6.3 平面向量基本定理及坐标表示-2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教A版2019）

6.3平面向量基本定理及坐标表示（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 4 【提升训练】 7 【培优训练】 11 知识回顾 1. 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2. 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)平面向量的坐标表示 ①向量的坐标表示 ②向量坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标. 3. 平面向量加、减法的坐标表示 (1)两个向量和(差)的坐标表示 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)向量坐标的几何意义 如图，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，坐标原点为O，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4. 平面向量数乘运算的坐标表示 (1)语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (2)坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy). 5. 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7. 向量数量积的坐标表示 (1)语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)坐标表示：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 8. 平面向量坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，|a|＝. (2)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式||＝ (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. (4)向量垂直的充要条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁·期中）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（23-24高一下·广东清远·阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 7．（21-22高一·全国·课后作业）若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知向量a＝（－1，2），b＝（1，3），则|2a－b|＝（　　） A． B．2 C． D．10 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 11．（22-23高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量，，且，则实数 . 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，则实数 14．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 16. (15分) （23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题. (1)已知，，求. (2)已知，，求. 17. (15分) （23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 18. (17分) （23-24高一下·福建泉州·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，，点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 19. (17分) （23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图所示，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京海淀·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）帕波斯在其著作《数学汇编》中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知，若，则实数＝（　　） A．﹣4 B．1 C．2 D．6 6．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，当时，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点M的斜坐标这样定义：若，其中，分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则M的斜坐标为．在仿射坐标系中，若，M的斜坐标为，则O到M的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 7．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 8．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在中，边上的点满足，边上的点满足，线段上的点满足，点为线段上任意一点（不包括端点），连接并延长交直线于点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．1 10．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在向量方向上的投影向量为 11．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（    ） A．点，，与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．向量，，则在上的投影向量的坐标为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 13．（22-23高一下·江苏·阶段练习）已知，，，，的最小值为 . 14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·辽宁本溪·期中）在平行四边形中，. (1)若与交于点，求的值； (2)求的取值范围. 16. (15分) （23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 17. (15分) （22-23高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 18. (17分) （23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求向量； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 19. (17分) （23-24高一下·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·二模）已知向量，．若，则（    ） A． B． C．3 D．6 3．（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   4．（21-222高三·全国·阶段练习）在中，，，点，为所在平面内的一点，且满足，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 7．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高三上·重庆綦江·阶段练习）设向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．的最小值为3 C．与共线的单位向量只有一个 D．若，则或 10．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则的最大值为 11．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（    ）    A．若，则 B．若，则为的重心 C．若为的内心，则 D．若为的外心，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·上海浦东新·三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是 . 13．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为 . 14．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时， ；的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·重庆·期中）已知是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值． 16. (15分) （23-24高一下·福建福州·期中）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)设向量，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 17. (15分) （22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）平面直角坐标系xOy内，点，动点和Q关于原点O对称，，. （1）以原点O和点A为顶点作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐标； （2）若且P、M、A三点共线，求的最小值； （3）若，且，，求直线AQ的解析式. 18. (17分) （23-24高一下·安徽芜湖·期中）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 19. (17分) （23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3平面向量基本定理及坐标表示（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 4 【提升训练】 15 【培优训练】 33 知识回顾 1. 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2. 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)平面向量的坐标表示 ①向量的坐标表示 ②向量坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标. 3. 平面向量加、减法的坐标表示 (1)两个向量和(差)的坐标表示 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)向量坐标的几何意义 如图，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，坐标原点为O，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4. 平面向量数乘运算的坐标表示 (1)语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (2)坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy). 5. 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7. 向量数量积的坐标表示 (1)语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)坐标表示：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 8. 平面向量坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，|a|＝. (2)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式||＝ (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. (4)向量垂直的充要条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁·期中）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（23-24高一下·广东清远·阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 7．（21-22高一·全国·课后作业）若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知向量a＝（－1，2），b＝（1，3），则|2a－b|＝（　　） A． B．2 C． D．10 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 11．（22-23高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量，，且，则实数 . 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，则实数 14．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 16. (15分) （23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题. (1)已知，，求. (2)已知，，求. 17. (15分) （23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 18. (17分) （23-24高一下·福建泉州·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，，点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 19. (17分) （23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 参考答案： 1．C 【分析】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果. 【详解】三点共线，设， 则， 又，所以，即. 故选：C. 2．A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 3．C 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据题意，求得且，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】以为坐标原点，过点平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 因为是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为， 因为点在的外接圆上，设，其中， 则，且， 又因为，可得且， 所以， 当时，即时，取得最大值为， 所以取得最大值为. 故选：C. 4．A 【分析】只需判断与是否平行即可. 【详解】对于A，，所以此时与不平行满足题意，对于B，与平行，不满足题意； 对于C，，与平行，不满足题意；对于D，，与平行，不满足题意. 故选：A. 5．C 【分析】计算出，利用投影向量求解公式得到答案. 【详解】平面向量， ， 所以向量在上的投影向量为． 故选：C． 6．D 【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 7．A 【分析】 根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可. 【详解】设，即， 则有，解得，则. 故选：A. 8．C 【详解】 解析：由已知得2a－b＝2（－1，2）－（1，3）＝（－3，1），所以|2a－b|＝＝.故选C. 9．ABC 【分析】点位置不确定，分为平行四边形，平行四边形，平行四边形三种情况讨论 【详解】设点的坐标为， 若是平行四边形，则有， 可得，解得, 故所求顶点的坐标为. 所以A正确 若是平行四边形，则有， 可得，解得， 故所求顶点的坐标为. 所以B正确 若是平行四边形，则有， 可得 ，解得，. 故所求顶点的坐标为. 所以C正确 故选：ABC 10．ABD 【分析】根据平面向量模的坐标求法可判断A；根据平面向量垂直的定义和数量积的坐标运算可判断B；根据平面向量夹角的坐标求法可判断C；根据投影向量的求法可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则，又，， 所以，故C错误； 对于D：若，则在上的投影向量为，故D正确． 故选：ABD. 11．AD 【分析】先设，根据题中条件，得到或，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或. 故选：AD. 12． 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算，求的值. 【详解】，由得，解得. 故答案为：. 13．． 【分析】由向量线性运算、数量积的坐标表示即可列出方程，由此能求出的值． 【详解】， ， 由于， ， 解得． 故答案为：． 14． 【分析】 由向量共线的坐标运算求解. 【详解】点在线段的延长线上，与方向相反， 由，则有， 设，则，即， 解得，故点的坐标为. 故答案为： 15．(1) (2)． 【分析】（1）取为基向量，将分别用基向量表示，利用数量积的运算律计算即得； （2）设计算得到关于的一次函数解析式，根据的范围，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，, ∵， ， ∴． （2）设则 ∴， ∴， 显然为增函数，因，故． 16．(1) (2) 【分析】（1）直接利用新定义计算即可； （2）设，利用新定义计算，列方程组求解. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）设， 因为，， 所以， 因为，所以， 解，得，即. 17．(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． （2）． （3）由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 18．(1) (2)． 【分析】（1）根据，E，C三点共线，可得，结合向量的坐标运算，即可求得答案； （2）由题意可得，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得, ，E，C三点共线， 存在实数k，使得，即， 得． ，是平面内两个不共线的非零向量， ，解得，． （2） ． ，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， , 设，则， ，，解得 即点A的坐标为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）求出的坐标，利用坐标法计算可得； （3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为，， 所以， ， 因为与共线， 则，解得或， 当时，，，则， 此时与方向相同，不符题意； 当时，，，则， 此时与方向相反，符合题意； 综上可得． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图所示，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京海淀·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）帕波斯在其著作《数学汇编》中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知，若，则实数＝（　　） A．﹣4 B．1 C．2 D．6 6．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，当时，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点M的斜坐标这样定义：若，其中，分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则M的斜坐标为．在仿射坐标系中，若，M的斜坐标为，则O到M的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 7．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 8．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在中，边上的点满足，边上的点满足，线段上的点满足，点为线段上任意一点（不包括端点），连接并延长交直线于点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．1 10．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在向量方向上的投影向量为 11．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（    ） A．点，，与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．向量，，则在上的投影向量的坐标为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 13．（22-23高一下·江苏·阶段练习）已知，，，，的最小值为 . 14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·辽宁本溪·期中）在平行四边形中，. (1)若与交于点，求的值； (2)求的取值范围. 16. (15分) （23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 17. (15分) （22-23高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 18. (17分) （23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求向量； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 19. (17分) （23-24高一下·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 参考答案： 1．C 【分析】确定好基底，由向量的加减法的运算性质解出即可. 【详解】. 故选：C 2．B 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键. 3．B 【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本定理即得. 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.    不妨设，则，，，，， 故，，. 设，则， 解得， 所以. 故选：B. 4．A 【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出的值，判断得解. 【详解】向量，， 若与共线，则.解得或， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件， 故选：A. 5．B 【分析】本题根据向量减法、乘法以及向量垂直运算规则即可求解参数. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，解得． 故选：B． 6．B 【分析】根据题意，用，表示，求出模. 【详解】依题意， 所以，得． 故选：B． 7．C 【分析】以为轴，过作与垂直的线作为轴建立平面直角坐标系，设，根据平面向量基本定理得到，再利用辅助角公式计算可得. 【详解】 如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴， ，，，， 则，， 设， ，， ， 其中，又，所以， ，即时，取得最大值，即． 故选：C． 8．A 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵， ，其中，且， ∴， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为. 故选：A. 9．AD 【分析】根据向量的线性运算可得，由三点共线可得的关系，再由不等式的性质求范围即可得解. 【详解】由题意得，，， 设， ，时，，不合题意，. 则 ， ，，三点共线， ，， 或， 或，或， 或， 或. 故选：AD. 10．BCD 【分析】对A：分别计算出、即可得；对B：借助数量积的坐标公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量计算公式计算即可得. 【详解】对A：，则， ，则，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：， 故与的夹角为，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：BCD. 11．AC 【分析】对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即可判断；对于B，利用向量数量积的运算法则，结合夹角公式即可判断；对于C，检验的情况即可判断；对于D，利用投影向量的公式即可判断. 