中考重难点专题复习05--圆的证明与计算解答题（三大题型）-备战2024年中考数学复习检测卷

中考重难点专题复习05------圆的证明与计算解答题 题型一 圆的证明与计算------求长度长 1．（2024•阿荣旗二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径． （1）求证：AM是⊙O的切线； （2）当CE＝3，时，求⊙O的半径． 2．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AB＝10，tanB，求⊙O的半径． 3．（2024•沅江市二模）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求AD的长． 4．（2024•犍为县模拟）已知：如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，且∠DAF＝∠B． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且，求AD和AE的长． 5．（2024•曾都区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交AB于点D，点E为CB的延长线上一点，连接CD，AE，且∠E＝∠BCD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若，AD＝3，求⊙O的半径． 6．（2024•海州区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，射线OD⊥AC交BC于点D，交AB的延长线于点E，F为DE的中点，连接BF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）如果AB＝2，，求线段DE的长． 题型二 圆的证明与计算------求弧长 7．（2024•浦北县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，∠BDF＝∠F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AE＝4，AD＝4，求的长． 8．（2024•海门区二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF．连接AF，BD，∠BDC＝16°． （1）求∠A的度数； （2）求的长． 9．（2023•滨海县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若BE＝OE＝3，求的长度． 10．（2023•威县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB． （1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径； （2）若⊙O的半径是（1）中求得的半径，且∠M＝∠D，求劣弧的长． 11．（2024•瀍河区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）求证：AC＝AF； （2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）． 12．（2024•泾川县校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径．作射线BD，使得∠ABC＝∠DBC，过点C作 CE⊥BD，垂足为点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BE＝5，cos∠EBC，求的长度． 13．（2023•金华模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，△ABD为⊙O的内接三角形，C为BA延长线上一点，连接CD，OF⊥AD于点E，交CD于点F，∠ADC＝∠AOF． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若，求的长． 题型三 圆的证明与计算------求阴影部分面积 14．（2024•安源区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）若AD＝3，， ①求⊙O的直径； ②求阴影部分的面积． 15．（2024•惠城区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，AC＝CD，∠A＝30°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积． 16．（2024•十堰模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积． 17．（2024•襄州区模拟）如图，在△OBA中，OB＝OA，AB交⊙O于M，N两点，CD为⊙O的直径，AD为⊙O的切线，且BC＝AD． （1）求证：CB为⊙O的切线； （2）若AB＝4，BM＝1，求图中阴影部分的面积． 18．（2024•费县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，且，DE⊥BC，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若∠BDE＝30°，BE＝2，求图中阴影部分的面积． 19．（2024•伍家岗区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交BC于点E，交AB于点D，BA平分∠FBC且BF＝BE，连接AF． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若∠ACB＝45°，EC＝4，求图中阴影部分面积． 题型四 圆的证明与计算------求锐角三角函数值 20．（2024•顺庆区二模）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，点D为弧AC的中点，∠CDG＝∠B，DG的反向延长线与BA的延长线交于点E，连接BD与AC交于点F． （1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若，求sinE的值． 21．（2024•临淄区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，DO⊥BC，延长DO到点E，使得∠B＝∠E，连接AD，AE，OA＝2，OE＝4． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）求sin∠CAD． 22．（2024•齐河县模拟）如图，ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值． 23．（2024•平邑县一模）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值； 24．（2024•威海三模）已知线段BC是⊙O的直径，AB＞AC，点A为⊙O上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D． （1）如图1，过点D作DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线； （2）如图2，连接BD，CD，若，AB＝8，求sin∠ADC． 25．（2024•孝感模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，垂足为点E，交OC于点F，连接AD，CD，且∠DCA＝∠OCA． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若CD＝5，OF＝3，求cos∠DAC的值． 题型五 圆的证明与计算------综合应用 26．（2024•武汉模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O为边BC中点，以点O为圆心的圆与AC相切于点D． （1）如图1，求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O与BC交于点G，过点G作AC的垂线，垂足为点F，交⊙O于点E，连AE交BC于点H，如图2．求的值． 27．（2024•湖北一模）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF． （1）求证：①CD是⊙O的切线； ②△DEF∽△DBA； （2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE． 28．（2024•恩施市校级一模）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM． （1）求证：DM是⊙O的切线； （2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ． ①当tan∠BAP时，求BP的长； ②求的最大值． 29．如图1，为平行四边形ABCD的对角线，的外接圆交于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接、，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值． 