暑假作业02 认识概率（知识梳理+5大题型+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：30min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02 认识概率 知识点01 确定事件与随机事件： （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点02 可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 知识点03 概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 知识点04 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一 确定事件与随机事件 1．下列事件中是随机事件的是（    ） A．煮熟的种子会发芽 B．路过红绿灯路口遇到红灯 C．昨天是星期一，今天是星期二 D．将3个人分成两组，有2人分在一组 2．连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 事件（选填“不可能”、“必然”、“随机”）． 3．世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问： (1)每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？ 题型二 可能性的大小 1．下列事件，是必然事件的是（    ） A．通常加热到，水沸腾 B．经过有信号灯的路口，遇到红灯 C．掷一次骰子，向上一面点数是6 D．射击运动员射击一次，命中靶心 2．估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小： ①瞎猫碰到死耗子；②煮熟的鸭子飞了；③种瓜得瓜 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 3．判断下列随机事件是否属于等可能事件，若属于，有几种等可能的结果？ (1)从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况； (2)一次射击命中的环数； (3)一枚硬币投抛一次． 题型三 求某事件的频率 1．学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 2．我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 3．某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示． 解答下列问题： （1）m= ，n= ，并补全条形统计图； （2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率； （3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？ 题型四 由频率估计概率 1．不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6的6个小球，这6个小球除了标记的数字不同之外无其他差别，小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是（    ） A．摸出标记数字为偶数的小球 B．摸出标记数字为5的小球 C．摸出标记数字比2大的小球 D．摸出标记数字能被3整除的小球 2．某种树苗移植的成活情况记录如下： 移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000 移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801 移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801 估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）． 3．某批乒乓球的质量检验结果如下表： 抽取的乒 乓球数 优等品的 个数 优等品的 频率 (1)填写表中的空格； (2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位） 题型五 用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 2．袋子中有大小、形状相同的红球、白球、黄球共40个，王光通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球、黄球的频率依次为20%，35%，45%，则红球、白球、黄球分别约有 个， 个， 个． 3．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数 10 100 1000 2000 3000 5000 优等品的频数 9 96 951 1900 2856 4750 优等品的频率 0.9 0.96 0.951 0.95 0.952 0.95 (1)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是_________；（精确到0．01） (2)若该公司这一批次生产了10000只公仔，求这批公仔中优等品大约有多少只？ 1．下列事件属于随机事件的是（    ） A．常压下，温度降到以下，自来水会结冰 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意一个五边形的外角和等于 D．如果，那么 2．下列说法正确的是（    ） A．生活中，为了强调某件事情一定会发生，有人会说“这件事百分之二百会发生”，这句话是正确的； B．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适； C．“任意画一个平行四边形，它是轴对称图形”是不可能事件； D．“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13”是确定事件； 3．若实数、满足，则下列事件是随机事件的是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 4．下列事件： ①如果a、b都是实数，那么； ②没有空气，动物也能长期生存下去； ③直径平分弦一定垂直于弦； ④不管k为何值，直线一定过点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0． 其中，属于确定事件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，则盒中大约有白球（    ） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 6．有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性( )．（填“大”或“小”） 7．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ． 8．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01） 9．在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到 色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”) 10．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 ． 11．世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)求每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？ 12．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不确定事件，哪些是不可能事件？ 事件1：三条边对应相等的两个三角形全等 事件2：三个角对应相等的两个三角形全等 事件3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 事件4：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 事件5：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 13．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 14．数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）： 活动一：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次． 活动二：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． （1）若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次． （2）若事件：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次． 活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 15．为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果） 1．