第04讲 一元二次方程（9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第04讲 一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的一般式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项． 一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 【易错易混】 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数； ③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 【考点一】识别一元二次方程 例1．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 变式1-2．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【考点二】由一元二次方程的概念求参数的值 例2．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知函数若它是二次函数，则m值为 ． 变式2-1．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）方程； (1)取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解； (2)取何值时是一元一次方程． 变式2-2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 变式2-3．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【考点三】由一元二次方程的概念求参数的取值范围 例3．（23-24九年级上·河南安阳·期中）方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．且 D．为任意实数 变式3-2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【考点四】一元二次方程的一般形式 例4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2， 变式4-1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和1 B．和1 C．和 D．3和 变式4-2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 变式4-3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ． 变式4-4．（20-21九年级上·湖南株洲·期中）若关于一元二次方程不含一次项，则 ． 变式4-5．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【考点五】由一元二次方程的解求参数的值 例5．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 变式5-1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 ． 变式5-2．（2023·四川绵阳·一模）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 ． 【考点六】由一元二次方程的解求代数式的值 例6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个实数根为，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 变式6-2．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 变式6-3．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 变式6-4．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值． 【考点七】由一元二次方程的解通过降次求代数式的值 例7．（23-24九年级上·山西长治·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 变式7-1．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）若是方程 的一个根，则 的值为 ． 变式7-2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【考点八】由一元二次方程的根求另一方程的根 例8．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的方程有一个根为，则另一个根的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．0 变式8-1．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）是方程的一个实数根，则另一个根的值为 . 变式8-2．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的方程．若此方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根． 【考点九】一元二次方程的解的估算 例9．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（） － － － A．0 B．1 C．1.5 D．2 变式9-1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 一、单选题 1．（23-24九年级上·重庆彭水·期末）下列方程是关于的一元二次方程的是（        ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．0 5．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）若，是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如表，是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 6 2 0 0 2 6 A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 二、填空题 9．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若 是关于的一元二次方程，则 ． 10．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值为 ． 11．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如果方程的解是，，则方程的解为 ． 12．（23-24九年级上·浙江台州·期末）若m是方程的根，则式子的值为 ． 三、解答题 13．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 14．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的一般式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项． 一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 【易错易混】 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数； ③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 【考点一】识别一元二次方程 例1．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义进行判断即可 【详解】解：A、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确； 故选：D． 变式1-1．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，是一元二次方程； 综上：是一元二次方程的有3个； 故选C． 变式1-2．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【答案】②③⑥. 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①不是方程； ④ 不是整式方程； ⑤ 含有2个未知数，不是一元方程； ⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程， ②③⑥符合一元二次方程的定义． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键． 【考点二】由一元二次方程的概念求参数的值 例2．（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知函数若它是二次函数，则m值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，，再解一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∵， ∴， 故答案为：2． 变式2-1．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）方程； (1)取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解； (2)取何值时是一元一次方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义： （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出m的值，然后把m的值代入原方程，再解方程即可得到答案； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时 ∵方程， ∴， ∴； 综上所述，或． 变式2-2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 变式2-3．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1)， (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）由是一元一次方程，得 ， 解得， 原方程变为：， ∴ 解得； （2）由是一元二次方程，得 ， 解得， ∴时，是一元二次方程， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． 【考点三】由一元二次方程的概念求参数的取值范围 例3．（23-24九年级上·河南安阳·期中）方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，满足二次项系数不为，并且二次项的次数是，直接计算即可求解的值． 【详解】解：∵是一元二次方程； ∴； ∴； ∵； ∴； 故选：A． 变式3-1．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．且 D．为任意实数 【答案】C 【分析】直接利用一元二次方程的定义即二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ， ， ， ， ∴且． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件是解题关键． 变式3-2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【考点四】一元二次方程的一般形式 例4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2， 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程一般形式，把原方程化为一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，1， 故选：A 变式4-1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和1 B．