30．（2024•普宁市二模）如图，在▱ABCD中，连接BD，以DF为直径的半圆O，从DF与AD共线开始绕点D逆时针旋转，直线DF与DC第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接DK，当DF，DK与线段AB有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知AB＝DF＝8，∠BAD＝45°，AD＝BD． （1）求∠FDK的度数； （2）当点Q在AB上时，设AQ＝x，BP＝y，请求出y与x的关系式； （3）当DF与DB重合时，求半圆O与DC所围成的弓形的面积． 1．（2024•蒙阴县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长． 2．（2024•天长市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝75°，BC＝4，求的长． 3．（2024•沂南县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点O作AC的平行线OE，交BC于点E，作射线DE交AB的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若∠C＝60°，CD＝3，求图中阴影部分的面积． 4．（2024•高新区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，点E为弧BF的中点，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CO＝3，，求tan∠EAD． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中考重难点专题复习05------圆的证明与计算解答题 题型一 圆的证明与计算------求长度长 1．（2024•阿荣旗二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径． （1）求证：AM是⊙O的切线； （2）当CE＝3，时，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线； （2）由于AB＝AC，由cosC，可知：ACEC，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM＝cosC，所以AO，从而可求出OM． 【解答】（1）证明：连接OM，如图， ∵BM平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， 又∵OM＝OB， ∴∠2＝∠3， ∴OM∥BC， ∵AE是BC边上的高线， ∴AE⊥BC， ∴AM⊥OM， ∴AM是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC， ∴E是BC中点， ∴EC＝3， ∵cosC， ∴ACEC， ∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE， ∴△AOM∽△ABE， ∴， 又∵∠ABC＝∠C， ∴∠AOM＝∠C， 在Rt△AOM中，cos∠AOM＝cosC， ∴， ∴AO， ABOB， 而AB＝AC， ∴， ∴OM， ∴⊙O的半径是． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解答本题的关键． 2．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AB＝10，tanB，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO＝90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO＝∠ACO＝90°，可得结论； （2）由锐角三角函数可设AC＝4x，BC＝3x，由勾股定理可求BC＝6，再由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）如图，连接OD， ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°， 在△ACO和△ADO中， ， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠ADO＝∠ACO＝90°， ∴OD⊥AB， 又∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）∵tanB， ∴设AC＝4x，BC＝3x， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴16x2+9x2＝100， ∴x＝2， ∴BC＝6， ∵AC＝AD＝8，AB＝10， ∴BD＝2， ∵OB2＝OD2+BD2， ∴（6﹣OC）2＝OC2+4， ∴OC， 故⊙O的半径为． 【点评】本题是考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键． 3．（2024•沅江市二模）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求AD的长． 【分析】（1）连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线； （2）连结OE交BD于H，连接BE，AE，根据垂径定理得到BE＝DE＝6，OE⊥BD，根据三角函数的定义得到AB＝18，求得OE＝9，根据相似三角形的判定和性质定理得到EH＝2，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连结OD，如图所示： ∵AB是直径， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BDO+∠ADO＝90°， 又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B， ∴∠B＝∠BDO＝∠CDA， ∴∠CDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连结OE交BD于H，连接BE，AE， ∵E为的中点， ∴， ∴BE＝DE＝6，OE⊥BD， ∵AB是⊙O的直径，∠BAE＝∠BDE， ∴∠AEB＝90°， ∴sin∠BDE＝sin∠BAE， ∴AB＝18， ∴OE＝9， ∵∠AEB＝∠BHE＝90°， ∠EBH＝∠EDH＝∠BAE， ∴△BEH∽△ABE， ∴， ∴， ∴EH＝2， ∴OH＝7， ∵BO＝AO， ∴AD＝2OH＝14． 【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，正确作出辅助线，熟练掌握其相关性质并能灵活运用是解题的关键． 4．（2024•犍为县模拟）已知：如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，且∠DAF＝∠B． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且，求AD和AE的长． 【分析】（1）根据圆周角定理，切线的判定方法进行解答即可； （2）由圆周角定理，直角三角形的边角关系以及勾股定理求出AD，再根据相似三角形的判定和性质求出答案即可． 【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵∠C＝∠B，∠B＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠ACD， ∴∠DAF+∠DAC＝90°， ∴OA⊥AF， ∵AC是直径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H， ∵⊙O的半径为5， ∴AC＝10， ∵tanC， 设AD＝3k，CD＝4k， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， AD2+CD2＝AC2， 即（3k）2+（4k）2＝102， 解得k＝2或k＝﹣2＜0舍去， ∴AD＝3k＝6， ∵∠AHD＝∠ADC＝90°，∠DAH＝∠CAD， ∴△ADH∽△ACD， ∴， ∴AD2＝AH•AC， ∵AD＝6，AC＝10， ∴， ∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°， ∴AD＝ED， ∵DH⊥AC， ∴． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握切线的判定和性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 5．