专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习） 【题型目录】 1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）； 3、公式法解一元二次方程（41-60题）； 4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）； 5、换元法解一元二次方程（81-90题）； 6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）. 一、直接开平方法解一元二次方程 1．用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．求下列各式中的x的值： (1) (2) 4．解方程： (1) ； (2)． 5．求满足下列各式x的值 (1)； (2)． 6．运用开平方法解下列方程： (1)； (2). 7．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．若一元二次方程的两根分别为与． （1）求的值； （2）求的值． 10．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 11．解方程： (1) (2) 12．解方程 (1) (2) 13．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 14．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 15．求下列方程中的值： (1)； (2)． 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 18．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 19．求满足下列各式的未知数x的值． (1)； (2)． 20．阅读小明用下面的方法求出方程． 解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或 经检验，或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 请仿照他的方法，求出方程的解． 二、配方法解一元二次方程 21．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 22．解方程：（用配方法） 23．配方法解一元二次方程：． 24．用适当方法解下列方程：． 25．用配方法解方程： 26．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 27．用配方法解一元二次方程： ． 28．用配方法解方程：． 29．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 30．解方程：（用配方法） 31．用配方法解方程： 32．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 33．用配方法解方程： 34．用配方法解方程． 35．用配方法解方程：． 36．用配方法解方程： 37．用配方法解方程：． 38．用配方法解方程：． 39．用配方法解方程：． 40．用配方法解方程： 三、公式法解一元二次方程 41．用公式法解方程：． 42．用公式法解方程：． 43．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4). 44．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 45．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 46．解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 47．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 48．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 49．用公式法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 50．用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 51．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 52．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 53．用公式法解下列关于x的方程： (1)； (2)． 54．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 55．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 56．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 57．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 58．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 59．用公式法解方程： (1)． (2) 60．用公式法解方程 (1)x2+4x－1=0； (2)5x2－x－6=0； (3)x2－2x－6=0． 四、因式分解法解一元二次方程 61．用因式分解法解方程： (1)； (2) 62．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 63．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 64．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 65．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 66．用因式分解法的方法解下列方程： (1) ； (2) 67．因式分解法解方程： (1)； (2)； 68．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 69．用因式分解法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 70．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 71．用因式分解法解下列方程． (1) (2) 72．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 73．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 74．用因式分解法解下列方程． (1)； (2)． 75．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 76．用因式分解法解下列方程： （1）；       （2）． 77．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 78．用因式分解法解方程： (1)3x(2x+1)=2(2x+1)； (2)． 79．用因式分解法解方程． (1) (2) 80．用因式分解法解一元二次方程 (1)； (2)． 五、换元法解一元二次方程 81．． 82．解方程：． 83．若实数，满足，求的值． 84．解方程：． 85．解方程． 86．如果，请你求出的值． 87.例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 88．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 89．阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：； （2）解方程：． （3）解方程：． 90．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 六、解可化以一元二次方程的分式方程 91．解分式方程：． 92．解分式方程：． 93．解分式方程： 94．解分式方程： 95．解分式方程：． 96．解分式方程： 97．解分式方程 98．解分式方程：＝3． 99．解分式方程： 100．解分式方程： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)，； (2)． 【详解】解：（1）两边同除以9，得． 直接开平方，得，即，． （2）原方程可化为， 直接开平方，得，解得． 2．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法即可求解． （2）利用直接开方法即可求解． （3）利用直接开方法即可求解． 【详解】（1）解：原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （2）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （3）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键． 3．(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，立方根，平方根． （1）把方程的各项除以9，得，两边开平方，得． （2）原是利用立方根定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：移项，得， 把方程的各项除以9，得， 两边开平方，得， ，． （2）解：开平方得，， 解得，． 4．(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，． 5．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及利用立方根解方程． （1）直接利用开平方法解一元二次方程即可． （2）根据立方根得定义求出的值，然后再求x的值即可． 【详解】（1）解：， 整理得： ， ∴，． （2） ∴， 解得：． 6．(1)， (2)， 【分析】（1）先把方程化为的形式； （2）原方程可变形为，则是2的平方根，从而可以运用开平方法求解． 【详解】（1）解：由，得， 两边直接开平方，得， ∴原方程的解是，. （2）解：移项，得 两边直接开平方，得. ∴或. ∴原方程的解是，. 【点睛】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握方法解一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义，可解得，. 7．(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 8．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （2）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （3）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （4）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； 【详解】（1）， 方程两边同时除以9得，， 开平方得，， ∴，； （2），移项得，， 开平方得，， ∴，； （3）， 移项得，， 开平方得，， ∴，； （4）， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；运用等式性质将方程变形为形式是解题的关键． 9．(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 10．(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 11．(1) (2)， 【分析】根据方程的特点选择直接开平方法即可解答． 【详解】（1）解： ， 两边同时除以3得：， 开平方：； （2）， 移项得：， 两边同时除以9得：， 开方得：， 解得：， 【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解此题的关键是掌握平方根的定义． 12．(1) (2)， 【分析】（1）根据求一个数的立方的方法即可求解； （2）运用直接方法解一元二次方程即可求解； 本题主要考查运用立方的计算，直接开方法解方程，掌握立方的运算，直接开方解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： 系数化为得，， ∵， ∴． （2）解： 等式两边同时乘以得， 两边同时开方得， 移项得，， ∴，． 13．(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 15．(1), (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可得到答案； （2）直接开平方即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 则,； （2）解：， 或， 解得，． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用直接开方法求解即可． 【详解】（1）， ， 或， ，； （2）， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法；要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可； （2）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，． （2）∵， ∴， ∴， ∴，∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解题关键． 18．(1)， (2)， 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解； （2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解． 【详解】（1）解：两边都除以2得：， 直接开平方得：， ∴，． （2）解：移项得：， 两边都除以得：， 直接开平方得：， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 19．(1)或 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程直接开平方法解决此题； （2）根据一元二次方程直接开平方法解决此题． 【详解】（1） 或 （2）∵， 或 【点睛】本题主要考查解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握一元二次方程直接开平方法是解决本题的关键． 20．或 【分析】根据题目中的方法得到，解得或，经检验即可得到方程的解．此题考查了无理方程的解法，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． 【详解】解： 移项得，， 方程两边同时平方，得， 解得，或， 经检验或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 21．(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 22． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 23．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 24．， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ，． 25．， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 26．(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 27． 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 28．， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：原方程变形为， ， ， 解得：，． 29．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）（2）两题直接用配方法解方程；第（3）题可以将看成一个整体，再用配方法解方程． （1）移项、配方，得，即， 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得， 即． 两边同时开平方， 得或， ∴，． （3）配方，得， 即． 两边同时开平方，得或， ∴，． 30． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 解得． 31．，； 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，移项，配方，直接开平方即可得到答案； 【详解】解：移项得， ， 配方得， ， 即：， 直接开平方得， ， ∴，． 32．(1)，； (2)． 【详解】解：（1）移项，得． 配方，得， 即． 直接开平方，得或， 解得，． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得，即． 直接开平方，得， 解得． 33．，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．直接根据配方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 配方得，即， ∴， ∴，． 34． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握配方法解方程是关键． 【详解】解：方程变形得：，即， 变形得：， 开方得：或， 解得：． 35．， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解． 【详解】解：， 原方程化为， 配方得， 即， 开方得， ， ∴，． 36．， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 开方，得 ， 解得，． 37． 【分析】原方程整理后配方成，再用开平方即可得到方程的答案． 【详解】解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ． 【点睛】此题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法的过程是解题的关键． 38．， 【分析】利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴，即， ∴， 所以原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 39． 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，直接根据配方法的步骤进行解方程即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ∴． 40． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题关键. 【详解】 解：， ， ∴， 解得：. 41．， 【分析】先移项，将方程化成标准形式，然后利用公式法求解． 【详解】解：原方程变形为：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的基础． 42． 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】解： 整理得：， 则，，， ， ∴． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 43．(1) (2)， (3)原方程没有实数根 (4) 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根； （2）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解； （3）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根； （4）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解； 【详解】（1） ∴， ∴ 解得： （2） 即， ， 解得：， （3） ∴， ∴原方程没有实数根； （4） 即 ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定的值． 44．(1)， (2) (3)， 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， 即，． （2）将原方程进行整理，得． ∵，，， ∴， ∴， 即． （3）将原方程进行整理，得． ∵，，， ∴， ∴， 即， 45．(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用公式法解答方程即可； （2）先把化成一般式，直接运用公式法解答方程即可． 【详解】（1）解： 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，； （2）解：， 则， 所以一般式是， 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 46．