取对数得： ，解得，又， 所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持． 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集； （2）求得，因为对任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分类讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为，所以， 所以. 又因为对任意的，都有成立， 所以， ， 因为，所以， 设，可设， 则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 当时，在上单调递增， 所以，所以，解得，所以 当时，在上单调递减， 所以，所以，解得，故； 当时，， 故，解得，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，若总有成立，故. 19. 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． （1）若，，写出Y，并求； （2）若，，求所有的总和； （3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解； （2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解； （3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 所以． 【小问2详解】 对1，，5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为，此时在映射f下，； 不含1的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为，此时在映射f下，； 不含5的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含的B的个数为，此时在映射f下，，； 不含的B的个数为，此时在映射f下，，； 所以所有y中的总个数和的总个数均为20． 综上，所有的总和为． 【小问3详解】 对于给定的，考虑在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个， 所以在映射f下变为； 不含的子集B共个，在映射f下变为； 所以在映射f下得到的所有的和为． 同理，在映射f下得到的所有（）的和． 所以所有的总和为． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年（下）第二阶段性学业质量联合调研抽测 高一数学试题 （分数：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，若是的真子集，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 2. 已知不等式的解集是，则实数a等于（ ） A. B. C. 5 D. 10 3. 把函数的图象向左平移个单位就得到了一个奇函数的图象,则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2或6 6. 函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，下列四个结论： ① ② ③ ④直线是图象一条对称轴 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分. 9. 若a、b、，，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象关于直线对称，且对，有.当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果函数的图象如图所示，那么此函数的减区间为__________. 13. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（7，5），OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，则点Q的坐标为_______． 14. 若正数，满足，，则=________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，讨论单调性； （2）若，求在上的最小值，并判断方程的实数根个数． 16. 已知实数，满足. （1）求证：； （2）求的最小值. 17. 医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． （1）求k的值； （2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） （3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 19. 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． （1）若，，写出Y，并求； （2）若，，求所有总和； （3）对于给定，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$