专题21.8 实际问题与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.8 实际问题与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1） 列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】传播问题 【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【举一反三】 【变式1】（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【题型2】增长率问题 【例2】（2024八年级下·浙江·专题练习）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【举一反三】 【变式1】（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东德州·二模）某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【题型3】图形问题 【例3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    （1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ （2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 【举一反三】 【变式1】（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．2 B．10 C．8 D．6 【变式2】（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ． 【题型4】数字问题 【例4】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． （1）若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． （2）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （3）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【举一反三】 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 【题型5】几何图形动态问题 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． （1）求四边形的面积； （2）、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【举一反三】 【变式1】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【题型6】销售问题 【例6】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）士宝精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 （1）若商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品的售价应定为多少？ （2）在（1）的条件下，在实际销售的过程中，先将（1）中购进的商品卖出了部分后，决定将剩余商品打9折甩货，则至少先卖出多少件商品后再甩货才能保证利润不低于300元？ 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·云南·阶段练习）某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款电动牙刷的售价每下降1元，其销售数量就增加2把．当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元？设每把电动牙刷降价元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：    （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 2、拓展延伸 【例1】（2022·重庆·模拟预测）随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍． （1）求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？ （2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值． 【例2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.8 实际问题与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1） 列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】传播问题 【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． （1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【举一反三】 【变式1】（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经过一轮感染，1台电脑感染了台电脑，这台电脑又感染给了，根据经过两轮感染了台电脑列等量关系即可． 解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染一台电脑， 根据题意可得：， 整理得：， 故选：D． 【变式2】（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 解：根据题意得， ， 故答案为：． 【题型2】增长率问题 【例2】（2024八年级下·浙江·专题练习）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)至少还需增加2名业务员 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数每人投递件数人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论． （1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得 ， 解得：，（舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）4月：（万件）， ， 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务． ， 至少还需增加2名业务员． 【举一反三】 【变式1】（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该药品经过两次降价后的价格=原价（每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为 ， 故选：D． 【变式2】（2024·山东德州·二模）某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用该玩具经过两次降价后的价格该玩具的定价每次降价的百分率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率为． 故答案为：． 【题型3】图形问题 【例3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    （1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ （2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米；(2)不能 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案． （1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为． （2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米． 【举一反三】 【变式1】（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．2 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得： ， 整理得：， 解得（舍去）或． 则门高：． 故选：C． 【变式2】（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，根据面积公式得出，再运用因式分解法解出（不合题意，舍去），即可作答． 解：由题意可知，无盖纸盒的长为，宽为， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， 故x的值为5． 故答案为：5 【题型4】数字问题 【例4】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． （1）若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． （2）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （3）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；；；(2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． （1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【举一反三】 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 解：依题意， 即 ∴ ∴ 解得：或 故答案为：或． 【题型5】几何图形动态问题 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． （1）求四边形的面积； （2）、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． （1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形的面积； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 【举一反三】 【变式1】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 【题型6】销售问题 【例6】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）士宝精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 （1）若商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品的售价应定为多少？ （2）在（1）的条件下，在实际销售的过程中，先将（1）中购进的商品卖出了部分后，决定将剩余商品打9折甩货，则至少先卖出多少件商品后再甩货才能保证利润不低于300元？ 【答案】(1)需要进货100件，每件商品应定价25元 (2)至少先卖出60件商品后再甩货才能保证利润不低于300元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握利润的计算方法是解题的关键． （1）利润=售价-进价，总利润=单件利润×总件数，注意限制条件的作用． （2）设先卖出m件商品后再甩货才能保证利润不低于300元，根据题意列出不等式解决即可． （1）解：依题意， 整理得， 解得，． 因为， 所以不合题意，舍去． 所以（件）． 答：需要进货100件，每件商品应定价25元． （2）设先卖出m件商品后再甩货才能保证利润不低于300元，由题意得： ， 解得：， 至少先卖出60件商品后再甩货才能保证利润不低于300元． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·云南·阶段练习）某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款电动牙刷的售价每下降1元，其销售数量就增加2把．当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元？设每把电动牙刷降价元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润等于销售量乘每台电动牙刷的利润，列方程即可． 解：设电动牙刷的售价为x元/台， 根据题意可得：， 故选：D． 【变式2】（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． （1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：    （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解． 解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：， 将点、代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：； （2）由题意得：， 整理，得． 解得，（舍去）． 所以． 答：这种消毒液每桶实际售价43元． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键． 2、拓展延伸 【例1】（2022·重庆·模拟预测）随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍． （1）求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？ （2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值． 【答案】(1)当天的直播活动中销售了万份周黑鸭；(2)的值为 【分析】（1）设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，求解的值，进而可得的值； （2）由题意得：，计算求出满足要求的解即可． （1）解：设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭， 由题意得：， 解得：， ． 答：当天的直播活动中销售了万份周黑鸭； （3） 解：由题意得： 整理得： ， 解得：，不合题意，舍去． ∴的值为． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程． 【例2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【答案】(1)10%， (2)4元． 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可． （1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得： ， 解方程得， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$