专题21.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. （2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【知识点三】一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程的概念忽视了 【例1】（20-21八年级下·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围． （2）如果是方程的一个根，求的值． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【变式2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【题型2】一元二次方程的一般形式 【例2】（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 【举一反三】 【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ） A． B． C．x D．1 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式是 【题型3】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值 【例3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【举一反三】 【变式1】（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2013·山东菏泽·中考真题）已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 【例2】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【例3】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 2、拓展延伸 【例】（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. （2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【例1】 （23-24八年级下·全国·假期作业）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 解：A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意；故选：B． 【点拨】厘清一元二次方程三个条件是解题的关键。 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1 解：将方程两边去分母、去括号、移项、合并同类项，使方程右边为零，左边按x的降幂形式排列． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 此方程的二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1． 【点拨】解题的关键是先要整理成一元二次方程一般形式再确定各项系数。 【知识点三】一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程的概念易忽视 【例1】（20-21八年级下·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围． （2）如果是方程的一个根，求的值． 【答案】（1）且；（2）9 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可； （2）把代入中得到，再由进行求解即可． 解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴且； 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，对于关于的一元二次方程，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 根据一元二次方程的一般形式确定常数项，根据题意列出方程，解方程求出． 解：关于的一元二次方程的常数项是， 则， 解得：， ， 的值为6， 故答案为：6． 【题型2】一元二次方程的一般形式 【例2】（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 【答案】 【分析】首先把关于方程化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2，求出m的值即可． 解：整理方程得， 化为一般形式即为， 方程的各项分别为，，，其中未知项系数分别为1，， 依题意即有， 解得：． 【点拨】此题考查一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件． 【举一反三】 【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ） A． B． C．x D．1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果． 解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6， ∴，， 解得：， 把代入原方程可得， ∴一次项是， 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 解：， ， ， ， 即一元二次方程的一般形式是， 故答案为：． 【题型3】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解） 【例3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 【举一反三】 【变式1】（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算即可． 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 当时，原式． 故答案为：3． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2013·山东菏泽·中考真题）已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 【答案】4 解：∵m是方程x2−x−2=0的根， ∴m2−m−2=0，即m2−m=2，m2 −2=m． ∴． 【例2】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【答案】B 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 解：∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【例3】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 【答案】6 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点拨】此题隐含着m0这个条件，教师教学中应该加以提示，整体思想是解此题的关键。 2、拓展延伸 【例1】（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 解： ， ∵x是方程的根， ∴， ∴原式． 【点拨】准确化简与整体思想的运用是解题的关键，是中考常考题型。 （2）∵a是方程的一个根， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$