和1 C．和 D．3和 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意得出一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一次项系数和常数项分别是和， 故选C． 变式4-2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．根据常数项的定义得到，然后利用平方根的定义得到的值． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：C． 变式4-3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多形式乘以多项式，一元二次方程的一般形式，根据多项式乘以多项式化简得出一元二次方程为：，得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程为：， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 变式4-4．（20-21九年级上·湖南株洲·期中）若关于一元二次方程不含一次项，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一次项系数为0和二次项系数不为0，列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和有关概念，准确理解题意是解题关键． 变式4-5．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 【考点五】由一元二次方程的解求参数的值 例5．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程计算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一个根即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 原方程可化为， 设方程的另一个根为，则， ． 故选：B． 变式5-1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为 ， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式5-2．（2023·四川绵阳·一模）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 ． 【答案】或1/1或 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解题的关键，把代入方程即可求得k 【详解】把代入得， 解得，， 故答案为：或1． 【考点六】由一元二次方程的解求代数式的值 例6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个实数根为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，依据题意，根据方程的根满足方程，进而将代入方程得，再整体代入即可得解． 【详解】 解：方程的一个实数根为， ． ． ． 故选：B． 变式6-1．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 变式6-2．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及求代数式的值，先把代入得，然后利用整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴原式， 故答案为：． 变式6-3．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案是：． 变式6-4．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， 由 ， ， ， ∵， ∴原式， ． 【考点七】由一元二次方程的解通过降次求代数式的值 例7．（23-24九年级上·山西长治·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到，，仿照已知整体代入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ 故选：B． 变式7-1．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）若是方程 的一个根，则 的值为 ． 【答案】2019 【分析】 本题考查了已知式子的值求代数式的值，利用式子的等式关系在代数式中进行替换运算是解题关键．根据题意得到，把代入进行计算，得出结果． 【详解】解：是的解， ，即； 把代入中，得： ． 故答案为：2019． 变式7-2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 【考点八】由一元二次方程的根求另一方程的根 例8．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的方程有一个根为，则另一个根的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．0 【答案】B 【分析】首先将代入原方程，解得，然后解方程即可获得答案． 【详解】解：根据题意，关于的方程有一个根为， ∴将代入原方程，可得 ， 解得， ∴原方程为， 解该方程，得 ，， ∴该方程的另一个根的值为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握相关知识是解题关键． 变式8-1．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）是方程的一个实数根，则另一个根的值为 . 【答案】/ 【分析】设另一个根为a，根据根与系数的关系解答． 【详解】解：设另一个根为a， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的两个根为，则，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 变式8-2．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的方程．若此方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】的值为6，方程的另一个根是 【分析】把代入方程得到关于的一元一次方程，解之，求出的值，代入原方程，得到关于的一元二次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 即原方程为：， 解得：，， 即的值为6，方程的另一个根是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是正确掌握解一元二次方程的方法． 【考点九】一元二次方程的解的估算 例9．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（） － － － A．0 B．1 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据表格得： 当时，， 当时，， ∵， ∴方程的一个解最接近． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 变式9-1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 一、单选题 1．（23-24九年级上·重庆彭水·期末）下列方程是关于的一元二次方程的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边值相等的未知数的值；把分别代入四个选项中的方程，判断左右两边的值是否相等即可． 【详解】解：当时， 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故是方程的一个解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 故选：B． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数及常数项得到结果即可． 【详解】 解：已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则这个一元二次方程可能是. 故选：D． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．先根据一元二次方程的定义及一般形式列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，常数项是0， ∴， 解得． 故选：B． 5．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）若，是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，求代数式的值；根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故选；C． 6．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出是解此题的关键．根据一元二次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， ． 故选：B 7．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如表，是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 6 2 0 0 2 6 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 根据表格中的值为，时，的值为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，时，的值为；时，的值为； ∴方程的根是，， 故选：． 8．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 二、填空题 9．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若 是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如果方程的解是，，则方程的解为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义，可得或，解方程即可求解． 【详解】解：方程的解是，， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 12．（23-24九年级上·浙江台州·期末）若m是方程的根，则式子的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值；运用整体代入法求值是关键．由题意可得，再把所求代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴ 即； ∴， 故答案为：2026． 三、解答题 13．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 【答案】，， 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解题的关键． 将代入，计算求解可得的值，进而可求一元二次方程的一般式． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴a、b的值分别为1，2；这个一元二次方程的一般形式为． 14．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解的概念根据分式的混合运算法则把原式化简，根据一元二次方程的解的定义，得出代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． ∵m是方程的根， ∴ 即 ∴原式 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$