（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）下列事件中的必然事件是（    ） A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为(   ) A． B． C． D． 4．（2020·江苏扬州·中考真题）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 5．（2019·江苏盐城·中考真题）某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：30min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02 认识概率 知识点01 确定事件与随机事件： （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点02 可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 知识点03 概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 知识点04 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一 确定事件与随机事件 1．下列事件中是随机事件的是（    ） A．煮熟的种子会发芽 B．路过红绿灯路口遇到红灯 C．昨天是星期一，今天是星期二 D．将3个人分成两组，有2人分在一组 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件，不可能事件，必然事件的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、煮熟的种子会发芽，是不可能事件，不符合题意； B、路过红绿灯路口遇到红灯，是随机事件，符合题意； C、昨天是星期一，今天是星期二，是必然事件，不符合题意； D、将3个人分成两组，有2人分在一组，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 2．连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 事件（选填“不可能”、“必然”、“随机”）． 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义即可判断． 【详解】解：∵抛掷一枚硬币可能是正面朝上，也可能是反面朝上， ∴第四次抛掷正面朝上是随机事件． 故答案为：随机． 3．世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问： (1)每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？ 【答案】(1)每小组共比赛6场； (2)该队出线是一个随机事件． 【分析】（1）每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛场，而每两队之间只比赛一场，因此再除以2可完成解答； （2）结合（1）的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概念进行判断，即可完成解答． 【详解】（1）解：（场） 答：每小组共比赛6场； （2）解：因为总共有6场比赛， 每场比赛最多可得3分， 则6场比赛最多共有分， 现有一队得6分， 还剩下12分， 则还有可能有2个队同时得6分， 故不能确保该队出线，因此该队出线是一个随机事件． 【点睛】此题考查了随机事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键． 题型二 可能性的大小 1．下列事件，是必然事件的是（    ） A．通常加热到，水沸腾 B．经过有信号灯的路口，遇到红灯 C．掷一次骰子，向上一面点数是6 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握其概念是解题的关键． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A．通常加热到时，水沸腾，是必然事件，故本选项符合题意； B．经过有信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意； C．掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故本选项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小： ①瞎猫碰到死耗子；②煮熟的鸭子飞了；③种瓜得瓜 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【答案】②①③ 【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案．本题主要考查可能性的大小，随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即（必然事件）； ②不可能事件发生的概率为0，即（不可能事件）； ③如果为不确定事件（随机事件），那么（A）． 【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②煮熟的鸭子飞了，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 3．判断下列随机事件是否属于等可能事件，若属于，有几种等可能的结果？ (1)从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况； (2)一次射击命中的环数； (3)一枚硬币投抛一次． 【答案】(1)不属于等可能事件 (2)不属于等可能事件 (3)一枚硬币投抛一次，正面或反面朝上的可能性相等，属于等可能事件．有两种等可能的结果：正面朝上、反面朝上 【分析】本题考查等可能事件，根据等可能事件出现的概率相等逐个判断即可． 【详解】（1）解：从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况不属于等可能事件； （2）解：一次射击命中的环数不属于等可能事件； （3）解：一枚硬币投抛一次，正面或反面朝上的可能性相等，属于等可能事件．有两种等可能的结果：正面朝上、反面朝上． 题型三 求某事件的频率 1．学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 2．我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 【答案】0.2/ 【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 3．某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示． 解答下列问题： （1）m= ，n= ，并补全条形统计图； （2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率； （3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？ 【答案】（1）25，20；（2）或者（0.45）；（3）中档题． 【分析】（1）根据图表得出得1分的人数，然后进行计算，即可得到m和n的值，再补全条形统计图即可； （2）根据众数的定义得到众数，在根据得分为众数的人数，计算概率即可； （3）根据题意可以算出L的值，从而可以判断试题的难度系数． 【详解】解：（1）∵被调查的总人数为6÷10%=60（人）， ∴得1分的人有：60-6-27-12=15（人） ∴m%=15÷60=25% n%=12÷60=20% ∴m=25，n=20， ； （2）众数为2分，有27人， ∴概率为=或者（0.45）； （3）平均数为=1.75， L==≈0.58， ∵0.58在0.4-0.7中间， ∴这道题为中档题． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数的定义和概率的计算，掌握知识点是解题关键． 题型四 由频率估计概率 1．不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6的6个小球，这6个小球除了标记的数字不同之外无其他差别，小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是（    ） A．摸出标记数字为偶数的小球 B．摸出标记数字为5的小球 C．摸出标记数字比2大的小球 D．摸出标记数字能被3整除的小球 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率为，再分别求出四个试验的概率即可得出答案． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率约为， A、摸出标记数字为偶数的小球的概率为，不符合题意； B、摸出标记数字为5的小球的概率为，不符合题意； C、摸出标记数字比2大的小球的概率为，不符合题意； D、摸出标记数字能被3整除的小球的概率为，符合题意； 故选：D． 2．某种树苗移植的成活情况记录如下： 移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000 移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801 移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801 估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）． 【答案】0.80 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80， 故答案为：0.80． 3．