（2024•曾都区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交AB于点D，点E为CB的延长线上一点，连接CD，AE，且∠E＝∠BCD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若，AD＝3，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得∠ADC＝∠CDB＝90°，则∠BCD+∠ABC＝90°，再根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，则∠BCD+∠ACB＝90°，然后根据∠E＝∠BCD得∠E+∠ACB＝90°，进而可得∠EAC＝180°﹣（∠E+∠ACB）＝90°，据此根据切线的判定即可得出结论； （2）根据可设BC＝2k，BE＝3k，则CE＝BC+BE＝5k，设BD＝x，则AB＝AC＝3+x，证明△EAC∽△CDB得EC：BC＝AC：BD，即5k：2k＝（3+x）：x，由此解出x＝2，则AC＝3+x＝5，据此即可得出⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠ABC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠BCD+∠ACB＝90°， 又∵∠E＝∠BCD， ∴∠E+∠ACB＝90°， ∴∠EAC＝180°﹣（∠E+∠ACB）＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥AC， ∵OA为⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴可设BC＝2k，BE＝3k， ∴CE＝BC+BE＝2k+3k＝5k， 设BD＝x， ∵AD＝3， ∴AB＝AD+BD＝3+x， ∴AB＝AC＝3+x， ∵∠CDB＝90°，∠EAC＝90°， ∴∠EAC＝∠CDB＝90°， 又∵∠E＝∠BCD， ∴△EAC∽△CDB， ∴EC：BC＝AC：BD， 即5k：2k＝（3+x）：x， 解得：x＝2， ∴AC＝3+x＝5， ∴OA＝OCAC， 故⊙O的半径为． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 6．（2024•海州区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，射线OD⊥AC交BC于点D，交AB的延长线于点E，F为DE的中点，连接BF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）如果AB＝2，，求线段DE的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及切线的判定方法进行解答即可； （2）根据直角三角形的边角关系，勾股定理以及圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：（1）证明：连接OB， ∵：OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C+∠A＝90°， ∵AC⊥OE， ∴∠E+∠A＝90°， ∴∠E＝∠C． ∴∠E＝∠OBC， ∵∠A＝∠CBF，∠A+∠E＝90°， ∴∠OBC+∠CBF＝90°， 即OB⊥BF， ∵OB是⊙O的半径， ∴BF是⊙O的切线； （2）由（1）得∠E＝∠C，即 ， 在Rt△ABC中，AB＝2，sinC， ∴AC＝6，BC4， ∴AO＝3， 在Rt△COD中，OC＝OA＝3，sinC， 设OD＝x，则CD＝3x，由勾股定理得， OD2+OC2＝CD2， 即x2+32＝（3x）2， 解得x， 即OD， ∴BD＝BC﹣CD＝4， 在Rt△BDE中，BD，sinE， ∴DE＝3BD． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数以及解直角三角形，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 题型二 圆的证明与计算------求弧长 7．（2024•浦北县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，∠BDF＝∠F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AE＝4，AD＝4，求的长． 【分析】（1）连接OE，BE，根据圆周角定理得到BE⊥DF，得到DE＝EF，根据三角形中位线定理得到OE∥BF，求得∠AEO＝∠ACB＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）设OD＝OE＝x，根据勾股定理得到x＝4，得到∠A＝30°，求得∠DOE＝60°，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OE，BE， ∵BD为⊙O的直径， ∴BE⊥DF， ∵∠BDF＝∠F， ∴DE＝EF， ∵BO＝DO， ∴OE是△BDF的中位线， ∴OE∥BF， ∴∠AEO＝∠ACB＝90°， ∵OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：设OD＝OE＝x， ∵∠AEO＝90°， ∴AE2＝AO2﹣OE2， ∴（4）2＝（4+x）2﹣x2， ∴x＝4， ∴OE＝4，AO＝8， ∴OEAO， ∴∠A＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴的长为． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．（2024•海门区二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF．连接AF，BD，∠BDC＝16°． （1）求∠A的度数； （2）求的长． 【分析】（1）连接AC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠BDC＝16°，根据线段的垂直平分线的性质得出AC＝AF，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可求得∠BAF＝∠BAC＝16°； （2）连接OA，OC，BC，解直角三角形求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠BAC和∠BDC都是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠BDC＝16°， ∵AB⊥CD，CE＝EF， ∴AC＝AF， ∴∠BAF＝∠BAC＝16°； （2）连接BC， ∵AB⊥CD，， ∴tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴∠∠AOC＝120° ∴的长为π． 【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键． 9．（2023•滨海县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若BE＝OE＝3，求的长度． 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，而CE⊥AB，所以∠BAC＝∠BCE；由点C是的中点，得到∠DBC＝∠BAC，于是∠BCE＝∠DBC，即可得到CF＝BF； （2）连接OD，OC，BE＝OE＝3，可得圆的半径为6，在直角三角形COE中，由cos∠COE，可得∠COE＝60°，进而推出∠AOD等于60°，再用弧长公式求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又CE⊥AB， ∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°， ∴∠BCE＝∠BAC， ∵点C是的中点， ∴∠DBC＝∠BAC， ∴∠DBC＝∠CDB， ∴∠BCE＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OD，OC， ∵BE＝OE＝3， ∴OB＝BE+OE＝3+3＝6， ∵OB＝OC， ∴cos∠COE， ∴∠COE＝60°， ∵点C是的中点， ∴∠DOC＝∠COE＝60°， ∴∠AOD＝180﹣∠DOC﹣∠COE＝60°， ∴的长度2π． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧长的计算，难度适中．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10．（2023•威县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB． （1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径； （2）若⊙O的半径是（1）中求得的半径，且∠M＝∠D，求劣弧的长． 【分析】（1）设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由AB⊥CD得到DECD＝8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，所以⊙O的半径为10； （2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，则2∠B+∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D+∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数，即可得出∠COD的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设⊙O的半径为r， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DECD16＝8， 在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝r﹣4，OD＝r， ∵OE2+DE2＝OD2， ∴（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10， ∴⊙O的半径为10； （2）如图，连接OC， ∵OM＝OB， ∴∠B＝∠M， ∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B， ∵∠DOE+∠D＝90°， ∴2∠B+∠D＝90°， ∵∠B＝∠D， ∴2∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴∠COD＝120°， ∴劣弧的长为π． 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长的计算等，运用方程思想是解题的关键． 11．（2024•瀍河区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）求证：AC＝AF； （2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）． 【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案； （2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴∠AFC＝∠ACF， ∴AC＝AF． （2）连接AO，CO，如图， 由（1）得∠AFC＝∠ACF， ∵∠AFC75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°， ∴的长l． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养． 12．（2024•泾川县校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径．作射线BD，使得∠ABC＝∠DBC，过点C作 CE⊥BD，垂足为点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BE＝5，cos∠EBC，求的长度． 【分析】（1）连接OC，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到OC⊥EC，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用特殊角的三角函数值求得∠EBC＝60°，则得△OBC为等边三角形，∠BOC＝60°，在Rt△BEC中，利用直角三角形的边角关系定理求得BC，则圆的半径可得，利用圆的弧长公式解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC． ∵∠ABC＝∠DBC， ∴∠DBC＝∠OCB， ∴OC∥BD． ∵CE⊥BD， ∴OC⊥EC． ∵OC为⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵cos∠EBC， ∴∠EBC＝60°． ∵OC∥BE， ∴∠OCB＝∠EBC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°． 在Rt△BEC中， ∵cos∠EBC， ∴BC＝2BE＝10， ∴OB＝OB＝BC＝10， ∴的长度． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，平行线的判定与性质，垂直的意义，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 13．（2023•金华模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，△ABD为⊙O的内接三角形，C为BA延长线上一点，连接CD，OF⊥AD于点E，交CD于点F，∠ADC＝∠AOF． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若，求的长． 【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠AEO＝90°，从而可得∠OAD+∠AOF＝90°，再根据等腰三角形的性质，可得∠OAD＝∠ODA，从而可得∠ADC+∠ODA＝90°，进而可得∠ODC＝90°，即可得证； （2）在Rt△ODC中，由可得∠C＝30°，然后证明△OAD是等边三角形，解直角三角形△ABD求出AD＝2，可得OD＝2，再利用弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵OF⊥AD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠OAD+∠AOF＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠ADC＝∠AOF， ∴∠ADC+∠ODA＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2） 解：在Rt△ODC中，， ∴∠C＝30°， ∴∠COD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠OAD＝60°， ∵AB是直径， ∴∠BDA＝90°， 在Rt△ABD中，AD， ∴OD＝2， ∴的长为：． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 题型三 圆的证明与计算------求阴影部分面积 14．（2024•安源区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）若AD＝3，， ①求⊙O的直径； ②求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）①根据特殊锐角三角函数值以及直角三角形的边角关系求出CD，AC，再根据特殊锐角三角函数中以及直角三角形的边角即可求出直径AB； ②根据S阴影部分＝S扇形OBC﹣S△OBC进行计算即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC 平分∠OAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC． ∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN． ∵OC是半径， ∴MN是⊙O的切线； （2）解：①在Rt△ADC中，AD＝3，CD， ∵， ∴∠DAC＝30°， ∴， 在Rt△ABC中，AC＝2，∠CAB＝30°＝∠CAD， ∴AB4； ②∵∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴S阴影部分＝S扇形OBC﹣S△OBC 2 π． 【点评】本题考查切线的判定和性质，角平分线，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 15．（2024•惠城区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，AC＝CD，∠A＝30°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，利用等边对等角求得∠OCA＝30°，∠D＝30°，利用三角形内角和定理求得∠OCD＝90°，即可证明CD是⊙O的切线； （2）证明BE是△OCD的中位线，利用S阴影＝S梯形OBEC﹣S扇形OBC，根据扇形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∵AC＝CD， ∴∠ADC＝∠OAC＝30°， 在△ACD 中，由三角形内角和得： ∠OCD＝180°﹣∠CAD﹣∠ACO﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：由（1）得 OC⊥CD， ∴△OCD 为直角三角形， ∵OC＝4，∠ADC＝30°， ∴OD＝8，，∠COD＝60°， ∴BD＝OD﹣OB＝8﹣4＝4， ∵BE⊥ED，∠ADC＝30°， ∴BE＝2，， S阴影＝S△OCD﹣S△BED﹣S酶形OBC ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． 16．（2024•十堰模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，根据角平分线定义得∠OCD＝∠BCD，根据OD＝OC得∠OCD＝∠ODC，由此得∠BCD＝∠ODC，则OD∥BC，再根据DF⊥BC得OD⊥DF，然后根据切线的判定可得出结论； （2）依题意得AB＝6，∠ADB＝90°，tan∠A，则AD＝2BD，由勾股定理可得出BD，AD，证明△ADB∽△DEB可得出DE，BE，再证明△BEF∽△ODF得EF，则DF＝EF+DF＝4，据此可得阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OD，如下图所示： ∵CD平分∠OCB， ∴∠OCD＝∠BCD， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠BCD＝∠ODC， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴OD⊥DF， 又∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为3， ∴AB＝6，∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，tan∠A， ∴AD＝2BD， 由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2， 即（2BD）2+BD2＝62， ∴BD， ∴AD＝2BD， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠ADB＝90°，OD⊥DF， ∴∠ODA+∠ODB＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°， ∴∠ODA＝∠BDE， ∴∠A＝∠BDE， 又∵∠ADB＝∠DEB＝90°， ∴△ADB∽△DEB， ∴AD：DE＝BD：BE＝AB：BD， 即， ∴DE，BE， ∵OD∥BC， ∴△BEF∽△ODF， ∴BE：OD＝EF：DF， 即， ∴EF， ∴DF＝EF+DF4， ∴S阴影DF•BE． 【点评】此题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数，勾股定理及相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 17．（2024•襄州区模拟）如图，在△OBA中，OB＝OA，AB交⊙O于M，N两点，CD为⊙O的直径，AD为⊙O的切线，且BC＝AD． （1）求证：CB为⊙O的切线； （2）若AB＝4，BM＝1，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据切线的性质，全等三角形的判定和性质以及切线的判定进行解答即可； （2）根据切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，AD为⊙O的切线， ∴CD⊥OD， 即∠ODA＝90°， 在△ADO与△BCO中， ∵OC＝OD，BC＝AD，OA＝OB， ∴△ADO≌△BCO（SSS）， ∴∠BCO＝∠ADO＝90°， 即OC⊥BC， ∵OC是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵BC是⊙O的切线，AD是⊙O的切线， ∴∠BCO＝∠ADO＝90°， ∴BC∥AD， ∵BC＝AD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4， ∴OC＝OD＝OM＝2， 过点O作OE⊥AB于点E，则ME＝NE，BE＝AE＝2＝OM， 在Rt△MOE中，ME＝2﹣1＝1，OM＝2， ∴∠MOE＝30°，OE， ∴∠COM＝90°﹣30°＝60°， ∴S阴影部分＝S梯形BCOM﹣S扇形OCM （1+2） π． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及解直角三角形，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及直角三角形的边角关系、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 18．（2024•费县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，且，DE⊥BC，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若∠BDE＝30°，BE＝2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，根据OB＝OD得∠OBD＝∠ODB，根据BD平分∠ABE得∠OBD＝∠EBD，由此得∠ODB＝∠EBD，再根据DE⊥BC得∠BDE+∠EBD＝90°，则∠BDE+∠ODB＝90°，然后根据切线的判定进而得出结论； （2）连接OC，OD，过点O作OF⊥BC于F，在Rt△BDE中可求出BD＝2BE＝4，∠EBD＝60°，则∠OBD＝∠EBD＝60°，进而得△OBD为等边三角形则OB＝BD＝OD＝4，再证明△OBC为等边三角形，得OB＝OC＝BC＝4，再分别求出S△OBC，S扇形BOC，进而可得阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵BD平分∠ABE， ∴∠OBD＝∠EBD， ∴∠ODB＝∠EBD， ∵DE⊥BC， ∴∠BDE+∠EBD＝90°， ∴∠BDE+∠ODB＝90°， 即DE⊥OD， 又∵OD为⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）解：连接OC，OD，过点O作OF⊥BC于F，如图2所示： ∵DE⊥BC，∠BDE＝30°， ∴∠EBD＝60°， 在Rt△BDE中，BD＝2BE＝4， ∵BD平分∠ABE， ∴∠OBD＝∠EBD＝60°， ∵OD＝OB， ∴△OBD为等边三角形， ∴OB＝BD＝OD＝4， ∴∠BOD＝60°， ∵， ∴∠BOC＝∠BOD＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝4， ∵OF⊥BC， ∴BF＝CFBC＝2， 在Rt△OBF中，由勾股定理得：OF， ∴S△OBCBC•OF，S扇形BOC， ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△OBC． 【点评】此题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积等，熟练掌握切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积公式是解决问题的关键． 19．（2024•伍家岗区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交BC于点E，交AB于点D，BA平分∠FBC且BF＝BE，连接AF． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若∠ACB＝45°，EC＝4，求图中阴影部分面积． 【分析】（1）连接AE，求出∠ABC+∠BAE＝90°，证明△ABF≌△ABE，得出∠BAF＝∠BAE，说明∠CAB+∠BAF＝90°，即AF⊥OA，即可证明AF是⊙O的切线； （2）连接OD，CD，证明△AOD∽△ACB，得出，求出，从而得出，，根据三角形面积公式和扇形面积公式分别求出，，最后求出结果即可． 【解答】（1）证明：连接AE，如图所示： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∴∠ABC+∠BAE＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC， ∵BA平分∠FBC， ∴∠ABF＝∠ABE， ∵AB＝AB， ∴△ABF≌△ABE（AAS）， ∴∠BAF＝∠BAE， ∴∠CAB+∠BAF＝90°， ∴∠CAF＝90°， ∴AF⊥OA ∵OA为⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线． （2）解：连接OD，CD，如图所示： ∵AC为⊙O的直径， ∴CD⊥AD， ∵AC＝BC， ∴AD＝BD， ∵OA＝OC， ∴OD∥BC，， ∴△AOD∽△ACB， ∴， ∵∠AEC＝∠AEB＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠AOD＝∠ACB＝45°，AE＝EC＝4， ∴， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分面积为． 【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 题型四 圆的证明与计算------求锐角三角函数值 20．（2024•顺庆区二模）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，点D为弧AC的中点，∠CDG＝∠B，DG的反向延长线与BA的延长线交于点E，连接BD与AC交于点F． （1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若，求sinE的值． 【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理和平行线的判定定理得到AC∥EG，利用垂径定理的推论得到OD⊥AC，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接BC，设OD与AC交于点H，设CF＝3a，则AF＝5a，利用垂径定理得到CH＝AHAC＝4a，再利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理得到AB＝3AE，设AE＝k，则AB＝3k，利用同圆的半径线段得到OA＝OB＝ODAB＝1.5k，则OE＝OA+AE＝2.5k，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵∠CDG＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠CDG＝∠C， ∴AC∥EG． ∵点D为弧AC的中点， ∴， ∴OD⊥AC， ∴OD⊥GE． ∵OD为⊙O的半径， ∴GE是⊙O的切线； （2）解：连接BC，设OD与AC交于点H，如图， ∵， ∴设CF＝3a，则AF＝5a， ∴AC＝8a． ∵OD⊥AC， ∴CH＝AHAC＝4a． ∴HF＝CH﹣CF＝a． ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴BC∥OD， ∴△BCF∽△DHF， ∴3， ∵AC∥EG， ∴3， ∴AB＝3AE， 设AE＝k，则AB＝3k， ∴OA＝OB＝ODAB＝1.5k， ∴OE＝OA+AE＝2.5k． ∴sinE． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 21．（2024•临淄区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，DO⊥BC，延长DO到点E，使得∠B＝∠E，连接AD，AE，OA＝2，OE＝4． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）求sin∠CAD． 【分析】（1）由圆周角定理、相似三角形的判定与性质可得∠OAE＝∠ODB，再由切线的判定方法可得结论； （2）由相似三角形的性质可得OD＝1，再根据勾股定理与解直角三角形可得答案． 【解答】（1）证明：∵在△ODB 和△OAE中， ∠B＝∠E，∠DOB＝∠AOE， ∴△ODB∽△OAE， ∴∠OAE＝∠ODB， ∵OD⊥BC， ∴∠ODB＝90°， ∴∠OAE＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：由第（1）问知△ODB∽△OAE， ∴，即 ， ∴OD＝1， 在 Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+DB2＝OB2， ∴， ∵OD⊥BC，OD经过⊙O 的圆心， ∴， ∵O，D分别是AB，BC的中点， ∴AC＝2OD＝2， ∴在 Rt△ACD中，， ∴． 【点评】此题考查的是切线的判定方法、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，掌握其性质定理是解决此题的关键． 22．（2024•齐河县模拟）如图，ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值． 【分析】（1）连接OD，AD，由AC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC中点，再由O为AC的中点，得到OD为三角形ABC的中位线，利用中位线性质得到OD与AB平行，进而得到OD垂直于DE，即可得证； （2）由半径的长求出AB与AC的长，根据BE的长，由AB﹣BE求出AE的长，由平行得相似，相似得比例，设CF＝x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出所求． 【解答】（1）证明：连接OD，AD， ∵AC为圆的直径， ∴∠ADC＝90°，AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴点D为BC的中点， ∵点O为AC的中点， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB，∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， 则DE为圆O的切线； （2）解：∵r＝2， ∴AB＝AC＝2r＝4， ∵BE＝1， ∴AE＝AB﹣BE＝3， ∵OD∥AB， ∴△FOD∽△FAE， ∴， 设CF＝x，则有OF＝x+2，AF＝x+4， ∴， 解得：x＝2， ∴AF＝6， 在Rt△AEF中，∠AEF＝90°， 则cosA． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 23．（2024•平邑县一模）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值； 【分析】（1）连接OA，根据直径所对的圆周角是90度，可得∠OAC+∠OAD＝90°，再证明∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，即可得出结论； （2）证明△BCA∽△BAD，设半径OC＝OA＝r，得出BC＝2r，OB＝3r，根据勾股定理得出，根据求解即可． 【解答】（1）证明：连接OA， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠OAC+∠OAD＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠BAC＝∠ADB， ∴∠BAC+∠OAC＝90°， 即∠BAO＝90°， ∴AB⊥OA， ∵OA为半径， ∴直线AB是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B， ∴△BCA∽△BAD， ∴， 设半径OC＝OA＝r， ∵BC＝2OC， ∴BC＝2r，OB＝3r， 在Rt△BAO中， ， 在Rt△CAD中， ． 【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角的正切，切线的判定，正确理解题意是解题的关键． 24．（2024•威海三模）已知线段BC是⊙O的直径，AB＞AC，点A为⊙O上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D． （1）如图1，过点D作DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线； （2）如图2，连接BD，CD，若，AB＝8，求sin∠ADC． 【分析】（1）利用圆周角定理得出，进而得出∠BOD＝∠COD，利用平角定义得出∠BOD＝90°，利用平行线的性质得出∠ODE＝90°，利用切线的判定即可得证； （2）根据弧弦的关系得出，利用勾股定理求出BC，AC，利用正弦定义求出sin∠ABC，由∠ABC＝∠ADC即可求解． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴∠BOD＝∠COD， 又∠BOD+∠COD＝180°， ∴∠BOD＝90°， ∵DE∥BC， ∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE， 又OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴， ∵BC是直径， ∴∠BDC＝90°，∠BAC＝90°， ∴， ∵AB＝8， ∴， ∴， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及推论，正弦的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键． 25．（2024•孝感模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，垂足为点E，交OC于点F，连接AD，CD，且∠DCA＝∠OCA． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若CD＝5，OF＝3，求cos∠DAC的值． 【分析】（1）由AC＝BC，OA＝OB，证明OC⊥AB，由DF是AC的垂直平分线，得DC＝DA，则∠DCA＝∠DAC，而∠DCA＝∠OCA，所以∠DAC＝∠OCA，则AD∥OC，所以∠OAD＝∠BOC＝90°，即可证明AD是⊙O的切线． （2）连接AF，可证明四边形AFCD是菱形，则AF＝CF＝CD＝5，因为OF＝3，∠AOC＝90°，所以OC＝8，OA4，则AC4，所以cos∠DAC＝cos∠OCA． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴OA＝OB， ∵AC＝BC， ∴OC⊥AB， ∵DF是AC的垂直平分线， ∴DC＝DA， ∴∠DCA＝∠DAC， ∵∠DCA＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∴∠OAD＝∠BOC＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴AD是⊙O的切线． （2）解：连接AF， ∵DF是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD，AF＝CF，∠DEC＝∠FEC＝90°， ∴∠CDE+∠DCA＝90°，∠CFE+∠OCA＝90°， ∵∠DCA＝∠OCA， ∴∠CDE＝∠CFE， ∴CD＝CF， ∴AD＝CD＝AF＝CF， ∴四边形AFCD是菱形， ∴AF＝CF＝CD＝5， ∵OF＝3，∠AOC＝90°， ∴OC＝OF+CF＝3+5＝8，OA4， ∴AC4， ∵∠DAC＝∠OCA， ∴cos∠DAC＝cos∠OCA， ∴cos∠DAC的值为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、平行线的判定与性质、切线的判定定理、菱形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型五 圆的证明与计算------综合应用 26．