(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 47．(1)， (2)， 【分析】根据进行求解即可． 【详解】（1）， 解：， ∴， ∴， ∴，； （2）， 解：， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程求根公式． 48．(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 49．(1)无实数根 (2)无实数根 【分析】(1)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． (2)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． 【详解】（1），，，， ∴， ∴该方程无实数根． （2）整理为一般式，得：， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根． 【点睛】本题考查了解方程，先计算根的判别式是解题的关键． 50．(1) (2)， 【分析】（1）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． （2）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． 【详解】（1），，，， ∴． （2）整理得：， ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解方程，熟练掌握公式是解题的关键． 51．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【分析】（1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （4）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴， ，； 【点睛】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． 52．(1)方程无解 (2)方程无解 【分析】先把原方程化为一般式，然后判断的符号，如果，则用公式法求解即可，如果，则原方程无解． 【详解】（1）解： 化为一般式得：， ∴， ∴， ∴原方程无解； （2）解：， 化为一般式得， ∴， ∴， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键． 53．(1)当时，，；当时，原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）∵，∴当时，，； 当时，原方程无实数根； （2）原方程可化为：， ∵， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论． 54．(1)， (2)， 【分析】运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， 原方程的解为：，； （2）解：，，， ， ， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 55．(1)， (2)， 【分析】（1）运用公式法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 56．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程； （2）直接根据公式法解一元二次方程； （3）直接根据公式法解一元二次方程； （4）直接根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， 化为一般形式，， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解： ∵， ∴， ∴， 解得：； （4）解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 57．(1) (2) 【分析】（1）用公式法计算即可． （2）用公式法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程的根，熟练计算公式是解题关键． 58．(1)，； (2)； (3)，； (4)方程无实数根 【分析】（1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （4）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由题意可得， ，，， ∴， ∴； （3）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； 【点睛】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． 59．(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1） ∵，，；     ∴， ∴， （2） 方程整理得：． ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是公式法解一元二次方程时要化成一般形式． 60．(1)x1=－2+，x2=－2- (2)x1=，x2=－ (3)x1=6，x2=－2 【分析】（1）找出a,b,c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解； （2）找出a,b,c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解； （3）找出a,b,c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【详解】（1）解：∵a=1，b=4，c=－1， ∴b2－4ac=42－4×1×（－1）=20>0 ∴x==， ∴x=－2±， 即x1=－2+，x2=－2－； （2）解：∵a=5，b=－，c=－6， ∴b2－4ac=5－4×5×（－6）=125>0， ∴x== ∴x1=，x2=－． （3）解：化简方程，得x2－4x－12=0，则a=1，b=－4，c=-12， ∴b2－4ac=（－4）2－4×1×（－12）=64>0 ∴x==， ∴x=2±4， 即x1=6，x2=－2 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，关键是求出△的值． 61．(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项，得：， 因式分解，得： 于是，得：或， ∴，． （2）移项，得， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 于是，得或， ∴，． 62．(1)， (2)， 【详解】（1）方程左右两边都有因式，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解． （1）移项，得， ∴，即， ∴或，∴，． （2）因式分解，得．化简，得， ∴或，∴，． 63．(1)， (2)， 【详解】解：（1）， 或， ，． （2）原方程可化为， ， 或， ，． 64．(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解； （2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： ， ， 或， 解得． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程． 65．(1)， (2)， 【分析】（1）直接用因式分解法求解即可； （2）先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴或 ∴， （2）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键． 66．(1)，； (2)， 【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， （x﹣5）（x+3）＝0， 则x﹣5＝0或x+3＝0， ∴，； （2）解：， ， 移项，得， 则（x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键． 67．(1) (2) 【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】（1）解： 方程变形为：， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键． 68．(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）原方程可变形为， 即， 所以或， 即，． （2）原方程可变形为， 即， 所以． （3）原方程可变形为， 即， 所以或， 即，． （4）原方程可变形为， 即， 或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 69．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可； （2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可； （3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可． 【详解】（1）解： 因式分解，得． 于是，， 解得，； （2） 移项，得， 因式分解，得，于是，， 解得，； （3） 因式分解，得， 于是，， 解得，． 【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法． 70．(1) (2) 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 71．(1)， (2)， 【分析】（1）首先把方程变形可得，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出的值即可； （2）首先对方程进行整理，得出，再因式分解可得，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）， ， 或， ；； （2）， 移项，得， ， 或， ；． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 72．(1) (2)， (3) 【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解，即可求解； （3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， 或， ，． （3）解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 73．