专题06 复数（考点清单，10题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）

清单06 复数 【考点题型一】复数的概念与类型 1、虚数单位：一般地，为了使得方程有解，人们规定的平方等于，即，并称为虚数单位. 2、复数的定义：复数一般用小写字母表示，即，其中称为的实部，称为的虚部，分别记作，. 3、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数.这样，复数可以分类如下： 4、判断复数的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是的形式； （2）看属性：看，是否都是实数； （3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点. 【例1】（23-24高一下·云南·期中）设，则的实部与虚部之和为（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式1-1】（23-24高一下·四川成都·期中）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·福建泉州·期中）设复数（其中），． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的虚部以及 【变式1-3】（23-24高一下·广东东莞·月考）已知复数（为虚数单位），． （1）若为实数，求实数的值； （2）若为虚数，求实数的取值范围； （3）当为纯虚数时，若复数满足，求． 【考点题型二】复数相等及应用 1、复数相等的概念：两个复数与，如果实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等，记作 2、复数相等的充要条件：如果都是实数，那么。特别的，当都是实数时，的充要条件是且 【例2】（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2-1】（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）（多选）若，，且，则的值可能是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【考点题型三】复数的几何意义及应用 1、复数的几何意义——与点对应：复数 2、复数的几何意义——与向量对应：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 【例3】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·山东淄博·期中）在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【变式3-3】（23-24高一下·浙江·月考）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【考点题型四】复数的加减乘除运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. 【例4】（23-24高一下·广东珠海·期中）已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·福建宁德·三模）（多选）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 【变式4-2】（23-24高一下·安徽·月考）已知复数，下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-3】（23-24高一下·河南·期中）已知实系数方程的两个复根分别为，，且，. （1）求a，b的值； （2）记集合，判断，与集合M的关系. 【考点题型五】复数乘方运算的周期性 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 【例5】（23-24高一下·江苏连云港·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·福建莆田·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·陕西咸阳·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（22-23高一下·河北石家庄·期末）已知复数，，其中是实数. （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求. 【考点题型六】共轭复数及辨析 1、共轭复数：复数的共轭复数用表示，因此，当时，有. 2、共轭复数问题的求解技巧 （1）求复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算； （2）已知关于与的方程，而复数的的代数式形式未知，求解。解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。 【例6】（23-24高一下·北京·期中）如图，设复平面内的点Z表示复数，则复数z的共轭复数=（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·江苏南京·二模）（多选）已知，互为共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·辽宁大连·一模）（多选）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·福建莆田·三模）（多选）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型七】复数模的计算 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）设，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【变式7-1】（23-24高一下·山东枣庄·期中）复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）已知复数z满足，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-3】（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【考点题型八】与复数模有关的最值问题 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部. 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解。 【例8】（22-23高一下·江苏无锡·期中）是虚数单位，若复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高一下·吉林四平·月考）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（22-23高一下·河北石家庄·期中）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-3】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【考点题型九】复数范围内的解方程问题 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 【例9】（22-23高一下·安徽宣城·期末）若复数是关于x的方程()的一个根，则 ． 【变式9-1】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式9-2】（23-24高一下·安徽宿州·期中）（1）在复数范围内解方程:； （2）已知关于的方程，其中为实数，若（是虚数单位）是该方程的根，求与的值. 【变式9-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知是复数，与均为实数. （1）求； （2）若复数是方程的一个解，求的值. 【考点题型十】复数的三角形式及其运算 1、复数的代数形式化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式。 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可。 2、三角形式下复数的乘、除运算的关键点 复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加； 复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角倍； 复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减。 【例10】（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一下·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： （1）； （2）； （3）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 复数 【考点题型一】复数的概念与类型 1、虚数单位：一般地，为了使得方程有解，人们规定的平方等于，即，并称为虚数单位. 2、复数的定义：复数一般用小写字母表示，即，其中称为的实部，称为的虚部，分别记作，. 3、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数.这样，复数可以分类如下： 4、判断复数的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是的形式； （2）看属性：看，是否都是实数； （3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点. 【例1】（23-24高一下·云南·期中）设，则的实部与虚部之和为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】的实部为，虚部为2，所以实部与虚部之和为1，故选：C． 【变式1-1】（23-24高一下·四川成都·期中）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以复数的虚部为.故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·福建泉州·期中）设复数（其中），． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的虚部以及 【答案】（1）；（2） ， 【解析】（1）∵是实数， ∴， ∴；. （2）∵是纯虚数， ∴且，故， 故的虚部为，. 【变式1-3】（23-24高一下·广东东莞·月考）已知复数（为虚数单位），． （1）若为实数，求实数的值； （2）若为虚数，求实数的取值范围； （3）当为纯虚数时，若复数满足，求． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】（1）由题意可知：， 若为实数，则，解得（舍去）或， 所以实数的值为. （2）若为虚数，则，解得且， 所以实数的取值范围为. （3）若为纯虚数，则，解得，即， 设，可得， 则，解得或， 所以或. 【考点题型二】复数相等及应用 1、复数相等的概念：两个复数与，如果实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等，记作 2、复数相等的充要条件：如果都是实数，那么。特别的，当都是实数时，的充要条件是且 【例2】（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】依题意，得，解得， 所以.