（2024•武汉模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O为边BC中点，以点O为圆心的圆与AC相切于点D． （1）如图1，求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O与BC交于点G，过点G作AC的垂线，垂足为点F，交⊙O于点E，连AE交BC于点H，如图2．求的值． 【分析】（1）证明：连接OD，OA，过点O作OM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质得OA平分∠BAC，再根据切线的性质得OD为⊙O的半径，且OD⊥AC，由此得OM＝OD，则OM为⊙O的半径，然后根据切线的判定进而得出结论； （2）连接OA，OD，DG，OE，DE，设DE交OG于T，证△ODG，△OEG均为等边三角形，进而得四边形ODGE为菱形，设GF＝a，则OD＝CG＝EG＝2a，再利用三角函数分别求出OA，ET，然后证△EHT∽△AHO，最后利用相似三角形的性质可得出的值． 【解答】（1）证明：连接OD，OA，过点O作OM⊥AB于M，如图1所示： ∵AB＝AC，点O为边BC中点， ∴OA平分∠BAC， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴OD为⊙O的半径，且OD⊥AC， 又∵OM⊥AB， ∴OM＝OD， ∴OM为⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线， （2）连接OA，OD，DG，OE，DE，设DE交OG于T，如图2所示： ∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O为边BC中点， ∴OA平分∠BAC，OA⊥BC， ∴∠OAC∠BAC＝60°，∠AOC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠OAC＝30°， ∵OD⊥AC， ∴∠AOD＝90°﹣∠OAC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOG＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣30°＝60°， ∵OD＝OG＝OE， ∴△ODG为等边三角形， ∴OD＝OG＝DG，∠ODG＝60°， ∵∠C＝30°，GF⊥AC， ∴∠OGE＝∠CGF＝90°﹣∠C＝60°， ∴△OEG为等边三角形， ∴OE＝OG＝EG，∠OEG＝60°， ∴OD＝DG＝OE＝EG＝OG， ∴四边形ODGE为菱形， ∴DE⊥OG，∠DEG∠OEG＝30°， ∵OD⊥AC，∠ODG＝60°， ∴∠GDC＝90°﹣∠ODG＝30°， ∴∠GDC＝∠C， 又GF⊥AC， ∴GD＝CG＝GE＝OD， 设GF＝a， 在Rt△CGF中，∠C＝30°， ∴CG＝2a， ∴OD＝CG＝EG＝2a， 在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OD＝2a，cos∠AOD， ∴OA， 在Rt△EGT中，∠DEG＝30°，EG＝2a，cos∠DEG， ∴ET＝EG•cos∠DEG＝2a•cos30°， ∵DE⊥OG，AO⊥BC， ∴ED∥AO， ∴△EHT∽△AHO， ∴EH：AH＝ET：AO， ∴． 【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键． 27．（2024•湖北一模）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF． （1）求证：①CD是⊙O的切线； ②△DEF∽△DBA； （2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE． 【分析】（1）①由四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，可得∠CDH＝∠DHA＝90°，CD⊥OD，故CD是⊙O的切线； ②连接HF，由DH为⊙O直径，有∠DFH＝90°，可得∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，又∠EDF＝∠BDA，从而△DEF∽△DBA； （2）连接AC交BD于G．由菱形ABCD，BD＝6，得AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，AG4，故AC＝2AG＝8，用面积法可得DH，即得sin∠DFE＝sin∠DAH． 【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∵DH⊥AB， ∴∠CDH＝∠DHA＝90°， ∴CD⊥OD， ∵D为⊙O的半径的外端点， ∴CD是⊙O的切线； ②连接HF， ∴∠DEF＝∠DHF， ∵DH为⊙O直径， ∴∠DFH＝90°， ∴∠DHF＝90°﹣∠BDH， ∵∠DHB＝90°， ∴∠DBA＝90°﹣∠BDH， ∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF， ∵∠EDF＝∠BDA， ∴△DEF∽△DBA； （2）解：连接AC交BD于G． ∵菱形ABCD，BD＝6， ∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3， 在Rt△AGB中，AG4， ∴AC＝2AG＝8， ∵S菱形ABCDAC•BD＝AB•DH， ∴DH， 由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH， ∴sin∠DFE＝sin∠DAH． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理． 28．（2024•恩施市校级一模）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM． （1）求证：DM是⊙O的切线； （2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ． ①当tan∠BAP时，求BP的长； ②求的最大值． 【分析】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC＝MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC＝∠MCD，进而可得∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，再利用切线的判定定理即可证得结论； （2）①分两种情况：当点P在线段BC上时，过点P作PT⊥AB于点T，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点P在CB的延长线上时，过点B作BK⊥AP于点K，运用勾股定理和解直角三角形即可； ②设CP＝n，则AP，利用面积法可得CQ•AP＝AC•CP，得出CQ，即，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∵点M为边BC的中点， ∴MC＝MD， ∴∠MDC＝∠MCD， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°， ∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°， 即∠ODM＝90°， ∴DM⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DM是⊙O的切线； （2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T， 在Rt△ABC中，AB10， 设PT＝x， ∵tan∠BAP， ∴， ∴AT＝3PT＝3x， ∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x， ∵tan∠ABC， ∴， 解得：x， ∴PT， ∵sin∠ABC，即， ∴BP； 当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K， ∵tan∠BAP， ∴， 设BK＝a，则AK＝3a， 在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2， 即（3a）2+a2＝102， 解得：a1，a2（舍去）， ∴AK＝3，BK， ∵S△ABPAP•BKBP•AC， ∴， 设BP＝m，则APm， 在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2， 即82+（m+6）2＝（m）2， 解得：m1，m2（舍去）， ∴BP； 综上所述，BP的长为或； ②设CP＝n，则AP， 如图，∵AC是⊙O的直径， ∴CQ⊥AP， ∵CQ•AP＝AC•CP， ∴CQ， ∴， ∵n＞0， ∴（n﹣8）2≥0， ∴64+n2≥16n， ∴， ∴的最大值为． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键． 29．如图1，为平行四边形ABCD的对角线，的外接圆交于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接、，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值． 