精品解析：2024年江苏省沭阳县中考考前全真模拟数学试题

2023∼2024学年度第二学期学情检测 九年级数学 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸的相应位置上） 1. 有理数的绝对值是（ ） A. B. 5 C. D. 0.5 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 4. 甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样 5. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若，，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 我国古代数学专著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数，的图像上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D．若的面积为12，，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 10. 据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球320000000千米，其中320000000用科学记数法表示为____________． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 一个圆锥母线长为10，高为8，那么这个圆锥的侧面积是______． 13. 已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是____________． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 15. 如图，正六边形，正方形，连接，则图中度数为__________． 16. 如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为______． 17. 如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C，下面四个结论：①；②；③，是抛物线上两点，若，则；④使为等腰三角形的a值可以有2个．其中正确的结论有______（填序号） 18. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 化简求值：，其中 ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． （1）连接，请判断的形状，并说明理由； （2）请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 22. 年月日，“天宫课堂”第四课开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组（满分分），其中组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如图不完整的统计图． （1）学生成绩中位数落在______组，并补全学生成绩条形统计图； （2）若将竞赛成绩在分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为______； （3）该校要对成绩为的学生进行奖励，请你估计该校名学生中获得奖励的学生人数． 23. 中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同），现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好： （1）若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为______； （2）若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率． 24. 某商业区为了提升地下停车库入口的安全性能，拟将坡比为的斜坡改造成斜坡，使得． （1）若，求斜坡底部增加的长度为多少米？（结果精确到0.1米） （2）入口处水平线，且，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌，，．若一辆满载货物高为的货车沿斜坡驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端F？请说明理由．（参考数据：，，） 25. 如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 26. 某商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件，现计划购进两种服装共10件，其中甲种服装不少于68件． （1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ （2）若购进这100件服装的费用不得超过7600元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②该商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 27. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线、交于点O，E为上一点，连结，，，若，，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线、交于点O，E为中点，F为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长． 28. 对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． （1）下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． （2）已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） （3）若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023∼2024学年度第二学期学情检测 九年级数学 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸的相应位置上） 1. 有理数的绝对值是（ ） A. B. 5 C. D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题的关键．直接利用绝对值得定义：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，即可得出答案． 【详解】解：有理数的绝对值是． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体．熟练掌握三棱柱的三视图是解题的关键． 根据三棱柱的三视图判断作答即可． 【详解】解：由题意知，该几何体是三棱柱， 故选：D． 4. 甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性．根据方差越小，成绩越稳定即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴成绩最稳定的是乙， 故选：B． 5. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 6. 我国古代数学专著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有大马x匹，小马y匹，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设有大马x匹，小马y匹，根据题意，得 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列方程成为解答本题的关键． 7. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有3个整数解，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴这三个整数是0、1、2， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解不等式组和不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数，的图像上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D．若的面积为12，，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与y轴的交点为E，连接、．由且与高相同可得，由此可求得．由，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题关键． 【详解】 设与y轴的交点为E，连接、， ， ， ． ∵轴， ， ， 解得， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】】本题考查的是分有意义的条件，根据分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】由题意得， 解得， 故答案为：． 10. 据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球320000000千米，其中320000000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：320000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 一个圆锥的母线长为10，高为8，那么这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式． 首先利用勾股定理求得底面半径，根据圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆和周长，扇形半径等于圆锥母线长，则利用扇形的面积等于弧长乘以半径的一半计算即可． 【详解】解：圆锥的底面半径是：， ∴侧面积是： 故答案为：． 13. 已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案：． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】-3． 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = =1+2×（-2） =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 15. 如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为__________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的判定即性质，熟悉掌握正多边形的内角运算方法是解题的关键． 利用正多边形的内角度数求法运算出正六边形和正方形的内角度数，即可得到的度数，再利用等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：∵正六边形的内角度数为：，正方形的内角度数为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质可得出，由三角形面积可得出，即可求出的长． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示． ∵平分，且， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 17. 如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C，下面四个结论：①；②；③，是抛物线上两点，若，则；④使为等腰三角形的a值可以有2个．其中正确的结论有______（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，根据抛物线的对称轴可判断①；根据抛物线与轴的交点个数可判断②；根据抛物线的对称轴得到 根据二次函数的性质可判断③；根据等腰三角形的定义和性质可判断④，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标分别为 ∴抛物线的对称轴为直线 故①符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， 故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 故③不符合题意； 由题意可知，， 若为等腰三角形，则或， ∵， ∴，， 当时，此时， ∴或（不合题意，舍去）， 当时， ， ∴或（不合题意，舍去）， ∴使为等腰三角形的值可以有2个，故④符合题意； 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，如图，连接，，由平移的性质可知，，，，可知在直线上运动，四边形是平行四边形，则，如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，则，，，，由，可知当三点共线时，最小为， ，由，可知，即三点共线，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，连接，， 由平移的性质可知，，，， ∴在直线上运动，四边形是平行四边形， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值、化简二次根式、特殊角的余弦值、负整数指数幂等知识点．