精品解析：2024年内蒙古自治区包头市东河区九年级中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、座位号、考生号等信息填写在答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. 如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A. ﹣ B. C. D. 以上都不对 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 三个视图均相同 5. 如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将分别标有“美”、“丽”、“中”、“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，先将小球搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再搅拌均匀，随机又摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　） A. AE//BC B. ∠ADE=∠BDC C. △BDE是等边三角形 D. △ADE的周长是9 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ） A 12 B. 9 C. 6 D. 4.5 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若是关于的一元一次方程的解，则的值是_________． 12. 计算的结果是___________ 13. 如图，点、，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_________． 14. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 15. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________． 16. 如图．在菱形中，对角线，交于点，延长到点，使，连接，，分别交，于点，，则下列结论：①四边形是平行四边形 ② ③ ④．其中正确的结论是_________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组： 18. 某校为了解七、八年级学生对中国传统文化知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析． 数据收集： 七年级：59 90 92 85 80 67 88 85 97 79； 八年级：57 95 80 96 83 69 92 78 66 83． 数据整理： 年级 成绩（分） 七年级 1 1 2 4 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析： 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 85 八年级 79.9 81.5 请根据如表信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：________，________； （2）萌萌同学参加了测试，他说：“这次测试我得了83分，在我们年级属于中游略偏上！”，你推测萌萌同学可能是_________（填“七”或“八”）年级的学生． （3）假如该校七年级800名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上（不包括80分）的人数． （4）为了丰富同学们的中国传统文化知识，请你提出一条合理化建议． 19. 为了提高汽车通过效率，停车场入口一般都采用了智能停车系统．如图，某停车场入口处摄像头点到地面距离为（即），是水平地面．轿车车牌上边缘到地面的距离为（即），摄像头最大扫描角度，摄像头张角，点，，，，，在同一竖直平面内，求摄像头识别车牌的有效范围的长．（结果精确到参考数据，，，） 20. 为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低万元，用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同． （1）求A，B两种健身器材每套售价分别为多少万元？ （2）经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．若学校购进的80套健身器材中，B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍，学校应如何购买才能使总费用最少？ 21. 如图，为的直径，为弦，过圆上一点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：．（请用两种方法解答） （2）若，，求的长． 22. 如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求； （3）如图2，连接，请判定，，三者之间的数量关系并证明． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当时，求线段的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、座位号、考生号等信息填写在答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1179万． 故答案为：A． 2. 如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A. ﹣ B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行排除即可． 【详解】解：∵， 2， ， ∴被阴影覆盖可能是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项等知识，根据同底数幂的除法，积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项等运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不可以合并，计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，计算正确， 故选：D． 4. 如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 三个视图均相同 【答案】A 【解析】 【分析】画出组合体的三视图，即可得到结论． 【详解】解：所给几何体的三视图如下， 所以，主视图和左视图完全相同， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 5. 如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和矩形的性质，熟知：两直线平行，同位角相等，矩形的性质结合已知条件即可求出1的度数为， 【详解】解：如图，先标注字母， ∵矩形， ∴， ∴； 故选B． 6. 将分别标有“美”、“丽”、“中”、“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，先将小球搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再搅拌均匀，随机又摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法求概率，画出树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“中国”的结果有2种，再由概率公式求解即可，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“中国”的结果有2种， ∴两次摸出球上的汉字组成“中国”的概率为， 故选：B． 7. 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　） A. AE//BC B. ∠ADE=∠BDC C. △BDE是等边三角形 D. △ADE的周长是9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°， ∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠EAB=∠C=60°， ∴∠EAB=∠ABC=60°， ∴AE//BC，故选项A正确，不符合题意； ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=BC=5， ∵△BAE是△BCD逆时针旋旋转60°得到， ∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°， ∴AE+AD=AD+CD=AC=5， ∵∠EBD=60°，BE=BD， ∴△BDE是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； ∴DE=BD=4， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=5+4=9，故选项D正确，不符合题意； 而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，故B符合题意， ∴结论错误的是B， 故选B． 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查基本作图，等腰直角三角形的性质及勾股定理应用等知识，根据尺规作图可得，是的平分线，可证明得，根据直角三角形的性质可得，可推出，进而求出结论． 【详解】解：由尺规作图可得，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， 故选：C． 10. 如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴D点坐标为， ∴，即反比例函数解析式为， ∴， ∴的面积， ∵点D为中点， ∴的面积． 故选：D． 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若是关于的一元一次方程的解，则的值是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于x的一元一次方程得含有的等式，然后把所求含有的等式，整体代入所求代数式进行计算即可，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】把代入关于x的一元一次方程得： ， ∴ ， 故答案为：6． 12. 计算的结果是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先通分，然后根据同分母分式加减法法则进行计算即可. 【详解】原式= = = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了异分母分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键. 13. 如图，点、，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点C作轴于点E，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段，的长，进而得到的长，即可得解，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【详解】过点C作轴于点E，如图， ∵点，， ∴，， ∵线段平移得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，当时取最小值，最小值为， 故答案为：1 15. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，然后通过解直角三角形求得线段、的长度，最后将相关线段的长度代入． 【详解】解：如图，假设线段、交于点， 是的直径，弦， ， 又， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键． 16. 如图．在菱形中，对角线，交于点，延长到点，使，连接，，分别交，于点，，则下列结论：①四边形是平行四边形 ② ③ ④．其中正确的结论是_________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先由菱形的性质得到，，，进而证明，则可证明四边形是平行四边形，得到，点G为的中点，则，由勾股定理可得；证明为的中位线，得到，证明，得到则，，即． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形平行四边形，故①正确； ∴，点G为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得，故②正确； ∵点G为的中点，点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ，故③错误，④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组： 【答案】（1），5；（2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值和解一元一次不等式组，熟练掌握整式的运算法则和一元一次不等式组的解题步骤是解题的关键． （1）利用多项式乘法法则和完全平方公式展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入化简结果计算即可； （2）求出每个不等式的解集，找到解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式． （2） 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 某校为了解七、八年级学生对中国传统文化知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析． 数据收集： 七年级：59 90 92 85 80 67 88 85 97 79； 八年级：57 95 80 96 83 69 92 78 66 83． 数据整理： 年级 成绩（分） 七年级 1 1 2 4 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析： 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 85 八年级 79.9 81.5 请根据如表信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：________，________； （2）萌萌同学参加了测试，他说：“这次测试我得了83分，在我们年级属于中游略偏上！”，你推测萌萌同学可能是_________（填“七”或“八”）年级的学生． （3）假如该校七年级800名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上（不包括80分）的人数． （4）为了丰富同学们的中国传统文化知识，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，83 （2）八 （3）480 （4）多阅读中国传统文化知识相关书籍 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的含义可得答案； （2）根据中位数的意义可得答案； （3）由总人数乘以80分以上的占比即可得到答案； （4）提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：∵七年级：59 90 92 85 80 67 88 85 97 79； ∴从小到大排序为：59 67 79 80 85 85 88 90 92 97； ∴中位数为：， ∵八年级：57 95 80 96 83 69 92 78 66 83． ∴众数为； 【小问2详解】 解：∵七年级的中位数为分，八年级的中位数为分， 而“这次测试萌萌得了83分，在我们年级属于中游略偏上！”， ∴萌萌同学可能是八年级的学生． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数约为480人． 【小问4详解】 解：建议是：多阅读中国传统文化知识相关书籍． 【点睛】本题考查的是从统计表中获取信息，利用样本估计总体，中位数，众数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 19. 为了提高汽车通过效率，停车场入口一般都采用了智能停车系统．如图，某停车场入口处摄像头点到地面的距离为（即），是水平地面．轿车车牌上边缘到地面的距离为（即），摄像头最大扫描角度，摄像头张角，点，，，，，在同一竖直平面内，求摄像头识别车牌的有效范围的长．（结果精确到参考数据，，，） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，分别求出和的长，根据即可求出答案． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴摄像头识别车牌的有效范围的长约为． 20. 为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低万元，用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同． （1）求A，B两种健身器材每套的售价分别为多少万元？ （2）经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．若学校购进的80套健身器材中，B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）A种健身器材每套万元，B种健身器材每套万元 （2）学校购买A种健身器材套，B种健身器材套才能使总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用， （1）设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元，根据用16万元购买A型健身器材和用20万元购买型健身器材购得的器材数量相同列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购买型健身器材m套，则购买型健身器材套，根据型健身器材的数量不少于型健身器材数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为w元，然后由题意得出w关于m的一次函数关系式，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元， ∴，解得：， 经检验，时原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元； 【小问2详解】 解：设学校购买型健身器材m套，则购买型健身器材套， ∴，解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为， 设总费用为w元， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最小值， 此时，， 答：学校购买型健身器材26套，则购买型健身器材54套． 21. 如图，为的直径，为弦，过圆上一点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：．（请用两种方法解答） （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形、切线的性质定理、圆周角定理等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）证法一：根据圆周角定理和同角的余角相等即可得到答案； 证法二：连接．根据切线的性质得到，．由圆周角定理证明，则，得到．再证明．即可得到结论； （2）连接，，证明，则设半径为，则，解得，在中，，证明，则，根据即可得到答案． 【小问1详解】 证法一：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 证法二：连接． ∵是的切线， ∴，． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 连接，， ∵，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴ 设半径为，则， ∴ 在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 22. 如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求； （3）如图2，连接，请判定，，三者之间的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证得，则结论得出； （2）证明，得出，解方程即可得出答案； （3）在线段上取点P，使得，证明，得出，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， 即， 解得或（舍去）； ∴； 【小问3详解】 解；，证明如下： 如图，在线段上取点，使得， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求正切，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明出以及证明出． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求线段的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）先表示出直线的解析式为再设，则点，用m的代数式表示出的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； （3）在抛物线上存在点P，使得，延长交轴于点，利用求得线段的长，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于和， ， ∴解得： ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为线段上一点， ∴设，则点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 设交轴于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 在抛物线上存在点，使得，理由： ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交轴于点，如图， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 令， ∴（舍）， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$