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程； （2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程； （3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程； （4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：； （3）解： 即， 解得：； （4）解：， ， 即， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 74．(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， ∴． （2）解： ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 75．(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 因式分解，得， 得， 解得：； （2）解：因式分解，得， 合并同类项，得， 得， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 76．（1）；（2）． 【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵； ∴，， ∴，； （2）， ， ， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 77．(1) (2) 【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程； （2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， 即， ， 解得：． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 78．(1)=-，=； (2)=2，=． 【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】（1）解：∵3x（2x+1）-2（2x+1）=0， ∴（2x+1）（3x-2）=0， ∴2x+1=0或3x-2=0， 解得=-，=； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴2-x=0或3x-8=0， 解得=2，=． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 79．(1)， (2)， 【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可； （2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： （3x+1）（3x-1）=0 3x+1=0，3x-1=0 ，． （2）解： （2x-1）（x-3）=0 2x-1=0，x-3=0 ，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． 80．(1)， (2)， 【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可； （2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； ，， 解得：， （2）解：， ， ； ， 解得：，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程． 81．或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 82． 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 【详解】解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 83．． 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将看成一个整体，转换成一个关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：令，则， 原方程变为，， 即，， 解得：，； 又， ∴． 84． 【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 可根据方程特点设，则原方程可化为，解一元二次方程求y，再求x． 【详解】设，则原方程化为 ， 即， 解得，． 当时，，该方程无解， 当时，． 解得，， 检验：当时，原方程左边右边， 当时，原方程左边右边， ∴，都是原方程的根， ∴原方程的根是，． 85．，，， 【分析】设，求出y后，可得关于x的方程，再解方程即可． 【详解】设， 原方程化为，解得，， 当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 所以原方程的解为，，，． 【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键． 86．的值为3 【分析】设，然后用因式分解法求解即可，求解时注意. 【详解】设， ∴． 整理得：， ∴． ∴． ∵， ∴ (不合题意，舍去) ∴． 即的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 87． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 88．(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 89．(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 90．(1)；；； (2)， 【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换； （1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可； （2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可； 【详解】（1）设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为：；；；． （2）设，则有， 原方程可化为：， 解得（舍）或， ， ， 解得或； 经检验：，是原方程的解． 91． 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解： 方程左右同乘以、去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 检验：，则，故是原分式方程的根， ，则，故是原分式方程的增根， ∴原分式方程的解为． 92．，， 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验． 原方程化为，设，则原方程变形为，求出的值，当时，方程为，求出方程的解，当时，方程为，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：原方程化为：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：或， 当时，， 整理得：， ， ， 解得：，； 当时，， 整理得：， ， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 所以原方程的解是，，． 93． 【分析】方程两边同乘以可得一个关于的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 直接开平方，得， 经检验，是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验． 94． 【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得 移项、合并同类项，得， 解得，， 经检验，是方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键． 95． 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 即， ， 解得， 检验：当时，， 当时，． ∴是原方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验． 96．x=4 【分析】两边都乘以x2-4化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以x2-4，得 2(x-2)-4x=-(x2-4)， x2-2x-8=0， (x+2)(x-4)=0， x1=-2，x2=4， 检验：当x=-2时，x2-4=0， 当x=4时，x2-4≠0， ∴x=4是原分式方程的根． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 97．x=3 【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 【详解】解： 化为整式方程得， 整理得， 解得， 检验：当x=3时，x+10；当x=-1时，x+1=0， ∴原分式方程的解是x=3． 【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键． 98．x1＝，x2＝ 【分析】观察可得最简公分母是12x（2x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘12x（2x﹣1），得 24x2+5（2x﹣1）＝36x（2x﹣1）， 整理，得48x2﹣46x+5＝0， 即 解得x1＝，x2＝， 检验：当x＝或时，x（2x﹣1）≠0． 即原方程的解为：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 99． 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验． 【详解】解：整理，得：， 去分母，得：， ， ， ， 解得：，， 检验：当时，， 不是原分式方程的解， 当时，， 是原分式方程的解， 分式方程的解为． 【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验． 100． 【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可． 【详解】解：原方程可化为 去分母得， 解得， 经检验是增根，是原方程的解， 原方程的解为． 故答案为． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$