先化简绝对值、化简二次根式、特殊角的余弦值、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 20. 化简求值：，其中 ． 【答案】 【解析】 【分析】先进行因式分解，再依据分式的运算法则进行计算. 【详解】解：原式＝1﹣ • ＝1﹣＝， 当a＝﹣1时，原式＝． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，此类题，一般要先进行因式分解，再应用分式的基本性质进行约分和通分.熟练掌握因式分解、分式的约分和通分是解题的关键. 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． （1）连接，请判断的形状，并说明理由； （2）请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 【答案】（1）等腰直角三角形；理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，网格作图． （1）由旋转的性质即可得到是等腰直角三角形； （2）取格点，连接，交于点，连接并延长交线段于点G，利用矩形的性质知点是的中点，，即． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形； 理由：∵将线段绕点A顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求． ． 22. 年月日，“天宫课堂”第四课开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组（满分分），其中组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如图不完整的统计图． （1）学生成绩中位数落在______组，并补全学生成绩条形统计图； （2）若将竞赛成绩在分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为______； （3）该校要对成绩为的学生进行奖励，请你估计该校名学生中获得奖励的学生人数． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）人． 【解析】 【分析】（）利用组人数和百分比求出抽取的学生总人数，用总人数乘可得组人数，进而可求出中位数的位置及补全学生成绩条形统计图； （）用样本中优秀人数所占百分比乘得出优秀学生所在扇形对应圆心角度数； （）用样本估计总体即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：名， ∴组人数为名， ∴中位数落在组，补全学生成绩条形统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校名学生中获得奖励的学生人数大约为名． 23. 中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同），现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好： （1）若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为______； （2）若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率． 【答案】（1） （2）图见解析； 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到《周髀算经》和《孙子算经》的结果有2种，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，抽到《周髀算经》和《孙子算经》的结果有2种， ∴抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 24. 某商业区为了提升地下停车库入口的安全性能，拟将坡比为的斜坡改造成斜坡，使得． （1）若，求斜坡底部增加的长度为多少米？（结果精确到0.1米） （2）入口处水平线，且，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌，，．若一辆满载货物高为的货车沿斜坡驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端F？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）不会碰到广告牌的下端F 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义是解题的关键． （1）根据坡度的定义得，再由锐角三角函数定义得，即可解决问题； （2）延长交于G，过F作于H，由锐角三角函数定义得，则，再由锐角三角函数定义得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中， ∴， 在中，， ∵， ∴m， ∴； 【小问2详解】 若一辆高度为米的货车沿斜坡驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F，理由如下： 如图，延长交于G，过F作于H， 由题意得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴一辆高度为米货车沿斜坡驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F． 25. 如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得是的直径，再根据等腰三角形的性质证明，从而得，根据切线的判定即可得证； （2）作于点，则，由三角形函数的定义得，从而求得，，再利用勾股定理及等腰三角形的性质求得，即可得解； 【小问1详解】 证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是是的切线． 【小问2详解】 解：作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定以及的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 26. 某商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件，现计划购进两种服装共10件，其中甲种服装不少于68件． （1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ （2）若购进这100件服装的费用不得超过7600元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②该商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）80元；60元 （2）①80件；②见解析 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确列式是解题的关键． （1）设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价元，根据用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件列出方程，解方程并检验即可； （2）①设甲种服装购进x件，根据甲种服装不少于68件，购进这100件服装的费用不得超过7600元，列出不等式组，解不等式组即可； ②设获得利润为y元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质分类讨论即可． 【小问1详解】 解：设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价元， 根据题意得：， 解得，， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴， ∴甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； 【小问2详解】 ①设甲种服装购进x件， ∵甲种服装不少于68件，购进这100件服装的费用不得超过7600元， ∴， 解得； ∴甲种服装最多购进80件； ②设获得利润为y元， 根据题意得：， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装20件利润最大； 当时，所有进货方案利润都是4000元； 当时，y随x增大而减小， ∴当时，y取最大值，此时购进甲种服装68件，乙种服装32件利润最大. 综上所述，当时，购进甲种服装80件，乙种服装20件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装68件，乙种服装32件利润最大 27. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线、交于点O，E为上一点，连结，，，若，，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线、交于点O，E为中点，F为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析（2）18（3） 【解析】 【分析】（1）可证得，从而，进一步得出结论； （2）可证得，从而得出，进而得出，从而，设，则，从而得出，从而求得值，进一步得出结果； （3）延长，，交于点，可得出，从而，进而表示出，可证得，从而，进而求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点G. ∵， ∴设，，则， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴，即， ∴. 在中， ∵E为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，（舍去）， ∴， 即菱形的边长为. 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 28. 对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． （1）下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． （2）已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） （3）若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）① ② （3） 【解析】 【分析】（1）根据“融创函数”定义判断即可； （2）①联立，令，求解即可；②先求出平移后函数，联立，设交点A，B，再根据函数图象，取整数点即可； （3）根据“融创函数”定义，则方程由两个相等的实数根，利用根的判别式得到即，由当，恒有，则点在函数顶点的右侧，得到，解得，即可由求出结果． 【小问1详解】 解：一次函数的图象在一、三、四象限， 直线与直线不平行，故有唯一点； 反比例函数的图象在一、三象限， 关于直线与反比例函数的图象有两个交点； 二次函数图象开口向上，顶点是原点，与直线有一个交点， 与一次函数互为“融创函数”的是①③． 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：①∵函数P：与函数互为“融创函数”， 则联立， 消去y得；， 则，解得， 故函数，令 解得 ∴R的坐标为； ②将函数向左平移个单位得到函数． 联立函数与函数， 则，即， 解得：或， 当，则；当，则； 如图： 设，点D为函数的顶点，点C为函数的顶点， 函数与函数， ， 当时，，当时，， 则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有：共4个； 【小问3详解】 解：函数与函数互为“融创函数”， 令，整理得： 则，即， 当，恒有， 点在函数顶点的右侧，即， 解得， 由， ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换，函数与一元二次方程，二次好速度性质，熟练掌握函数与方程组的关系、二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$