故选：A 【变式2-1】（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得.故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数为纯虚数，所以满足：，解得：， 所以，即；所以.故选：D 【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）（多选）若，，且，则的值可能是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】AC 【解析】因为，，且， 所以，解得或， 所以或.故选：AC 【考点题型三】复数的几何意义及应用 1、复数的几何意义——与点对应：复数 2、复数的几何意义——与向量对应：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 【例3】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数z对应的点的坐标是，所以.故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·山东淄博·期中）在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由知其对应点为，则对应点在第二象限.故选：B. 【变式3-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【解析】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为.故选：C 【变式3-3】（23-24高一下·浙江·月考）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】由可得，又m为整数，所以.故选：B. 【考点题型四】复数的加减乘除运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. 【例4】（23-24高一下·广东珠海·期中）已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得故，得.故选：B. 【变式4-1】（2024·福建宁德·三模）（多选）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 【答案】AC 【解析】设复数，则， 对于A中，由，且，可得，所以， 所以，所以A正确； 对于B中，由，可得，即， 但与不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误； 对于C中，由均为纯虚数，可得， 此时，所以C正确； 对于D中，由为实数，即， 可得，但不一定为，所以D错误.故选：AC. 【变式4-2】（23-24高一下·安徽·月考）已知复数，下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，取，满足， 但此时都不是实数，都不能比较大小，故A错误； 对于B，取，满足，但此时，故B错误； 对于C，若，而，则，故C正确； 对于D，取，满足， 但此时两两互不相等，故D错误.故选：ABD. 【变式4-3】（23-24高一下·河南·期中）已知实系数方程的两个复根分别为，，且，. （1）求a，b的值； （2）记集合，判断，与集合M的关系. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）实系数方程的两个复根分别为，，且，， 结合实系数的一元二次方程的韦达定理，可得，解得. （2）依题意，，，则，且， 所以， 又因为，即. 【考点题型五】复数乘方运算的周期性 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 【例5】（23-24高一下·江苏连云港·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 【变式5-1】（23-24高一下·福建莆田·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,则.故选：C. 【变式5-2】（23-24高一下·陕西咸阳·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，，，， 故是一个周期数列，最小正周期为4， 且， 则.故选：B. 【变式5-3】（22-23高一下·河北石家庄·期末）已知复数，，其中是实数. （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）复数，则， 又a是实数，因此，解得， 所以实数a的值是. （2）复数，，，则， 因为是纯虚数，于是，解得，因此， 又， 则，即有， 所以. 【考点题型六】共轭复数及辨析 1、共轭复数：复数的共轭复数用表示，因此，当时，有. 2、共轭复数问题的求解技巧 （1）求复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算； （2）已知关于与的方程，而复数的的代数式形式未知，求解。解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。 【例6】（23-24高一下·北京·期中）如图，设复平面内的点Z表示复数，则复数z的共轭复数=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，点的坐标是，则，所以.故选：B 【变式6-1】（2024·江苏南京·二模）（多选）已知，互为共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】令， 对A，， 则不一定成立，故A选项错误； 对B，，故B选项正确； 对C，，故C选项正确； 对D，，故D选项正确.故选：BCD 【变式6-2】（2024·辽宁大连·一模）（多选）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由可得， 所以，即A正确； 可得，即B正确； ，，显然错误，即C错误； ，而，所以D错误.故选：AB 【变式6-3】（2024·福建莆田·三模）（多选）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确.故选：BCD 【考点题型七】复数模的计算 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）设，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 【变式7-1】（23-24高一下·山东枣庄·期中）复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设，， 因为复数满足，即． 可得且，故．故选：C． 【变式7-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）已知复数z满足，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设，a，，则， 所以，，解得，，即， 所以.故选：A 【变式7-3】（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设 因为，所以，即，① 又，所以，即，② 又，所以，即，③ ②③可得，④ 把①代入④可得， 所以，故A正确；故选：A. 【考点题型八】与复数模有关的最值问题 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部. 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解。 【例8】（22-23高一下·江苏无锡·期中）是虚数单位，若复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在复平面内，若复数满足， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 几何意义是点到原点的距离，， 所以的取值范围是.故选：A. 【变式8-1】（23-24高一下·吉林四平·月考）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 则， 即，表示以为圆心，为半径的圆， 所以可理解为圆上的点到的距离， 所以的最大值为.故选：C. 【变式8-2】（22-23高一下·河北石家庄·期中）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】，∴，对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上， 表示复数对应点和对应的点间距离， 又， 所以的最小值是，故选：B． 【变式8-3】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】设，而，所以，即， 所以， 等号成立当且仅当， 综上所述，的最小值为.故选：A. 【考点题型九】复数范围内的解方程问题 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 【例9】（22-23高一下·安徽宣城·期末）若复数是关于x的方程()的一个根，则 ． 【答案】4 【解析】将代入方程， 得，即， 所以，得，，所以． 【变式9-1】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】，所以方程的根为， 不妨设，，可知，故A正确； 由韦达定理知，所以，故C正确； 所以， 因为，所以，故B错误； 时，，， 计算可得，， ，， 所以，故D正确；故选：ACD. 【变式9-2】（23-24高一下·安徽宿州·期中）（1）在复数范围内解方程:； （2）已知关于的方程，其中为实数，若（是虚数单位）是该方程的根，求与的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） 方程的根为 （2）是方程的根，也是方程的根 由实系数一元二次方程根与系数的关系得，解得， 故的值为4，的值为. 【变式9-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知是复数，与均为实数. （1）求； （2）若复数是方程的一个解，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设， 则为实数，所以， 为实数， 所以，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，所以. 【考点题型十】复数的三角形式及其运算 1、复数的代数形式化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式。 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可。 2、三角形式下复数的乘、除运算的关键点 复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加； 复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角倍； 复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减。 【例10】（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故B正确； 经检验，ACD都错误.故选：B 【变式10-1】（23-24高一下·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以的辐角主值为.故选：C 【变式10-2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以.故选：B. 【变式10-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$