精品解析：2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页． 注意事项： 1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高 台体体积公式， 其中分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式， 其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式， 球的体积公式， 其中R为球的半径 第Ⅰ卷 （选择题57分） 一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现朝上的面的点数是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则是（ ） A 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. i为虚数单位，计算等于（ ） A. B. C. D. 7. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是．为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法从中抽取容量为的样本，那么初中生应抽取的人数是（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 8. 已知直线平面，直线平面，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 与是异面直线 D. 与没有公共点 9. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 11. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 12. 计算等于（ ） A. B. C. D. 13. 三个数的大小关系为（ ） A. B. C D. 14. 甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（ ） A. 0.09 B. 0.42 C. 0.49 D. 0.51 15. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 16. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 17. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 18. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 19. 某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 43分） （请考生在答题卡上作答） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 20. 若球的表面积为，则该球的半径是___________． 21. 函数的最小值是___________． 22. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是___________． 23. 某市政府计划对居民生活用水实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准（单位：），用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，该市随机调查了10000户居民，获得了他们的月均用水量数据，整理得到频率分布直方图（如图）．如果要让该市的居民用户的月均用水量不超出标准，那么应为___________（单位：）． 三、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：. 25. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求面积． 26. 已知函数且． （1）求实数a的值； （2）若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页． 注意事项： 1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高 台体体积公式， 其中分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式， 其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式， 球的体积公式， 其中R为球的半径 第Ⅰ卷 （选择题57分） 一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现朝上的面的点数是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子可能出现的结果有个， 其中朝上的面的点数是偶数有种情况， 所以出现朝上的面的点数是偶数的概率. 故选：C 3. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，可判断可能在的象限，根据，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案. 【详解】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合， 由，可得的终边在第二象限或第四象限， 因为，同时成立，所以是第二象限角. 故选：B 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题“”为全称量词命题， 其否定为：. 故选：D 5. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，定义域为，因为，所以是奇函数，所以A正确， 对于B，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以B错误， 对于C，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以C错误； 对于D，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以D错误. 故选：A 6. i为虚数单位，计算等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则运算即可. 【详解】. 故选：A. 7. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是．为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法从中抽取容量为的样本，那么初中生应抽取的人数是（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意初中生应抽取人. 故选：C 8. 已知直线平面，直线平面，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 与是异面直线 D. 与没有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】因为直线平面，直线平面， 所以或与是异面直线，则与没有公共点. 故选：D 9. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：C 10. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以. 故选：D 11. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 12. 计算等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式计算可得. 【详解】. 故选：B 13. 三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数性质判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：A 14. 甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（ ） A. 0.09 B. 0.42 C. 0.49 D. 0.51 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】因为每人成功破译密码的概率均为，且甲、乙两人独立破译某个密码， 则密码不被破译的概率. 故选：C 15. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 16. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 17. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有的点 向左平移个单位长度得到. 故选：B 18. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 19. 某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据小明的票价分析行程最大值，即可判断. 【详解】因为小明的票价为元，则小明的行程最大为， 又当小明的行程为时，票价只需元， 则小明的行程需大于且不超过，所以. 故选：B 第Ⅱ卷 （非选择题 43分） （请考生在答题卡上作答） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 20. 若球的表面积为，则该球的半径是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，依题意，解得（负值已舍去）. 故答案为： 21. 函数的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以函数的最小值是. 故答案为： 22. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求得抛物线的对称轴方程为，可得，求解即可. 【详解】由题意得抛物线的对称轴方程为 ∵函数在上单调递增， ∴，∴，则的取值范围为. 故答案为： 23. 某市政府计划对居民生活用水实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准（单位：），用水量不超过部分按平价收费，超出的部分按议价收费，该市随机调查了10000户居民，获得了他们的月均用水量数据，整理得到频率分布直方图（如图）．如果要让该市的居民用户的月均用水量不超出标准，那么应为___________（单位：）． 【答案】## 【解析】 【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】因为， ， 所以位于之间， 所以，解得， 所以应为. 故答案为： 三、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥体积计算公式即可； （2）通过证明，得平面即可. 【小问1详解】 由题意可知，为的中点，且正方体棱长为2， 所以三棱锥体积为： . 【小问2详解】 因为正方体中平面，且平面， 所以. 连接，又因为底面为正方形，所以. 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 25. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【小问1详解】 因为，所以， 化简得，即，所以是等腰三角形. 【小问2详解】 由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积为. 26 已知函数且． （1）求实数a的值； （2）若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为且， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，函数在上单调递减，且； 当时，则在上单调递增， 在上单调递减，且，，即； 所以的图象如下所示： 因为函数在上恰有两个零点， 即函数与在上恰有两个交点， 由图可知或，即实数取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$