2024届天津市天津市河西区天津市第四中学模拟预测数学试题

2024届天津四中高考数学热身试卷 一、选择填空：本题包括9个小题，每小题5分，满分45分. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 样本的众数为65 B. 样本的第80百分位数为72.5 C. 样本的平均值为67.5 D. 该校学生中低于的学生大约为1000人 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 数列的通项，其前项和为，则为（ ） A. B. C. D. 7. 中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ） A. B. C. D. 6 8. 设、分别为双曲线（，）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、本题包括6个小题，每小题5分，满分30分. 10. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 11. 在的展开式中的系数是________．（用数字作答） 12. 直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为________． 13. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示） 14. 在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____． 15. 已知函数若存在，满足，且，则的取值范围为__________. 三、本题包括5个小题，满分75分. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 17. 如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求点到直线的距离； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由． 18. 已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去. （1）求操作1次后桶中的水量； （2）求操作次后桶中的水量； （3）至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，） 19. 已知椭圆C：. （1）求椭圆C的离心率和长轴长； （2）已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由. 20. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项； （3）证明：，. 2024届天津四中高考数学热身试卷 一、选择填空：本题包括9个小题，每小题5分，满分45分. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 二、本题包括6个小题，每小题5分，满分30分. 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】或 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ． 【15题答案】 【答案】 三、本题包括5个小题，满分75分. 【16题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【17题答案】 【答案】（1）证明： 因为底面，， 建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得 ， 又， 可得，因为平面， 所以平面 ， （2） （3）存在，.理由如下： 设，，则， 设平面的法向量为， 则令，则， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）5次 【19题答案】 【答案】（1）椭圆离心率为，长轴长为 （2）存在，当时，点坐标为；当时，点坐标为 【20题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明:因为函数有两个零点，结合（1）知， 又，所以在和处的切线分别是： ，， 联立两条切线，得， 要证小于和的等差中项，即证，即证， 由题意得，两式做差整理得：， 则等价于，变形为， 令，因为，所以， 所证问题变为，， 令，， ，所以在上单调递减， 所以，故，得证， 小于和的等差中项得证. （3）证明:由（1）知当时，，所以，即， 即当时，， 将不等式左边累加得： ， 将不等式右边累加得： ， 所以， 即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $