暑假作业04 平行四边形的判定与性质（知识梳理+8大题型+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业04 平行四边形的判定与性质 知识点01 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 知识点02 平行四边形的性质 （1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 知识点03平行四边形的面积 知识点04 平行四边形的判定 边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 边与角：（5）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（6）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点05 三角形的中位线定理 1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） 2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。 题型一 添一个条件成为平行四边形 1．如图所示，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形还需要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对平行四边形判定的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键；根据平行四边形的判定逐一判断即可． 【详解】A、，不能判定四边形是平行四边形，还可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、，推出，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、，，能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、，推出，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】(1)① (2)见解析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 题型二 利用平行四边形的性质求角度 1、如图，在中，，于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．证明，，由，可得，结合，可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．在平行四边形中，，则 度． 【答案】110 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， 故答案为：110． 3．已知，中，，，，为垂足， (1)求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）根据已知条件证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，进而根据三角形内角和定理可得，根据直角三角形的两个锐互余即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴, ∴ ∴ ∵ ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ 题型三 利用平行四边形的性质求长度 1．如图，平行四边形的对角线，相交于点 O，于点 C，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理先求解，再求解，再结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分，， ∴， 又∵，故为直角三角形， ∴根据勾股定理可得：，而， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 2．如图，的周长为，对角线与相交于点O，交于E，连接．则的周长为 ． 【答案】/4厘米 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．根据平行四边形的性质可得点是的中点，根据，可得是线段的垂直平分线，可得，，根据的周长为可转换为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点，即， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E．    (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，，可证； （2）由题意可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为44，   ∴，   ∵， ∴，   ∴   ， ∴． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 1．如图，在中，对角线，相交于点，，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平行四边形的性质可得，，可得，从而是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选C． 2．如图，在中，，，，则的面积 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，然后根据垂直的定义可得，再利用勾股定理即可求出，得到，最后利用三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵在中， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴． 故答案为：12． 3．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）利用勾股定理求出，则，据此可证明四边形是平行四边形，则； （2）根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形，且． ． 题型五 平行四边形的存在性问题 1．如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行逐一判定即可． 【详解】解：A．t＝2时，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意； B．t＝3时，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意； C．t＝4时，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APCQ，不符合题意． D．t＝5时，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法． 2．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动。若设运动的时间为秒，当 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．    【答案】或4或2或3 【分析】如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵，， ∴，，    当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得，不合题意，舍去； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：， 综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 故答案为：或4或2或3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解本题的关键． 3．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P． (1)求P点的坐标． (2)设直线与直线在第一象限内的图象为G，若直线与图象G只有两个交点，请写出m的取值范围． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)或．（且） (3)存在，；； 【分析】（1）联立二元一次方程组求解即可； （2）根据图像判断即可； （3）如图，分别过点A，B，O点作轴，轴，直线的平行线，交点分别为，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：根据题意，得 解得 ∴点P的坐标为． （2）解：如图，把y=0代入得，， 解得，， 点A的坐标为（3，0）， 由点P的坐标为， 或．（且） （3）解：存在Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形， 如图，分别过点A，B，O点作轴，轴，直线的平行线，交点分别为，则点即为所求作的点， 点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3）， ，， 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合题，一次函数的交点坐标，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，正确理解一次函数的相关性质是解本题的关键． 题型六 反证法 1．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例．根据反证法，可证明①②③正确． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法②正确； ③若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法③正确． 故选：D． 2．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【答案】③④①② 【分析】 此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 3．用反证法证明：的三个内角中至少有一个角不大于． 【答案】见解析 【分析】利用三角形的内角和及反证法即可求解 【详解】证明：假设，，都大于，则， 这与三角形的内角和等于相矛盾，因此假设不成立， ，，中至少有一个角不大于． 【点睛】本题考查了反证法及三角形内角和，熟练掌握反证法是解题的关键． 题型七 与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形斜边的中线性质、三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”．先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，， ，， ， 为中位线，， ． ，， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    【答案】//1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形中位线得性质，延长交于N，利用证得，求得，，再根据三角形中位线的性质即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于N，   平分，， ，， 又， ， ，， ， ∵点E是的中点， ， 则是的中位线， ∴， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．      (1)求的度数； (2)若，比长，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的中位线的性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． （）先由三角形中位线可得，则可求出，最后利用角度和差即可求解； （）由题意可设，则，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得：， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∵，分别是，的中点， ∴． 题型八 三角形中位线的实际应用 1．如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的运用，由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的值即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， 根据三角形的中位线定理，得：． 故选：D． 2．如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 1．在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、∵，， ∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、由，，不能判定这个四边形是平行四边形； 、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形， 故选：． 2．在平行四边形中，平分，若，，则长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等，根据四边形是平行四边形可得，，根据平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而证明，则． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选B． 3．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，利用含角的直角三角形的性质求出，在中利用勾股定理求出，利用平行四边形求出，，在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据平行加角平分线，得到，均为等腰三角形，分点F在点E的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 如图①，当点F在点E的左侧时：， ∴； 如图②，当点F在点E的右侧时，， ∴ 综上：或； 故选：D． 5．如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的周长为，即可求得，又由，可得是线段的垂直平分线，即可得，继而可得的周长等于的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长为， ， ，， ， 的周长为：． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与转化思想的应用． 6．如图，在中，平分交于点E，若，则的周长是 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键． 根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，再根据等角对等边可得，进而求得，最后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：32． 7．如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了利用平行四边形性质求解，设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高，即可得出，进而得出结果． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高， ． 故答案为：4． 8．在平而直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，若以点A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，则顶点B的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的判定画出图形，分三种情况即可得到结论． 【详解】解：∵点， 以点为顶点的四边形是平行四边形，如图，分三种情况： 当时， 四边形是平行四边形， ∴点的坐标是； 当时，四边形是平行四边形， ∴点的坐标是； 当时，四边形是平行四边形， ∴点的坐标是； 故答案为：或或． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，交于点，连接．若的周长为10cm，则平行四边形的周长为 cm． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质等知识．根据平行四边形的性质得到，，进而得到是线段的垂直平分线，，进而求出，从而求出平行四边形的周长为． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10cm， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：10 10．在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握常见的平行四边形的判定定理成为解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：①∵， ∴四边形为平行四边形；故选项①符合题意； ②∵， ∴四边形为平行四边形；故选项②符合题意； ③由，不能判定四边形为平行四边形；故选项③不符合题意； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故选项④符合题意； 综上所述：能使四边形是平行四边形的是①②④． 故答案为：①②④． 11．如图，四边形中，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形． 12．如图，四边形中，，，垂足分别为点． (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． (2)添加了条件后，请证明四边形为平行四边形． 【答案】(1)；(答案不唯一) (2)证明见解析． 【分析】（）根据平行四边形的判定添加条件即可； （）证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； 本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：（）可添加的条件是， 故答案为： (答案不唯一)； （2）（）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 13．如图，点O为的对角线的中点，经过点O的直线分别交和于点E，F，交和的延长线于点G，H．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则．再根据证明，即可得． （2）根据平行四边形的性质可得，则．再根据证明，即可得，进而可求得的长． 本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ∥， ， ∵是的中点， ， 又∵， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，即， ， 又，， ， ， ． 14．如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各定理是解题的关键： （1）证明，推出，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，在中，由勾股定理得，由此得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为． 15．如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)甲、乙两种方案，证明见解析 (2)48 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点，熟练地掌握平行四边形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形； （2）根据，结合四边形为平行四边形的性质可得到，，即，已知，可求得，故． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接，    ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：甲方案和乙方案； （2）∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：的面积为． 1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ． 【答案】/32度 【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：过点作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，若，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】根据平行四边形对边平行可得，利用平行线的性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识． 4．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长． 【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M， 由作图方法可知，BH平分∠ABC， ∴∠ABH=∠CBH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°， ∴∠CBH=∠CHB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键． 5．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为 ．    【答案】50 【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵∠EBC=30°，BE=10， ∴EF=BE=5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC=∠BCE， 又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC， ∴∠BCE=∠BEC， ∴BE=BC=10， ∴四边形ABCD的面积===50， 故答案为：50．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键． 6．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值． 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为．    故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 7．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 【答案】1 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长； 【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1， ∴AB=2DE=2， ∵点F、G分别是AC、BC中点， ∴， 故答案为：1 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 8．（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 【答案】6 【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解． 【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，． ∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴MN是的中位线， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键． 9．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌； （2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）解：∵B是的中点， ∴． 在和中， ∴≌（）． （2）如图所示， ∵≌， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 10．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．    (1)求出对角线的长； (2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，； （2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，过作于，如图所示：   在中，，， ， ， ， 在中，，，，则； （2）解：如图所示：    【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业04 平行四边形的判定与性质 知识点01 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 知识点02 平行四边形的性质 （1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 知识点03平行四边形的面积 知识点04 平行四边形的判定 边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 边与角：（5）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（6）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点05 三角形的中位线定理 1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） 2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。 题型一 添一个条件成为平行四边形 1．如图所示，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形还需要条件（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为 ． 3．已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 题型二 利用平行四边形的性质求角度 1、如图，在中，，于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，则 度． 3．已知，中，，，，为垂足， (1)求的长； (2)若，，求的度数． 题型三 利用平行四边形的性质求长度 1．如图，平行四边形的对角线，相交于点 O，于点 C，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的周长为，对角线与相交于点O，交于E，连接．则的周长为 ． 3．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E．    (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 1．如图，在中，对角线，相交于点，，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的面积 ． 3．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 题型五 平行四边形的存在性问题 1．如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动。若设运动的时间为秒，当 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．    3．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P． (1)求P点的坐标． (2)设直线与直线在第一象限内的图象为G，若直线与图象G只有两个交点，请写出m的取值范围． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 题型六 反证法 1．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 3．用反证法证明：的三个内角中至少有一个角不大于． 题型七 与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    3．如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．      (1)求的度数； (2)若，比长，求的长． 题型八 三角形中位线的实际应用 1．如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 3．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 1．在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．在平行四边形中，平分，若，，则长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 3．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 5．如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（　　）    A． B． C． D． 6．如图，在中，平分交于点E，若，则的周长是 ． 7．如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是 ．    8．在平而直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，若以点A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，则顶点B的坐标是 ． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，交于点，连接．若的周长为10cm，则平行四边形的周长为 cm． 10．在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 11．如图，四边形中，，．求证：四边形为平行四边形． 12．如图，四边形中，，，垂足分别为点． (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． (2)添加了条件后，请证明四边形为平行四边形． 13．如图，点O为的对角线的中点，经过点O的直线分别交和于点E，F，交和的延长线于点G，H．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 15．如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； (2)若，，求的面积． 1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ． 3．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，若，则的度数是 ． 4．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ． 5．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为 ．    6．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．    7．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 8．（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 9．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 10．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．    (1)求出对角线的长； (2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$