某批乒乓球的质量检验结果如下表： 抽取的乒 乓球数 优等品的 个数 优等品的 频率 (1)填写表中的空格； (2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据表格中数据计算填表即可； （2）利于频率估计概率求解即可． 【详解】（1）解：，，； （2）由表中数据可判断优等品频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可得这批乒乓球优等品概率的估计值是． 题型五 用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 2．袋子中有大小、形状相同的红球、白球、黄球共40个，王光通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球、黄球的频率依次为20%，35%，45%，则红球、白球、黄球分别约有 个， 个， 个． 【答案】 8 14 18 【分析】让球的总数乘以相应的频率即为所求的不同颜色球的数目． 【详解】解：红球的概率为0.2，故红球有（个）； 白球的概率为0.35，故白球有（个）； 黄球的概率为0.45，故黄球有（个）． 故红球、白球、黄球分别约有8个，14个，18个． 故答案为：8；14，18 【点睛】用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 3．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数 10 100 1000 2000 3000 5000 优等品的频数 9 96 951 1900 2856 4750 优等品的频率 0.9 0.96 0.951 0.95 0.952 0.95 (1)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是_________；（精确到0．01） (2)若该公司这一批次生产了10000只公仔，求这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表中数据可判断频率在左右摆动，即可得到答案； （2）公仔总数乘以优等品的概率即可得出答案． 【详解】（1）解：这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是， 故答案为：． （2）（只）， 答：这批公仔中优等品大约有9500只． 【点睛】本题本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟悉概率公式． 1．下列事件属于随机事件的是（    ） A．常压下，温度降到以下，自来水会结冰 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意一个五边形的外角和等于 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】解：、通常温度降到以下，自来水会结冰，是必然事件，故不符合题意； 、随意翻到一本书，书的页码是奇数，是随机事件，故符合题意； 、任意一个五边形的外角和等于，是必然事件，故不符合题意； 、如果，那么，是必然事件，故不符合题意； 故选：． 2．下列说法正确的是（    ） A．生活中，为了强调某件事情一定会发生，有人会说“这件事百分之二百会发生”，这句话是正确的； B．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适； C．“任意画一个平行四边形，它是轴对称图形”是不可能事件； D．“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13”是确定事件； 【答案】D 【分析】本题考查调查方式的选择，以及事件的分类，根据具有破坏性的的调查应选用抽样的调查方式，以及轴对称图形的概念，事件发生的可能性大小对事件进行分类，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、生活中，为了强调某件事情一定会发生，有人会说“这件事百分之一百会发生”，故A项说法错误，不符合题意； B、为了了解一批炮弹的杀伤力，采用抽样的调查方式比较合适，故B项说法错误，不符合题意； C、“任意画一个平行四边形，它是轴对称图形”是随机事件，故C项说法错误，不符合题意； D、“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13”是确定事件，说法正确，符合题意； 故选：D． 3．若实数、满足，则下列事件是随机事件的是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：∵， ∴、异号， ∴，或，， A、不可能使得，，是不可能事件，故A不符合题意； B、可能使得，，是随机事件，故B符合题意； C、不可能使得，，是不可能事件，故C不符合题意； D、使得，或，，是必然事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．下列事件： ①如果a、b都是实数，那么； ②没有空气，动物也能长期生存下去； ③直径平分弦一定垂直于弦； ④不管k为何值，直线一定过点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0． 其中，属于确定事件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】①如果a、b都是实数，那么，是必然事件，属于确定事件； ②没有空气，动物也能长期生存下去，是不可能事件，属于确定事件； ③直径平分弦一定垂直于弦，是随机事件，属于不确定事件； ④不管k为何值，直线一定过点，是必然事件，属于确定事件； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0，是随机事件，属于不确定事件； 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题的关键是熟悉相关概念（必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）． 5．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，则盒中大约有白球（    ） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】B 【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】设盒子里有白球个， 解得：． 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球16个． 故选；B． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 6．有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性( )．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据任意两边之和大于第三边确定构成三角形的可能性，问题即可作答． 【详解】任选3根，总的选择方法有：1，6，7；1，6， 8；1， 7，8；6，7，8，共四种， ∵，，，， ∴只有选择6，7，8等3根小棒时可以构成三角形， ∴能构成三角形的可能性为：，不能构成三角形的可能性为：， ∵， ∴能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性小， 故答案为：小． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件以及简单概率的求解方法等知识，掌握构成三角形的条件，是解答本题的关键． 7．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ． 【答案】/0.625 【分析】根据“2”出现的次数除以总个数即可． 【详解】解：“20220202”，共有8个数字，其中2出现的次数为：5次， ∴“2”出现的频率为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键． 8．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01） 【答案】0.96 【分析】运用频率估计概率即可． 【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率． 故答案为：0.96 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键． 9．在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到 色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”) 【答案】白 【分析】分别计算出摸到红、白、黑球的可能性，比较大小后即可得到答案． 【详解】∵袋子中装有个红球、个白球和个黑球， ∴摸出红球的可能性是：2÷（2+5+3）=， 摸出白球的可能性是：5÷（2+5+3）=， 摸出黑球的可能性是：3÷（2+5+3）=， ∵＞＞， ∴白球出现的可能性大． 故答案为：白 【点睛】本题主要考查了求简单事件发生的可能性，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 10．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 ． 【答案】14 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在20%和45%， ∴摸到白球的频率为1-20%-45%=35%， 故口袋中白色球的个数可能是40×35%=14个． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值． 11．世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)求每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？ 【答案】(1)每小组共比赛6场 (2)该队出线是一个不确定事件 【分析】（1）每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛场，而每两队之间只比赛一场，因此再除以2可完成解答； （2）结合（1）的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概念进行判断，即可完成解答． 【详解】（1）（场） 答：每小组共比赛6场． （2）因为总共有6场比赛， 每场比赛最多可得3分， 则6场比赛最多共有分， 现有一队得6分， 还剩下12分， 则还有可能有2个队同时得6分， 故不能确保该队出线，因此该队出线是一个不确定事件． 【点睛】此题考查了随机事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键． 12．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不确定事件，哪些是不可能事件？ 事件1：三条边对应相等的两个三角形全等 事件2：三个角对应相等的两个三角形全等 事件3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 事件4：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 事件5：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【答案】1，3，5是必然事件，2，4是不确定事件 【分析】根据必然事件、不可能事件及不确定事件的概念分别判断即可. 【详解】解：三条边对应相等的两个三角形全等，故事件1是必然事件； 三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故事件2是不确定事件； 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故事件3是必然事件； 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故事件4是不确定事件； 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，故事件5是必然事件. 故1，3，5是必然事件，2，4是不确定事件 【点睛】此题考查根据必然事件、不可能事件及不确定事件的概念分别判断即可.必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不能发生的事件，必然事件和不可能事件都是确定事件；不确定事件是有可能发生也有可能不发生的事件即随机事件. 13．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【答案】(1)0.6 (2)30 (3)10，10 【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数为50×0.6=30个， 故答案为：30； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14．数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）： 活动一：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次． 活动二：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． （1）若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次． （2）若事件：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次． 活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 【答案】活动一： 3；活动二：（1）4；（2）7；活动三：33． 【分析】活动一：通过例举得出答案； 活动二：通过例举得出答案； 活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案． 【详解】活动一： 解：仅摸一次，不可能出现两相同编号， 摸两次，有可能出现不同的编号，如2，1或1，2，不符合必然事件， 摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件， 故答案为：3； 活动二：有编号为1，2，3三个小球， （1）摸两次时，不符合题意，如摸到1，2， 摸三次时，不符合题意，如摸到1，2，3， 摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件， 故答案为：4； （2）摸六次时，不符合题意，如1，2，3，1，2，3， 摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件， 故答案为：7； 活动三： 根据题意得：m+m+m+1＝100， 解得：m＝33， 答：袋中有33个小球． 【点睛】本题考查随机事件的含义，必然事件的含义，探索规律的方法，通过例举，寻找规律是解题的关键． 15．为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果） 【答案】(1)100人，见解析 (2)144°； (3)“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 【分析】（1）根据阅读时间1小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出阅读时间为1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）用“1.5小时”部分所对的扇形所占的百分比乘以360°即可求得答案； （3）分别求得可能性大小后比较即可确定正确的答案． 【详解】（1）本次调查的学生有30÷30%=100（人）， 阅读1.5小时的学生有：100-12-30-18=40（人）， 补全的条形统计图如右图所示， 故答案为：100； （2）360°×=144°， 即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数144°； （3）“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”的可能性为； “抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为， ∴“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 故答案为：“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1．（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【答案】0.93 【分析】根据题意，用频率估计概率即可． 【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93， 故答案为：0.93． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）下列事件中的必然事件是（    ） A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误； C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误； 故选∶ A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的选项． 【详解】解：这张圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻是必然事件，所以甲和乙相邻的概率为1． 故选：D． 【点睛】此题考查了求概率，解题的关键是判断出该事件是必然事件． 4．（2020·江苏扬州·中考真题）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【答案】2.4 【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可； 【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键． 5．（2019·江苏盐城·中考真题）某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． 【答案】（1）0.26,50；（2）见解析；（3）估计该季度被评为“优秀员工”的人数为名． 【分析】（1）根据频率与频数之间的关系，求样本总数，再求. （2）根据频率与频数之间的关系，求频数，补齐频数分布直方图. （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频数之和. 【详解】（1）根据频率与频数之间的关系，样本总数，=. （2）=23，频数分布直方图如图所示： （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频率之和为，则估计该季度被评为“优秀员工”的人数为（名）. 【点睛】本题考查频数与频率的概念及计算公式. 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