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明； （2）由垂径定理证明，再推出，即可证明结论； （3）设，得到,，，由角平分线的性质求得，证明，求得，由角平分线的性质推出，在和中，求得，然后推出，即可求解． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2）证明：，经过圆心， ， ， ， ， ， 又， ； （3）延长交于点， ， ， ， 设，则，， 由（2）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线， 点到两边的距离相等， ， ， ， ， ，即， ， 由（2）可知：是的平分线，同理，，即， ， 设的半径为， ， ， 解得，即， 设， 在和中，， 即， 整理得，即， ，， ， ． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，综合运用这些知识． 30．（2024•普宁市二模）如图，在▱ABCD中，连接BD，以DF为直径的半圆O，从DF与AD共线开始绕点D逆时针旋转，直线DF与DC第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接DK，当DF，DK与线段AB有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知AB＝DF＝8，∠BAD＝45°，AD＝BD． （1）求∠FDK的度数； （2）当点Q在AB上时，设AQ＝x，BP＝y，请求出y与x的关系式； （3）当DF与DB重合时，求半圆O与DC所围成的弓形的面积． 【分析】（1）连接FK，如图所示，由弧相等得到弦相等，再由直径所对的圆周角是直角，利用等腰直角三角形性质即可得到答案； （2）由题中条件，结合等腰直角三角形性质求出角度及线段长，利用三角形相似的判定与性质代值求解即可得到答案； （3）当DF与DB重合时，由∠BDC＝∠ODK＝45°得点K在DC上，连接OK，如图所示，半圆O与DC所围成的封闭图形的面积为S扇形DOK﹣S△DOK，求出扇形面积及三角形面积代值即可得到答案． 【解答】解：（1）连接FK，如图1所示： ∵点K为半圆O的中点， ∴， ∴DK＝FK， ∵DF为直径， ∴∠DKF＝90°， 在Rt△DFK中，∠FDK＝∠DFK＝45°； （2）如图2所示： ∵∠BAD＝45°，AD＝BD， ∴∠DAB＝∠PDK＝45°＝∠ABD， ∴在等腰Rt△ABD中，AB＝8，则由勾股定理可得AD＝DB＝4， ∵∠DPB＝∠DAB+∠ADP＝45°+∠ADP，∠ADQ＝∠PDQ+∠ADP＝45°+∠ADP， ∴∠DPB＝∠ADQ， ∴△ADQ∽△BPD， ∴， ∴BP， y与x的关系式为y； （3）当DF与DB重合时， ∵∠BDC＝∠ODK＝45°， ∴点K在DC上，连接OK，如图3所示： ∵点K是半圆O的中点， ∴∠DOK＝90°． ∵， ∴，， ∴半圆O与DC所围成的封闭图形的面积为S扇形DOK﹣S△DOK＝4π﹣8． 【点评】本题是圆与四边形的综合问题，考查了图形的旋转、圆的相关概念及性质、圆周角定理及推论、等腰直角三角形的性质、三角形相似模型、平行四边形的性质、扇形面积、三角形的面积、解三角形等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 1．（2024•蒙阴县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理以及切线的判定方法进行解答即可； （2）由圆周角定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵CO平分∠BCD， ∴∠OCD＝∠OCB， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠AOC＝∠OBC+∠OCB＝2∠B，∠DAB＝∠DCB＝2∠OCB＝2∠B， ∴∠AOC＝∠DAB， ∴OC∥DE， ∵CE⊥AD， ∴CE⊥OC， ∵OC是半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， 即∠OCA+∠ACE＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠ACE＝∠B， ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴△ACE∽△ABC， ∴sinB， ∵AB＝5×2＝10， ∴AC＝6，AE． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键》 2．（2024•天长市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝75°，BC＝4，求的长． 【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则∠OAB，∠OAC，由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC，则∠AOB＝∠AOC，即可证明∠OAB＝∠OAC，所以AF⊥BC，由AE∥BC，得∠OAE＝∠AFB＝90°，即可证明AE是⊙O的切线； （2）由∠ACB＝∠ABC＝75°，得∠BAC＝30°，则∠BOC＝2∠BAC＝60°，所以△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，则OC＝BC＝4，即可根据弧长公式求得的长是 ． 【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOB＝2∠ACB， ∴∠AOC＝∠AOB， ∴， ∴∠OAC＝∠OAB， ∴BC⊥AF， ∵BC∥AE， ∴∠AFB＝∠OAE＝90°， ∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°， ∴∠BOC∠BAC＝2×30°＝60°， ∴△BOC 是等边三角形， ∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°， ∴OC＝BC＝4， ∴， ∴ 的长是 ． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（2024•沂南县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点O作AC的平行线OE，交BC于点E，作射线DE交AB的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若∠C＝60°，CD＝3，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，BD，由圆周角定理及平行线的性质证出∠ODE＝∠OBE＝90°，则可得出结论； （2）由∠C＝60°，CD＝3，得到BC＝6，AC＝12，则AD＝9，BD＝3，求得AB＝2BD＝6，OB＝3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∵OE∥AC，OA＝OB， ∴BE＝CE， ∴DE＝BE＝CE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODE＝∠OBE＝90°， ∵点D在⊙O上， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠C＝60°，CD＝3，∠BDC＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠A＝30°，∠DBC＝30°， ∴BC＝6，AC＝12，BD＝3， ∴AD＝AC﹣CD＝9， ∵∠ADB＝90°， ∴AB＝2BD＝6，∠ABD＝60°， ∴OB＝OD＝3， ∴∠BOD＝60°， ∵OE∥AC，BD⊥AC， ∴OE⊥BD， ∵OEAC＝6， ∴图中阴影部分的面积 ＝S四边形OBED﹣S扇形DOB 6×3 ＝9． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024•高新区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，点E为弧BF的中点，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CO＝3，，求tan∠EAD． 【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD即可； （2）根据相似三角形的判定和性质定理，勾股定理，以及三角函数的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵AE平分∠BAF， ∴∠OAE＝∠DAE， ∴∠OEA＝∠EAD， ∴OE∥AD， ∵ED⊥AF， ∴半径OE⊥DE， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵OE∥AD， ∴△COE∽△CAD， ∴， ∴， ∴OE＝2（负值舍去）， ∴CE， ∵CD， ∴DE＝CD﹣CE， ∴tan∠EAD． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$