精品解析：河北省深州市中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

深州中学2023~2024学年第一学期高三期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，数列，平面向量，复数，三角函数与解三角形，立体几何. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的公差，前n项和为，，则（ ） A. 6 B. C. D. 8 3. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，，‖，则‖ B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，‖，则‖‖ 5. 某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（ ） A. 17.02立方米 B. 17.23立方米 C. 17.80立方米 D. 18.22立方米 6. 已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若直线与曲线相切于不同的两点A，B，且A，B的横坐标分别为，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知函数图像的一条对称轴为，先将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.对于数列及数列，若，下列说法正确的是（ ） A. 存在数列，使得与都为等比数列 B. 存在数列，使得与都为等差数列 C. 存在数列，使得为等比数列，且为等差数列 D. 存在数列，使得为等差数列，且为等比数列 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则______． 14. 已知，则的最小值是__________. 15. 在中，，，，，为上一点，且满足，若，则的值是______． 16. 如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知等差数列，等比数列，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）令，求满足的最小的正整数的值． 18. 在中，内角的对边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，当A取最大值时，求的面积． 19. 已知函数. （1）下面是某同学讨论函数单调性并求解单调区间的过程：因为，所以.令，得或，所以当时，单调递减.请判断是否正确，若正确，补全解答过程，若不正确，请写出正确的解答过程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知是函数的两个相邻的对称中心的点的横坐标. （1）求图象的对称轴方程； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）若关于的方程在区间上有两个不同的根，求的取值范围. 21. 如图1，在等腰直角三角形中，，是的中点，是上一点，且．将沿着折起，形成四棱锥，其中点对应的点为点，如图2． （1）在图2中，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由； （2）在图2中，平面与平面所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积． 22. 已知函数，（其中是自然对数的底数，）. （1）若函数在处取得极值，求函数的单调区间； （2）若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深州中学2023~2024学年第一学期高三期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，数列，平面向量，复数，三角函数与解三角形，立体几何. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据补集的定义及集合间的关系即可得解. 【详解】由，有， 若，有，即实数的取值范围为. 故选：C． 2. 已知等差数列的公差，前n项和为，，则（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式和性质变形可得． 【详解】由题意：， 所以：. 故选：C 3. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合题意整理得，代入公式运算 【详解】向量，都是单位向量，则， ，即， ， 又因为，所以， 故选：B 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，，‖，则‖ B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，‖，则‖‖ 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABD,根据线面垂直的判定与性质和面面垂直的判定与性质逐个分析即可，对于C，根据空间向量的知识分析判断. 【详解】对于A选项，由，，‖，可得，，可得‖，故A选项正确； 对于B选项，由面面垂直的性质定理可知B选项正确； 对于C选项，设直线的方向向量分别为，因为，，所以，， 因为，所以，所以，所以C选项正确； 对于D选项，直线和可能重合，直线和也可能重合，故D选项错误． 故选：D 5. 某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（ ） A. 17.02立方米 B. 17.23立方米 C. 17.80立方米 D. 18.22立方米 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台的体积公式运算即可，最后要注意单位的换算. 【详解】依题意，设圆台的高为h厘米， 则厘米， 所以圆台的体积为立方厘米， 故需要营养土约为立方米． 故选：C． 6. 已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为，结合分段函数和一次函数性质，求解即可. 【详解】对，，使得，， 当时，， 当时，，， 由得， 又，在上为增函数，，，， 的取值范围为 故选：C． 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解. 【详解】由于，且， 则， 整理得， 则， 整理得， 所以. 故选：D. 8. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若直线与曲线相切于不同的两点A，B，且A，B的横坐标分别为，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义与切点的性质得到同时满足方程和方程，从而推得方程与，两式相加即可求得，由此得解. 【详解】由题意可知，同时满足方程和方程， 因为，则，所以， 因为，所以满足方， 又满足方程，所以，则， 又由得，则，即， 上述两式相加得，整理得， 所以实数a的值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的特征逐一判断各选项. 【详解】因为， 对于A，的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点位于第一象限，故D错误； 故选：BC． 10. 已知函数图像的一条对称轴为，先将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据对称轴求出解析式，再结合平移伸缩得出新的解析式，最后求出单调减区间判断即可. 【详解】依题意，，则，因为，所以， 故．将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到的图像， 再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到的图像， 令，得函数的单调递减区间为. 故选:ABD． 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断. 【详解】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确； 对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误； 对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误； 对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确． 故选：AD． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.对于数列及数列，若，下列说法正确的是（ ） A. 存在数列，使得与都为等比数列 B. 存在数列，使得与都为等差数列 C. 存在数列，使得为等比数列，且为等差数列 D. 存在数列，使得为等差数列，且为等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶性得到，然后利用等差等比数列的定义和特殊值的思路判断即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，令，则，，又为奇函数，所以， 所以， 若为等比数列，由，可知公比， 设，则，所以不为定值，且为定值， 设，则，所以也不为定值，即A错误，C正确； 若为等差数列，由，可知公差，所以可取，即， 此时令，则，解得，此时，，，满足为等差数列，即B正确； 令，则，解得，此时，，，，满足为等比数列，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数的定义求解。 【详解】根据题意，，则，又． 故答案为：8 14. 已知，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将函数化为，进而根据基本不等式求得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 15. 在中，，，，，为上一点，且满足，若，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则可得，结合已知可得，再由得，从而结合前面的式子可求出，进而可求得结果. 【详解】设，则， 将代入，化简得， 所以，得， 因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 化简得， 将代入得， 整理得，解得，所以，， 所以的值是． 故答案为： 16. 如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，结合已知条件可求，从而可求底面半径，从而可求侧面积. 【详解】连接AC． 设，则为锐角且， 又，所以圆锥的底面半径， 圆锥的高， 则该圆锥的体积为， 解得， 所以，，即母线长， 所以侧面积． 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知等差数列，等比数列，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）令，求满足的最小的正整数的值． 【答案】（1）答案见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）化简，由，分析满足条件的最小的正整数的值即可． 【小问1详解】 设公差为，由． 当时，不符合题意，舍去； 故，所以，； 【小问2详解】 由题意，可得， 所以， 由，又， 所以当时，， 当时，， 故的最小值为8． 18. 在中，内角的对边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，当A取最大值时，求的面积． 【答案】（1） ∵，则， 可得， ∴， 又∵，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换整理得，再利用正、余弦定理边化角分析运算； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得A取最大值时，，，进而可求三角形的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：，即， 则， 当且仅当，即时，取最大值， 此时，则， ∵，则，可得， 故． 19. 已知函数. （1）下面是某同学讨论函数单调性并求解单调区间的过程：因为，所以.令，得或，所以当时，单调递减.请判断是否正确，若正确，补全解答过程，若不正确，请写出正确的解答过程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）不正确，答案见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，再根据导数与函数的单调性的关系加以判断； (2)由已知恒成立，利用导数求函数的最小值可得的取值范围. 【小问1详解】 不正确. 因为， 所以， 令得（舍去）或， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 因为恒成立，所以在上恒成立， 令.故恒成立，则. 令得或（舍去）， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 又因为，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 【点睛】解决不等式恒成立问题的关键在于将其转化为函数的最值问题. 20. 已知是函数的两个相邻的对称中心的点的横坐标. （1）求图象的对称轴方程； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）若关于的方程在区间上有两个不同的根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简，根据周期为求出，得到解析式，由解析式求对称轴方程即可； （2）不等式恒成立转化为求在给定区间上的最大值，利用正弦型函数的图象与性质求解即可； （3）化简方程，求出自变量变化时的范围，在作出正弦函数的图象，数形结合求解即可. 【小问1详解】 ， 因为是函数相邻两个对称中心，所以，解得， ， 令，可得的对称轴方程为. 【小问2详解】 若对任意，都有，只需 由可得，故， 所以， 因此，即，因此； 【小问3详解】 关于的方程，化简后得 ，，， 作出图象，如图， 由图可知，当，即时，有两根. 21. 如图1，在等腰直角三角形中，，是的中点，是上一点，且．将沿着折起，形成四棱锥，其中点对应的点为点，如图2． （1）在图2中，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由； （2）在图2中，平面与平面所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）存在，，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解. （2）利用空间向量，结合二面角的大小求得四棱锥的高，从而求得其体积. 【小问1详解】 当时，平面． 理由如下： 过点作，垂足为， 在上取一点，使得，连接，， 因为，，所以， 因为是的中点，且，所以， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 易知，，且， 作平面，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 则，， 设平面的法向量为，则 取，则，，所以， 易知平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为， 由题意可知，， 整理得， 解得或（舍去），所以， 所以四棱锥的高， 又四边形的面积， 所以四棱锥的体积． 22. 已知函数，（其中是自然对数的底数，）. （1）若函数在处取得极值，求函数的单调区间； （2）若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的单调增区间为和，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数在处取得极值，求得的值，根据导数与函数的关系即可确定函数的单调区间； （2）根据函数和均存在极值点，先确定函数的极值点，需要讨论的单调性，从而可得函数的极值点，再得确定函数的极值点，由函数的极值点均大于的极值点，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：，由题意知，解得， 经验证，当时，在处取得极大值， 此时，定义域为，所以， 解的解集为，的解集为， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 【小问2详解】 解：，令，则， ①当时，在上恒成立，单调递减， 又因为，，所以存在，使得， 易知是函数的极大值点， ，令，解得或， 易知极大值点为，极小值点为1， 由题意可知，成立，则有，解得； ②当时，由（1）及①可知，0既是函数的极大值点，又是的极大值点， 不符题意，所以舍去； ③当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为有极值点，所以有两个零点，所以应有，解得， ，令，则，令， 因为时，由上述论证可知，恒成立，所以， 即在上单调递增，又因为，所以在上恒成立， 所以，又因为. 所以存在，使得，即是函数的极值点， 易知1是的极值点，而，不符题意，所以舍去. 综上，的取值范围为. 【点睛】本题是关于函数极值点问题的研究，解题的关键是对于函数而言，其极值点求解时需要讨论的单调性，当导函数的零点无法直接解出来时，需要用“隐零点”呈现，设零点，通过整体代换和过度再结合题目条件解决；当导函数的零点可以求解释，需要确定是函数的极大值点还是极小值点，再结合已知处理即可.在这类问题中，理解极值点与单调性的关系是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $