专题11.3 三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.3 三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高. （2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过 这条边所对的顶点；三画：画垂线段。 （3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部. 【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段是的高是（  ） A． B． C． D． 【知识点二】三角形的中线 （1） 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线； （2） 三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。 【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【知识点三】三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）三角形的内心：三角形角平分线的交点叫做三角形的内心。 【例3】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 第二部分【典例展示与方法归纳】 【题型1】三角形高线（等面积求高模型） 【例1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，． （1）求高的长； （2）求的面积． 【举一反三】 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】 （22-23七年级下·福建福州·期末）如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时， ．    【题型2】三角形中线（中线等分面积模型+周长差问题） 【例2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，已知、分别是的中线和高，的周长比的周长大，且． （1）求的长； （2）求与的面积关系． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知是的中线，，则和的周长的差是 ．    【变式2】（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【题型3】三角形角平分线（角平分线+平行线模型） 【例3】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，则的周长为（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 【变式2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．若，则 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 一、直通中考 【例1】（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【例2】（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为 ． 二、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）当，，时，求点到直线的距离． 【例2】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.3 三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高. （2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过 这条边所对的顶点；三画：画垂线段。 （3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部. 【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段是的高是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义及画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可求解，掌握三角形高的定义和画法是解题关键． 解：、线段不是的高，不合题意； 、线段不是的高，不合题意； 、线段不是的高，不合题意； 、线段是的高，符合题意； 故选：． 【知识点二】三角形的中线 （1） 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线； （2） 三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。 【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 解：∵为中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为， 故选：A． 【知识点三】三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）三角形的内心：三角形角平分线的交点叫做三角形的内心。 【例3】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 解 ∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 第二部分【典例展示与方法归纳】 【题型1】三角形高线（等面积求高模型） 【例1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，． （1）求高的长； （2）求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． （1）解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 【举一反三】 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，求三角形的高，先由线段中点的定义得到，再根据垂线段最短可得当时有最小值，据此利用面积法求解即可． 解：∵点D是中点， ∴， ∵点P是线段上一个动点， ∴当时有最小值， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时， ．    【答案】8 【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出，，，最后利用代入求解即可． 解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，    ∵、、， ∴，，， ∵当时，取最小值， ∵， ∴，即 解得，， 故答案为：8． 【点拨】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键． 【题型2】三角形中线（中线等分面积模型+周长差问题） 【例2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，已知、分别是的中线和高，的周长比的周长大，且． （1）求的长； （2）求与的面积关系． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题考查三角形中线的定义，（1）根据三角形中线的定义可得，再根据题意得，即可求解； （2）根据中线的定义可得，再根据三角形面积公式即可得出结论． （1）解：是的中线， ， 的周长比的周长大， ， ， ， ； （2）解：，， 是的中线， ， ． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知是的中线，，则和的周长的差是 ．    【答案】9 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后求出，代入数据进行计算即可得解． 解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴和的周长的差是9， 故答案为：9． 【点拨】本题考查了三角形的中线的定义，求出是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积． 解：如图，连接、、， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【题型3】三角形角平分线（角平分线+平行线模型） 【例3】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的定义，得，结合平行线的性质，得，进行角难度等量代换，得，再结合等角对等边，即可作答． 解：如图： ∵平分平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点拨】则的周长 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，则的周长为（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行结合角平分线，推出，进而得到的周长为，即可得出结果． 解：∵和的平分线相交于点D， ∴， ∵过点D作的平行线交于点E，交于点F， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．若，则 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据作法可知：是的平分线， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 一、直通中考 【例1】（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 【例2】（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为 ． 【答案】 【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案． 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O， ∴BF⊥AC， ∵AB＝5，BC＝4，AC＝6， ∴， ∴， ∴CE：AD：BF=， 故答案是：． 【点拨】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键． 二、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析；(2)； (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论． （1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 【例2】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 【答案】探究：，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2），32 【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论； 应用：连接，，，运用探究结论可知，则，同理可得，即可求得阴影部分的面积； 拓展：（1）如图，连接，，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结论； （2）连接并延长交于，可知是边上的中点，记6个小三角形的面积分别为，，，，，，可得，进而可得，可知四边形面积，要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大，则只需要，可得的面积最大值为，即可求得四边形面积最大值． 本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质． 解：探究：，理由如下： 过点作，交于， ∵是中边上的中线，则， ∴， 即：； 应用：连接，，， ∵点A、B、C分别是、、的中点， ∴，，， ∴， 则， 同理可得， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：24； 拓展：（1）如图，连接，． ∵，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积 ． 故答案为：54； （2）连接并延长交于， ∵点、是、边上的中点， ∴是边上的中线， 记6个小三角形的面积分别为，，，，，， 则，，，， ∴，即：， ∴，即：， 同理可知，， ∴， ∴四边形面积， 要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大， ∵中，，， ∴要使得的面积最大，则只需要， ∴的面积最大值为， 则四边形面积最大值为， 故答案为：，32． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$