【详解】对于A，因为，，则，， 所以与向量共线的单位向量为，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，化简得， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为，， 当时，，得， 经检验，当时，同向共线，即此时的夹角不为锐角，故C错误； 对于D，因为，， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：AC. 12． 【分析】根据条件的变化，找出规律，根据规律可得答案. 【详解】把向量顺时针旋转定角得到，得， 关于轴的对称点记为，则，即 把向量顺时针旋转定角得到，得，即 关于轴的对称点记为，则， 以此类推可得当为奇数时，， 当为偶数时，， 故的坐标为. 故答案为： 13．/ 【分析】由得到关于，，的方程组，利用表示，，再根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】， ， 即，解得， ， 当时，取得最小值. 故答案为：. 14． 【分析】设，可得,，以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,然后求出的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解. 【详解】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 故答案为:. 15．(1) (2) 【分析】（1）选择，为一组基向量，设，，将分别用，的两种形式表示，根据平面向量基本定理可得关于的方程组，求解即得； （2）分别将用，表示，计算它们的数量积，整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象和的范围即可求得的取值范围. 【详解】（1）设，则 设. 根据平面向量基本定理得解得， 所以，则，所以. （2）因为， ， , 所以. . 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为. 故的取值范围为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间； （2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可； （3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可. 【详解】（1）因为， 所以即 又因为，所以函数在上的单调递减区间为 （2）若则，所以. 因为，所以， 所以，                     所以 故. （3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象， 即： 则，                           当时，                   由方程有一解，可得的取值范围为． 17．(1) (2) 【分析】（1）作交于，则，，，结合可得解； （2）由题意得，将（1）中代入可得结果. 【详解】（1）作交于，又，则， ∴，， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴坐标为. （2）∵， ∴， ∴坐标为. 18．(1)或； (2). 【分析】（1）根据题意可设，，求出即可得解； （2）由与垂直可得，带入计算求得，再由即可得解. 【详解】（1）由可设，， ，即， 所以， 或 （2）由可得， 由与垂直可得： ， ，所以， 所以， 所以与的夹角的余弦值. 19．(1)； (2)证明见解析； 【分析】 （1）建立平面直角坐标系利用向量的坐标表示联立方程组解得； （2）利用三点共线求出，即得. 【详解】（1）如下图，以点为坐标原点，分别以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 则， 由可得， 即，解得， 因此； （2）易知，设， 易知三点共线，可得，即， 可得，即， 又三点共线，且， 所以，解得，则， 所以，，易知； 即可得. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·二模）已知向量，．若，则（    ） A． B． C．3 D．6 3．（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   4．（21-222高三·全国·阶段练习）在中，，，点，为所在平面内的一点，且满足，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 7．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高三上·重庆綦江·阶段练习）设向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．的最小值为3 C．与共线的单位向量只有一个 D．若，则或 10．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则的最大值为 11．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（    ）    A．若，则 B．若，则为的重心 C．若为的内心，则 D．若为的外心，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·上海浦东新·三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是 . 13．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为 . 14．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时， ；的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·重庆·期中）已知是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值． 16. (15分) （23-24高一下·福建福州·期中）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)设向量，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 17. (15分) （22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）平面直角坐标系xOy内，点，动点和Q关于原点O对称，，. （1）以原点O和点A为顶点作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐标； （2）若且P、M、A三点共线，求的最小值； （3）若，且，，求直线AQ的解析式. 18. (17分) （23-24高一下·安徽芜湖·期中）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 19. (17分) （23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 参考答案： 1．D 【分析】利用三角形中线的向量表示计算即可. 【详解】设的中点为A， 则， 所以. 故选：D 2．C 【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可. 【详解】由，知，解得. 故选：C. 3．B 【分析】根据向量的计算直接可得解. 【详解】由已知，， 则， 点是线段靠近的三等分点， 则， 且， 则， 即， 故选：B. 4．A 【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，由，根据向量坐标运算求出的坐标，设，由，得出点满足，根据圆的参数方程，可设点，根据，得出，最后利用化一公式和三角函数求最值，即可得出的最大值. 【详解】解：由题意，以原点，，所直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， ，， 设，因为， 所以点满足， 则可设点， 则由，得， 所以， 则的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的求法，考查利用化一公式化简和三角函数求最值，还涉及圆的方程，考查转化思想和运算能力，属于中档题. 5．B 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得，所以， 当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以， ， 由二次函数在上单调递减可得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式，利用函数单调性可求得结果. 6．A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 7．B 【分析】根据题意，可得，，，即当时，一次，变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的倍得到向量．因此当时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量，从而得到，，，所以．接下来再对、、、各项在时的情况进行计算，对照所得结果可得只有项是正确的选项 【详解】根据题意，， 一次，变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍， 即由逆时针旋转1弧度而得，且 设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为，则有， ，即向量逆时针旋转1弧度， 得到向量，再将的模长度伸长为原来的倍， 得到，， 因此当时，，，，即，由此可得 对于，当时，与计算结果不相等，故不正确； 对于，当时，与计算结果相等，故正确； 对于，当时，与计算结果不相等，故不正确； 对于，当时，与计算结果不相等，故不正确 故选：B 【点睛】本题考查了向量的线性运算，用矩阵解决向量的旋转问题和数列的通项公式，属于中档题 8．B 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，   ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是 故选：B 【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 9．BD 【分析】利用向量的相关知识，对选项逐个验证，即可解出． 【详解】若与的夹角为钝角，则，且与不共线，解得，且， A错误； ，当且仅当时，等号成立，B正确； ，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C错误； 因为，所以，解得，D正确． 故选：BD. 10．ABD 【分析】对于A，通过向量的线性运算即可验证；对于B，建立适当的平面直角坐标系，将数量积转换为闭区间上的二次函数，进而判断；对于C，先表示出，进一步可表示出，结合模长公式即可验算；对于D，将条件等式转换为，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以 ，故A正确； 对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），设，，所以P（x，1）， 所以，所以的最小值为，此时，故B正确； 因为，（，）， 所以，， 所以，当时，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 因为，若，，则 ，所以， 所以，即，当且仅当即时，等号成立， 所以，即的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是先表示出，进一步可表示出即可顺利得解. 11．BCD 【分析】 对于A项，将题设和选项等式中的某个向量分别用其他两个向量表示，得出对应系数相等即得；对于B项，通过取边的中点，将向量等式化简即得；对于C项，利用三角形的内切圆半径将三个小三角形面积表示出来，代入奔驰定理化简即得；对于D项，利用两个已知内角和三角形的外心，求出三个小三角形的对应内角，表示出它们的面积，计算即得. 【详解】对于A项，由可得：， 而由可得：， 因两两互不共线，则必有， 则易得：，故A项错误；    对于B项，由可得①， 如图，不妨取的中点，连接，则有， 代入①式，化简得， 即三点共线，且点是的靠近点的三等分点， 同理可知点也是另两边上的中线的对应三等分点， 故点是的重心，故B项正确； 对于C项，不妨设的内切圆半径为， 则，代入， 可得， 整理得：，故C项正确； 对于D项，不妨设的外接圆半径为， 因为的外心， 则，，， 则. 故，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与“奔驰定理”有关的三角形的内心，外心，重心的性质或判定，属于难题. 解决此类问题的方法主要有： （1）与重心有关时，一般从边的中点入手，设法判断三角形顶点，对边中点和重心三点共线即得； （2）与内心有关时，一般从三角形被内心分成的三个等高三角形的面积入手； （3）与外心有关时，一般从三角形被外心分成的三个相等邻边的三角形面积入手，或者利用正弦定理中的外接圆半径入手. 12．10 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 故答案为：10. 13． 【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出． 【详解】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因为，，过点作交于点，所以， 所以，即， 所以，，设，其中， ，， ， ， 当时，取最小值． 故答案为：． 14． 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求出或表示出向量坐标，根据列出方程组，对于第一空，可求得的值，即得答案；对于第二空，设，可求得的表达式，结合三角函数辅助角公式即可求得答案. 【详解】以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 则,， 当时, ，则, 由于，故， 即，解得，故； 设,则， 于是由，得， 即，即， 故， 由于，故当时，取最大值2， 即的最大值为2， 故答案为： 【点睛】方法点睛：结合题意特点，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决平面向量基本定理中的求解参数问题. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）设，再由向量的模长计算即可； （2）由向量垂直数量积为零可得，再代入向量的夹角公式求出即可； 【详解】（1）因为，所以设， 又，所以， 解得，所以的坐标为或； （2）因为与垂直， 所以， 因为，即，所以， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 16．(1) (2)存在“长向量”，且“长向量”为，，理由见解析 (3)4044 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）根据“长向量”的定义，结合三角函数的性质解不等式即可； （3）根据向量坐标代入计算，结合向量不等式得到，再设，得到向量关系，从而求得最值. 【详解】（1）由题意可得：，，， 则，解得：. （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得，若存在“长向量”，只需使， 因为，，，，，， 所以，故只需使 ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，. （3）由题意，得，，即， 即，同理， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由，解得， 即 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， 因为 所以， 当且仅当时等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量新定义问题.关键点是根据已学知识，理解题中“长向量”的定义，将向量坐标代入计算，再结合向量不等式得到，得到向量关系，从而求得最值. 17．（1）或；（2）；（3） 【分析】(1)设出点B坐标，利用等腰直角三角形的两腰相等且两腰相互垂直，结合平面向量的坐标表示建立方程组求解即可; (2)根据与共线，利用坐标运算列出方程得到，利用模长公式表示，结合二次函数的性质即可求出最小值； (3)将，且，，表示为坐标的形式，列出方程组，求出点Q的坐标，再求出对应的斜率，利用点斜式写出方程即可. 【详解】（1）设，则， 由题意可得： 解得： 或 则向量坐标为或 （2） ， 因为与共线，所以 得： 当 时，取最小值 （3）因为，所以 设 ，则，， ， 因为，且， 所以， ， 解得 或 即或 当时，,所以直线AQ的方程为，即 当时，,所以直线AQ的方程为，即 综上所述，直线AQ的解析式为 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算、向量垂直的坐标表示、直线的方程以及模长公式，题目较为综合，着重考查了学生的计算和求解能力，属于难题. 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）若，由公式求向量的坐标； （2）用向量法证明余弦定理； （3）设，有，利用旋转求出，得两点坐标，可求中点坐标. 【详解】（1），则， . （2）设，， ， 所以， 同理可得， （3）设，又，则， 由， ， ， 得， 所以DE的中点坐标为. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$